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Matemáticas financieras Ingeniería en administración Mtro. Vicente Morales Martínez ¿QUÉ ES EL INTERÉS? Es la cantidad producida pagada por el uso de dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital El dinero se invierte siempre en forma productiva, es decir, siempre está ganando intereses. Juan obtiene de Pedro un préstamo de $500.00 y le firma un documento que establece que al término de 6 meses le pagará los $500.00 más la cantidad de $12.50 La cantidad de $12.50 son intereses. LA TASA DE INTERES Designamos por C a una cierta cantidad de dinero en una fecha dada cuyo valor aumenta a S en un fecha posterior.
C Se conoce como capital S Se conoce como monto o valor acumulado de C, representa el capital final I = S – C se conoce como interés Si Ramón obtiene de José un préstamo de $500.00 y le firma un documento que establece que al término de 1 año le pagará los $525.00 ¿Cuál es el interés pagado? ¿Qué tasa de interés le pagó Ramón a José? 25 = 525 – 500 I = S – C 25 / 500 = 0.05 = 5% INTERÉS SIMPLE Cuando únicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce como interés simple.
El interés simple sobre el capital C, por t años a la tasa i, está dado por la expresión: I = Cit a) Hallar el interés simple sobre $2000.00 al 5% durante 50 días R1 = 13.70 R2 = 13.89 50 / 365 = 0.13698630137 50 / 360 = 0.13888888889 I = 2000 (5%) 0.13698630137 = 13.70 I = 2000 (5%) 0.13888888889 = 13.89 Interés simple exacto y ordinario a)Hallar el interés simple sobre $2000.00 al 5% durante 50 días R = 13.70 a)Hallar el interés simple de $5000.00 al 10% durante 90 días Conociendo las fechas, el número de días que ha de calcularse el interés puede ser determinado de dos maneras: Cálculo exacto del tiempo.
Como su nombre lo indica, es el número exacto de días, tal como se encuentran en el calendario. Cálculo aproximado del tiempo. Se hace suponiendo que cada mes tiene 30 días Cálculo exacto y aproximado del tiempo Ejemplo: Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido del 20 de junio de 2015 al 24 de agosto de 2015. Tiempo exacto: El número requerido de días es igual al número de días restantes del mes de junio, más el número de días de julio más el número de días indicado para agosto, es decir, 10 + 31 + 24 = 64. Cálculo exacto y aproximado del tiempo Ejemplo: Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido del 20 de junio de 2015 al 24 de agosto de 2015.
Tiempo aproximado: Podemos escribir, Cálculo exacto y aproximado del tiempo 24-agt-2015 Como 24 : 8 : 2015 Y restar 20-jun-2015 20 : 6 : 2015 4 : 2 : 0 ASÍ EL TIEMPO TRANSCURRIDO APROXIMADO ES DE 2 MESES CON 4 DIAS, ES DECIR, 64, YA QUE HEMOS SUPUESTO QUE CADA MES TIENE 30 DÍAS DETERMINAR EL INTERÉS EXACTO Y ORDINARIO SOBRE $2,000.00 AL 6%, DEL 2º. DE ABRIL DE 2015 AL 11º. DE JULIO DE 2015 I = Cit t = 100 días t = 99 días Abril = 28 11 : 07 : 2015 Mayo = 31 02 : 04 : 2015 Junio = 30 09 : 3 : 0 Julio = 11 3 meses, 9 días DETERMINAR EL INTERÉS EXACTO Y ORDINARIO SOBRE $2,000.00 AL 6%, DEL 2º. DE ABRIL DE 2015 AL 11º.
