Resistencia de materiales-Editorial Macro

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Teoría y aplicaciones E D I T O R I A L España - México - Colombia - Chile - Ecuador - Perú - Bolivia - Uruguay - Guatemala - Costa Rica RESISTENCIA DE MATERIALES Resistencia de materiales Autor: Ing. Luis Eduardo Gamio Arisnabarreta © Derechos de autor registrados: Empresa Editora Macro EIRL © Derechos de edición, arte gráfico y diagramación reservados: Empresa Editora Macro EIRL Corrección de esƟlo: Jorge Giraldo Sánchez Coordinación de arte y diseño: Alejandro Marcas León Diagramación: Judith Terrel Flores Alberto Rivas Carhuatanta Ilustración: Miguel Almeida Rojas Edición a cargo de: © Empresa Editora Macro EIRL Av.

Paseo de la República N.° 5613, Miraflores, Lima, Perú Teléfono: (511) 748 0560 E-mail: proyecto@editorialmacro.com Página web: www.editorialmacro.com Primera edición: julio de 2014 Tiraje: 1000 ejemplares Impresión Talleres gráficos de la Empresa Editora Macro EIRL Jr. San Agusơn N.° 612-624, Surquillo, Lima, Perú ISBN N.° 978-612-304-209-7 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2014-08668 Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin previa autorización de la Empresa Editora Macro EIRL.

L IS E AR O GA IO ARISNABARRETA Ingeniero civil egresado de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería, con más de veinticinco años de experiencia profesional en el área de Ingeniería Estructural. Ha trabajado en diversas empresas privadas, como Alpha Consult S. A., Salydel Ingenieros, entre otras. Actualmente se desempeña como ingeniero estructural en la Empresa Tecamb S.A. Además, ha participado en numerosos proyectos de agua potable y alcantarillado, diseñando estructuralmente reservorios, cisternas y cámaras de bombeo de gran volumen.

Desde hace veintiocho años dicta los cursos de Estática y Resistencia de Materiales, en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería. Este libro sale a la luz tras veintiocho años de experiencia docente en la Universidad Nacional de Ingeniería, y se basa en los apuntes de clase del curso Resistencia de Materiales. El texto contiene información conocida y también inédita, como las tablas de echas máximas en vigas con diversos tipos de apoyo y cargas, que se logró a partir de una intensa búsqueda de información, investigación y consulta de una amplia bibliografía.

El curso es obligatorio en la mayoría de las carreras de Ingeniería; según el plan curricular, se desarrolla en el tercer año de la carrera, siendo fundamental para el aprendizaje de la Ingeniería Estructural.

La presente publicación contiene los siguientes temas: Esfuerzo normal y cortante Deformación unitaria normal y cortante Deformaciones debido a carga axial Deformaciones debido al peso propio Deformaciones debido a la temperatura Esfuerzo y deformación en dos y tres direcciones Estado plano de esfuerzos Estado plano de deformaciones Esfuerzos en recipientes de pared delgada Torsión en secciones circulares y anulares Torsión en secciones macizas no circulares Torsión en secciones de pared delgada Torsión en bridas Torsión en ejes que transmiten potencia Diagramas de cortante y momento en vigas Esfuerzos por exión en vigas Esfuerzos por corte en vigas Deformaciones en vigas: Método de integración Deformaciones en vigas: Método de área de momento Deformaciones en vigas: Método de viga conjugada Deformaciones en vigas: Método de superposición Tablas de echas máximas en vigas Tablas de centro de gravedad de super cies planas Tablas de momento de inercia de super cies planas Además, se incluyen 300 aplicaciones.

INTRO I N RESISTEN IA E ATERIALES Es la ciencia que estudia los materiales que son sometidos a esfuerzos, así como las deformaciones causadas por dichos esfuerzos.

Al abeto griego Es utilizado en el curso, y consta de las siguientes letras: (Alfa) ngulo, coe ciente térmico (Beta) ngulo (Delta) Deformación (Épsilon) Deformación unitaria normal (Gamma) Deformación unitaria cortante, peso especí co (Lambda) Constante de Lamé (Mu) Módulo de Poisson (Omega) Velocidad angular (Phi) ngulo (Pi) ngulo, número (Rho) Radio (Sigma) Esfuerzo normal (Tau) Esfuerzo cortante (Theta) ngulo Longitud Milímetro : mm Centímetro : cm Metro : m 1 pulgada : 1 1pie : 1 Kilogramo : kg Libra : lb Tonelada : T Newton : N Pascal : Pa Kilo Pascal : KPa Mega Pascal : MPa Giga Pascal : GPa kg cm2 lb pulg2 N m2 rea (Unidades de longitud)2 Fuer a nano micro mili KILO MEGA GIGA n m K M G 10–9 10–6 10–3 103 106 109 1 2.54 cm 1 12 30.48 cm 1T 103 kg 1kg 9.81 N 1kN 103 N 1Kip 1KLb 103 lb 1 Pa 1N m2 1 KPa 103 N m2 1 MPa 106 N m2 1 GPa 109 N m2 1 lb pulg2 1P.s.i.

1 KLb pulg2 1K.s.i 1 lb pie2 1P.s.f. 1 KLb pie2 1 K.s.f. Es uer o (Fuer a rea) TI OS E NI A ES (Utilizadas en diversos textos) RESISTEN IA E ATERIALES A ÍT LO 1 ESF ER O 13 1.1 Esfuerzo normal...........................................................................................................................13 1.2 Esfuerzo cortante .......................................................................................................................14 1.3 Esfuerzo de apoyo o de aplastamiento.........................................................................................

