Abitur Berlin Mathematik 2021 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind der Punkt $P(-1|7|2)$ und die Ebene $E: x_1 + 3x_2 = 0$.

a

Zeigen Sie, dass $P$ nicht in $E$ liegt.

[1 BE]

Gegeben sind der Punkt $P(-1|7|2)$ und die Ebene $E: x_1 + 3x_2 = 0$.

b

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn $P$ an $E$ gespiegelt wird.

[4 BE]

$P'($

$|$

$|$

$)$

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

a)

Begründen Sie, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $y$-Achse verläuft.

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

b)

Der Punkt $C$ liegt auf der $y$-Achse. Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Gerade durch $B$ und $C$. Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts $C$ haben.

$c_1 =$

$c_2 =$

Gegeben sind der Punkt $P(-1|7|2)$ und die Ebene $E: x_1 + 3x_2 = 0$.

Betrachtet werden die Ebene $E: x_1 - x_2 + x_3 - 3 = 0$ und für $a \in \mathbb{R}$ die Geraden

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{pmatrix} \quad \text{mit } \lambda \in \mathbb{R}.$$

a

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den die Gerade $g_a$ senkrecht zu $E$ steht.

[2 BE]

b

Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_a$ in $E$ liegt.

[3 BE]

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(3|4|1)$, $C(1|7|3)$ und $D(-2|3|2)$.

a

Weisen Sie nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist. [1 BE]

b

Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $\overline{AC}$. Das Dreieck $ABT$ hat bei $B$ einen rechten Winkel. Ermitteln Sie das Verhältnis der Länge der Strecke $\overline{AT}$ zur Länge der Strecke $\overline{CT}$. [4 BE]