Abitur Berlin Mathematik 2018 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(1|1|-1)$, $B(3|-5|2)$ und $C$. Für die Ortsvektoren von $A$ und $C$ gilt $\vec{OC} = 2 \cdot \vec{OA}$.

a

Bestimmen Sie die Länge der Strecke $\overline{\text{AC}}$.

Gegeben sind die Punkte $A(1|1|-1)$, $B(3|-5|2)$ und $C$. Für die Ortsvektoren von $A$ und $C$ gilt $\vec{OC} = 2 \cdot \vec{OA}$.

b

Begründen Sie, dass es genau eine Ebene gibt, die A, B und C sowie den Koordinatenursprung enthält.

Gegeben sind die Punkte $A(1|1|-1)$, $B(3|-5|2)$ und $C$. Für die Ortsvektoren von $A$ und $C$ gilt $\vec{OC} = 2 \cdot \vec{OA}$.

Die Punkte $A(3|-2|1)$, $B(2|1|1)$ und $C(0|-0{,}5|1)$ sind die Eckpunkte der Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze $S(1|-1{,}5|5)$.

a

Begründen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide parallel zur $x_1x_2$-Ebene ist. Geben Sie die Höhe der Pyramide an. [2 BE]

b

Verschiebt man die Punkte $A$ und $B$ parallel zur $x_3$-Achse in die $x_1x_2$-Ebene, so ergeben sich die Punkte $A'$ bzw. $B'$, die in der Abbildung dargestellt sind.

Entscheiden Sie mithilfe geeigneter Ergänzung der Abbildung, ob der Fußpunkt der Höhe der Pyramide $ABCS$ innerhalb oder außerhalb ihrer Grundfläche liegt. [3 BE]

1 Aufgabe

Für jeden Wert von $t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ bilden die Punkte $A(7|3|0)$, $B(5|3|4)$ und $C_t(5+2t|3|4+t)$ ein Dreieck.

a

Zeigen Sie, dass jedes dieser Dreiecke bei $B$ einen rechten Winkel hat.

[2 BE]

b

Bestimmen Sie alle Werte von $t$, für die im jeweiligen Dreieck $ABC_t$ zwei Innenwinkel gleich groß sind.

[3 BE]