Abitur Berlin Mathematik 2020 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4} \mid -8 \mid 6\right)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; a \in \mathbb{R}$.

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E: 3x_2 + 4x_3 = 0$.

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0 \mid 0 \mid 0)$, $P\left(-\frac{25}{2} \mid 0 \mid 0\right)$, $Q\left(-\frac{25}{2} \mid -12 \mid 9\right)$ und $R(0 \mid -12 \mid 9)$ in $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$.

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Wegs eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k \mid -8k + \frac{8}{3}k^2 \mid 6k - 2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

a)

Begründen Sie, dass $g$ parallel zur $x_1$-Achse und dabei nicht durch $L$ verläuft. [2 BE]

b)

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [4 BE]

(zur Kontrolle: $3x_2 + 4x_3 = 0$)

g)

Weisen Sie nach, dass der Ball auf dem betrachteten Teil seines Wegs durchgehend Kontakt zur Minigolfbahn hat. [2 BE]

h)

Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem der Ball auf die seitliche Begrenzung der Minigolfbahn trifft. [4 BE]

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4} \mid -8 \mid 6\right)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; a \in \mathbb{R}$.

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E: 3x_2 + 4x_3 = 0$.

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0 \mid 0 \mid 0)$, $P\left(-\frac{25}{2} \mid 0 \mid 0\right)$, $Q\left(-\frac{25}{2} \mid -12 \mid 9\right)$ und $R(0 \mid -12 \mid 9)$ in $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$.

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Wegs eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k \mid -8k + \frac{8}{3}k^2 \mid 6k - 2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

c)

Begründen Sie, dass $OPQR$ ein Rechteck ist. [2 BE]

d)

Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punkts $S$ ermitteln könnte, für den das Viereck $OPSR$ ein ebenes Drachenviereck ist. [3 BE]

e)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des geneigten Teils der Bahn. [2 BE]

f)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den der geneigte Teil der Bahn mit dem Untergrund einschließt. [3 BE]

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4} \mid -8 \mid 6\right)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; a \in \mathbb{R}$.

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E: 3x_2 + 4x_3 = 0$.

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0 \mid 0 \mid 0)$, $P\left(-\frac{25}{2} \mid 0 \mid 0\right)$, $Q\left(-\frac{25}{2} \mid -12 \mid 9\right)$ und $R(0 \mid -12 \mid 9)$ in $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$.

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Wegs eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k \mid -8k + \frac{8}{3}k^2 \mid 6k - 2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

i)

Ermitteln Sie die maximale Höhe über dem Untergrund, die der Ball erreicht. [3 BE]

In einem Koordinatensystem wird der abgebildete Körper $ABCDEF$ mit $A(0|10|1)$, $B(10|20|1)$, $C(0|20|1)$, $D(0|7|0)$ und $F(0|20|0)$ betrachtet. Die beiden Seitenflächen $ACFD$ und $BEFC$ stehen senkrecht zur $x_1x_2$-Ebene.

Der Körper $ABCDEF$ stellt modellhaft ein Podest dar, das auf der Bühne eines Theaters steht, das Viereck $ADEB$ die Vorderseite des Podests und der Punkt $D$ deren untere linke Ecke. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den horizontalen Boden der Bühne. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

a)

$A$, $B$ und $D$ liegen in der Ebene $H$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $H$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 - x_2 + 3x_3 + 7 = 0$)

b)

Begründen Sie, dass die Gerade $i: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ sowohl in der $x_1x_2$-Ebene als auch in der Ebene $H$ liegt.

In einem Koordinatensystem wird der abgebildete Körper $ABCDEF$ mit $A(0|10|1)$, $B(10|20|1)$, $C(0|20|1)$, $D(0|7|0)$ und $F(0|20|0)$ betrachtet. Die beiden Seitenflächen $ACFD$ und $BEFC$ stehen senkrecht zur $x_1x_2$-Ebene.

Der Körper $ABCDEF$ stellt modellhaft ein Podest dar, das auf der Bühne eines Theaters steht, das Viereck $ADEB$ die Vorderseite des Podests und der Punkt $D$ deren untere linke Ecke. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den horizontalen Boden der Bühne. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

1.c)

Der Punkt $E$ liegt auf $i$, wobei der Abstand von $E$ zu $F$ ebenso groß ist wie der Abstand von $D$ zu $F$. Ermitteln Sie die Koordinaten von $E$.

$E($

$|$

$|$

$)$

1.d)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass die Vierecke $ACFD$ und $BEFC$ den gleichen Flächeninhalt haben.

2.a)

Zeigen Sie, dass die Deckfläche des Podests rechtwinklig ist, und berechnen Sie deren Flächeninhalt.

2.b)

Die Position eines Scheinwerfers kann im Modell durch den Punkt $(5|-3|z)$ dargestellt werden. Vom Scheinwerfer ausgehendes Licht trifft an der unteren linken Ecke der Vorderseite des Podests unter einem Winkel der Größe $47^\circ$ auf den Boden auf. Ermitteln Sie die Höhe des Scheinwerfers über dem Boden der Bühne.

2.c)

Die Position eines zweiten Scheinwerfers lässt sich im Modell durch den Punkt $P(2|4|8)$ beschreiben. Die Gerade mit der Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\mu \in \mathbb{R}$ schneidet die Ebene mit der Gleichung $\left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\right] \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$ im Punkt $Q(-2|8|1)$. Es gilt $|\overline{PQ}| = 9$.

Treffen Sie auf der Grundlage dieser Informationen eine Aussage über den Abstand des zweiten Scheinwerfers von der Vorderkante der Deckfläche des Podests. Begründen Sie Ihre Aussage ohne zu rechnen.