1.4 Esfuerzos en un plano inclinado..................................................................................................16 1.5 Esfuerzo admisible – Factor de seguridad...................................................................................17 A ÍT LO 2 EFOR A I N NITARIA 3 2.1 Deformación ...............................................................................................................................43 2.2 Desplazamiento ..........................................................................................................................43 2.3 Deformación unitaria axial (Normal) ..........................................................................................43 2.4 Deformación unitaria axial promedio..........................................................................................43 2.5 Variación de longitud ..................................................................................................................43 2.6 Deformación angular (Deformación unitaria cortante) ...............................................................44 A ÍT LO 3 ARGA AXIAL 3.1 Módulo de elasticidad (E)............................................................................................................58 3.2 Geometría de los pequeños desplazamientos ..............................................................................60 3.3 Casos estáticamente indeterminados ...........................................................................................60 3.4 Peso propio ..................................................................................................................................61 3.4.1 Esfuerzo por peso propio ................................................................................................................61 3.4.2 Deformación por peso propio ........................................................................................................61 3.4.3 Volumen del cono ...........................................................................................................................61 3.4.4 Volumen del tronco de cono ...........................................................................................................61 3.5 Sólido de igual resistencia a la compresión ................................................................................62 3.6 Efecto térmico..............................................................................................................................63 3.6.1 Primer caso .....................................................................................................................................64 3.6.2 Segundo caso ..................................................................................................................................64 3.6.3 Método de superposición ................................................................................................................64 3.7 Coe ciente térmico ( )................................................................................................................65 A ÍT LO ESF ER O EFOR A I N GENERALI A A 1 1 4.1 Material homogéneo..................................................................................................................151 4.2 Material isótropo........................................................................................................................151 4.3 Valores del módulo Poisson.......................................................................................................152 ÍN I E 4.4 Variación de área........................................................................................................................153 4.5 Variación de volumen ...............................................................................................................153 4.6 Módulo de compresibilidad.......................................................................................................154 4.7 Estado de corte puro ..................................................................................................................154 4.8 Relación entre el esfuerzo cortante y la deformación unitaria por corte...................................155 4.9 Fórmulas de Lamé .....................................................................................................................156 4.10 Esfuerzo biaxial .......................................................................................................................157 4.11 Esfuerzo uniaxial .....................................................................................................................157 A ÍT LO ESTA O LANO E ESF ER OS 1 1 5.1 Variación del esfuerzo con la orientación del elemento ...........................................................181 5.1.1 Esfuerzo en un punto.....................................................................................................................181 5.1.2 Estado inicial de esfuerzo .............................................................................................................182 5.1.3 Esfuerzos en el prisma triangular..................................................................................................182 5.1.4 Fuerzas en el prisma triangular.....................................................................................................182 5.1.5 Diagrama de las fuerzas en un punto ............................................................................................183 5.1.6 Ubicación de los planos donde se produce el máximo y el mínimo esfuerzo normal..................184 5.1.7 Magnitud de los esfuerzos principales .........................................................................................184 5.1.8 Ubicación de los planos donde se produce el máximo y mínimo esfuerzo cortante ....................185 5.1.9 Magnitud de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo...............................................................185 5.2 Resumen ....................................................................................................................................186 5.2.1 Esfuerzos en un plano arbitrario ...................................................................................................186 5.2.2 Esfuerzos principales ...................................................................................................................186 5.2.3 Esfuerzo cortante máximo en el plano..........................................................................................186 5.2.4 Invariantes.....................................................................................................................................186 5.2.5 Convención de signos ...................................................................................................................186 5.3 Círculo de Mohr.........................................................................................................................187 A ÍT LO ESTA O LANO E EFOR A IONES 1 6.1 Ecuaciones generales de la transformación de la deformación unitaria plana ..........................200 6.1.1 Deformaciones en un plano arbitrario...........................................................................................200 6.1.2 Deformaciones principales............................................................................................................200 6.1.3 Deformación unitaria cortante máxima en el plano .....................................................................201 6.1.4 Círculo de Mohr............................................................................................................................201 6.1.5 Deformaciones principales............................................................................................................201 6.1.6 Deformación cortante máxima......................................................................................................202 6.1.7 Deformaciones en un plano arbitrario...........................................................................................202 6.2.

Rosetas de deformación unitaria ..............................................................................................202 6.2.1 Rosetas de deformación dispuestas a 45 ......................................................................................203 6.2.2 Rosetas de deformación dispuestas a 60 ......................................................................................203 A ÍT LO RE I IENTES E ARE ELGA A 213 7.1 Esfuerzos en la pared del recipiente .........................................................................................213 7.1.1 Recipientes cilíndricos .................................................................................................................213 7.1.2 Recipientes esféricos ....................................................................................................................214 A ÍT LO TORSI N 221 8.1 Sección circular .........................................................................................................................221 8.1.1 Momento polar de inercia (J)........................................................................................................222 8.1.2 Distribución de esfuerzos de corte................................................................................................222 8.2 Ejes de pared delgada con sección transversal cerrada .............................................................223 8.2.1 Hipótesis .......................................................................................................................................223 8.2.2 Esfuerzo cortante promedio ( prom.) ..........................................................................................223 8.2.3 ngulo de torsión ( )....................................................................................................................223 8.2.4 Flujo de corte o ujo cortante (q)..................................................................................................223 8.3 Ejes macizos de sección transversal no circular........................................................................224 8.4 Acoplamiento por bridas (discos) empernadas..........................................................................225 8.5 Diseño de ejes de transmisión ...................................................................................................226 A ÍT LO F ER A EN IGAS 2 9.1 Fuerzas internas: V, N, M.

.........................................................................................................269 9.2 Tipos de cargas ..........................................................................................................................269 9.3 Diagramas..................................................................................................................................270 9.4 Convención de signos................................................................................................................270 9.5 Materiales ..................................................................................................................................271 9.6 Secciones transversales..............................................................................................................271 9.7 Tipos de vigas ............................................................................................................................271 9.8 Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento exionante.................................272 A ÍT LO 1 ESF ER OS OR FLEXI N ORTE EN IGAS 2 10.1 Hipótesis ..................................................................................................................................285 10.2 Esfuerzos por exión en vigas ................................................................................................285 10.3 Diagrama de esfuerzos normales (por exión) en la sección transversal de la viga ...............287 10.4 Esfuerzo cortante en vigas ( )..................................................................................................287 10.5 Diagrama de esfuerzos cortantes .............................................................................................288 10.6 Nomenclatura.

.........................................................................................................................288 10.7 Módulo de sección...................................................................................................................289 10.8 Limitaciones en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante.....................................................290 10.8.1 Introducción ................................................................................................................................290 10.8.2 Condiciones para el uso de la fórmula........................................................................................290 10.8.3 Errores al aplicar la fórmula........................................................................................................290 10.8.4 No aplicar la fórmula ..................................................................................................................291 10.8.5 Aplicar la fórmula .......................................................................................................................291 10.8.6 Aplicaciones en la ingeniería ......................................................................................................291 A ÍT LO 11 TO O E INTEGRA I N 32 11.1 Demostración...........................................................................................................................325 11.2 Convención de signos para momento......................................................................................326 11.3 Convención de signos para deformaciones..............................................................................326 11.4 Restricciones de deformaciones en los apoyos........................................................................326 11.5 Vigas con cargas simétricas .....................................................................................................327 11.6 Vigas con cargas no simétricas ................................................................................................327 A ÍT LO 12 TO O EL REA E O ENTO 3 1 12.1 Teorema I.................................................................................................................................351 12.2 Teorema II ...............................................................................................................................351 12.3 Demostración...........................................................................................................................352 12.4 rea de momento.....................................................................................................................353 12.5 Isostatización ...........................................................................................................................354 12.6 Elásticas – Deformadas............................................................................................................355 12.7 Diagrama de momentos exionantes.......................................................................................357 A ÍT LO 13 TO O IGA ON GA A 3 13.1 Viga conjugada ........................................................................................................................377 13.1.1 Teorema 1....................................................................................................................................377 13.1.2 Teorema 2....................................................................................................................................377 13.2 Equivalencia de apoyos de la viga real y la viga conjugada....................................................377 13.3 Cargas ......................................................................................................................................378 A ÍT LO 1 TO O E S ER OSI I N 3 ANEXOS 3 Tablas de echas máxima................................................................................................................403 Tablas de centros de gravedad de super cies planas.......................................................................427 Tablas de momentos de inercia de super cies planas......................................................................437 BIBLIOGRAFÍA ESFUER O CAPÍTULO 1 Constante P = dF A = P dF = dA El esfuerzo es una fuerza distribuida en una super cie.

