Ejercicio P4 · Física Selectividad Cataluña Juny Serie 2 2022

P4) Un ciclotró és un accelerador de partícules format per dos elèctrodes buits semicirculars (en forma de D) on actua un camp magnètic homogeni $\vec{B}$ perpendicular al pla horitzontal (pla de la figura). Així, a l'interior dels elèctrodes les partícules carregades positives, que es mouen en el pla horitzontal, descriuen una trajectòria circular. A l'espai buit que separa els dos elèctrodes s'aplica un camp elèctric altern $\vec{E}$, de manera que les partícules són accelerades. Inicialment, les partícules tenen poca velocitat i a cada cicle, en passar d'un semicercle a l'altre, van augmentant de velocitat i de radi de gir fins que finalment surten fora del ciclotró.

a)

Les partícules tenen una càrrega elèctrica positiva $q$ i una massa $m$. Deduïu l'expressió de la velocitat de les partícules en funció del quocient càrrega-massa ($q/m$), del radi $r$ de la trajectòria de les partícules i del mòdul del camp magnètic. Comproveu que el temps de recorregut dins una D no depèn de la velocitat de les partícules. Per què el camp elèctric ha de ser altern? Trobeu l'expressió de la freqüència del camp elèctric. [1,25 punts]

b)

El ciclotró té un radi de $0{,}50\text{ m}$ i un camp magnètic de $0{,}20\text{ T}$. Quan hi accelerem protons, quina velocitat tenen quan surten del ciclotró? Quina és la longitud d'ona associada a aquests protons? Quin radi mínim hauria de tenir el ciclotró per a considerar que els protons tenen velocitats relativistes (és a dir, un $10\,\%$ de la velocitat de la llum)? [1,25 punts]

Dades:

$m_\text{p} = 1{,}67 \times 10^{-27}\text{ kg}$; $|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C}$; $c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m s}^{-1}$; $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J s}$.