Abitur Brandenburg Mathematik 2017 · GK · Teil B · Stochastik (WTR)

Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt.

1 Ein Händler erhält eine Lieferung dieser Smartphones.

a

Die gelieferten Geräte haben sechs verschiedene Farben. Für die Auslage einiger Geräte im Schaufenster sollen vier Farben ausgewählt werden. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für diese Auswahl. [2 BE]

b

Die Lieferung umfasst 50 Geräte; davon sind drei fehlerhaft. Aus der Lieferung werden zehn Geräte zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: [3 BE]

$A$: „Von den zehn ausgewählten Geräten ist keines fehlerhaft.“

$B$: „Von den zehn ausgewählten Geräten ist mindestens eines fehlerhaft.“

Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:

der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte;

der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.

Werk · A · B · C · D

Anteil an der Gesamtzahl · 10 % · 30 % · 20 % · 40 %

Anteil der fehlerhaften Geräte · 5 % · 3 % · 4 % · 2 %

a)

Weisen Sie nach, dass der Anteil der fehlerhaften Geräte unter allen hergestellten Geräten $3\,\%$ beträgt.

[2 BE]

b)

Ein unter allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im Werk A hergestellt wurde.

[3 BE]

Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:

der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte;

der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.

Werk · A · B · C · D

Anteil an der Gesamtzahl · 10 % · 30 % · 20 % · 40 %

Anteil der fehlerhaften Geräte · 5 % · 3 % · 4 % · 2 %

c)

Von im Werk A hergestellten Geräten werden 250 zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Anzahl fehlerhafter Geräte, die darunter mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.

[2 BE]

d)

Geben Sie einen Wert von $s$ an, für den mit dem Term $200\cdot 0{,}98^s\cdot 0{,}02 + 0{,}98^{200}$ im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann. Beschreiben Sie das zugehörige Ereignis.

[4 BE]

e)

Ermitteln Sie, wie viele im Werk C hergestellte Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein fehlerhaftes Gerät befindet.

[4 BE]

20 % aller Pkw eines bestimmten Herstellers sind Dieselfahrzeuge. Die Anzahl der Dieselfahrzeuge in einer Stichprobe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden. 25 Pkw des Herstellers werden zufällig ausgewählt; davon sind drei rot.

80 % der Dieselfahrzeuge und 90 % der übrigen Pkw des Herstellers haben eine Leistung von mehr als 60 kW.

b

Von den ausgewählten Pkw sind genau fünf Dieselfahrzeuge. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei roten Pkw Dieselfahrzeuge sind.

%

d

$80\,\%$ der Dieselfahrzeuge und $90\,\%$ der übrigen Pkw des Herstellers haben eine Leistung von mehr als $60\text{ kW}$.

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

e

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Leistung eines zufällig ausgewählten Pkw des Herstellers größer als $60\text{ kW}$ ist.

%

20 % aller Pkw eines bestimmten Herstellers sind Dieselfahrzeuge. Die Anzahl der Dieselfahrzeuge in einer Stichprobe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden. 25 Pkw des Herstellers werden zufällig ausgewählt; davon sind drei rot.

80 % der Dieselfahrzeuge und 90 % der übrigen Pkw des Herstellers haben eine Leistung von mehr als 60 kW.

a

Bestimmen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

%

%

c

Ermitteln Sie, wie groß die Anzahl zufällig ausgewählter Pkw des Herstellers mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen mindestens ein Dieselfahrzeug ist, mindestens $95\,\%$ beträgt.

Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen, die für eine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mit $0 \le p \le 1$ die Anzahl der Treffer bei $n$ Versuchen angeben. Die Standardabweichung der Zufallsgrößen ist 3.

a)

Bestimmen Sie für eine Zufallsgröße mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 25 % die zugehörige Anzahl der Versuche.

b)

Begründen Sie, dass es keinen Wert von $p$ geben kann, für den die Anzahl der Versuche 9 ist.