Abitur Berlin Mathematik 2021 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q \colon x \mapsto 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

a)

Zeigen Sie rechnerisch, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch ist.

c)

Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet. Prüfen Sie, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt.

f)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q: x \mapsto 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

In der Abbildung 1 ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit $s$ bezeichnet. Bestimmen Sie alle Werte von $a$, die für diese Länge mindestens $0{,}1\text{ dm}$ liefern.

g)

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen.

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q \colon x \mapsto 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke.

(zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von f hat die x-Koordinate 2.)

d)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie seinen Wert.

e)

Berechnen Sie die Größe des größten Steigungswinkels der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist.

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q \colon x \mapsto 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

h)

Für die Brücke gilt $a = 1{,}25$. Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1\text{ dm}^3$ des Holzes hat eine Masse von $800\text{ Gramm}$. Die Brücke ist $0{,}4\text{ dm}$ breit. Ermitteln Sie die Masse des mittleren Bauteils.

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q \colon x \mapsto 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

2 Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion $g_\ell$ und für das rechte Bauteil eine Funktion $g_r$ infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen. Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:

I

$-g_\ell(x) = g_r(-x)$ für $-2 \le x \le -1$

II

$g_\ell(x - 1) = g_r(-x + 1)$ für $-1 \le x \le 0$

Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k \colon x \mapsto \frac{3}{5} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + \frac{4}{5}$ beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der Abbildung 2 dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.

a)

Der Graph von $k$ ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreiben Sie, wie diese Eigenschaft mit dem in der Abbildung 2 dargestellten Prinzip zusammenhängt.

[2 BE]

b)

Ermitteln Sie mithilfe des Funktionsterms von $k$ den Flächeninhalt der gesamten in der Abbildung 2 gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.

[4 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Gegeben sind außerdem die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{x}$ sowie die Funktion $h: x \mapsto \frac{1}{x-2} + 4$, deren Definitionsmenge so groß wie möglich gewählt wurde.

Graph von $h$ sowie Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$

Die Umkehrfunktion von $h$ wird mit $k$ bezeichnet.

Betrachtet werden nun die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $u: x \mapsto f(g(x))$ sowie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v: x \mapsto g(f(x))$. Für die erste Ableitungsfunktion $u'$ von $u$ gilt $u'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$.

a)

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in dessen Schnittpunkt mit der y-Achse. Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die in diesem Punkt senkrecht zur Tangente steht, sowie den Inhalt der Fläche, die von dieser Gerade, der Tangente und der x-Achse eingeschlossen wird.

b)

Geben Sie alle Werte von $m \in \mathbb{R}$ an, für die die Gerade mit der Gleichung $y = m \cdot x + 1$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat.

j)

Zeigen Sie, dass $u$ genau eine Wendestelle hat, und bestimmen Sie diese Wendestelle.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Gegeben sind außerdem die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{x}$ sowie die Funktion $h: x \mapsto \frac{1}{x-2} + 4$, deren Definitionsmenge so groß wie möglich gewählt wurde.

Graph von $h$ sowie Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$

Die Umkehrfunktion von $h$ wird mit $k$ bezeichnet.

Betrachtet werden nun die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $u: x \mapsto f(g(x))$ sowie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v: x \mapsto g(f(x))$. Für die erste Ableitungsfunktion $u'$ von $u$ gilt $u'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$.

d)

Beschreiben Sie, wie der Graph von $h$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann. Geben Sie die Definitionsmenge von $h$ sowie den Grenzwert von $h$ für $x \to +\infty$ an.

e)

Die Abbildung soll den Graphen von $h$ sowie die Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$ darstellen. Ergänzen Sie die fehlenden Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

g)

Alle gemeinsamen Punkte der Graphen von $h$ und $k$ liegen auf der Gerade $w$. Berechnen Sie die x-Koordinaten dieser gemeinsamen Punkte.

h)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass jede Tangente mit der Steigung $-1$ an den Graphen von $h$ auch Tangente an den Graphen von $k$ ist.

i)

Geben Sie für jede der Funktionen $u$ und $v$ einen Funktionsterm an, der zwar die Variable $x$, aber keine Funktionsbezeichnung wie „f“ oder „g“ enthält. Nennen Sie die Wertemengen von $u$ und $v$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Gegeben sind außerdem die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{x}$ sowie die Funktion $h: x \mapsto \frac{1}{x-2} + 4$, deren Definitionsmenge so groß wie möglich gewählt wurde.

Graph von $h$ sowie Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$

Die Umkehrfunktion von $h$ wird mit $k$ bezeichnet.

Betrachtet werden nun die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $u: x \mapsto f(g(x))$ sowie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v: x \mapsto g(f(x))$. Für die erste Ableitungsfunktion $u'$ von $u$ gilt $u'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$.

c)

Der Graph von $f$, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung $x = a$ mit $a > 0$ begrenzen ein Flächenstück. Rotiert dieses Flächenstück um die x-Achse, so erzeugt es einen Körper mit dem Volumen $3\pi$. Bestimmen Sie den Wert von $a$.

f)

Für jede Stammfunktion $H$ von $h$ gilt für jede reelle Zahl $b > 5$:

$$H(b) - H(5) > 4 \cdot (b - 5)$$

Beschreiben Sie die geometrische Bedeutung dieser Aussage und veranschaulichen Sie die Aussage grafisch.