Abitur Berlin Mathematik 2024 · GK · Teil A · Lineare Algebra

Ein Produktionsprozess, in dem die Rohstoffe $R_1$ und $R_2$ zu den Endprodukten $E_1$ und $E_2$ verarbeitet werden, wird durch die Gleichung $\begin{pmatrix} x & 4 \\ 6 & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}$ beschrieben.

Dabei geben die Einträge der Vektoren die Anzahlen der Mengeneinheiten der Rohstoffe bzw. der Endprodukte an, beispielsweise $r_1$ die Anzahl der Mengeneinheiten von $R_1$.

a)

Stellen Sie den Produktionsprozess in einem beschrifteten Verflechtungsdiagramm dar.

[2 BE]

b)

Von $E_1$ werden doppelt so viele Mengeneinheiten produziert wie von $E_2$. Außerdem ist die Anzahl der eingesetzten Mengeneinheiten des Rohstoffs $R_1$ viermal so groß wie die Anzahl der produzierten Mengeneinheiten von $E_1$.

[3 BE]

Ermitteln Sie den Wert von $x$.

Ein Produktionsprozess, in dem die Rohstoffe $R_1$ und $R_2$ zu den Endprodukten $E_1$ und $E_2$ verarbeitet werden, wird durch die Gleichung $\begin{pmatrix} x & 4 \\ 6 & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}$ beschrieben.

Dabei geben die Einträge der Vektoren die Anzahlen der Mengeneinheiten der Rohstoffe bzw. der Endprodukte an, beispielsweise $r_1$ die Anzahl der Mengeneinheiten von $R_1$.

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A, B und C. Für den Punkt D gilt $\vec{OD} = \vec{OC} - 2 \cdot \vec{AB}$, wobei O den Koordinatenursprung bezeichnet.

Ermitteln Sie das Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks ABC zum Inhalt der Fläche des Trapezes ABCD. Stellen Sie Ihr Vorgehen durch eine geeignete Ergänzung der Abbildung dar.

1 Aufgabe

Gegeben ist die Matrix $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$.

a

Begründen Sie, dass es mehr als einen Vektor $\vec{a}$ gibt, für den $M \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ gilt. [2 BE]

b

Ermitteln Sie alle Vektoren $\vec{b}$ mit $M \cdot \vec{b} = \vec{b}$. [3 BE]