Abitur Berlin Mathematik 2017 · LK · Teil B · Stochastik (WTR)

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %, eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %.

Ein Gemüseanbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon 65 % der Qualitätsstufe A. Alle gekauften Samenkörner werden gesät.

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 BE]

b

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten keimenden Samenkorn um ein Samenkorn der Qualitätsstufe B handelt. [3 BE]

e

Der Preis pro Samenkorn beträgt für die Qualitätsstufe A 17 Cent und für die Qualitätsstufe B 12 Cent. Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Gurkenpflanze heran. Dabei besteht das Risiko, dass die Pflanze aufgrund von Wettereinflüssen oder Schädlingen keine Früchte trägt. Dieses Risiko beträgt für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe A 15 % und für alle gekeimten Samenkörner der Qualitätsstufe B 25 %. Die Anzahl der Gurken, die pro fruchttragender Pflanze im Mittel geerntet werden können, ist unabhängig von der Qualitätsstufe der Samenkörner. Der Anbaubetrieb verkauft alle geernteten Gurken zum gleichen Preis. Prüfen Sie, ob es für den Anbaubetrieb finanziell sinnvoll wäre, sich auf Samenkörner der Qualitätsstufe B zu beschränken. [6 BE]

Ja

Nein

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %, eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %.

Ein Gemüseanbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon 65 % der Qualitätsstufe A. Alle gekauften Samenkörner werden gesät.

c

Bestimmen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$E$: „Von $200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B keimen genau $140$.“

$F$: „Von $200$ gesäten Samenkörnern der Qualitätsstufe B keimen mehr als $130$ und weniger als $150$.“

d

Beschreiben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang:

$$1 - \left( \sum_{i=0}^{120} \binom{200}{i} \cdot 0{,}7^i \cdot 0{,}3^{200-i} + \sum_{i=160}^{200} \binom{200}{i} \cdot 0{,}7^i \cdot 0{,}3^{200-i} \right)$$

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualitätsstufe A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 %, eines der Qualitätsstufe B mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %.

Ein Gemüseanbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, davon 65 % der Qualitätsstufe A. Alle gekauften Samenkörner werden gesät.

f

Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B durch eine Weiterentwicklung auf mehr als 70 % erhöht habe. Deshalb soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualitätsstufe B ist höchstens 70 %.“ auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Dazu werden nach der Weiterentwicklung 100 Samenkörner der Qualitätsstufe B gesät. Bestimmen Sie die Entscheidungsregel des Tests. [5 BE]

g

Für eine Qualitätsstufe C wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns 60 % beträgt. Es werden 50 Samenkörner gesät; davon keimen 27.

Eine Wahrscheinlichkeit von 60 % ist bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % mit der angegebenen Anzahl keimender Samenkörner verträglich, wenn 27 im Intervall $[\mu - 1{,}96\sigma; \mu + 1{,}96\sigma]$ liegt. Dabei ist $\mu$ der Erwartungswert und $\sigma$ die Standardabweichung einer $B_{50;0{,}6}$-verteilten Zufallsgröße.

Untersuchen Sie, ob die vermutete Wahrscheinlichkeit von 60 % bei der angegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit damit verträglich ist, dass 27 Samenkörner keimen. [3 BE]