DE JULIO DE 2015 I = Cit INTERÉS EXACTO INTERÉS ORDINARIO Tiempo exacto Tiempo exacto 100 DÍAS / 365 = 0.273972602739726 100 días / 360 = 0.277777777777778 En un pagaré firmado el 15 de enero de 2025, con vencimiento de tres meses, por $50,000.00 con un interés del 6%, I = Cit Calcular el interés simple: En un pagaré firmado el 01 de marzo de 2025, con vencimiento en dos años, por $20,000.00 con un interés del 8%, En un pagaré firmado el 10 de marzo de 2025, con vencimiento el 20 de julio de 2025, por $120,000.00 con un interés del 9%, ¿Y cómo calculo el monto total de la deuda? S = C (1 + it) I = S - C I = C * i * t ¿Y cómo calculo el monto total de la deuda?
S = C (1 + it) En un pagaré firmado el 15 de enero de 2015, con vencimiento de seis meses, por $50,000.00 con un interés del 10%, ¿Cuál es el monto total a pagar al vencimiento?
S = $50,000.00 ( 1 + 10%* 0.5) S = $50,000.00 ( 1+0.05) S = $50,000.00 (1.05) S = $52,500.00 En un pagaré firmado el 15 de abril de 2025, con vencimiento de seis meses, por $50,000.00 con un interés del 8%, S = C (1 + it) Calcular el monto total de la deuda aplicando interés simple: En un pagaré firmado el 01 de marzo de 2026, con vencimiento en 3 años, por $20,000.00 con un interés del 10%, En un pagaré firmado el 10 de marzo de 2025, con vencimiento el 20 de agosto de 2025, por $120,000.00 con un interés del 7%, Alejandro prestó a Pedro $1,750,000.00, con una tasa de interés del 8% a interés simple a 3 años. Preguntas: ¿Cuánto recibió Alejandro a los 3 años?
¿Cuánto cobró de interés en dinero? S = C (1 + it) Calcular el monto total de la deuda aplicando interés simple: Tiene usted necesidad de un préstamo, le prestan $35,000.00, con un interés del 12%, el pagaré lo firma hoy, con vencimiento el 04 de septiembre de 2026 ¿Qué cantidad de dinero va a pagar? ¿Qué monto de interés tendrá que erogar? EJERCICIOS La Sra. Pérez ha recibido tres ofertas por la venta de su casa, las cuales son: a) 15,000,000 el día de hoy b)$8,000,000.00 el día de hoy y 12,000,000.00 dentro de un año c) 10,000,000.00 el día de hoy y 8,000,000.00 dentro de un año Lo anterior bajo el supuesto de que la tasa de interés es del 18% anual.
DETERMINE CUAL OFERTA ES LA MÁS ATRACTIVA PARA LA SRA. PÉREZ i = S/C -1 t CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS CALCULAR LA TASA DE INTERÉS CUANDO SE CONOCE EL TIEMPO QUE DURA LA TRANSACCIÓN, EL CAPITAL QUE SE INVIRTIÓ (C) Y EL MONTO(S) i = S/C -1 t CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS ¿Cuál fue la tasa de interés que cobró el Sr. Hernández, si prestó $3,000,000.00 y al cabo de 4 años le devolvieron $4,400,000.00 con interés simple? i= 4,400,000 3,000,000 4 - 1 i = 1.4667 - 1 4 i = .4667 4 i = .1167 i = S/C -1 t CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS ¿Cuál fue la tasa de interés que cobró el Sr. Hernández, si prestó $25,000.00 y al cabo de 2 años le devolvieron $38,000.00 con interés simple?
R = 26% Cuál fue la tasa de interés en los siguientes casos: 1. Capital $40,000.00, tiempo 1 año, monto acumulado $55,000.00 R = 2. Capital $10,000.00, tiempo 9 meses, monto acumulado $12,000.00 R = 3. Capital $100,000.00, tiempo 18 meses, monto acumulado $120,000.00 R = i = S/C -1 t CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Lo han contratado en el departamento de finanzas y le pide el director de dicha área le diga que tasa de interés pagaron en la siguiente operación: El 01 de enero de 2026, le prestaron al propietario de la empresa la cantidad de $60,000.00, el día de hoy se pagó la deuda, donde el dueño expidió un cheque por 76,500.00. ¿Qué tasa de interés se pactó originalmente?
