Abitur Berlin Mathematik 2017 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Wölfe leben im Rudelverband. Ein Rudel besteht aus einem Elternpaar, das das Rudel führt, und dessen Nachkommen.

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population der weiblichen Tiere eines Wolfsbestands in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Im ersten Lebensjahr werden die Tiere als Welpen und im zweiten als Jungtiere bezeichnet. Ab dem dritten Lebensjahr sind die Tiere geschlechtsreif und werden Rudelführerinnen. Jede Rudelführerin bringt pro Jahr durchschnittlich drei weibliche Welpen zur Welt.

In einem Modell werden Zusammensetzungen der Population der weiblichen Wölfe durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} W \\ J \\ R \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $W$ die Anzahl der Welpen, $J$ die Anzahl der Jungtiere und $R$ die Anzahl der Rudelführerinnen bezeichnet. Zu Beginn der Beobachtung wird die Zusammensetzung der Population durch den Vektor $\vec{v}_0$ dargestellt.

Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten lässt sich durch die Matrix $L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0{,}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}7 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = L \cdot \vec{v}_n$ beschreiben.

a)

Stellen Sie die Entwicklung der Population in einem Übergangsdiagramm dar.

b)

Nennen Sie den Eintrag der Matrix $L$, der die Überlebensrate der Welpen angibt. Beschreiben Sie, wie sich dieser Eintrag bei einer Erhöhung der Sterblichkeitsrate der Welpen ändern würde.

c)

Zu Beobachtungsbeginn gehören zur Population 39 Rudelführerinnen, ein Jahr später sind es bereits 55. Bestimmen Sie die Anzahl der Jungtiere zu Beobachtungsbeginn.

Zwei Jahre nach Beobachtungsbeginn ändern sich die Umweltbedingungen und damit die Entwicklung der Population. Die Entwicklung kann von diesem Zeitpunkt an im Zwei-Jahres-Rhythmus, d. h. von einem Jahr zum übernächsten, durch die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3{,}75 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0{,}24 & 0{,}45 & 0{,}56 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+2} = M \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden. Sechs Jahre nach Beobachtungsbeginn wird die Zusammensetzung der Population durch den Vektor $\vec{v}_6 = \begin{pmatrix} 600 \\ 173 \\ 165 \end{pmatrix}$ dargestellt.

d)

Ermitteln Sie die Anzahl der Welpen, Jungtiere und Rudelführerinnen vier Jahre nach Beobachtungsbeginn.

e)

Bestimmen Sie die Anzahl der Welpen, Jungtiere und Rudelführerinnen acht Jahre nach Beobachtungsbeginn.

f)

Die Vektoren $\vec{v}_{10} \approx \begin{pmatrix} 2168 \\ 629 \\ 598 \end{pmatrix}$ und $\vec{v}_{12} \approx \begin{pmatrix} 4126 \\ 1195 \\ 1138 \end{pmatrix}$ stellen die Zusammensetzungen der Population zehn bzw. zwölf Jahre nach Beobachtungsbeginn dar. Aus diesen Vektoren soll ein Faktor ermittelt werden, mit dem die Anzahl der Welpen, Jungtiere und Rudelführerinnen von einem Jahr zum nächsten zunimmt. Zeigen Sie rechnerisch, dass dieser Faktor für jede der drei Altersgruppen etwa 1,38 beträgt.

g)

Beurteilen Sie die Beschreibung der Entwicklung der Population durch die Matrix $M$ hinsichtlich ihrer Eignung zur langfristigen Beschreibung der Entwicklung der Population.

Gegeben ist die Matrix $$N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0{,}25 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$$ sowie Vektoren $$\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$$.

a)

Zeigen Sie, dass es keinen Vektor $\vec{u} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ gibt, für den $N \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ gilt.

b)

Für einen Vektor $\vec{u}$ gilt $|\vec{u}|^2 = 1800$. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung $N \cdot \vec{u} = \vec{u}$.

$\vec{u}_1$: $($ | | $)^T$

$\vec{u}_2$: $($ | | $)^T$