Teoría de Errores en las Mediciones Físicas

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Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 1 TEORÍA DE ERRORES EN LAS MEDICIÓNES FÍSICAS 2020 Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 2 Contenido 1. Magnitud:............................................................................................................4 1.1. Magnitudes cuantitativas:.............................................................................4 1.1.1.

Magnitudes cuantitativas continúas: .........................................................5 1.1.2. Magnitudes cuantitativas discretas: ..........................................................5 1.2. Magnitudes cualitativas:...............................................................................5 1.2.1. Magnitudes cualitativas por atributos:.......................................................5 1.2.2. Magnitudes cualitativas ordinales: ............................................................6 2. Magnitud física:...................................................................................................6 3.

Medición: ............................................................................................................6 3.1. Medición directa: ..........................................................................................7 3.2. Medición indirecta: .......................................................................................7 4. Valor medio o promedio:.....................................................................................7 5. Mediana..............................................................................................................8 6.

Población y muestra ...........................................................................................8 7. Desvío estándar muestral...................................................................................8 8. Desviación media ...............................................................................................9 9. Rechazo de valores ............................................................................................9 10. Error: .............................................................................................................10 11. Causas de errores.........................................................................................13 12.

Exactitud y Precisión .....................................................................................14 13. Tipos de errores ............................................................................................16 13.1. Error de apreciación de un instrumento..................................................16 13.2. Errores Casuales ....................................................................................20 13.2.1. Modelo de Gauss – Para grandes muestras .......................................20 13.2.2. Modelo de Student...............................................................................24 13.3.

Errores Sistemáticos...............................................................................27 14. Resumen errores:..........................................................................................28 15. Propagación de errores en las mediciones indirectas: ..................................28 15.1. Varianza..................................................................................................29 15.2. Propagación de Errores propiamente dicha............................................30 16. Error relativo y error relativo porcentual: .......................................................32 16.1.

Errores relativos en las mediciones directas...........................................32 Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 3 16.2. Errores relativos en las mediciones indirectas........................................32 17. Coeficiente de variación y coeficiente de variación porcentual: ....................33 18.

Bibliografía:....................................................................................................34 Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 4 1. Magnitud: Una magnitud es toda característica de una cosa o elemento que puede ser observada, ya sea por los sentidos o valiéndose de instrumentos. Ej.: la longitud, el peso, la belleza, la bondad, el sexo, el conteo de glóbulos rojos, el inventario de libros de una biblioteca, etc. Las magnitudes así definidas podrán subdividirse en: Figura 1: Clasificación de magnitudes 1.1.

Magnitudes cuantitativas: Son aquellas magnitudes cuya relación con el valor de referencia o patrón es una cantidad numérica. Magnitudes cuantitativas son la longitud, la temperatura, el peso, la densidad, el área, el volumen, la intensidad de corriente, los censos, los inventarios, etc. Magnitudes Cuantitativas Contínuas Discretas Cualitativas Atributos Ordinales Si un industrial dice que un caño de acero tiene una masa de 1 kg y que otro caño tiene una masa de 2 kg, significa que la masa del primer caño es la mitad de la masa del segundo y que el primer caño tiene una masa igual al kilogramo patrón, mientras que el segundo tiene una masa igual al doble del kilogramo patrón.

Si un estudio estadístico de los ingresantes a las carreras de ingeniería de la facultad da como resultado que ingresaron 30 hombres y 90 mujeres, podemos decir que ingresaron el triple de mujeres que hombres. Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 5 1.1.1. Magnitudes cuantitativas continúas: Son aquellas magnitudes cuantitativas cuya relación numérica con el patrón puede ser cualquiera. La relación puede tomar cualquier número real. Ej.: la longitud, la temperatura, el peso, la densidad, el área, el volumen, la intensidad de corriente, etc. 1.1.2.

Magnitudes cuantitativas discretas: Son aquellas magnitudes cuantitativas cuya relación numérica con el patrón puede adoptar algunos valores, mientras otros le son vedados, como en el caso de los inventarios, los conteos, donde esa relación numérica solo puede ser un número entero y positivo. Ej.: recuento de plaquetas, número de hijos de una familia, inventario de libros de una biblioteca, censo poblacional, número de dientes, edad, etc. 1.2. Magnitudes cualitativas: Son aquellas magnitudes donde los valores de referencia no son cantidades numéricas y no tiene sentido tampoco imaginar una relación numérica entre ambas.

Ej.: el sexo, el resultado positivo o negativo de un análisis de chagas, la bondad, la belleza, etc. 1.2.1.

Magnitudes cualitativas por atributos: También llamadas dicotómicas, pues son aquellas magnitudes cualitativas cuya medición consiste en determinar la presencia o la ausencia de una característica Si en un concurso de talentos, al ganador se le asigna el número uno y al siguiente en orden de mérito el número dos, esto no significa que el segundo tenga la mitad de talento que el primero, se ve claramente que no tiene sentido imaginarse una relación numérica en este caso, simplemente los concursantes fueron ordenados con criterios puramente subjetivos, y no tiene sentido imaginar la construcción o definición de un talento patrón.

Si al rellenar una planilla de los alumnos de una materia, en una columna debo consignar el sexo, solo tendré dos opciones de llenado M (para masculino) y F (para femenino), no existiendo la posibilidad de una relación numérica, ni de ordenamiento. Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 6 determinada (atributo), lo que implica que solo puede tener dos resultados. Son ejemplos de atributos el sexo, un test de embarazo, el estar sano, el resultado positivo o negativo de cierto análisis clínico, aprobar o no un examen, etc. 1.2.2.