1 1 Es uer o normal ( ) La fuerza P es perpendicular al área A. = Esfuerzo promedio Esfuerzo normal de tracción Esfuerzo normal de compresión La fuerza P debe estar aplicada en el centro de gravedad del área (A) para que el esfuerzo normal ( ) sea uniforme. σ = P A P Resistencia de materiales Editorial Macro 14 1 2 Es uer o cortante orte simple orte doble La fuerza P es paralela al área A. El esfuerzo es promedio en toda la sección. Sección 1 - 1 Sección 2 - 2 Las expresiones 1 y 2 son las coordenadas del centro de gravedad del área A . σ = P A Capítulo 1: Es uer o Ing.

Luis Gamio 15 Super cie analizada: Super cie lateral del cilindro d = diámetro de pasador Otra forma: 1 3 Es uer o de apo o o de aplastamiento Corte 1 -1 Resistencia de materiales Editorial Macro 16 1 Es uer os en un plano inclinado Con relación al plano inclinado: Esfuerzo normal Esfuerzo cortante El esfuerzo de apoyo tiene la característica de producirse cuando hay 2 super cies en contacto, y debido a las fuerzas actuantes una de las super cies se apoya en la otra. Entre 1 columna y 2 zapata, el área común de contacto es: Entre 2 zapata y 3 suelo, el área común de contacto es A2 Capítulo 1: Es uer o Ing.

Luis Gamio 17 Esfuerzo normal Esfuerzo cortante 1) máximo 2) máximo Reemplazando las expresiones 3, 4 y 5 en 1 y 2: Observación: 1 Es uer o admisible Factor de seguridad Los factores de seguridad están especi cados en las normas de diseño. = Esfuerzo último, esfuerzo de rotura o esfuerzo nal. = Esfuerzo admisible Es el máximo esfuerzo al que debe ser sometido un material, asegurándose así un desempeño seguro. F.S. = Factor de seguridad F.S. 1 Resistencia de materiales Editorial Macro 18 La barra rígida EFG está soportada por la armadura mostrada.

Determinar el área de la sección transversal del elemento AE y DE, para la cual el esfuerzo normal en el elemento es de 15000 lb pulg2 Problema 1 Diagrama de cuerpo libre Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 19 Un tubo de acero de 300 mm de diámetro exterior y de espesor de pared de 8 mm, es sometido a una carga axial P = 250 kN. Hallar el esfuerzo normal y tangencial a la soldadura en el punto A. Corte 1-1: Sección transversal Problema 2 Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 20 La resistencia a la rotura del cable BD es 100 kN. Hallar F.S. con respecto a la falla del cable para la carga dada.

Si el esfuerzo admisible en el cable es 55 kN cm2 , hallar el área del cable. D.C.L. Problema 3 Solución : Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 21 Se emplea un pasador en C de 10 mm y en B y D de 12 mm de diámetro. El esfuerzo cortante nal es de 100 MPa en todas las conexiones, y el esfuerzo normal nal de las barras articuladas BD es de 250 MPa.

Hallar la carga para la cual el factor de seguridad es 3.0 Conexiones : En B y D corte doble En C corte doble Diagrama de cuerpo libre: Problema 4 Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 22 Si la fuerza en la barra AB es 27 kN, hallar: A) "d" del pasador si = 100 MPa B) "b" si normal = 120 MPa C) Esfuerzo de apoyo en la barra AB Problema 5 Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 23 Hallar la longitudAB, para la cual el esfuerzo normal máximo es mínimo. Luego, hallar el valor del esfuerzo normal máximo.

latón: 8500 kg m3 Problema 6 Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 24 El esfuerzo normal último que soporta la barra AB es 450 MPa, si se utiliza un factor de seguridad de 3.5. Determinar el área que debe darse a la barra AB. Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la barra BE. Factor de conversión: Problema 7 Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 25 Una columna corta debe soportar una carga de 80 000 kg. El esfuerzo de rotura es de 2 500 kg cm2 . Usar un factor de seguridad de 5 y encontrar el espesor de e que debe darse a la columna.

Sección transversal de la columna: Problema 8 Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 26 Hallar el máximo valor de P (admisible) Problema 9 Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 27 Las 2 porciones del elemento AB están pegadas a lo largo de un plano que forma un ángulo a con la horizontal. Si los esfuerzos nales en la junta son u = 17 MPa y u = 9 MPa, hallar el intervalo de valores de entre los cuales el factor de seguridad es por lo menos igual a 3.0 Problema 10 Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 28 Problema 11 La palanca acodada mostrada en la gura está en equilibrio.

Si el diámetro del pasador en "D" es de 2.5 cm, determinar el diámetro de la barra AB, si el esfuerzo normal en AB es los 4 3 del esfuerzo de corte en "D". D.C.L. Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 29 Problema 12 Se tiene 3 bloques circulares que resisten un esfuerzo de aplastamiento de = 1600 kg cm2 (igual que el apoyo inferior), y un esfuerzo de corte de = 800 kg cm2 . Hallar las dimensiones mínimas: d, d1 , d2 , t1 , t2 cuando se somete a los bloques a una carga axial de 20 T. Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 30 Esfuerzos de corte: En el bloque intermedio En el bloque inferior La arandela tiene un diámetro interior de 1".

Calcular su diámetro exterior "d" si el esfuerzo de apoyo promedio entre la arandela y la madera no debe exceder de La varilla está sometida a un esfuerzo normal de: Problema 13 Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 31 Calcular las áreas de las secciones transversales de los elementos elásticos del sistema mostrado. = 2000 kg cm2 (Esfuerzo admisible) Problema 14 D.C.L. Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 32 Calcular la sección del cable CD (cm2 ) D.C.L. BE Problema 15 Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 33 Problema 16 Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 34 2.

2.17 2.17 3.88 3.10 3.10 1.328 2.213 4.87 4.87 0.672 3.616 0 Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 35 Problema 17 Se aplican 3 fuerzas al mecanismo de la gura, cada una de magnitud P = 4 kN. Determinar el área transversal de la parte uniforme de la barra BE, para la cual el esfuerzo normal es de 100 MPa. 0.10 m 0.15 m C D P V VD D.C.L. D.C.L. Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 36 Problema 18 Hallar el área de cada varilla. Esfuerzo admisible : Nudo: Nudo: Módulo de elasticidad E: Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 37 Problema 19 ElpasadorenCessometido a un = 703.1 kg cm2 . Calcular su sección. El tirante AB se encuentra sometido a un = 1556.82 kg cm2 .

Calcular su sección. Soporte: C Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 38 La barra rígida EFG está soportada por el sistema mostrado. Sabiendo que el elemento CG es una barra sólida circular de 0.75 pulgadas de diámetro; determinar el esfuerzo normal en CG. D.C.L. Nudo: Problema 20 Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 39 D.C.L. BARRA EG Calcular el área de la varilla BC = 1 000 kg cm2 Problema 21 Solución: Resistencia de materiales Editorial Macro 40 Problema 22 Solución: Capítulo 1: Es uer o Ing. Luis Gamio 41 Problema 23 Determinar la posición "d" de la carga de 6 kN, para que el esfuerzo normal promedio en ambas barras sea el mismo. D.C.L.

