Abitur Bayern Mathematik 2018 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Die Position einer Bohrplattform im Meer kann in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft durch den Punkt $P(8 \mid 43{,}2 \mid 0)$ dargestellt werden. Die xy-Ebene beschreibt die Wasseroberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität.

Die Besatzungen eines Boots und eines Hubschraubers werden gleichzeitig beauftragt, die Besatzung der Plattform in einer Notsituation zu unterstützen. Zum Zeitpunkt des Auftrags wird die Position des Boots durch den Punkt $B(13 \mid 31{,}2 \mid 0)$ dargestellt. Unmittelbar anschließend fährt es geradlinig mit der Geschwindigkeit $52\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in Richtung der Plattform.

Die Position des Hubschraubers kann vom Zeitpunkt des Auftrags bis zum Beginn seiner Landephase durch die Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}3 \\ 0{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 48 \\ 286 \\ 0 \end{pmatrix}$$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden, die seit dem Auftrag vergangen ist. Die Landephase beginnt im Modell im Punkt $H_L(7{,}76 \mid 41{,}77 \mid 0{,}25)$.

a

Veranschaulichen Sie die Positionen der Plattform, des Boots und des Hubschraubers zum Zeitpunkt des Auftrags – unter Vernachlässigung der Flughöhe des Hubschraubers – in der xy-Ebene.

b

Begründen Sie, dass der Hubschrauber bis zur Landephase parallel zur Wasseroberfläche fliegt, und geben Sie seine Flughöhe über der Wasseroberfläche an.

c

Begründen Sie, dass die Position des Boots vom Zeitpunkt des Auftrags bis zum Erreichen der Plattform durch die Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 13 \\ 31{,}2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -20 \\ 48 \\ 0 \end{pmatrix}$$

beschrieben wird, wobei $t$ die seit dem Auftrag vergangene Zeit in Stunden ist.

d

Ermitteln Sie, wie viel Zeit vom Zeitpunkt des Auftrags an vergeht, bis das Boot die Plattform erreicht.

g

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform, in der sich der Hubschrauber vom Auftrag bis zur Landung im Modell bewegt.

Die Position einer Bohrplattform im Meer kann in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft durch den Punkt $P(8 \mid 43{,}2 \mid 0)$ dargestellt werden. Die xy-Ebene beschreibt die Wasseroberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität.

Die Besatzungen eines Boots und eines Hubschraubers werden gleichzeitig beauftragt, die Besatzung der Plattform in einer Notsituation zu unterstützen. Zum Zeitpunkt des Auftrags wird die Position des Boots durch den Punkt $B(13 \mid 31{,}2 \mid 0)$ dargestellt. Unmittelbar anschließend fährt es geradlinig mit der Geschwindigkeit $52\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in Richtung der Plattform.

Die Position des Hubschraubers kann vom Zeitpunkt des Auftrags bis zum Beginn seiner Landephase durch die Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}3 \\ 0{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 48 \\ 286 \\ 0 \end{pmatrix}$$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden, die seit dem Auftrag vergangen ist. Die Landephase beginnt im Modell im Punkt $H_L(7{,}76 \mid 41{,}77 \mid 0{,}25)$.

e

Betrachtet wird die Funktion $e$ mit

$$e(t) = \left| \begin{pmatrix} 0{,}8 \\ 0{,}3 \\ 0{,}25 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 13 \\ 31{,}2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 48 \\ 286 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -20 \\ 48 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \right| \quad \text{und} \quad 0 < t < 0{,}145.$$

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $t$, für den $e$ seinen kleinsten Wert annimmt, und beschreiben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang.

f

Der Hubschrauber bewegt sich während seiner Landephase mit verringerter Geschwindigkeit geradlinig auf die horizontale Landefläche der Plattform zu, die im Modell durch den Punkt $L(8 \mid 43{,}2 \mid 0{,}06)$ dargestellt wird. Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn während der Landephase gegenüber der Horizontalen.

°

Vor einer Hauswand ist ein rechteckiges Reklameschild angebracht, das durch einen Scheinwerfer beleuchtet wird. Der Scheinwerfer lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft durch den Punkt $L(12|-4|3)$ beschreiben. Die Eckpunkte des Schilds werden durch die Punkte $A(4|0|3)$, $B(6|4|3)$, $C(6|4|5)$ und $D(4|0|5)$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt den horizontalen Untergrund, auf dem das Haus steht, die $yz$-Ebene die Ebene, in der die Hauswand liegt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Auf der Hauswand ist der Schatten des Schilds sichtbar. Der Punkt $A'(0|2|3)$ stellt den zu $A$ gehörenden Eckpunkt des Schattens dar, die Punkte $C'(0|12|7)$ und $D'(0|2|6)$ die zu $C$ bzw. $D$ gehörenden Eckpunkte.

Der Scheinwerfer kann entlang einer vertikal verlaufenden Stange in der Höhe verschoben werden; dabei liegt der Schatten des Schilds stets vollständig auf der Hauswand. Für jede der beiden Kanten des Schattens, die durch die linke und rechte Kante des Schilds erzeugt werden, gelten folgende Aussagen:

Die Kante verläuft für alle Positionen des Scheinwerfers entlang derselben vertikalen Gerade.

Die Länge der Kante bleibt bei Verschiebung des Scheinwerfers unverändert.

a

Zeichnen Sie das Rechteck ABCD sowie den Punkt L in die Abbildung ein.

b

Weisen Sie nach, dass der vierte Eckpunkt des Schattens durch $B'(0|12|3)$ dargestellt wird.

c

Ergänzen Sie das zum Schatten gehörende Viereck in Ihrer Zeichnung zu Teilaufgabe a und begründen Sie, dass die untere Kante des Schattens horizontal verläuft.

Vor einer Hauswand ist ein rechteckiges Reklameschild angebracht, das durch einen Scheinwerfer beleuchtet wird. Der Scheinwerfer lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft durch den Punkt $L(12|-4|3)$ beschreiben. Die Eckpunkte des Schilds werden durch die Punkte $A(4|0|3)$, $B(6|4|3)$, $C(6|4|5)$ und $D(4|0|5)$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt den horizontalen Untergrund, auf dem das Haus steht, die $yz$-Ebene die Ebene, in der die Hauswand liegt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Auf der Hauswand ist der Schatten des Schilds sichtbar. Der Punkt $A'(0|2|3)$ stellt den zu $A$ gehörenden Eckpunkt des Schattens dar, die Punkte $C'(0|12|7)$ und $D'(0|2|6)$ die zu $C$ bzw. $D$ gehörenden Eckpunkte.

Der Scheinwerfer kann entlang einer vertikal verlaufenden Stange in der Höhe verschoben werden; dabei liegt der Schatten des Schilds stets vollständig auf der Hauswand. Für jede der beiden Kanten des Schattens, die durch die linke und rechte Kante des Schilds erzeugt werden, gelten folgende Aussagen:

Die Kante verläuft für alle Positionen des Scheinwerfers entlang derselben vertikalen Gerade.

Die Länge der Kante bleibt bei Verschiebung des Scheinwerfers unverändert.

d

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Schattens.

e

Berechnen Sie die Größe des größten Innenwinkels des Schattens.

f

Weisen Sie die Gültigkeit der Aussage II für eine der beiden betrachteten Kanten des Schattens rechnerisch nach.

g

Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Schattens bei Verschiebung des Scheinwerfers nicht verändert.