Abitur Bayern Mathematik 2019 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Die Abbildung zeigt den Würfel $ABCDEFGH$ mit $G(5|5|5)$ und $H(0|5|5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Punkte $I(5|0|1)$, $J(2|5|0)$, $K(0|5|2)$ und $L(1|0|5)$ liegen jeweils auf einer Kante des Würfels.

a)

Zeichnen Sie das Viereck IJKL in die Abbildung ein.

[2 BE]

b)

Zeigen Sie, dass das Viereck IJKL ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Weisen Sie nach, dass die Seite $\overline{IL}$ des Trapezes doppelt so lang ist wie die Seite $\overline{JK}$.

[4 BE]

c)

Berechnen Sie die Größe eines Innenwinkels des Trapezes IJKL.

[2 BE]

d)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes IJKL.

[4 BE]

Die Abbildung zeigt den Würfel $ABCDEFGH$ mit $G(5|5|5)$ und $H(0|5|5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Punkte $I(5|0|1)$, $J(2|5|0)$, $K(0|5|2)$ und $L(1|0|5)$ liegen jeweils auf einer Kante des Würfels.

e

Gegeben ist die Ebene $S: 5x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 0$. Der Punkt $K$ liegt in einer Ebene $T$, die parallel zu $S$ ist. Untersuchen Sie, ob auch der Punkt $L$ in $T$ liegt.

Ja

Nein

f

Für einen Wert von $r$ schneidet die Gerade

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4-r \\ 0 \\ r^2+1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{mit } u \in \mathbb{R}$$

die Kante $\overline{GH}$ des Würfels. Bestimmen Sie das Verhältnis, in dem der Schnittpunkt die Kante teilt.

Ein Haus kann modellhaft durch den abgebildeten Körper $ABCDIJKL$ dargestellt werden. Das Dachgeschoss des Hauses entspricht dabei dem Prisma $EFGHIJKL$; der Teilkörper $ABCDEFGH$ ist ein Quader. Der Teil der Fassade des Hauses, der durch das Viereck $IEHL$ dargestellt wird, ist vollständig verglast; weitere Fenster hat das Dachgeschoss nicht.

Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $G(10|6|10)$, $H(0|6|10)$, $K(10|6|10{,}5)$ und $L(0|6|13)$ gegeben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

a)

Berechnen Sie das Volumen des Hauses.

Zur Gestaltung der Außenwände des Hauses werden verschiedene Farben zum Mischen gekauft. Die Einträge des Vektors $\vec{m} = \begin{pmatrix} w \\ r \\ g \\ b \end{pmatrix}$ geben jeweils in Liter die Menge der weißen, roten, grünen und blauen Farbe an, die Einträge des Vektors $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2{,}50 \\ 3{,}40 \\ 3{,}50 \\ 3{,}20 \end{pmatrix}$ in entsprechender Reihenfolge jeweils den Preis für einen Liter Farbe in Euro.

d)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms $\vec{m} \circ \vec{p}$ im Sachzusammenhang.

e)

Es gilt $\vec{m} \circ \vec{p} = 250$. Es wurde genau so viel Farbe gekauft, dass die weiße, rote, grüne und blaue Farbe im Verhältnis $12: 1: 2: 3$ gemischt werden können. Berechnen Sie für jede Farbe die gekaufte Menge.

f)

Gemäß der Verordnung zur Berechnung der Wohnfläche werden die Grundflächen von Raumteilen, die höchstens einen Meter hoch sind, nicht angerechnet. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Bodenfläche des Dachgeschosses, für den diese Regelung gilt.

%

Ein Haus kann modellhaft durch den abgebildeten Körper $ABCDIJKL$ dargestellt werden. Das Dachgeschoss des Hauses entspricht dabei dem Prisma $EFGHIJKL$; der Teilkörper $ABCDEFGH$ ist ein Quader. Der Teil der Fassade des Hauses, der durch das Viereck $IEHL$ dargestellt wird, ist vollständig verglast; weitere Fenster hat das Dachgeschoss nicht.

Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $G(10|6|10)$, $H(0|6|10)$, $K(10|6|10{,}5)$ und $L(0|6|13)$ gegeben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

b)

Geben Sie eine Gleichung der Symmetrieebene des Körpers ABCDIJKL an. Zeichnen Sie in die Abbildung die Seiten der Figur ein, in der diese Ebene den Körper schneidet.

c)

Untersuchen Sie für jede der beiden Ebenen $S: 3x - 5y = 0$ und $T: 3x + 5y = 0$, ob sie durch das Innere des Körpers ABCDIJKL verläuft.

Ja

Nein

Nein

Ja

g)

Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt durch den verglasten Teil der Fassade in das Dachgeschoss einfällt, kann im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Einer der Eckpunkte des von der Sonne beschienenen Flächenstücks auf der Bodenfläche des Dachgeschosses liegt nicht am Rand der Bodenfläche. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der diesen Eckpunkt im Modell darstellt. Zeichnen Sie in die Abbildung alle von der Sonne beschienenen Flächenstücke im Dachgeschoss ein.

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