Apunts de Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials…

Apunts de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II per a la Selectivitat de Catalunya: matrius, sistemes d'equacions, funcions, derivades i optimització, probabilitat i intervals de confiança, explicats pas a pas.

Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials II · Selectivitat (PAU Catalunya)

Índex

Matrius — Concepte, dimensió i tipus de matrius

Una matriu és una taula de nombres ordenats en files i columnes. Les files són les línies horitzontals i les columnes, les verticals. Serveix per guardar dades que depenen de dos criteris alhora: les files en representen un i les columnes, l'altre.

Procés

El tema de Matrius

1🧱Concepte i tipusQuè és una matriu, dimensió, element aᵢⱼ i classes de matrius

→

2➕OperacionsSuma, producte per un nombre i producte de matrius

→

3🔁Potències i inversaPotències de matrius i inversa de matrius d'ordre 2

→

4🧮Equacions matricialsAïllar una matriu incògnita i resoldre sistemes de matrius

→

5📊Matrius com a modelTaules de dades i interpretació de productes en context

Dimensió i element $a_{ij}$

Exemple

Un institut compta els alumnes de batxillerat per curs (files: 1r i 2n) i per modalitat (columnes: Ciències, Socials i Arts):

A=\begin{pmatrix} 28 & 35 & 12 \\ 25 & 31 & 10 \end{pmatrix}

El 31 vol dir que hi ha 31 alumnes a 2n de la modalitat de Socials.

Definició

Una matriu de dimensió $m \times n$ té $m$ files i $n$ columnes. L'element $a_{ij}$ és l'element de la fila $i$ i la columna $j$ .

La dimensió es llegeix « $m$ per $n$ », i la matriu té $m\cdot n$ elements. Abreujadament s'escriu $A=(a_{ij})$ . La forma general és:

A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

La matriu de l'institut és $2\times 3$ . Hi trobem $a_{13}=12$ (fila 1, columna 3) i $a_{21}=25$ . En canvi, $a_{31}$ no existeix, perquè només hi ha dues files. Cada fila es pot veure com un vector fila i cada columna, com un vector columna.

Error freqüent

Girar l'ordre. Tant a la dimensió com als subíndexs, primer la fila i després la columna. Una matriu $3\times 2$ té 3 files i 2 columnes: no és $2\times 3$ , encara que totes dues tinguin 6 elements. Igualment, $a_{23}$ i $a_{32}$ són posicions diferents.

Una matriu

4\times 3

, quants elements té? Existeix l'element

a_{34}

Té

4\cdot 3=12

elements.

a_{34}

no existeix: demanaria una quarta columna i només n'hi ha tres.

Igualtat de matrius

Dues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i coincideixen terme a terme: $a_{ij}=b_{ij}$ per a totes les posicions. Per tant, una igualtat de matrius equival a tantes equacions com elements té.

\begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ 3 & y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\Rightarrow x=3,\ y=-1

Una matriu $2\times 3$ i una $3\times 2$ no poden ser mai iguals, encara que continguin els mateixos nombres.

Matriu transposada

La transposada $A^t$ s'obté canviant files per columnes: la fila 1 passa a ser la columna 1, i així successivament. Si $A$ és $m\times n$ , $A^t$ és $n\times m$ .

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & -3 & 4 \end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

Si transposem la matriu de l'institut, les files passen a ser les modalitats i les columnes, els cursos. Les dades són les mateixes, organitzades d'una altra manera. Dues propietats: $(A^t)^t=A$ i $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$ , amb l'ordre invertit. El producte s'explica a «Matrius — Suma, producte per un nombre i producte de matrius».

Tipus de matrius

Les matrius es classifiquen per la forma i, si són quadrades, per on tenen els zeros. Una matriu quadrada té tantes files com columnes; si en té $n$ , diem que és d'ordre $n$ . La seva diagonal principal la formen els elements $a_{ii}$ : $a_{11}, a_{22}, \dots$ , de dalt a l'esquerra a baix a la dreta.

Tipus	Com és	Exemple
Fila	Una sola fila: $1\times n$	$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$
Columna	Una sola columna: $m\times 1$	$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
Rectangular	Files i columnes diferents ( $m\neq n$ )	$\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$
Quadrada	$m=n$ , d'ordre $n$	$\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$
Nul·la ( $O$ )	Tots els elements són 0	$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Triangular superior	Quadrada, zeros per sota de la diagonal	$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Triangular inferior	Quadrada, zeros per sobre de la diagonal	$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
Diagonal	Quadrada, zeros fora de la diagonal	$\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Identitat ( $I$ )	Diagonal amb tots els elements iguals a 1	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Simètrica	Quadrada amb $A^t=A$	$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
Antisimètrica	Quadrada amb $A^t=-A$	$\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

La matriu identitat $I$ és quadrada, amb 1 a la diagonal principal i 0 a la resta. Fa el paper del nombre 1 en el producte: $A\cdot I=I\cdot A=A$ . Per això s'anomena element neutre del producte.