Magnitudes cualitativas ordinales: Son aquellas magnitudes cualitativas cuya medición implica un ordenamiento creciente o decreciente de los datos, de acuerdo a algún criterio generalmente subjetivo. Ej.: la belleza, la bondad, un talento determinado. 2. Magnitud física: Una magnitud física es toda magnitud cuantitativa continua, que consta de patrones definidos y aceptados como tal por la comunidad científica mediante acuerdos internacionales. Son magnitudes físicas, la longitud, la masa, la temperatura, el volumen, etc. 3.

Medición: Según el diccionario de la Real Academia Española, se llama medición al proceso de medir, y medir es comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuantas veces la segunda está contenida en la primera. Otra definición expresa que medir es el proceso de comparar una magnitud cualquiera con otra de su misma especie, aceptada como referencia o patrón, puede verse claramente que la idea de medición es intrínsecamente comparativa. Al medir por ejemplo la longitud de una varilla metálica con una regla milimetrada, comparamos cuantas unidades y fracciones de nuestra regla abarca la varilla en cuestión.

Si digo que una distancia es de 5 metros, significa que equivale a 5 veces la longitud de la unidad metro (patrón), es decir que una regla de un metro podrá ajustarse 5 veces en dicha distancia. Es muy importante al expresar la medición, añadir a la medida, la unidad de medida pues existen otras unidades de longitud (pie, yarda, milímetro, etc.); decir que una distancia es de 5 no tiene sentido alguno, toda magnitud física debe expresarse mediante una cifra y una unidad. Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 7 3.1.

Medición directa: Diremos que una medición es directa, cuando disponemos para la medición un instrumento de medida de la misma naturaleza física, que compara la variable a medir con un patrón. Por ejemplo, si deseamos medir la longitud de un objeto, usamos una regla u otro instrumento utilizable en la medición de longitudes (calibre, tornillo micrométrico, cinta métrica, etc.). 3.2. Medición indirecta: No siempre pueden realizarse mediciones directas pues existen variables que no pueden medirse por comparación directa, utilizando patrones de la misma naturaleza.

Medición indirecta será entonces aquella en la que realizamos la medición de otra variable y mediante ésta podemos calcular la que nos interesa por algún procedimiento matemático. Por ejemplo, no podemos calcular el área de un cuadrado de manera directa, ya que no hay ningún instrumento que mida áreas, pero sabiendo que existe una fórmula matemática que me dice que el área de un cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado, mido el lado y aplico la fórmula; por lo tanto la medición del área es una medición indirecta. 4. Valor medio o promedio: El valor medio o promedio de una serie de mediciones se define como la sumatoria de las mismas dividida el número de mediciones.

El valor medio o media aritmética es la medida de tendencia central más conocida. Es la medida descriptiva que la mayoría de las personas tiene en mente cuando se habla del "promedio".

= Algunas magnitudes permiten ser medidas de manera directa o indirecta, por ejemplo, si quiero medir la densidad de una solución y tengo un densímetro, podría medir la densidad de manera directa; si no tengo densímetro pero puedo medir la masa de la solución (M) y su volumen (V), los mido y aplico la fórmula = / , y obtengo la densidad de manera indirecta Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 8 5.

Mediana Cuando se realiza una serie de mediciones, en algunas ocasiones se toma la mediana en lugar del valor medio para representar al valor más probable o tendencia central. La mediana de un conjunto finito de valores es aquel valor que divide al conjunto en dos partes iguales tales que el número de valores iguales a la mediana o mayores que ella es igual al número de valores iguales a ella o menores que ella.

La mediana de una serie de mediciones, donde se han ordenado los valores en orden creciente o decreciente de la magnitud en cuestión, es el elemento o valor central de la serie, en el caso que el número total de mediciones sea impar y, en el caso que tengamos un número par de mediciones, es la media aritmética de los dos valores centrales. 6. Población y muestra Se define población de valores como el mayor grupo de valores de una variable aleatoria por los cuales se tiene un cierto interés en un momento dado. Por ejemplo, si se tiene interés en el peso de todos los adolescentes inscriptos en la Universidad Nacional de Misiones, la población consta de todos estos pesos.

Si el interés se centra sólo en el peso de los alumnos de primer año del sistema, se tiene una población distinta. La población puede ser finita o infinita. Una muestra puede definirse simplemente como una parte de una población. Supóngase que una población consta del peso de todos los alumnos inscriptos en el primer año de cualquier carrera de la Universidad Nacional de Misiones. Si se reúnen para el análisis el peso de sólo una fracción de estos estudiantes, se tiene sólo una parte de la población de pesos, es decir, se tiene una muestra. 7.

Desvío estándar muestral La desviación estándar muestral es la medida de dispersión más común, que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos. = ( ) 1 Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 9 8. Desviación media Es el promedio de las desviaciones de todos los valores individuales, o sea, es la sumatoria de todos los valores absolutos de los errores aparentes de las mediciones realizadas dividido por el número total de mediciones.

= " " La desviación media representa la cantidad en que una medida independiente de la serie se ha desviado del valor que se considera más probable. 9. Rechazo de valores Suele ocurrir que a veces, en una serie de mediciones parecidas, se encuentre que uno o más de los valores numéricos difiere en forma considerable de los otros y enseguida se piensa en rechazarlos, para calcular el valor promedio. La probabilidad matemática ha indicado muchos caminos o reglas para determinar la justificación de esos rechazos. Uno de ellos es, eliminar ese valor o valores dudosos y calcular el valor promedio y la desviación de los valores restantes.

