Abitur Bayern Mathematik 2018 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$. $G_f$ schneidet die x-Achse bei $x = 0$, $x = 5$ und $x = 10$ und verläuft durch den Punkt $(1|2)$.

a)

Ermitteln Sie einen Funktionsterm von $f$.

(zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{18}\cdot (x^3 - 15x^2 + 50x)$)

$a =$

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$. $G_f$ schneidet die x-Achse bei $x = 0$, $x = 5$ und $x = 10$ und verläuft durch den Punkt $(1|2)$.

b)

Zeigen Sie, dass $G_f$ im Punkt $W(5|0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$.

$f''(5) =$

$f'''(5) =$

$m =$

$t =$

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$. $G_f$ schneidet die x-Achse bei $x = 0$, $x = 5$ und $x = 10$ und verläuft durch den Punkt $(1|2)$.

c)

$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{18}\cdot (x^3 - 25x)$ durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Geben Sie an, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion $g$, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

Einheiten

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$. $G_f$ schneidet die x-Achse bei $x = 0$, $x = 5$ und $x = 10$ und verläuft durch den Punkt $(1|2)$.

Im Folgenden wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_1$ mit $F_1(x) = \int_1^x f(t)\,\mathrm{d}t$ betrachtet.

d)

$F_1$ hat für $0 \le x \le 10$ zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

Erste Nullstelle $x_1 =$ Zweite Nullstelle $x_2 =$

e)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass $F_1$ mindestens eine weitere positive Nullstelle hat. [2 BE]

f)

Begründen Sie, dass $F_1$ höchstens vier Nullstellen hat. [2 BE]

Für $0 \le x \le 5$ gilt, dass der Graph von $f$ und der Graph einer trigonometrischen Funktion $h$ die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse besitzen;

beide nicht unterhalb der $x$-Achse verlaufen;

jeweils mit der $x$-Achse eine Fläche des Inhalts $\frac{625}{72}$ einschließen.

g)

Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion $h$. [6 BE]

h)

Begründen Sie, dass die Graphen von $f$ und $h$ für $0 < x < 5$ mindestens einen gemeinsamen Punkt haben. [3 BE]

2 Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K: x \mapsto x^3 - 12x^2 + 50x + 20$ mit $x \in [0; 9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $K$.

a

Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125\,000$ Euro betragen.

m³

b

Geben Sie das Monotonieverhalten von $K$ an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.

Die Funktion $E$ mit $E(x) = 23x$ gibt für $0 \leq x \leq 9$ den Erlös (in $1000$ Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x) = E(x) - K(x)$. Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

c

Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

d

Zeichnen Sie den Graphen von $E$ in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.

m³

2 Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K: x \mapsto x^3 - 12x^2 + 50x + 20$ mit $x \in [0; 9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $K$.

e

Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

m³

f

Für jeden Wert von $b$ mit $b \in \mathbb{R}^+$ ist die Funktion $K_b: x \mapsto x^3 - bx^2 + 50x + 20$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Zeigen Sie, dass $K_b$ für $b < \sqrt{150}$ streng monoton wachsend ist.

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{0{,}5x}$ und $x \in [-2; 0]$ beschrieben werden.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

a

Berechnen Sie die Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt näherungsweise als Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten.

b

Berechnen Sie den horizontalen Abstand der Kugel von der Ruhelage, wenn sie sich in der Hand der Athletin $1{,}50\text{ m}$ über dem Boden befindet.

c

Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die fünf Stellen werden im Modell durch die x-Werte $x_1$ bis $x_5$ dargestellt, die gemessenen Höhen werden mit $h_1$ bis $h_5$ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Wenn der Wert des Terms $\sum\limits_{i=1}^5 (h_i - f(x_i))$ klein ist, dann werden die gemessenen Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben.

Der Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ mit $s > 0$ lässt sich durch die Gleichung $a = \frac{0{,}8}{s} + \frac{2}{s^2}$ darstellen.

i

Leiten Sie diese Gleichung her.

k

Abbildung 2 stellt den Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ graphisch dar. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Unterscheiden sich die Weiten zweier Stöße um $2\text{ m}$, so ist der zur größeren Weite gehörende Wert von $a$ halb so groß wie der zur kleineren Weite gehörende.

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{0{,}5x}$ und $x \in [-2; 0]$ beschrieben werden.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

d)

Ermitteln Sie den Wert von $b$.

e)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $a$, für den der Graph von $p_a$ durch den Punkt $(3 \mid 3{,}5)$ verläuft.

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{0{,}5x}$ und $x \in [-2; 0]$ beschrieben werden.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

f)

Bei der Flugkurve zu $a = 0{,}1$ beträgt die Stoßweite $10\text{ m}$. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf den Boden auftrifft.

g)

Zeigen Sie, dass $\left(\frac{0{,}4}{a} \;\middle|\; 2 + \frac{0{,}16}{a}\right)$ Hochpunkt des Graphen von $p_a$ ist.

h)

Es gibt eine Gerade, auf der die Hochpunkte aller Graphen von $p_a$ liegen. Berechnen Sie die Steigung dieser Gerade.

j)

Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite $20\text{ m}$. Berechnen Sie die Höhe der Flugkurve.

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{0{,}5x}$ und $x \in [-2; 0]$ beschrieben werden.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

Der Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ mit $s > 0$ lässt sich durch die Gleichung $a = \frac{0{,}8}{s} + \frac{2}{s^2}$ darstellen. Abbildung 2 stellt diesen Zusammenhang graphisch dar:

l)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 die beiden Parallelen zur $s$-Achse ein, die durch die Punkte des Graphen mit den $s$-Koordinaten 2 bzw. 10 verlaufen. Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der $a$-Achse und den beiden eingezeichneten Parallelen einschließt.

Aufgabe 2

Auf dem Boden eines Behälters liegt eine Kugel. Abbildung 3 zeigt – um $90^\circ$ gedreht – einen Querschnitt dieses Behälters und der Kugel. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ cm}$, d. h. die Kugel hat einen Durchmesser von $10\text{ cm}$.

Die Seitenwand des Behälters lässt sich modellhaft durch Rotation des Graphen der Funktion $q$ mit $q(x) = \sqrt{5x + 40}$ und $x \in [0; 13]$ um die x-Achse beschreiben.

Der Behälter ist zum großen Teil mit Wasser gefüllt. Die Kugel befindet sich vollständig unterhalb der Wasseroberfläche.

a)

Zeigen Sie, dass sich im Behälter mehr als $1500\text{ cm}^3$ Wasser befinden. [5 BE]

$\text{cm}^3$

b)

In den Behälter werden zusätzliche $300\text{ cm}^3$ Wasser gefüllt. Die Füllhöhe über dem Boden steigt dadurch um $1\text{ cm}$. Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Füllhöhe vor dem Einfüllen der $300\text{ cm}^3$ Wasser berechnen lässt. [3 BE]