(1) en (2): Solución: DEFORMACIÓN UNITARIA CAPÍTULO 2 2 1 e ormación (δ) Es el cambio en forma y tamaño de un cuerpo cuando se le aplican fuerzas. 2 2 espla amiento Es una magnitud vectorial que se usa para medir el movimiento de una partícula o punto de una posición a otra. 2 3 e ormación unitaria axial (Normal) ( ) Es el alargamiento o acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud. 2 e ormación unitaria axial promedio ( ) Se obtiene al dividir la deformación axial entre la longitud original de la barra . es adimensional. Se expresa como una relación de longitudes: pulg pulg, mm mm.

2 ariación de longitud ( ) En ingeniería, la mayoría de los diseños presentan aplicaciones para las cuales se permiten deformaciones muy pequeñas. Resistencia de materiales 44 Editorial Macro 2 e ormación angular ( e ormación unitaria cortante) ( ) Es el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea que originalmente eran perpendiculares entre sí. ( ) Radianes γ Las deformaciones unitarias axiales o normales causan un cambio en el volumen de un cuerpo. Las deformaciones unitarias cortantes o deformaciones angulares causan un cambio en la forma del cuerpo. γ π θ = 2 Capítulo 2: e ormación unitaria 45 Ing. Luis Gamio A) Calcular el esfuerzo promedio de tensión en el cable (MPa).

B) Si el cable se reduce en 5.1 mm, calcular la deformación unitaria promedio. Problema 24 D.C.L. Solución: Resistencia de materiales 46 Editorial Macro Problema 25 La placa triangular está empotrada en su base y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determinar: a) La deformación unitaria promedio X1 a lo largo del eje X1 b) La deformación unitaria promedio X a lo largo del eje X c) XY c) Solución: Capítulo 2: e ormación unitaria 47 Ing. Luis Gamio Problema 26 Las esquinas de la placa cuadrada reciben los desplazamientos indicados. Determinar las deformaciones unitarias normales promedio X Y a lo largo de los ejes X e Y.

Adicionalmente calcular: AB Solución: Resistencia de materiales 48 Editorial Macro El alambre está sometido a una deformación unitaria normal, de nida por: El alambre tiene una longitud inicial L. Determinar el incremento en su longitud y la deformación unitaria promedio. Problema 27 Solución: Capítulo 2: e ormación unitaria 49 Ing. Luis Gamio La placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determinar la deformación unitaria cortante promedio XY de la placa. Además, calcular: Problema 28 Solución: Resistencia de materiales 50 Editorial Macro La pieza de caucho es inicialmente rectangular y está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas.

Determinar: a) La deformación unitaria cortante promedio XY b) La deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado AD y de la diagonal DB. en (1) Problema 29 Solución: B Capítulo 2: e ormación unitaria 51 Ing. Luis Gamio El material se distorsiona y toma la forma indicada por las líneas punteadas.

Determinar: a) Deformación unitaria normal X a lo largo de X b) Deformación unitaria normal Y a lo largo de Y c) Deformación unitaria cortante XY d) Deformación unitaria normal a lo largo de la línea BE e) AD f) CF Problema 30 c) d) Solución: Resistencia de materiales 52 Editorial Macro Problema 31 La carga no uniforme genera una deformación unitaria normal en la barra que se expresa como X = Kx2 , donde K es una constante. Determinar: a) El desplazamiento del extremo B b) La deformación unitaria normal promedio en la barra a) b) Solución: Capítulo 2: e ormación unitaria 53 Ing.

Luis Gamio La carga no uniforme genera una deformación unitaria normal en la barra, que se expresa como , donde K es una constante. Determinar: a) El desplazamiento del centro C. b) La deformación unitaria normal promedio en toda la barra. Problema 32 a) b) Solución: Resistencia de materiales 54 Editorial Macro Problema 33 Problema 34 Se encontró que unos ejes mutuamente perpendiculares entre sí, en un miembro libre de esfuerzo, estaban orientados a 89.92 cuando el miembro se sujetó a esfuerzos. Determinar la deformación angular asociada con estos ejes en el miembro sujeto a esfuerzos. Una placa triangular delgada se deforma uniformemente, tal como se muestra en la gura.

Determinar la deformación angular en P. Sin deformación Con deformación Solución: Solución: Capítulo 2: e ormación unitaria 55 Ing. Luis Gamio Problema 35 La placa de acero rígida A está sostenida por 3 varillas; después de aplicar la carga P, la deformación unitaria axial en la varilla C es 900 pulg pulg. Determinar: a) B b) B si hay un espacio libre de 0.006 pulg en las conexiones entre A y B antes de aplicar la carga. a) b) Solución: CARGA AXIAL CAPÍTULO 3 Se tiene una varilla de longitud L y una sección transversal A sometida a una carga P en su extremo inferior. La carga axial P (en dirección de un eje) genera esfuerzos normales en las secciones perpendiculares a la carga P.

(secciones transversales) En el corte x - x X X A P Y L P L δ La carga P genera deformación en el cuerpo en dirección de la carga Deformación unitaria normal promedio: Experimentalmente se ha determinado una relación constante dentro de un cierto rango de valores entre el y la . Entre O y A es constante la tan E Módulo de elasticidad del material. (unidades de esfuerzo) El punto A es el límite de proporcionalidad. De las ecuaciones 1, 2 y 3 se deduce: Resistencia de materiales 58 Editorial Macro En conclusión la carga axial produce esfuerzos normales los que a su vez generan deformaciones .

Si el cuerpo está compuesto de varios materiales (varía E), tiene secciones transversales diferentes (varía A) o está sometido a cargas constantes o variables en diferentes puntos, la ecuación (4) adopta las formas siguientes: 3 1 ódulo de elasticidad (E) Material E (GPa) Acero estructural Aluminio forjado Latón Bronce 200 73 100 100 Los valores pueden variar ampliamente; sin embargo, se puede obtener información más precisa de los fabricantes. DIAGRAMA: ESFUER O – DEFORMACIÓN NORMAL UNITARIA zona elástica zona plástica Capítulo 3: Carga axial 59 Ing.

Luis Gamio L.P = Límite de proporcionalidad: Es el punto donde se produce el máximo esfuerzo durante el ensayo de tracción simple, de modo que el esfuerzo sea función lineal de la deformación. L.E = Límite elástico: Es el punto donde se produce el máximo esfuerzo durante un ensayo de tracción simple, de modo que no haya deformación permanente o residual cuando se suprime totalmente la carga. y = Esfuerzo de Fluencia: Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico es el esfuerzo que causa una deformación permanente del material, este comportamiento se llama uencia. ona elástica: Es la región del grá co Esfuerzo – Deformación que va desde el origen hasta el límite elástico.

ona plástica: Es la región del grá co Esfuerzo – Deformación que va desde el límite elástico hasta el punto de rotura o fractura. aterial d ctil: (Acero, Aluminio) Tiene un alargamiento a tracción relativamente grande hasta llegar al punto de rotura. Aproximadamente 0.05 cm cm. aterial rágil: (Concreto) Tiene un alargamiento a tracción relativamente pequeño hasta llegar al punto de rotura, aproximadamente 0.05 cm cm. Resistencia de materiales 60 Editorial Macro Si es pequeño, AB y BD son de magnitud despreciable; entonces se traza la perpendicular en vez del arco de circunferencia para ubicar la posición nal de la barra CA.