El valor rechazado está justificado matemáticamente, si la desviación del valor que se rechaza con respecto al promedio es igual o mayor que cuatro veces la desviación media de los valores restantes. " " 4 × " " 4 × Donde: = es el error del valor a rechazar y en el caso de que se rechace, se llama error anormal. = es la desviación media de todos los valores, sin incluir el valor que sospechamos, tenemos que rechazar. = es el valor que se sospecha no pertenece a la serie de datos y que queremos probar matemáticamente que se debe rechazar. = es el valor medio o promedio de todos los valores, sin incluir el valor que estamos probando rechazar.

Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 10 Entonces si esta desigualdad se cumple el valor pasa de "valor a rechazar" a "valor rechazado", y se lo descarta automáticamente de la serie de datos. A la inversa, si la desigualdad no se cumple, el valor no puede ser rechazado y debe tenerse en cuenta en todos los cálculos subsiguientes. 10.

Error: Los sistemas de medición no son perfectos, por lo que el resultado obtenido al hacer una medición tampoco lo será, podemos asegurar que toda medición está afectada por una cierta incertidumbre llamada error, en física este error no se entiende como una equivocación, sino como una falta de perfección en los resultados, o como la ignorancia que siempre se tiene acerca del valor verdadero de la magnitud física que se está midiendo (esto excluye a las magnitudes cuantitativas discretas, donde no puede haber incertidumbre en el resultado de un recuento finito).

Por lo expuesto se dice que siempre habrá una cierta incertidumbre al efectuar una medición, aun suponiendo que el instrumento y el observador no tuviesen influencia en el resultado. Denotaremos el valor verdadero de una magnitud anteponiéndole el símbolo griego µ, y se supondrá que tiene un valor fijo para un cierto instante de tiempo. Como el objetivo de toda medición es la obtención del valor µ de la magnitud física que se está midiendo, y como se postula que tal valor nunca puede ser conocido con certeza, no hay otro remedio que hacer estimaciones del mismo, desde el punto de vista práctico, es suficiente con obtener una buena aproximación.

Si quisiéramos medir la longitud de un cuerpo determinado, deberíamos medir desde el electrón más alejado de la izquierda del cuerpo hasta el electrón más alejado de la derecha del cuerpo, para ello deberíamos tener una regla que midiese con una precisión tal del tamaño del electrón, y hacer coincidir el electrón más alejado de la izquierda de la regla con el del cuerpo a medir y lo mismo a la derecha, tal regla no existe, pero si existiese, los electrones que la componen interactuarían con los electrones del cuerpo que se está midiendo, alterando los resultados, además los electrones no están quietos, sino que cambian de posición permanentemente, por lo que la longitud misma varía constantemente.

Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 11 Toda estimación es en el fondo una aproximación, esto implica que al hacer estimaciones siempre va a existir un error asociado a las mismas que se llama error de estimación. Hay dos formas básicas de estimar el valor verdadero µ de una magnitud: - Estimaciones puntuales: Consisten en estimar el valor desconocido µ con un solo valor numérico. - Estimaciones por intervalo: Consisten en suponer que el valor desconocido µ está acotado en un cierto intervalo de valores de la magnitud.

Por ejemplo, si digo que la longitud de una barra es de 1,5 metros, estoy haciendo una estimación puntual de su longitud; mientras que la estimación por intervalo expresa que el valor verdadero es alguno, de los infinitos valores comprendidos entre 1,4 metros y 1,6 metros. El sentido común aconseja preferir las estimaciones por intervalo a las puntuales. Matemáticamente una estimación por intervalos se puede escribir como: ( , ) Donde es el límite inferior del intervalo y el límite superior, para el ejemplo anterior, = 1,4 metros y = 1,6 metros.

Sin embargo, para facilitar operaciones y cálculos con tales intervalos, es mejor emplear una manera equivalente de expresar intervalos, empleando el símbolo igual en lugar del de pertenencia. = ± Donde = es la semisuma de los valores límites del intervalo, o sea el valor promedio de los mismos, y = es la semidiferencia de los valores límites del intervalo, o sea: = = Para el ejemplo dado anteriormente, podemos escribir la longitud de la barra L: ( , ; , ) , o lo que es mejor = ( , ± , ) En la medida que el intervalo de estimación sea razonablemente preciso, puede esperarse encontrar dentro del mismo el valor verdadero µ, pero con una cierta incertidumbre producto del error de estimación.

Esto permite asimilar una probabilidad a cada intervalo, que puede interpretarse como la probabilidad de encontrar el valor verdadero en el intervalo, llamada la confianza. Si se expresa Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 12 porcentualmente dicha probabilidad entonces se habla de nivel de confianza (NC).

Por ejemplo, es un hecho seguro el encontrar el valor verdadero de una cierta longitud dentro del intervalo de los reales: ( , + ) En este caso la confianza vale 1 y el NC = 100% Por otro lado En una estimación puntual nunca se tendrá la certeza de encontrar el valor verdadero En este caso la confianza vale 0 y el NC = 0% Estos dos sucesos pueden interpretarse como el suceso seguro y como el suceso imposible, requisitos básicos para la obtención de un álgebra, y de ambos se tiene la certeza puesto que ambos son complementarios. Todos los demás casos quedan comprendidos entre estos dos extremos, por ello el nivel de confianza de una estimación por intervalos fluctuará entre el 0% y el 100%.

En mediciones físicas se acostumbra aceptar un nivel de confianza del 68,3% mientras que para mediciones biológicas es mayor, entre el 95%, el 99% y el 99,7%. Reducir la incertidumbre, o lo que es lo mismo aumentar el nivel de confianza genera costos. Toda medición que no traiga una indicación de su incertidumbre (error) no es válida, no obstante esto no se observa en las publicaciones científicas, en los textos la indicación del error se hace en forma implícita; básicamente por razones simplificativas se informan solo aquellos dígitos que no son influenciados por la incertidumbre de la estimación.

