Abitur Berlin Mathematik 2024 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Die Abbildung zeigt modellhaft eine Eingangsüberdachung, die an einem Hausdach angebracht ist. Die Eingangsüberdachung besteht aus einer dreieckigen und zwei viereckigen Dachflächen, deren Eckpunkte im verwendeten Koordinatensystem durch die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|0|0)$, $C(1{,}5|-1{,}2|1)$, $D(3|2|0)$, $E(0|2|0)$ und $F(1{,}5|0{,}8|1)$ dargestellt werden. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ markieren Befestigungspunkte am Hausdach. Es gilt $\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF}$ und $|\vec{DF}| = |\vec{EF}|$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Alle Materialstärken werden im Folgenden vernachlässigt. Der Übergang vom Hausdach zur vertikalen Hauswand liegt im Modell in der $x$-Achse.

a

Die beiden viereckigen Dachflächen der Eingangsüberdachung haben jeweils einen Flächeninhalt von etwa $3{,}6\text{ m}^2$. Die Eingangsüberdachung soll mit Dachziegeln gedeckt werden. Bestimmen Sie den Inhalt der zu bedeckenden Fläche. [4 BE]

b

Zur Beleuchtung werden an einer Strebe, die im Modell zwischen den Punkten $A$ und $E$ verläuft, zwei Lampen so befestigt, dass deren Befestigungspunkte diese Strebe in drei gleich lange Abschnitte teilen. Bestimmen Sie für einen dieser Befestigungspunkte die Koordinaten im Modell. [2 BE]

c

Die in der Abbildung dargestellte Fläche des Hausdachs liegt im Modell in der Ebene mit der Gleichung $3y + 3{,}6z = 0$. Bestimmen Sie die Größe des Winkels im Inneren des Hauses zwischen Hausdach und vertikaler Hauswand. Ermitteln Sie für die Ebene, in der die dreieckige Dachfläche der Eingangsüberdachung liegt, eine Gleichung in Koordinatenform. [6 BE]

Die Abbildung zeigt modellhaft eine Eingangsüberdachung, die an einem Hausdach angebracht ist. Die Eingangsüberdachung besteht aus einer dreieckigen und zwei viereckigen Dachflächen, deren Eckpunkte im verwendeten Koordinatensystem durch die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|0|0)$, $C(1{,}5|-1{,}2|1)$, $D(3|2|0)$, $E(0|2|0)$ und $F(1{,}5|0{,}8|1)$ dargestellt werden. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ markieren Befestigungspunkte am Hausdach. Es gilt $\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF}$ und $|\vec{DF}| = |\vec{EF}|$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Alle Materialstärken werden im Folgenden vernachlässigt. Der Übergang vom Hausdach zur vertikalen Hauswand liegt im Modell in der $x$-Achse.

d

Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Eingangsüberdachung trifft, kann durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -0{,}9 \\ -1 \\ -0{,}6 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Erläutern Sie im Sachzusammenhang die Schlussfolgerungen, die in Verbindung mit der Abbildung aus den folgenden Schritten gezogen werden können.

$$\text{I} \quad \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -0{,}9 \\ -1 \\ -0{,}6 \end{pmatrix} \text{ liefert } \lambda = 2 \text{ und somit } (-1{,}8 \mid 0 \mid -1{,}2).$$

$$\text{II} \quad -1{,}8 < 0 \text{ und } -2{,}5 < -1{,}2 < 0$$

[4 BE]

e

Die in der Abbildung dargestellten sechs Punkte $A$ bis $F$ sind die Eckpunkte eines Körpers $K$, der von fünf Flächen begrenzt wird. $K$ wird von der Ebene mit der Gleichung $y = s$ in einem Vieleck geschnitten, falls $-1{,}2 < s < 2$ gilt. Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $s$ an und geben Sie das Intervall aller Werte von $s$ an, so dass die zugehörigen Vielecke alle dieselbe Form und denselben Flächeninhalt besitzen. [4 BE]

Gegeben sind das gerade Prisma $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $C(0|0|0)$, $D(6|0|5)$, $E(0|8|5)$ und $F(0|0|5)$ sowie der Punkt $M(3|4|5)$ (vgl. Abbildung 1).

Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M$, $F$ und $S(7{,}5|0|0)$ (vgl. Abbildung 2).

Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_t(t|0|0)$ mit $t \ge 0$ auf der $x$-Achse betrachtet. Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte $M$, $F$ und $S_t$ das Prisma $ABCDEF$ in einem Vieleck.

a)

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Prismas.

b)

Begründen Sie, dass die Punkte D, E und F auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M liegen.

f)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $t$, für den das Dreieck $\mathrm{MFS}_t$ im Punkt $\mathrm{M}$ rechtwinklig ist.

Gegeben sind das gerade Prisma $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $C(0|0|0)$, $D(6|0|5)$, $E(0|8|5)$ und $F(0|0|5)$ sowie der Punkt $M(3|4|5)$ (vgl. Abbildung 1).

Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M$, $F$ und $S(7{,}5|0|0)$ (vgl. Abbildung 2).

Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_t(t|0|0)$ mit $t \ge 0$ auf der $x$-Achse betrachtet. Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte $M$, $F$ und $S_t$ das Prisma $ABCDEF$ in einem Vieleck.

c)

Die Ebene W enthält die Punkte M, F und $\mathrm{S}(7{,}5\,|\,0\,|\,0)$. Bestimmen Sie eine Gleichung von W in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4x - 3y + 6z = 30$)

d)

Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

(1) $\mathrm{P}(6\,|\,0\,|\,r)$ mit $0 \le r \le 5$

(2) $4\cdot 6 - 3\cdot 0 + 6\cdot r = 30$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an.

e)

Anstelle des Punkts S werden nun Punkte $\mathrm{S}_t(t\,|\,0\,|\,0)$ mit $t \ge 0$ auf der x-Achse betrachtet. Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte M, F und $\mathrm{S}_t$ das Prisma ABCDEF in einem Vieleck.

Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an sowie alle Werte von $t$, für die das Vieleck zwei Symmetrieachsen besitzt.