Abitur Bayern Mathematik 2019 · GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

1 Aufgabe

Bei einer Insektenart sind drei Lebensstadien zu unterscheiden: aus einem Ei entwickelt sich über ein Larvenstadium ein ausgewachsenes Insekt. Die Entwicklung einer Population dieser Art von einer Woche $n$ zur nächsten lässt sich modellhaft durch eine Gleichung beschreiben:

$$\vec{v}_{n+1} = A \cdot \vec{v}_n \quad \text{mit} \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0{,}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}$$ Dabei hat der Vektor $\vec{v}_n$ die Form $\begin{pmatrix} E \\ L \\ I \end{pmatrix}$, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven und $I$ die Anzahl der ausgewachsenen Insekten angibt.

In einem Raum befinden sich zu Beobachtungsbeginn 11600 Eier, 1880 Larven und 240 ausgewachsene Insekten. Zwei Wochen nach Beobachtungsbeginn wird die Zusammensetzung der Population durch $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 24800 \\ 1200 \\ 480 \end{pmatrix}$ dargestellt, zwei weitere Wochen später durch $\vec{v}_4 = \begin{pmatrix} 24000 \\ 2400 \\ 736 \end{pmatrix}$.

a

Vervollständigen Sie das abgebildete Übergangsdiagramm.

b

Der Abbildung 2 kann für bestimmte Zeitpunkte nach Beobachtungsbeginn jeweils die Anzahl der ausgewachsenen Insekten entnommen werden. Ergänzen Sie die zwei fehlenden Kreuze (für Woche 2 und Woche 5).

Woche 2:

Woche 5:

c

Beschreiben Sie, wie man im Modell für einen vorgegebenen Zeitraum prüfen kann, ob sich die Anzahl der ausgewachsenen Insekten in Abständen von jeweils drei Wochen exponentiell entwickelt.

g

Der erste Eingriff führt dazu, dass die ausgewachsenen Insekten von einer Woche zur nächsten nicht überleben. Untersuchen Sie, ob dadurch die Gesamtzahl der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten nach oben beschränkt werden kann, wenn die Population zu Beginn aus 11600 Eiern, 1880 Larven und 240 ausgewachsenen Insekten besteht.

h

Interpretieren Sie die Wirkung des zweiten Eingriffs im Sachzusammenhang.

i

Zeigen Sie, dass sich in der Entwicklung der Population nach dem zweiten Eingriff nicht jede Zusammensetzung mit 500 Eiern ergeben kann.

1 Aufgabe

Bei einer Insektenart sind drei Lebensstadien zu unterscheiden: aus einem Ei entwickelt sich über ein Larvenstadium ein ausgewachsenes Insekt. Die Entwicklung einer Population dieser Art von einer Woche $n$ zur nächsten lässt sich modellhaft durch eine Gleichung beschreiben:

$$\vec{v}_{n+1} = A \cdot \vec{v}_n \quad \text{mit} \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0{,}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}$$ Dabei hat der Vektor $\vec{v}_n$ die Form $\begin{pmatrix} E \\ L \\ I \end{pmatrix}$, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven und $I$ die Anzahl der ausgewachsenen Insekten angibt.

In einem Raum befinden sich zu Beobachtungsbeginn 11600 Eier, 1880 Larven und 240 ausgewachsene Insekten. Zwei Wochen nach Beobachtungsbeginn wird die Zusammensetzung der Population durch $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 24800 \\ 1200 \\ 480 \end{pmatrix}$ dargestellt, zwei weitere Wochen später durch $\vec{v}_4 = \begin{pmatrix} 24000 \\ 2400 \\ 736 \end{pmatrix}$.

Die Vektoren, die die Zusammensetzungen einer Population der beschriebenen Insektenart darstellen, lassen sich auch geometrisch auffassen.

d)

Berechnen Sie für die betrachtete Population die Größe des Winkels zwischen $\vec{v_2}$ und $\vec{v_4}$.

[2 BE]

e)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

„Wenn zwei Vektoren $\vec{v_n}$ und $\vec{v_m}$, deren Komponenten ungleich null sind, einen Winkel der Größe $0^\circ$ einschließen, dann stimmen die Verhältnisse der Anzahlen der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten in den beiden Populationen überein.“

[2 BE]

f)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage falsch ist:

„Je größer der Betrag eines Vektors $\vec{v_n}$ ist, desto größer ist die Summe der Anzahlen der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten in der Population.“

[2 BE]