Por ejemplo, si el resultado de la estimación fue = ( , ± , ) , esto quiere decir que tal longitud pertenece al intervalo ( , ; , ) . Puede verse que los dos primeros dígitos no son afectados por la incertidumbre y de allí que la cifra = , permanezca inalterada. En los textos se suele dar esta última expresión en lugar del intervalo para simplificar la información. También puede suceder que lo que se informa en los textos no tenga error, como por ejemplo un conteo o una convención (como informar que la masa atómica del C12 es exactamente 12 g/mol, o que la densidad del agua es 1 g/cm3).

Finalmente, podemos decir que en la fórmula = ± , se puede tomar el valor de como una estimación puntual del valor y a se la puede tomar como el error que se comete al efectuar tal estimación. Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 13 11. Causas de errores Hemos hablado del concepto de error desde un punto de vista exclusivamente teórico, lo que se observa en la práctica, al repetir una misma medición en las condiciones más estables y constantes posibles, es que los valores obtenidos casi nunca coinciden.

Cuando un investigador obtiene valores repetidos de una misma medición, piensa de inmediato en una pérdida de sensibilidad de los instrumentos, o bien, en una muy rara casualidad. Esta variabilidad en los datos experimentales, sin ninguna causa aparente, es lo que condujo al concepto de error. A pesar de los grandes esfuerzos y precauciones para que nada varíe al repetir una medición, los valores obtenidos suelen no coincidir; desde siempre se ignoraron las causas reales de esta fluctuación, y al ir descubriendo algunas, solo logramos reducir la variabilidad, pero nunca anularla.

Siempre hay causas desconocidas que producen algún grado de fluctuación en los resultados, a esta ignorancia se la llamó azar, por lo tanto se acostumbra expresar que las fluctuaciones en los resultados experimentales se deben al azar o la casualidad, de allí que el primer tratamiento matemático de la problemática del error de mediciones físicas se llamó Teoría de los errores casuales desarrollada por Gauss. Se postula que las causas que producen variabilidad en los resultados experimentales son infinitas y son la fuente directa de la falta de certeza en las mediciones (error).

Se acepta entonces que en una medición cualquiera hay infinitas causas de error, algunas de ellas con incidencia despreciable y otras no, algunas detectables y otras no, algunas evitables y otras inevitables. Debemos tratar de reducir al mínimo la variabilidad, para minimizar el error, esto puedo lograrse detectando causas de variabilidad y eliminándolas. Toda medición implica la interacción de la magnitud a medir y del sistema de medición empleado, por lo tanto puede esperarse que la variabilidad en los resultados se origine en ambas partes.

Cuando la magnitud a medir es de material inerte, como ocurre en Física generalmente, la medición se verá afectada por causas ambientales (temperatura, Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 14 presión atmosférica, humedad, etc.), estas causas generan menor variabilidad que la medición de material vivo, donde además de las causas ambientales actúan causas genéticas (aumento de peso y talla, etc.), o también factores fenotípicos (genéticos y ambientales).

También puede variar el sistema de medición que está compuesto por instrumentos, observadores y métodos experimentales. Se puede esperar fluctuaciones en instrumentos y observadores por factores fenotípicos, y muchas veces el método experimental empleado también es causa de error. Es imposible detectar todas las causas de errores, y algunas aunque sean detectadas no se pueden eliminar; lo que se hace es clasificar las causas de error, y una manera simple de hacerlo es observando sus efectos. Se clasificarán entonces según si afectan a la precisión o si afectan a la exactitud de las mediciones efectuadas. 12.

Exactitud y Precisión Supongamos que hemos realizado una serie de disparos a una diana, se nos podrán plantear cuatro situaciones diferentes como se aprecian en la figura 1 Figura 2: Exactitud y Precisión http://www.orbitalesmoleculares.com/wp-content/uploads/2015/07/image002.jpg Caso 1 – Los impactos están muy dispersos entre sí, por lo que podemos decir que el tirador es poco preciso, y además si se promediaran todos los disparos, el valor Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 15 promedio estaría alejado del centro de la diana (en este caso del lado izquierdo del centro de la diana), por lo que el tirador es también poco exacto.

Caso 2 – En este caso los impactos están menos dispersos, por lo que podemos decir que el tirador es preciso, pero al igual que en el caso anterior si se promediaran todos los disparos, el valor promedio estaría alejado del centro de la diana (en este caso del lado izquierdo del centro de la diana), por lo que el tirador es poco exacto. Caso 3 - Los impactos están muy dispersos entre sí, por lo que podemos decir que el tirador es poco preciso; aún así, si se promedian todos los disparos, el valor promedio estaría cercano al centro de la diana, por lo que podemos afirmar que el tirador es exacto.

Caso 4 – Los impactos están poco dispersos, por lo que el tirador es muy preciso, y si promediamos todos los disparos, el valor promedio coincide o está cercano al centro de la diana, por lo que el tirador es también exacto. Realizar esta analogía de un sistema de mediciones con un tiro al blanco tiene algunas diferencias, la principal es que mientras el valor verdadero de una magnitud no puede conocerse, el centro de la diana puede verse fácilmente. Lo que se hace generalmente es optar por algún valor como si fuese el valor verdadero de la magnitud (por convención).