Esta simpli cación nos lleva a plantear geometrías sencillas donde se relacionan las deformaciones. 3 3 asos estáticamente indeterminados 1. Cierto tipo de problemas se resuelven utilizando ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas interiores; estos son problemas estáticamente determinados. 2. Existen problemas donde no se pueden obtener las fuerzas interiores utilizando solo las ecuaciones de equilibrio; adicionalmente, hay que obtener relaciones entre deformaciones utilizando la geometría. Estos problemas se denominan estáticamente indeterminados o hiperestáticos. 3.

Otro tipo de problemas hiperestáticos se resuelven por el método de superposición, que consiste en considerar separadamente las deformaciones causadas por las cargas dadas y las causadas por la reacción que causa la hiperestaticidad. Luego, se suman o superponen los resultados obteniendo así el valor de la reacción. Conocida la reacción se pueden calcular esfuerzos y deformaciones. 3 2 Geometr a de los pe ue os despla amientos A C A A B B D D α α Capítulo 3: Carga axial 61 Ing.

Luis Gamio 3 eso propio 3.4.1 Esfuerzo por peso propio 1 1 r r h R R r r h 3.4.2 Deformación por peso propio 3.4.3 Volumen del cono 3.4.4 Volumen del tronco de cono r2 Resistencia de materiales 62 Editorial Macro D.C.L. 3 Sólido de igual resistencia a la compresión "En cualquier sección transversal el esfuerzo normal es el mismo" P A + dA A dx x Sección transversal genérica Sección transversal en la base Capítulo 3: Carga axial 63 Ing. Luis Gamio Volúmen P R w 3 E ecto t rmico Cuando se presentan variaciones de temperatura los materiales sufren deformaciones.

t se expresa comúnmente en: Grados Celsius C o grados Fahrenheit F Resistencia de materiales 64 Editorial Macro 3.6.1 Primer caso 3.6.2 Segundo caso: 3.6.3 Método de superposición: Se tiene una varilla libremente apoyada y se le somete a un incremento de temperatura por la cual la varilla se dilata sin que nada se lo impida. (No hay esfuerzo) E, A, α Α Β L Α Β L Posición final P P Deformación por temperatura Deformación por carga axial Setieneunavarilla jaa2apoyosrígidos(AyB)yseincrementalatemperatura. Experimentalmente se determinó: Capítulo 3: Carga axial 65 Ing. Luis Gamio Primero se retiró un apoyo, dejando que se deforme libremente por temperatura ( ).

Al tratar de dilatarse, los apoyos se lo impiden, generándose la fuerza P. Por ello, se calcula la deformación debido a la carga axial; como no se movió la varilla, ambas deformaciones son iguales. Esto nos permite calcular la fuerza P y el esfuerzo normal que se generó, debido a que no se pudo deformar la varilla. 3 oe ciente t rmico ( ) Material (10-6 F) (10-6 C) Acero estructural Aluminio forjado Latón Bronce 6.6 12.5 9.8 9.4 11.9 22.5 17.6 16.9 Los valores pueden variar ampliamente; sin embargo, se puede obtener información más precisa de los fabricantes. Resistencia de materiales 66 Editorial Macro Calcular el diagrama de esfuerzos normales.

A = 1m2 Diagrama de : compresión Problema 36 Solución: Capítulo 3: Carga axial 67 Ing. Luis Gamio Calcular el diagrama de esfuerzos normales. A = 1 m2 T 6 x q = 1.5 T/m 1 1 1 V 2 X 2 q = 1.5 T/m T 6 T 4 2 V 3 X 3 q = 1.5 T/m T 6 T 6 T 4 T 4 T 6 T 6 3 V3 V Problema 37 Solución: Resistencia de materiales 68 Editorial Macro Hallar "x" para que los puntos B y E se pongan en contacto. (E = 200 GPa) Problema 38 0 2 m 9 6 4 m 6 m 17 14 8 5 (T/m2 ) Compresión Tracción V V – Diagrama de : D A C 0.25 m = 2 mm 0.08 m 0.32 m 20 kg E B 1.5 mm X I FCD 20 kg A B C 0.08 m 0.32 m X D.C.L: Solución: Capítulo 3: Carga axial 69 Ing.

Luis Gamio Deformaciones: 0.08 0.32 0.0015 m CD G b/2 x b/2 b/4 b/4 x y 1 1 X A " W X A x X A x X X V V A = b t/2 A = b t/2 Problema 39 Solución: Un bloque de espesor constante "t" tiene una densidad . Calcular la deformación total debida al peso propio. b b/2 t Resistencia de materiales 70 Editorial Macro Calcular: D.C.L: Problema 40 Solución: Capítulo 3: Carga axial 71 Ing. Luis Gamio Resistencia de materiales 72 Editorial Macro La barra rígida AB tiene 1000 kg de masa, y pende de 2 cables de área 400 m2 . Determinar la magnitud de P y su ubicación. Los esfuerzos en los cables AC y BD tienen un límite de 100 MPa y 50 MPa respectivamente.

D.C.L: Problema 41 Solución: Capítulo 3: Carga axial 73 Ing. Luis Gamio Diseñar el cable y el soporte de madera y determinar el desplazamiento del punto B. = 36.87 = 53.13 Problema 42 Solución: Resistencia de materiales 74 Editorial Macro Capítulo 3: Carga axial 75 Ing. Luis Gamio El bloque de concreto tiene un peso de 400 kg y A= 103 cm2 . El bloque está suspendido de un cable de acero (E = 2 x 106 kg cm2 ) y A = 0.5 cm2 . a) Determinar los desplazamientos de los puntos 1 y 2. E concreto = 2 x 105 kg cm2 . b) Dibujar el diagrama de esfuerzo normal.

Problema 43 Solución: Resistencia de materiales 76 Editorial Macro Determinar la deformación total de la columna de concreto si: Problema 44 Capítulo 3: Carga axial 77 Ing. Luis Gamio Solución: Resistencia de materiales 78 Editorial Macro Hallar el valor máximo de de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: Problema 45 Solución: Capítulo 3: Carga axial 79 Ing. Luis Gamio Calcular la deformación total del tronco de cono. P = 20 T d = 2m = 2300 kg m3 D = 4 m E = 0.18 x 106 kg cm2 Problema 46 Solución: Resistencia de materiales 80 Editorial Macro Corte 1-1 Capítulo 3: Carga axial 81 Ing.

Luis Gamio Corte 1-1: Corte 2-2: Corte 3 3: Hallar el valor de P1 para que el desplazamiento del punto R sea 0.3 mm hacia la derecha. Nota: El sentido de los esfuerzos ha sido asumido, dado que se desconoce la magnitud de P1 . E = 200 GPa A1 = 5 cm2 A2 = 10 cm2 A3 = 15 cm2 P2 = 60 kN P3 = 120 kN Problema 47 Solución: Resistencia de materiales 82 Editorial Macro Solución: D.C.L. Corte: 1-1: Corte: 2-2: Problema 48 En la gura mostrada hallar la relación entre P1 y P2 de tal manera que el desplazamiento vertical en C sea cero. Capítulo 3: Carga axial 83 Ing. Luis Gamio Para el sistema que se muestra en la gura, encontrar el desplazamiento del punto C.