125% ¿Cuál sería el registro contable de la operación? i = S/C -1 t CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Usted compró un equipo de sonido en Coppel, dio un pago inicial de $200.00 y después pagó 18 mensualidades de $678.00 cada una, al verificar el precio de contado de dicho bien, resulta que es de $6,400.00. ¿Qué tasa de interés pagó? R = 62.54% En Elektra el precio de contado es de 5,900.00, pero los pagos mensuales son 15 por $850.00 cada uno, con un pago inicial de $0.00 ¿Qué tasa de interés hubiera pagado? R = 92.88 ¿En qué tienda resulta más barato comprar el equipo de sonido?
i = S/C -1 t CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Usted compró un equipo de sonido en Coppel, dio un pago inicial de $200.00 y después pagó 18 mensualidades de $678.00 cada una, al verificar el precio de contado de dicho bien, resulta que es de $6,400.00. ¿Qué tasa de interés pagó? R = 62.54% En Elektra el precio de contado es de 5,900.00, pero los pagos mensuales son 15 por $850.00 cada uno, con un pago inicial de $0.00 ¿Qué tasa de interés hubiera pagado? R = 92.88 ¿En qué tienda resulta más barato comprar el equipo de sonido?
VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA El valor de una deuda, en un fecha anterior a la de su vencimiento, se le conoce como valor presente de la deuda en dicha fecha. De la relación S = C ( 1 + it), tenemos que: C = . S . 1 + it VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA Encontrar el valor presente, al 6% de interés simple, de $1500 con vencimiento en 9 meses C = . S .
1 + it C = $1,500.00 / 1 + (0.06 * .75) C = $1,500.00 / 1 + 0.05 C = $1,500.00 / 1.05 C = $1,435.41 VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA Encontrar el valor presente, al 7% de interés simple, de $2,000.00 con vencimiento en 6 meses Encontrar el valor presente, al 10% de interés simple, de $20,000.00 con vencimiento en 3 meses Encontrar el valor presente, al 5% de interés simple, de $120,000.00 con vencimiento en 1 año C = . S .
1 + it VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA Encontrar el valor presente, al 7% de interés simple, de $2,000.00 con vencimiento en 6 meses Encontrar el valor presente, al 10% de interés simple, de $20,000.00 con vencimiento en 3 meses 19,512.19 Encontrar el valor presente, al 5% de interés simple, de $120,000.00 con vencimiento en 1 año 114,285.71 C = . S . 1 + it INTERÉS COMPUESTO INTERÉS COMPUESTO En aquellas transacciones que abarcan un periodo largo de tiempo, el interés puede ser manejado de dos maneras: 1. Como interés simple 2. A intervalos establecidos, el interés vencido es agregado al capital.
En este caso, se dice que el interés es capitalizable, o convertible en capital y, en consecuencia, también gana interés. El capital aumenta periódicamente y el interés convertible en capital también aumente periódicamente durante el periodo de la transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida como interés compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto INTERÉS COMPUESTO INTERÉS COMPUESTO El interés puede ser convertido en capital anualmente, de forma semestral, trimestral o mensual. El número de veces que el interés se convierte en un año se conoce como frecuencia de conversión.
La tasa de interés se establece normalmente como tasa anual. Por "interés al 6%" se entiende que el 6% se convierte anualmente; de otra forma, la frecuencia de conversión se indica expresamente, esto es, 4% convertible semestralmente, 5% convertible trimestralmente, etc. En problemas que implican interés compuesto, tres conceptos son importantes: El capital original La tasa de interés por periodo El número de periodos de conversión durante todo el plazo de la transacción INTERÉS COMPUESTO Si se invierten $1,000.00 durante 8.5 años al 7% convertible trimestralmente ¿Cuál es el monto compuesto?