La precisión entonces está ligada a la dispersión de los datos, medida por el desvío estándar (DS), de manera inversamente proporcional, a menor dispersión de los datos, menor desvío estándar, y por lo tanto mayor precisión. La exactitud, está relacionada con el sesgo, que es la diferencia en valor absoluto entre el valor verdadero y el promedio de las mediciones, también se relacionan de manera inversamente proporcional, a menor sesgo mayor exactitud.

̅ = = ( ̅) ( 1) = ( ̅) Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 16 Donde: = Desvío estándar muestral = Número de mediciones = Es el dato obtenido en la medición i ̅ = Valor medio, promedio o media aritmética. = Sesgo = Valor verdadero de la magnitud física (aunque es imposible conocerlo, puede adoptarse un valor por convención) 13. Tipos de errores 13.1.

Error de apreciación de un instrumento Cuando se va a hacer una medición, debemos conocer cuál es la apreciación del instrumento con el que vamos a trabajar, el error de apreciación está directamente relacionado con la indeterminación que tiene la escala del mismo. Utilizaremos este error en tres casos muy especiales: - Cuando solo se hace una solo medición, ya sea porque el ensayo de medición es destructivo, o por las características especiales del material a medir.

- Cuando haciendo más de una medición, todas las mediciones dan iguales, (esto puede deberse a falta de sensibilidad del instrumento o módulo de El desvió estándar que utilizamos en física es el desvío estándar muestral, no confundir con el desvió estándar poblacional. Para ello es importante entender la diferencia estadística entre una población y una muestra; si decimos que vamos hacer un estudio estadístico de peso y talla de todos los alumnos que ingresaron a la Universidad Nacional de Misiones en el año 2019, "todos estos alumnos" son nuestra población.

Este estudio puede llegar a ser muy costoso pues habría que medir peso y talla de miles de estudiantes en las diferentes sedes, lo que se hace generalmente es tomar una muestra representativa, de manera que el estudiar estadísticamente la muestra, los resultados nos permitan inferir resultados de la población completa. Una muestra es un subconjunto del conjunto universal población.

Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 17 fluctuaciones no detectables, etc.), al no haber dispersión en los datos, no hay desvío estándar, por lo tanto no podemos calcular el error casual (veremos su cálculo más adelante).

- Cuando haciendo más de una medición, obtengo por lo menos una medición distinta, esto posibilita calcular el desvío estándar y por lo tanto el error casual; pero si el error casual calculado es menor al error de apreciación, debemos utilizar el error de apreciación (Esta situación se explica con mayor detalle cuando aprendamos el cálculo de los errores casuales). En estos tres casos, la única manera de determinar el error es considerando la indeterminación de la escala del instrumento.

Básicamente encontraremos cuatro tipos de escalas de lectura en los instrumentos de laboratorio: - De lectura directa con escala continua En estos instrumentos puede observarse toda la escala que existe entre dos líneas indicadoras. Los ejemplos más comunes son la regla milimetrada (cada raya indica un milímetro y se puede ver directamente el espacio entre dos rayas), o las antiguas balanzas de los comercios que contaban con una aguja indicadora (en el contorno del circulo de la balanza cada raya indica un gramo y puede verse el espacio entre dos rayas).

El valor de la medición se obtiene directamente de su escala, y para ello debemos tener en cuenta: Apreciación del instrumento: Es el menor intervalo de la escala del instrumento del cual se dispone o sea su menor división (1 mm en la regla milimetrada, 1 g en el caso de la balanza mencionada anteriormente). Estimación de una lectura: es el menor intervalo que el operador puede estimar con la escala del instrumento del cual dispone. La estimación de una lectura coincide con la apreciación del instrumento cuando el operador no puede estimar más allá de la correspondiente menor división del instrumento que dispone.

La estimación de una lectura a veces suele ser menor que la apreciación del instrumento del cual se dispone. En efecto en el caso de una regla milimetrada Ud. puede decir si su medida está más cerca de una división milimétrica dada o de la siguiente, o en el medio de las dos aunque allí no exista marca alguna. Esta Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 18 estimación depende del operador, de su experiencia, atención y de las condiciones de la medida.

La estimación de una lectura a veces suele ser mayor que la apreciación del instrumento del cual se dispone, tal es el caso de mediciones donde, por ejemplo, una aguja fluctúa entre más de una menor división de la escala. En dicho caso la estimación de la lectura puede corresponder a dos, tres o más veces la menor división del instrumento. - De lectura directa con vernier En realidad este tipo de instrumentos pertenece a los instrumentos de lectura directa y escala continua, pero lo clasificamos como otro tipo de escala, pues es muy diferente el cálculo del error.

A veces es posible mejorar una escala disminuyendo el error de apreciación allí donde no existe una graduación entre dos marcas consecutivas mediante algún artificio (el ojo humano, el uso de una lupa, el uso de una sub-escala o subdivisión, un vernier, etc.). Sin embargo es conveniente notar que la mejora en la apreciación del instrumento no necesariamente significa que la medición será mejor, como en el caso de instrumentos cuya exactitud no se puede mejorar más allá del dado por las divisiones de la escala, ya sea por características constructivas del instrumento o factores de diseño, etc.

Veamos algunos ejemplos de cómo calcular el error de apreciación de algunos instrumentos que poseen escalas con vernier.

En todos los instrumentos con vernier se puede apreciar una escala, generalmente la superior, y una escala inferior que se llama vernier propiamente dicho y que se Durante el cursado de la materia, como no siempre haremos nosotros las mediciones, por lo que aun cuando conozcamos la apreciación del instrumento con que se trabajó, no podremos saber la estimación con la que se realizó la medición, y cuando no se especifique lo contrario, se tomará como error de apreciación de un instrumento de lectura directa y escala continua, a la mitad del menor valor de la escala: 0,5 mm en el caso de la regla milimetrada, 0,5 g en el caso de la balanza, etc.

Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 19 encarga de subdividir la apreciación del instrumento tantas veces como rayas tenga el vernier (más adelante aprenderemos a utilizar cada uno de estos instrumentos) En los instrumentos que se ven a continuación, la escala superior es milimetrada, y la escala de abajo es el vernier, por lo tanto el error se calcula, dividiendo el menor valor de la escala superior (1 mm en los tres casos) por el número de rayas que tiene el vernier en la parte inferior, la primera raya se llama indicador del vernier y no se cuenta, Error de apreciación = = 0,1 Error de apreciación = = 0,05 Error de apreciación = = 0,02 Figura 3: Diferentes tipos de Vernieres https://www.stefanelli.eng.br/es/calibre-virtual-simulador-milimetro-05/ Veremos en el práctico de determinación de densidad de sólidos regulares, otros instrumentos que también poseen escalas con vernier, como los tornillos micrométricos.

- De lectura directa con escala digital Los instrumentos de lectura directa con escala digital, son aquellos en que algunos valores no se pueden ver a simple vista. Se trata de una escala discreta en vez de continua como el caso anterior. En el caso de una balanza con escala digital que va de gramo en gramo, el ojo humano no puede ver entre gramo y gramo, por tal motivo Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 20 es que se debe tomar como módulo del error de apreciación a la menor unidad de lectura. - De lectura indirecta por alineación.

En estos casos las lecturas no se hacen en forma directa, pues estos instrumentos carecen de escala de lectura. El ejemplo más común es la balanza de brazos, donde en un platillo se coloca la masa a pesar y en el otro se colocan las pesas patrones. Aquí la medición consiste en equilibrar los brazos, lo que se aprecia por la coincidencia de una aguja indicadora con el centro de simetría que está indicado. Luego de lo cual se suman los valores de las pesas empleadas.

El método para determinar el error de apreciación en estos casos, consiste en lo siguiente: Se toma la menor pesa disponible y se coloca cuidadosamente en el platillo observando si la aguja indicadora se desplaza de la posición de equilibrio, entonces, si es así, el valor de dicha pesa será el módulo del error de apreciación, justamente porque eso es lo que puede apreciarse; si no es así, hay que colocar la siguiente pesa patrón disponible de mayor peso que la anterior y se observa si se pierde el equilibrio, de ser el caso, tal será el módulo del error de apreciación, y en caso contrario se toma otra pesa y así sucesivamente. 13.2.

Errores Casuales Ya habíamos mencionado que los errores podían clasificarse según si afectaban a la precisión o a la exactitud de las mediciones. Los errores casuales afectan a la precisión de las mediciones. Como lo indica su nombre la causa de este tipo de errores es la casualidad a falta de mejor explicación. Existe un número grande e indefinido de causas desconocidas que producen fluctuaciones en una serie de mediciones. No nos explayaremos aquí en la base estadística del estudio de los errores casuales que será mejor explicada en materias posteriores; si mencionaremos las dos teorías más conocidas para el cálculo de los errores casuales 13.2.1.

Modelo de Gauss – Para grandes muestras La condición de utilización del Modelo de Gauss es realizar un número de mediciones lo suficientemente grande, de acuerdo a la bibliografía en la práctica se necesitarían mas de 30 mediciones. La teoría de Gaussiana se la conoce como la "Teoría de las Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 21 Grandes Muestras" – Muchas veces la obtención de tantas mediciones es imposible o muy costoso, de allí es que nosotros utilizaremos en general el Modelo siguiente.

Cuando realizamos una serie de mediciones, debemos expresar la medición como = ( ± ) = º º = = Donde: = = , = ó = , 1, 2 3 Z = 1 68,26% Z = 2 95,46% Z = 3 99,73% º = í á = ú = = í á Ejemplo: Enunciado del problema: Se mide el pH de una solución 30 veces, hallar los intervalos de confianza para Z = 1, Z = 2 y Z = 3 Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 22 Valores de pH Nº pH Nº pH Nº pH Nº pH Nº pH 1 7,13 7 7,12 13 7,15 19 7,14 25 7,11 2 7,17 8 7,12 14 7,14 20 7,10 26 7,12 3 7,12 9 7,16 15 7,12 21 7,13 27 7,16 4 7,12 10 7,10 16 7,13 22 7,14 28 7,11 5 7,13 11 7,13 17 7,12 23 7,13 29 7,14 6 7,14 12 7,14 18 7,13 24 7,15 30 7,13 Solución: Primero calculamos manualmente o utilizando la calculadora científica, los parámetros estadísticos , y ( á ) = 30 = 7,131 7,13 = 0,017 = 0,02 ( í á , ) = 0,016 0,02 ( í á , ) = 1,00866 (Ver figura 4) Cálculo del intervalo de confianza cuando Z = 1, NC = 68,26% = = 1 1,00866 0,02 30 = 0,101 0,10 Es decir que tenemos un 68,26% de probabilidades que el valor verdadero del pH medido este en este intervalo: = ( ± ) = (7,13 ± 0,10) Cálculo del intervalo de confianza cuando Z = 2, NC = 95,46% = = 2 1,00866 0,02 30 = 0,202 0,20 Es decir que tenemos un 95,46% de probabilidades que el valor verdadero del pH medido este en este intervalo: = ( ± ) = (7,13 ± 0,20) Cálculo del intervalo de confianza cuando Z = 3, NC = 99,73% Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 23 = = 3 1,00866 0,02 30 = 0,303 0,30 Es decir que tenemos un 99,73% de probabilidades que el valor verdadero del pH medido este en este intervalo: = ( ± ) = (7,13 ± 0,30) Figura 4: Tabla para la obtención del coeficientes de Gurland-Tripathi + × ( ) Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 24 Puede verse que a medida que aumenta nuestro nivel de confianza, el intervalo de confianza se hace cada vez más grande 13.2.2.