E = 30 x 10 6 lb pulg2 Diámetros de los troncos de cono: Diámetro mayor: 1 pulg Diámetro menor: pulg (Por ser el mismo volúmen y la carga el doble) Problema 49 Reemplazando en (3) las relaciones dadas inicialmente: Solución: Resistencia de materiales 84 Editorial Macro La fuerza P hace descender el brazo rígido,y los puntos D y E son articulaciones de pasador sin fricción. Cuando el brazo rígido ACD está horizontal, la abertura en el punto F es 0.1". Determinar la deformación unitaria en la varilla BC, cuando la abertura es 0.2 pulg. Cuando la abertura es 0.2 pulg el punto G se desplaza 0.1 pulg hacia la izquierda. Deformaciones: Problema 50 Solución: Capítulo 3: Carga axial 85 Ing.

Luis Gamio E = 2000 x 103 kg cm.2 2 x 107 kg m2 = 2000 kg m3 Calcular la deformación total del cuerpo formado por un cilindro y un cono debido a su peso propio. Problema 51 Solución: Resistencia de materiales 86 Editorial Macro E= 2x 106 kg cm2 2x 1010 kg m2 = 2500 kg m3 Calcular la deformación total del tronco de cono debido a su peso propio. Problema 52 Solución: Capítulo 3: Carga axial 87 Ing. Luis Gamio Barra de acero A = 250 mm2 E = 200 GPa a) Calcular P1 (kN) si el extremo inferior "D" de la barra no se debe desplazar verticalmente cuando se aplican las cargas, ( D = 0).

b) Calcular P1 (kN) cuando D = 0.2 mm Problema 53 Solución: Resistencia de materiales 88 Editorial Macro L: Hallar X para que la carga P aplicada haga que la barra se mantenga horizontal. P=10,000 libras. Deformaciones: Problema 54 Solución: Acero Cobre Capítulo 3: Carga axial 89 Ing. Luis Gamio Calcular: 1) La deformación total 2) El desplazamiento horizontal del punto A E = 10 6 kg cm2 A1 = 36 cm2 A2 = 6.4 cm2 Problema 55 Solución: Resistencia de materiales 90 Editorial Macro D.C.L. Problema 56 A = ? Solución: Capítulo 3: Carga axial 91 Ing. Luis Gamio D.C.L. Deformaciones: Calcular el desplazamiento vertical de "C".

Ambas varillas: Solución: Problema 57 Resistencia de materiales 92 Editorial Macro Problema 58 Hallar el desplazamiento del punto A. Carga distribuida Solución: Capítulo 3: Carga axial 93 Ing. Luis Gamio Corte 1-1: Corte 2-2: De manera similar se realizan los 3 cortes siguientes: Loscincoesfuerzosserándetracción;porlotanto,lasdeformacionesseránalargamientos. Resistencia de materiales 94 Editorial Macro Hallar la relación del área de acero y la del aluminio si las longitudes se van a deformar igual. Problema 59 D.C.L. Solución: Capítulo 3: Carga axial 95 Ing. Luis Gamio Determinar el valor de P, de manera que la barra rígida quede en posición horizontal. Por equilibrio: Problema 60 D.C.L.

Solución: Por deformaciones: Resistencia de materiales 96 Editorial Macro Corte 1-1: Corte 2-2: La varilla ABC está sometida a una carga = 30 000 lb y una carga P si E = 30 x 106 lb pulg2 . Hallar: a) La magnitud de P necesaria para que la de exión de A sea cero. b) La de exión del punto B. Problema 61 Solución: Ecuaciones (2) y (3) en (1): P = 4,576 Lb. Capítulo 3: Carga axial 97 Ing. Luis Gamio Problema 62 D.C.L. Deformaciones: Dos barras que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D, y separadas en C mediante un rodillo. En B una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Hallar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C.

Varilla: Solución: Resistencia de materiales 98 Editorial Macro Problema 63 D.C.L. CD: Deformaciones AB y CD son barras rígidas. Determinar P Máximo si las barras pueden moverse verticalmente un máximo de 5 mm. acero Aluminio Acero E = 70 GPa L = 2m A = 500 M2 200 GPa 2m 300 m2 Solución: Capítulo 3: Carga axial 99 Ing. Luis Gamio Problema 64 Determinar el alargamiento de la barra cónica debido a su peso propio. Solución: Resistencia de materiales 100 Editorial Macro Problema 65 Un tubo de aluminio de 1.20 m de longitud y 1100 mm2 de sección, descansa en un soporte jo en A.

La varilla de acero BC es de 15 mm de diámetro, cuelga de una placa rígida que descansa sobre el tubo en B, sabiendo que el módulo de elasticidad es de 200 GPa para el acero y de 70 GPa para el aluminio. Hallar la de exión de C cuando: P= 60 kN. Solución: Capítulo 3: Carga axial 101 Ing. Luis Gamio Problema 66 Deformaciones: La barra rígida está en posición horizontal antes de aplicar la carga. P. Si P = 50 kN Determine el movimiento vertical del punto C. Acero Aluminio L = 3 m A = 300 m2 E = 200 GPa 4 m 500 m2 70 GPa Solución: Resistencia de materiales 102 Editorial Macro Problema 67 D.C.L. Determinar el desplazamiento vertical de la rótula en C. Solución: Capítulo 3: Carga axial 103 Ing.

Luis Gamio Grá codedeformaciones: Problema 68 Calcular los esfuerzos normales en el núcleo de acero y en las placas de aluminio. Solución: Capítulo 3: Carga axial 105 Ing. Luis Gamio Problema 70 Una viga rígida de peso despreciable está articulada en O y sujeta mediante dos varillas de igual E, A. Determinar la carga en cada varilla si P = 30 kN. D.C.L. Deformaciones: Solución: Resistencia de materiales 106 Editorial Macro Problema 71 D.C.L.: Desplazamientos: Hallar el desplazamiento vertical del punto P. Solución: Capítulo 3: Carga axial 107 Ing. Luis Gamio Problema 72 Deformaciones: La barra rígida AB de peso despreciable está articulada en 0 y ja a las varillas de aluminio y de acero.

Hay un claro = 4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcular el esfuerzo en la varilla de acero, cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articula en el apoyo D. EAC = 200 GPa EAL = 70 GPa Solución: Resistencia de materiales 108 Editorial Macro Problema 73 Determinar la parte de la carga que soporta cada varilla. Equilibrio de la barra: Deformaciones: Solución: Capítulo 3: Carga axial 109 Ing. Luis Gamio Problema 74 Hallar el esfuerzo en las varillas 1,2 y 3 cuando se une al extremo inferior de la varilla 2 a la barra rígida.