C = $1,000.00 i = 0.07 / 4 = 0.0175 n = 8.5 x 4 = 34 S = $1,000.00 ( 1.0175 )34 S = $1,000.00 ( 1.803725) S = $1,803.72 S = C ( 1 + i )n INTERÉS COMPUESTO 1.Si se invierten $1,000.00 durante 5 años al 8% convertible semestralmente ¿Cuál es el monto compuesto? 2.Si Pedro obtiene un préstamo de $6,000.00 acordando pagar el capital con intereses del 3% convertible mensualmente ¿Cuánto debe Pedro al final de 4 años? 3.Acumular $2,000.00 por 6 años, al 4.2%, convertible trimestralmente S = C ( 1 + i )n TABLAS DE AMORTIZACIÓN Generalmente cuando se pide un préstamo se necesita DETERMINAR LOS PAGOS QUE SE VAN A REALIZAR Y LOS MONTOS DE LOS MISMOS.
Para esto se requiere primero saber QUÉ TIPO DE AMORTIZACIÓN esta utilizando el AGENTE FINANCIERO, para entonces determinar los pagos PAGOS DECRECIENTES En este tipo de amortización, los PAGOS van de MÁS a menos en forma decreciente Pagando al principio de la deuda mayores cantidades, y al terminar pagando cantidades mucho menores TABLAS DE AMORTIZACIÓN Para esto se debe entonces establecer una tabla de amortización, en la cual se determina los pagos de capital, el interés y el pago total En este tipo de pagos, el abono a capital de la deuda es igual en todos los periodos TABLAS DE AMORTIZACIÓN Pagos decrecientes - Procedimiento 1.
Se DIVIDE el total de la DEUDA entre el NÚMERO de PERIODOS y se obtiene el abono a capital fijo por cada mensualidad. 2. Sobre el SALDO INICIAL de la deuda en el periodo se CALCULA EL INTERÉS a cobrar en dicho periodo y resulta el interés que en ese periodo se tiene que pagar 3. Se suman ambos y se obtiene el pago del periodo 4.
Se repite lo anterior para cada pago, con lo cual se obtiene los pagos a realizar por cada periodo TABLAS DE AMORTIZACIÓN Pagos decrecientes - EJEMPLO La empresa "Quiero ser ingeniero aunque sea en Administración, SA de CV" quiere contratar una deuda por $1,000,000.00 con el Banco Administración Financiera II a tres años; los pagos son semestrales y la tasa de interés a cobrar es del 10% anual. Se le solicita calcule los pagos decrecientes que se tienen que hacer en efectivo en cada fecha.
TABLAS DE AMORTIZACIÓN Pagos decrecientes - EJEMPLO PERIODO SALDO INICIAL (Capital) ABONO A CAPITAL INTERÉS PAGO SALDO FINAL (Capital) 1 $1,000,000.00 $166,666.67 $50,000.00 $216,666.67 $833,333.33 2 $833,333.33 $166,666.67 $41,666.67 $208,333.33 $666,666.67 3 $666,666.67 $166,666.67 $33,333.33 $200,000.00 $500,000.00 4 $500,000.00 $166,666.67 $25,000.00 $191,666.67 $333,333.33 5 $333,333.33 $166,666.67 $16,666.67 $183,333.33 $166,666.67 6 $166,666.67 $166,666.67 $8,333.33 $175,000.00 $0.00 La empresa determina que los pagos van desde $216, 666.67 en el pago no. 1, hasta $175,000.00 en el pago 6, es decir, van decreciendo.
TABLAS DE AMORTIZACIÓN Pagos decrecientes - EJEMPLO DEUDA: 2,500,000.00 PAGOS: trimestrales (1 año) Tasa: 12% anual. Se le solicita calcule los pagos decrecientes que se tienen que hacer en efectivo en cada fecha. PAGOS CONSTANTES Este tipo de préstamos lo que hace es determinar PAGOS CONSTANTES, en donde el interés se determina y el capital es el remanente del pago. Lo anterior significa que existe CERTEZA del monto del pago durante TODA LA VIDA del préstamo.