En una matriu simètrica, els elements es repeteixen com en un mirall respecte de la diagonal: $a_{ij}=a_{ji}$ . En una antisimètrica, canvien de signe: $a_{ij}=-a_{ji}$ . Per això la seva diagonal és sempre de zeros.

Per recordar-ho

Els tipus s'encaixen: tota identitat és diagonal, i tota diagonal és alhora triangular superior i inferior.

Una matriu diagonal, és simètrica? Per què?

Sí. Fora de la diagonal tots els elements són 0, de manera que

a_{ij}=a_{ji}=0

. Per tant, en transposar-la queda igual.

Idees clau

Una matriu de dimensió $m\times n$ té $m$ files i $n$ columnes; $a_{ij}$ és l'element de la fila $i$ i la columna $j$ .
Dues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i coincideixen element a element.
La transposada $A^t$ s'obté canviant files per columnes: si $A$ és $m\times n$ , $A^t$ és $n\times m$ .
La identitat $I$ té 1 a la diagonal principal i 0 a la resta, i compleix $A\cdot I=I\cdot A=A$ .
Una matriu simètrica és quadrada i compleix $A^t=A$ ; una antisimètrica compleix $A^t=-A$ .

Posa a prova el que has après

Quina dimensió té una matriu de 3 files i 2 columnes? — 3 × 2
Què indica el subíndex de l'element a₂₃? — Fila 2 i columna 3
Si A és una matriu 2 × 4, quina dimensió té Aᵗ? — 4 × 2
Quina matriu és alhora triangular superior i triangular inferior? — Una matriu diagonal

Matrius — Suma, producte per un nombre i producte de matrius

Amb les matrius es poden fer operacions semblants a les dels nombres, però amb regles pròpies. La suma i el producte per un nombre es fan element a element. El producte de dues matrius, en canvi, es fa fila per columna i té propietats molt diferents. La dimensió i la notació $a_{ij}$ s'expliquen a «Matrius — Concepte, dimensió i tipus de matrius».

lorem ipsum dolor sit a

r adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lo

or incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore

s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation

s nisi ut aliquip ex ea commodo con

quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna

ctetur adipiscing elit sed d

tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adi

e magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consect

m quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempo

aboris nisi ut aliqu

consequat lorem ipsum dolor sit amet c

consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem i

usmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commod

dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commo

veniam quis nostrud ex

mco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud

modo consequat lorem ipsum dolor sit amet co

amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation

do eiusmod tempor incid

e et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco labori

inim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut a

ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris ni

a commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore

sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commod

sed do eiusmod tempor

labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nis

ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum

ation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet c

ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco la

dolor sit amet conse

Secció completa amb Premium

Idees clau

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut al
s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea co
s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor i
quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incid
ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim ve

Matrius — Potències i matriu inversa d'ordre 2

Potències d'una matriu quadrada

Elevar una matriu a $n$ vol dir multiplicar-la per ella mateixa $n$ vegades: $A^2 = A \cdot A$ , $A^3 = A^2 \cdot A$ , i així successivament. Cada pas és un producte de matrius (vegeu «Matrius — Suma, producte per un nombre i producte de matrius»). Per poder multiplicar $A$ per ella mateixa, el nombre de columnes ha de coincidir amb el de files. Per això només es poden fer potències de matrius quadrades.

lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo co

r adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod

or incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam

s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incidid

quat lorem ipsum dolor sit amet co

ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequ

tempor incididunt ut labore et dol

e magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labo

m quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet cons

aboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat

consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit

consectetur adipiscing

usmod tempor incididunt ut labor

Secció completa amb Premium

Idees clau

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo
s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo conseq
s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolo
quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna
ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim

Apunts de Matemàtiques Aplicades a les CCSS II: àlgebra, càlcul i probabilitat

Índex

Matrius — Concepte, dimensió i tipus de matrius

Dimensió i element aija_{ij}aij​

Igualtat de matrius

Matriu transposada

Tipus de matrius

Idees clau

Posa a prova el que has après

Matrius — Suma, producte per un nombre i producte de matrius

Idees clau

Matrius — Potències i matriu inversa d'ordre 2

Potències d'una matriu quadrada

Idees clau

Dimensió i element $a_{ij}$