Todas las varillas tienen A = 2cm2 , E = 2 x 106 kg cm2 Considerar = 0.2 cm Solución: Resistencia de materiales 110 Editorial Macro Problema 75 Deformaciones En el grá co se cumple: Resolviendo (1), (2) y (3): (2) Por estática Dada las varillas DB y EC con: Solución: Capítulo 3: Carga axial 111 Ing. Luis Gamio Problema 76 Deformaciones: La longitud del conjunto mostrado disminuye en 0.40 mm cuando se le aplica una fuerza axial, por medio de placas rígidas en los extremos. Hallar: a) La magnitud de la fuerza aplicada. b) El esfuerzo correspondiente en el núcleo de latón. Solución: Resistencia de materiales 112 Editorial Macro Deformaciones Problema 77 Capítulo 3: Carga axial 113 Ing.

Luis Gamio Por equilibrio: Deformaciones: Para el sistema mostrado en la gura no hay deformación en las barras verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la carga P, la deformación axial en la barraAes 0.0036 . Determinar la deformación axial que se produce en la barra B y el valor de la fuerza P. Solución: Resistencia de materiales 114 Editorial Macro Problema 78 Deformaciones: Diagrama de cuerpo libre: Determinar el esfuerzo normal en cada varilla y el desplazamiento vertical del punto de aplicación de la carga. Solución: Capítulo 3: Carga axial 115 Ing.

Luis Gamio Determinar el esfuerzo en cada cable y la desviación vertical del punto B A 180 D 140 cm E A c e r o Cobre cm C B T 2 T 1 1.5 0.9 0.6 m 180 240 240 300 320 400 D E 1.5 0.9 0.6 m A T 2 T 1 D E CO F AC F Cobre D D G CO G A c e r o G AC GAC G E E D.C.L. Deformaciones: Solución: Problema 79 Resistencia de materiales 116 Editorial Macro D.C.L. Determinar el valor mínimo de X , de manera que no se superen los siguientes esfuerzos: 4 m x 2m 4m 2 1 A T 6 3m 3m D E A X 4m 3m 1 F 2 F T 6 E D 1 1800 kg cm 2 1200 kg cm A1 = 2 cm E1 = E2 = 2 x 106 kg cm A2 = 1 cm Problema 80 0.6 2.4 G ȕ G Solución: Capítulo 3: Carga axial 117 Ing.

Luis Gamio Problema 81 La barra rígida pesa 2 T m y las barras elásticas tienen el mismo E = 2 x 106 kg cm . Calcular P máximo si el esfuerzo admisible es 3000 kg cm . 1 F 2 F 3 F 1 m 1 m 1 m 1.5 1/2 B B P 10000 kg D.C.L. 1 2 3 Solución: Resistencia de materiales 118 Editorial Macro D.C.L. Deformaciones: La plancha rígida pesa 104 libras y se apoya en 3 barras colocadas simétricamente. Determinar los esfuerzos en las barras. 1 1 B pie pie lbs. A F 1 B F 2 B F 4 10 Bronce Acero A = 3 pulg E = 15 x 106 psi = 3 pies 4 30 x 106 3 Problema 82 Solución: Capítulo 3: Carga axial 119 Ing.

Luis Gamio Deformaciones: Deformaciones: Problema 83 Las 3 barras son de acero E = 30 x 104 lb pulg y tienen el mismo diámetro. Si el esfuerzo normal no debe exceder de 20000 lb pulg en las barras, calcular el diámetro mínimo que se debe usar en las barras. D.C.L. Solución: Resistencia de materiales 120 Editorial Macro Problema 84 Deformaciones: D.C.L. Determinar el esfuerzo en la barra de acero y en el aluminio, una vez que se haya aplicado la carga central. P = 400 kN = 0.1 mm Aluminio Acero L = 250 mm A = 120 mm = 70 GPa 249.9 2400 200 0.1 mm Posición inicial P. final AL G AL G AC G Solución: Capítulo 3: Carga axial 121 Ing. Luis Gamio Problema 85 D.C.L.

Deformaciones: De (1) y (3): De (2): Calcular la longitud de la barra de bronce de manera que la fuerza total en cada barra de acero sea el doble de la que soporta aquella. B r o n c e A c e r o A c e r o a a T 20 Acero Bronce A = 6 cm2 E = 2.1 x 106 kg cm2 L = 1 m 9 cm2 8.4 x 105 kg cm2 ? Solución: a 2F F 2F a T 20 Problema 86 Resistencia de materiales 122 Editorial Macro Determinar el rango de valores de "x" de manera que las 3 varillas de acero no sufran tensión. 1 M (1) (2) D.C.L. Deformaciones: Primer caso: Segundo caso: L1 = L2 = L3 = L A1 = A2 = A3 = A E1 = E2 = E3 = E Solución: Problema 87 Capítulo 3: Carga axial 123 Ing.

Luis Gamio A W 4 m 2 m FAC Fma D ma 0.1 G AC G D + 0.1 cm ma G AC G D D D.C.L. Deformaciones: A Cable de acero 3 m 3 m 4 m 2 m W Madera ' D Determinar W si: Madera Acero Solución: kg Problema 88 Resistencia de materiales 124 Editorial Macro 6000 kg 1250 XB a a a 715 XC 535 XD A D.C.L. Deformaciones: Una barra rígida AD es soportada en A por un soporte rígido y en B,C y D por resortes cuyas constantes son KB = 1 250 kg cm. KC = 715 kg cm, KD = 535 kg cm Si se aplica una carga de 6 000 kg. en C, calcular las reacciones en B, C y D. Solución: Problema 89 Capítulo 3: Carga axial 125 Ing.

Luis Gamio Un cilindro circular recto de hierro fundido de 3" de diámetro, se coloca concéntricamente dentro de un tubo de acero de 15" de diámetro interior y 16" de diámetro exterior, y el espacio entre ellos se rellena con concreto. Determinar los esfuerzos en cada material, debido a una carga axial de 600 000 libras. Solución: Problema 90 Resistencia de materiales 126 Editorial Macro Una barra rígida de peso despreciable está articulada de un extremo, y suspendida de una varilla de acero y una de bronce. Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MN m y en el bronce de 70 MN m ?

Acero Bronce Solución: Sí Problema 91 Capítulo 3: Carga axial 127 Ing. Luis Gamio Se tiene una barra rígidaAB sometida a una carga de 50 kN y sostenida por una varilla de aluminio y otra de acero. Si se incrementa la temperatura en 40 C, hallar los esfuerzos en el aluminio y en el acero. Aluminio Acero A = 900 mm 600 E = 70 x 109 N m 2 x 1011 = 23 x 10 -6 C 11.7 x 10-6 L = 3 m 4 D.C.L.