PAGOS CONSTANTES Valor presente de la Deuda PAGO = 1 – (1 + i) –n i Para determinar dicho pago se tiene la siguiente fórmula en pagos anuales: En pagos menores al año la fórmula es: Valor presente de la Deuda PAGO = 1 – (1 + i) –n * m i / m PAGOS CONSTANTES Valor presente de la Deuda PAGO = 1 – (1 + i) –n i Para determinar dicho pago se tiene la siguiente fórmula en pagos anuales: La empresa "Debí haber estudiado Contabilidad" quiere contratar una deuda de $1,000,000.00 con el Banco, a tres años; los pagos son anuales y la tasa de interés a cobrar es del 10% anual. Se le solicita calcule los pagos constantes del préstamo.
PAGOS CONSTANTES $1,000,000.00 PAGO = 1 – (1 + 0.10) –3 0.10 Para determinar dicho pago se tiene la siguiente fórmula en pagos anuales: PERIOD O SALDO INICIAL ABONO A CAPITAL INTERESES PAGO SALDO FINAL 1 1,000,000.00 302,114.80 100,000.00 402,114.80 697,885.20 2 697,885.20 332,326.28 69,788.52 402,114.80 365,558.92 3 365,558.92 365,558.91 36,555.89 402,114.80 0.01 PAGOS CONSTANTES Valor presente de la Deuda PAGO = 1 – (1 + i) –n i Para pagos menores a un año se tiene la siguiente fórmula: La empresa "Que bueno que soy ingeniero, SA de CV" quiere contratar una deuda de $100,000.00 con el Banco, a 18 meses; los pagos son mensuales y la tasa de interés a cobrar es del 12% anual.
Se le solicita calcule los pagos constantes del préstamo.
PAGOS CONSTANTES $100,000.00 PAGO = 1 – (1 + 0.01) –18 0.01 Para determinar dicho pago se tiene la siguiente fórmula en pagos: PERIODO SALDO INICIAL ABONO A CAPITAL INTERESES PAGO SALDO FINAL 1 100,000.00 5,098.20 1,000.00 6,098.20 94,901.80 2 94,901.80 5,149.18 949.02 6,098.20 89,752.62 3 89,752.62 5,200.67 897.53 6,098.20 84,551.94 4 84,551.94 5,252.68 845.52 6,098.20 79,299.26 5 79,299.26 5,305.21 792.99 6,098.20 73,994.06 6 73,994.06 5,358.26 739.94 6,098.20 68,635.80 7 68,635.80 5,411.84 686.36 6,098.20 63,223.95 8 63,223.95 5,465.96 632.24 6,098.20 57,757.99 9 57,757.99 5,520.62 577.58 6,098.20 52,237.37 10 52,237.37 5,575.83 522.37 6,098.20 46,661.55 11 46,661.55 5,631.58 466.62 6,098.20 41,029.96 12 41,029.96 5,687.90 410.30 6,098.20 35,342.06 13 35,342.06 5,744.78 353.42 6,098.20 29,597.28 14 29,597.28 5,802.23 295.97 6,098.20 23,795.06 15 23,795.06 5,860.25 237.95 6,098.20 17,934.81 16 17,934.81 5,918.85 179.35 6,098.20 12,015.96 17 12,015.96 5,978.04 120.16 6,098.20 6,037.91 18 6,037.91 6,037.82 60.38 6,098.20 0.09 ACTIVIDADES La empresa "La Polar, SA de CV" quiere contratar una deuda por $500,000.00 con el Banco del Centro" a 4 años; los pagos son semestrales y la tasa de interés a cobrar es del 10% anual.
Se le solicita calcule los pagos decrecientes que se tienen que hacer en efectivo en cada fecha. Pagos decrecientes Pagos constantes La empresa "El Solar, SA de CV" quiere contratar una deuda de $600,000.00 con el Banco, a 12 meses; los pagos son mensuales y la tasa de interés a cobrar es del 12% anual. Se le solicita calcule los pagos constantes del préstamo.