Modelo de Student El Modelo de Student tiene la ventaja de que no es necesario realizar tantas mediciones, con dos o mas mediciones, mientras por lo menos uno sea diferente, la necesitad de menos cantidad de mediciones con el correspondiente correlato en tiempos y costos es decisivo para que este sea el método mayormente usado.

Cuando realizamos una serie de mediciones, debemos expresar la medición como = ( ± ) = ( ) % Donde: = = , = ó ( )/ % = = ú = í á Ejemplo: Enunciado del problema: Se mide el pH de una solución 30 veces, hallar los intervalos de confianza para Niveles de Confianza de 90%, 95% y 99% Valores de pH Nº pH Nº pH Nº pH Nº pH Nº pH 1 7,13 7 7,12 13 7,15 19 7,14 25 7,11 2 7,17 8 7,12 14 7,14 20 7,10 26 7,12 3 7,12 9 7,16 15 7,12 21 7,13 27 7,16 4 7,12 10 7,10 16 7,13 22 7,14 28 7,11 5 7,13 11 7,13 17 7,12 23 7,13 29 7,14 6 7,14 12 7,14 18 7,13 24 7,15 30 7,13 Solución: Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 25 Primero calculamos manualmente o utilizando la calculadora científica, los parámetros estadísticos , y ( á ) = 30 = 7,131 7,13 = 0,017 = 0,02 ( í á , ) = 0,016 0,02 ( í á , ) Cálculo del intervalo de confianza cuando NC = 90% ( )/ % = ( )/ % = / % = 1,699 (Ver figura 5) Figura 5: Tabla para la obtención del coeficiente de Student para distintos niveles de confianza = ( ) % = 1,699 , = 0,006 Es decir que tenemos un 90% de probabilidades que el valor verdadero del pH medido este en este intervalo: = ( ± ) = (7,13 ± 0,006) = (7,13 ± 0,01) Cálculo del intervalo de confianza cuando NC = 95% ( )/ % = ( )/ % = / % = 2,045 (Ver figura 6) Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 26 Figura 6: Tabla para la obtención del coeficiente de Student para distintos niveles de confianza = ( ) % = 2,045 , = 0,007 Es decir que tenemos un 95% de probabilidades que el valor verdadero del pH medido este en este intervalo: = ( ± ) = (7,13 ± 0,007) = (7,13 ± 0,01) Cálculo del intervalo de confianza cuando NC = 99% ( )/ % = ( )/ % = / % = 2,756 (Ver figura 7) = ( ) % = 2,756 , = 0,01 Es decir que tenemos un 99% de probabilidades que el valor verdadero del pH medido este en este intervalo: = ( ± ) = (7,13 ± 0,01) Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 27 Figura 7: Tabla para la obtención del coeficiente de Student para distintos niveles de confianza Puede verse que en el Modelo de Student, para estos niveles de confianza y cantidad de mediciones no se aprecian cambios en los intervalos, no obstante, cuando se realizar menos mediciones, la diferencia si es apreciable.

El Modelo de Student es más exacto que el Modelo de Gauss. El Modelo de Gauss a igual número de mediciones y de nivel de confianza tiene mayor precisión que el Modelo de Student Los tiempos y los costos de las mediciones hace decisiva la elección del Modelo de Student para la mayoría de los casos. Es importante ver que para disminuir los errores casuales, se deben aumentar el número de mediciones, ya que la fórmula de cálculo tiene al número de mediciones en el denominador. Esto se puede hacer pero tiene un límite, que es el error de apreciación del instrumento que estemos utilizando para la medición, ya que por más que midamos un millón de veces esto no mejorará nuestro instrumento. 13.3.

Errores Sistemáticos Este tipo de errores los desarrollaremos más adelante en el práctico de calibraciones. Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 28 14.

Resumen errores: Cada vez que realicemos una medición directa deberemos expresar el resultado de la siguiente manera: = ( ± ) Que variaciones podemos tener: Realizamos una medición o = ó o = ó ó Realizamos varias mediciones y todas dan el mismo valor, a pesar de tener varios valores es imposible calcular el desvío estándar por ser todas las mediciones iguales o = ó o = ó ó Realizamos varias mediciones y por los menos uno de los valores es distinto o = ó Calcularmos: o = o ó = ó o SIEMPRE ELEGIREMOS PARA EL DE MAYOR VALOR! 15.

Propagación de errores en las mediciones indirectas: No siempre puede medirse una magnitud cualquiera de manera directa, hay magnitudes que son imposibles de medirlas directamente (volumen de un sólido, área de una superficie), hay magnitudes que permiten ser medidas de manera directa o indirecta (densidad de un líquido). En los casos que la medición directa de una magnitud se haga imposible, deberemos emplear para su medición métodos indirectos. Supongamos que queremos medir el área de un triángulo ( ), para ello deberemos medir su base = ± y su altura = ± y luego utilizar la ecuación = para conocer el área.

Puede verse que de cada una de las magnitudes medidas directamente en el ejemplo anterior, conocemos no solo el valor de la medición, sino que también conocemos el error que se cometió en la medición. Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 29 ¿Cómo afectan estos errores de las mediciones directas en la medición indirecta del área del triángulo ( )? Existen dos métodos para calcular los errores en las mediciones indirectas, uno de los métodos se llama Varianza y el otro Propagación de errores propiamente dicha.