Deformaciones: Solución: Problema 92 Resistencia de materiales 128 Editorial Macro Nivel final Nivel inicial Concreto Acero Deformaciones: PAC G PCO G TCO G TAC G acero concreto 10´´ 10´´ 5´ Poste de concreto Hallar los esfuerzos normales del poste de concreto mostrado en la gura, generados en el acero y en el concreto por un ascenso de temperatura de 90 F. Dicho poste está reforzado con 6 barras de 7 8" c u. acero = 6.5 x 10 6 F concreto = 5.5 x 10 6 F Eacero = 30 x 106 pulg2 Econcreto = 3.6 x 106 pulg2 Solución: Problema 93 Capítulo 3: Carga axial 129 Ing. Luis Gamio Deformaciones: Calcular: a) La fuerza de compresión en las barras mostradas, después de un aumento de temperatura de 200 F.

b) El cambio correspondiente de longitud de la barra de aluminio. Acero Bronce Solución: Problema 94 Resistencia de materiales 130 Editorial Macro El casco de aluminio de la ilustración está completamente adherido al núcleo de latón, y el conjunto no está esforzado a 15 C. Considerando solo las deformaciones axiales, hallar el esfuerzo en el aluminio cuando la temperatura llega a 195 C. Latón Aluminio E = 105 GPa = 19 x 10-6 C 70 GPa x 10-6 C Como el aluminio tiende a deformarse más que el latón, surge una fuerza interna P que hace que se deformen igual ambos materiales (están completamente adheridos). Deformaciones: Aluminio Latón Solución: Problema 95 Capítulo 3: Carga axial 131 Ing.

Luis Gamio Para t0 = 20 C Existe un = 0.5 mm Hallar: a) La temperatura a la cual el acero = 150 MPa b) La longitud nal de la varilla de acero. Aluminio Acero A = 2 x 103 mm 800mm2 E = 70 GPa 190 GPa = 23 x 10 -6 C 18 x 10-6 C Posición final 1 2 t1 G P1 G P2 G t2 G 1 ' 2 ' B) Solución: Resistencia de materiales 132 Editorial Macro Problema 96 Aluminio Acero E = 30 x 106 lb pulg 10 x 106 = 6.5 x 10-6 F 13 x 10-6 A = 2" x 2" 1.5 x 1.0 El sistema mostrado en la gura se mantiene en dicha posición a 15 F. Si luego se coloca la carga P = 3 x 104 lbs y la temperatura aumenta a 55 F, calcular el esfuerzo en la barra B y C. = 2 x 10-3 pulgadas. Deformaciones: Solución: Capítulo 3: Carga axial 133 Ing.

Luis Gamio Problema 97 Bronce Acero A = 600 mm2 400 E = 83 GPa 200 = 18.9 x 10-6 C 11.7x 10-6 A una temperatura de 20 C hay un =0.2mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las 2 barras de acero. Determinar el esfuerzo en cada barra cuando la tf =100 C. D.C.L. Deformaciones: Solución: Problema 98 Resistencia de materiales 134 Editorial Macro Si la barra rígidaAB se mantiene en posición horizontal a determinada temperatura, calcular la relación de áreas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Por condición del problema: Aluminio Acero D.C.L. Solución: Problema 99 Capítulo 3: Carga axial 135 Ing.

Luis Gamio La temperatura de los 3 cables aumenta 14 C. Hallar el esfuerzo en cada cable y la posición de la carga aplicada para que la viga permanezca en horizontal. D.C.L. Deformaciones: Acero Bronce Cobre Solución: Problema 100 Resistencia de materiales 136 Editorial Macro A)Si t0 = 20 C y tf = 120 C, hallar los esfuerzos en las varillas 1 y 2. B)Si t0 = 20 C. A qué temperatura quedará la varilla 2, exenta de esfuerzo? Varillas 1 y 2 A = 20 cm2 = 12 x 10-6 C E = 2 x 106 kg cm2 A 3 m 2 m 2 m 1 m 2 1 T 10 Deformaciones: 10 000 kg A) D.C.L. B) kg Solución: Problema 101 Capítulo 3: Carga axial 137 Ing. Luis Gamio A F T 10 FBR FAC 1.0 2.5 1.25 Deformaciones: D.C.L.

Determinar la variación de temperatura que debe experimentar el sistema para que la barra de bronce alcance un esfuerzo de 600 kg cm2 . Bronce Acero A = 12 cm2 E = 8.4 x 105 kg cm2 = 1.89 x 10-5 C 4 2.1 x 106 1.17 x 10-5 1 m A 3 m Bronce 1.0 2.5m 1.25 m Acero T 10 T Solución: Problema 102 Resistencia de materiales 138 Editorial Macro Solución : Hallar la relación entre los coe cientes de dilación 1 y 2 para que la estructura sometida a un aumento de temperatura " t" no engendre esfuerzos de origen térmico. Condición del problema: Deformaciones: Lasdeformacionesseránportemperaturaúnicamente. Problema 103 Capítulo 3: Carga axial 139 Ing.

Luis Gamio Si al elemento AB se le incrementa la temperatura desde 60 F hasta 104 F, mientras que la temperatura del elemento AC permanece en 60 F. ué esfuerzos se inducen en ellos, suponiendo que se conservan rectos? = 6 x 10-6 F E = 30 x 106 lb pulg2 A = 2 pulg2 Equilibrio en el nudo A Solución: Deformaciones: A1 : Posición nal del punto A Resistencia de materiales 140 Editorial Macro Problema 104 Suponemos ( ) D.C.L. F2 FG F2 FC FB F B E C G 36´´ 12´´ 12´´ 36´´ 20000 Deformaciones: ué variación de temperatura se requerirá para que el punto F no varíe su posición según la vertical más de 0.075", estando sometido simultáneamente a la acción de P = 20 000 lbs?

Considerar la barra BC rígida y FG rígida. Solución: I II A (pulg2 ) E (lb pulg2 ) ( F) 0.5 30 106 6.5 10-6 2 15 106 9.2 10-6 Capítulo 3: Carga axial 141 Ing. Luis Gamio Condición del problema: Problema 105 Diámetro de las 3 varillas: 1 8". Con qué aumento de temperatura t ( F), el peso W es soportado solo por las varillas de acero? Acero A c e r o 1´ 1´ 1´ 1´ 800 lb = W 1´ A c e r o A l u m i n i o D.C.L. Deformaciones: 1´ 1´ 400 lb 400 lb 800 lb Solución: Resistencia de materiales 142 Editorial Macro Problema 106 Un tubo de aluminio tiene una longitud de 60 m a una temperatura de 18 C. Un tubo de acero adyacente, a la misma temperatura es 5 mm mayor que la longitud del tubo de aluminio.

A qué temperatura la diferencia de longitud de los 2 tubos será de 15 mm? al = 23 x 10-6 C ac = 12 x 10-6 C Solución: Capítulo 3: Carga axial 143 Ing. Luis Gamio Problema 107 D.C.L. Deformaciones: t = 30 C FAC = ? FAL = ? Aluminio Acero Resistencia de materiales 144 Editorial Macro Problema 108 Las 3 barras son de Acero A – 36. E = 29 x 103 klb pulg2 y forman una armadura conectada por pasadores. Si esta se construye cuando t1 = 50 F, determinar la fuerza en cada barra cuando t2 = 110 F. = 6.6 x 10-6 F A = 2 pulg2 Capítulo 3: Carga axial 145 Ing. Luis Gamio Por equilibrio en A: D A + + t 2 Gt 2 G F2 GF2 G - - t 1 Gt 1 G F1 GF1 G Solución:…