Abitur Berlin Mathematik 2020 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

1 Aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden die Zwischenprodukte $Z_1$ und $Z_2$ und daraus die Endprodukte $E_1$, $E_2$ und $E_3$ hergestellt. Die Abbildung veranschaulicht den Herstellungsprozess, wobei der jeweilige Bedarf an einem Rohstoff bzw. Zwischenprodukt in Mengeneinheiten angegeben ist.

Der Bedarf an Rohstoffen für die erste Stufe des Herstellungsprozesses kann mithilfe der Gleichung $\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$ beschrieben werden, der Bedarf an Zwischenprodukten für die zweite Stufe mithilfe der Gleichung $\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} = B \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix}$. Dabei geben die Einträge der Vektoren die Anzahlen der Mengeneinheiten der Rohstoffe bzw. der Zwischenprodukte bzw. der Endprodukte an, beispielsweise $r_1$ die Anzahl der Mengeneinheiten von $R_1$.

a)

Geben Sie die Bedeutung der Gleichung $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ im Sachzusammenhang an. [1 BE]

b)

Eine der folgenden Matrizen stellt $B$ dar. Geben Sie diese Matrix an und begründen Sie Ihre Angabe. [2 BE]

c)

Es gilt $A \cdot B = \begin{pmatrix} 6 & 7 & 15 \\ a & 5 & 1 \\ 9 & 13 & 23 \end{pmatrix}$. Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass $a = 0$ gilt. [2 BE]

d)

Zur Herstellung der beiden Endprodukte $E_1$ und $E_2$ stehen 510 Mengeneinheiten von $R_1$, 150 Mengeneinheiten von $R_2$ und 840 Mengeneinheiten von $R_3$ zur Verfügung. Ermitteln Sie, wie viele Mengeneinheiten von $E_1$ und $E_2$ jeweils hergestellt werden müssen, damit diese Rohstoffe vollständig aufgebraucht werden. [4 BE]

2 Betrachtet wird das Viereck $ABCD$ mit $A(5|0|0)$, $B(0|8|-6)$, $C(-5|0|0)$ und $D(0|-8|6)$.

a)

Weisen Sie nach, dass das Viereck $ABCD$ eine Raute, aber kein Quadrat ist. [3 BE]

b)

Begründen Sie mithilfe einer Skizze, dass der Flächeninhalt der Raute $ABCD$ mithilfe des Terms $\frac{1}{2}\cdot |\vec{AC}|\cdot |\vec{BD}|$ berechnet werden kann. [3 BE]

c)

Ein Kreis berührt jede der vier Seiten der Raute $ABCD$. Begründen Sie, dass $P(4|1{,}6|-1{,}2)$ einer der Berührpunkte ist. [5 BE]