Seguido veremos cada uno de estos métodos y en qué casos se utilizan. Explicaré los métodos con el ejemplo antes mencionado del área de un triángulo, pero aplica para cualquier medición indirecta. 15.1. Varianza Supongamos que queremos calcular entonces el área de un triángulo y su error, Para ello conocemos las mediciones de su base y su altura con sus respectivos errores (estas mediciones son ambas directas). = ± = ± La ecuación del cálculo del área = demuestra que el cálculo del área es función de las mediciones de B y de H.

Se utilizará varianza para el cálculo del error en el área, cuando se cumplan las siguientes condiciones: Que en todas las mediciones de las variables involucradas para el cálculo de la medición indirecta (en este caso B y H), los errores casuales sean más importantes (mayores) que los errores de apreciación. Que todas las variables hayan sido medidas el mismo número de veces. Cumplidas estas dos condiciones podremos utilizar varianza para el cálculo de la medición indirecta.

Para ello deberemos derivar la ecuación, respecto de cada una de las variables de la siguiente manera: = + = 2 + 2 = + = 2 + 2 = ( )/ % Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 30 Donde: = ó = ó = = í = ó = = í = í ó = ó ( )/ % = = Al final escribiremos = ± Puede verse aquí que si se midieran distinto número de veces, no se cumpliría la segunda de las condiciones para utilizar varianza, y de esa manera no se sabría qué número utilizar en la ecuación para . 15.2.

Propagación de Errores propiamente dicha Cuando alguna de las dos condiciones para utilizar varianza no se cumple, deberemos utilizar Propagación de errores, por ejemplo. Si alguna medición se realizó una vez no se puede utilizar varianza pues no hay error casual, no hay desvío estándar y por lo tanto el error de apreciación es más importante (no se cumple la primera condición para varianza). Si habiéndose realizado el mismo número de mediciones (cumple la segunda condición para varianza), en alguna de las variables el error de apreciación es mas importante (mayor) que el error casual, (no se cumple la primera condición para varianza).

Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 31 Si habiéndose realizado el mismo número de mediciones (cumple la segunda condición para varianza), en alguna de las variables todas las mediciones son iguales, por lo tanto, no puede calcularse el desvío estándar y el error de apreciación es más importante (mayor) que el error casual, (no se cumple la primera condición para varianza).

Supongamos entonces que queremos calcular el área de un triángulo y su error, y que para ello conocemos las mediciones de su base y su altura con sus respectivos errores (estas mediciones son ambas directas). = ± = ± La ecuación del cálculo del área = demuestra que el cálculo del área es función de las mediciones de B y de H.

Y no se cumplen las condiciones para la utilización del Método de Varianza, utilizaremos el Método de Propagación de errores de la siguiente manera: = + = 2 + 2 Donde: = ó = ó = , ú = ( ó , ) = ó = , ú = ( ó , ) Al final escribiremos = ± Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 32 16. Error relativo y error relativo porcentual: El error relativo nos da una idea de la magnitud del error cometido en una medición, un error de 10 cm puede ser mucho o poco, de acuerdo con la magnitud que se está midiendo.

No sería lo mismo ese error si estoy midiendo la distancia de la tierra a la luna, que si estuviera midiendo el marco de una puerta. 16.1. Errores relativos en las mediciones directas = ± Donde: = valor verdadero de la variable X. = será un valor o un promedio de valores = error cometido en la medición. De acuerdo a los criterios antes mencionados podrá ser el error de apreciación del instrumento, o el error casual (siempre el mayor). = % = × 100 = error relativo de la medición directa % = error relativo porcentual de la medición directa 16.2. Errores relativos en las mediciones indirectas = ± Donde: = Valor verdadero calculado de la magnitud indirecta V, que es función de otras variables.

= Valor calculado de la magnitud indirecta V, calculada a partir de sus variables individuales. = Error cometido en la determinación de la magnitud indirecta V, que puede ser calculada por varianza o por propagación de errores, según los criterios ya estudiados. = Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 33 % = × 100 = error relativo de la medición indirecta. % = error relativo porcentual de la medición indirecta. 17.

Coeficiente de variación y coeficiente de variación porcentual: El coeficiente de variación y el coeficiente de variación porcentual nos da también una idea de la magnitud del error cometido en una medición. Es mas utilizado en las carreras de Farmacia, Bioquímica, etc. = % = × 100 Donde: = Coeficiente de variación. = Desvío estándar de una serie de mediciones en caso de ser una medición directa, o el desvío estándar calculado por varianza si fuera el caso. = Media aritmética de los valores obtenidos. % = Coeficiente de variación porcentual.

Apunte de laboratorio - Física I – Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos – (2020) Apunte compilado, revisado y ampliado Página 34 18. Bibliografía: - Teoría de errores en las mediciones físicas – Ing. J. C. Azzimonti Renzo y Lic. C. E. Schezov – 2da edición – (1984) – FCEQyN – UNaM.

- http://tareasuniversitarias.com/medicion-directa-e-indirecta.html - Fecha de búsqueda 23/04/18 - http://www3.fi.mdp.edu.ar/tecnologia/archivos/Metrologia/Incert_med_dir_e_i ndir_2016.pdf - Fecha de búsqueda 23/04/18 - https://sites.google.com/site/linealundecimo/medicion-directa-e-indirecta - Fecha de búsqueda 23/04/18 - https://es.scribd.com/doc/108469929/Mediciones-Directas-e-Indirectas - Fecha de búsqueda 23/04/18 - Física para la ciencia y la tecnología, Tipler Mosca Vol 1 3ra edición