Abitur Berlin Mathematik 2018 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck $ABCD$ mit $A(0|0|0)$, $B(0|6|0)$, $C(-4|14|4)$ und $D(-4|8|4)$ gegeben.

a)

Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ein Parallelogramm ist, und zeichnen Sie es in die Abbildung ein. [3 BE]

b)

Die Ebene, die parallel zur xy-Ebene ist und durch den Punkt $(0|0|1)$ verläuft, schneidet das Viereck $ABCD$ in einer Strecke. Bestimmen Sie für einen der beiden Endpunkte dieser Strecke die zugehörigen Koordinaten. [2 BE]

c)

Auf der Gerade $AD$ soll ein Punkt $G$ so festgelegt werden, dass die Strecke $\overline{CG}$ zur Gerade $AD$ senkrecht steht. Berechnen Sie die Koordinaten von $G$. [4 BE]

Indisches Springkraut ist eine Zierpflanze, die Anfang des 19. Jahrhunderts in Mitteleuropa eingeführt wurde. In einem Modell werden Zustände einer Population Indischen Springkrauts in einem abgeschlossenen Gebiet durch Vektoren $\begin{pmatrix} S \\ P \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $S$ die Anzahl der Samen und $P$ die Anzahl der Pflanzen bezeichnet. Die Entwicklung der Population vollzieht sich in zwei Schritten:

• Im ersten Schritt von Frühjahrsbeginn bis Herbstbeginn entsteht aus einem durch $\vec{u}$ beschriebenen Zustand der durch $F \cdot \vec{u}$ dargestellte Zustand. Dabei ist $F = \begin{pmatrix} f_1 & f_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ mit $f_1, f_2 \in \mathbb{R}$.

• Im zweiten Schritt entsteht von Herbstbeginn bis zum Beginn des folgenden Frühjahrs aus einem durch $\vec{v}$ beschriebenen Zustand der durch $H \cdot \vec{v}$ dargestellte Zustand mit $H = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0 \\ 0{,}01 & 0 \end{pmatrix}$.

Insgesamt entwickelt sich von einem Frühjahrsbeginn zum nächsten aus einem durch $\vec{u}$ beschriebenen Zustand der durch $J \cdot \vec{u}$ dargestellte Zustand mit $J = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 150 \\ 0{,}01 & 5 \end{pmatrix}$.

a)

Bestimmen Sie die passenden Werte von $f_1$ und $f_2$.

b)

Zu Beginn eines Frühjahrs sind 1000 Samen, aber keine Pflanzen vorhanden. Berechnen Sie für den Beginn des nächsten und für den Beginn des übernächsten Frühjahrs jeweils die Anzahl der Samen und die Anzahl der Pflanzen.

c)

Zu Beginn eines Frühjahrs sind sowohl Samen als auch Pflanzen vorhanden. Untersuchen Sie, ob es im Modell möglich ist, dass sich die Anzahl der Pflanzen zum nächsten Frühjahrsbeginn nicht verändert.

d)

Zu Beginn eines Frühjahrs soll ein bestimmter Anteil der Pflanzen der Population entfernt werden, um zu erreichen, dass der Zustand der Population zu Beginn des nächsten Frühjahrs mit demjenigen unmittelbar vor dem Entfernen der Pflanzen übereinstimmt. Bestimmen Sie den Anteil der zu entfernenden Pflanzen in Prozent.

%