Apunts de Física PAU Catalunya: tot el temari i formulari

Gravitació, electromagnetisme, ones, òptica i física moderna per a la PAU de Catalunya, amb esquemes, tests i un formulari que diu quan fer servir cada fórmula.

Física · Selectivitat (PAU Catalunya)

12 temes · AprenAI

Índex

  1. Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori
  2. Tema 1: Camp gravitatori — Dinàmica orbital, lleis de Kepler i energia
  3. Tema 2: Camp electromagnètic — Camp elèctric i potencial electrostàtic
  4. Tema 2: Camp electromagnètic — Camp magnètic i interaccions electromagnètiques
  5. Tema 3: Vibracions i ones — Moviment harmònic simple
  6. Tema 3: Vibracions i ones — Moviment ondulatori i ones sonores
  7. Tema 3: Vibracions i ones — Naturalesa de la llum i òptica física
  8. Tema 3: Vibracions i ones — Òptica geomètrica i imatges en lents primes
  9. Tema 4: Física moderna — Física quàntica i efecte fotoelèctric
  10. Tema 4: Física moderna — Estructura nuclear, radioactivitat i reaccions nuclears
  11. Tema 4: Física moderna — Balanç energètic de les reaccions nuclears
  12. Formulari

Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori

1. La llei de gravitació universal

La interacció gravitatòria és una de les quatre interaccions fonamentals de la natura i descriu l'atracció mútua que experimenten dos cossos pel simple fet de tenir massa. Formulada per Isaac Newton a finals del segle XVII, aquesta interacció regeix tant la caiguda lliure dels objectes a la superfície terrestre com la mecànica celeste a gran escala.

Definició
Dues partícules puntuals de masses m1m_1 i m2m_2, separades per una distància rr, experimenten una força d'atracció mútua dirigida al llarg de la recta que les uneix, directament proporcional al producte de les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa.

En forma vectorial, la força gravitatòria que exerceix la massa m1m_1 sobre la massa m2m_2 s'expressa així:

F⃗12=−Gm1m2r2u^r\vec{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{u}_r

on GG és la constant de gravitació universal, que en el Sistema Internacional val G=6,674×10−11 N⋅m2/kg2G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2, i u^r=r⃗12∣r⃗12∣\hat{u}_r = \frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|} és el vector unitari radial que apunta des de m1m_1 cap a m2m_2. El signe negatiu indica que la força és sempre atractiva.

Esquema del parell de forces d'acció i reacció entre dues masses.
Esquema del parell de forces d'acció i reacció entre dues masses.

Les propietats essencials d'aquesta força són:

  • Compleix el principi d'acció i reacció: les forces formen un parell d'interacció mútua, F⃗21=−F⃗12\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}. Tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció, però sentits oposats, i cadascuna actua sobre un cos diferent.
  • Força central: la direcció de la força passa sempre pels centres de les masses implicades.
  • Interacció a distància: no necessita contacte físic ni cap medi material entre les masses per propagar-se.

2. Principi de superposició

Quan un sistema està format per més de dues masses, la força que cada massa exerceix sobre una partícula determinada no queda alterada per la presència simultània de les altres. La força total és la suma vectorial de les forces individuals que exerceix cadascuna de les fonts.

Per a una distribució discreta de NN partícules de masses mim_i que actuen sobre una massa de prova m0m_0, la força resultant és:

F⃗total=∑i=1NF⃗i0=−Gm0∑i=1Nmiri02u^i0\vec{F}_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{N} \vec{F}_{i0} = -G m_0 \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i}{r_{i0}^2} \hat{u}_{i0}

Si la massa està repartida de manera contínua en un cos extens, el sumatori es convertiria en una integral, però a la PAU no cal: n'hi ha prou de saber que una esfera homogènia (un planeta, una estrella) atreu els cossos exteriors com si tota la seva massa estigués concentrada al centre.

Exemple

Dues masses puntuals de 4 kg4\text{ kg} i 9 kg9\text{ kg} són a l'eix X, a les posicions x=0 mx = 0\text{ m} i x=5 mx = 5\text{ m}, respectivament. En quin punt intermedi s'anul·la la força sobre una tercera massa m0m_0?

  1. Es planteja l'equilibri de forces en un punt xx situat entre les dues masses: ∣F⃗1∣=∣F⃗2∣|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2|.
  2. Se substitueixen els mòduls: G4m0x2=G9m0(5−x)2G \frac{4 m_0}{x^2} = G \frac{9 m_0}{(5 - x)^2}.
  3. Se simplifiquen els factors comuns GG i m0m_0: 4x2=9(5−x)2\frac{4}{x^2} = \frac{9}{(5 - x)^2}.
  4. Prenent arrels quadrades positives: 2x=35−x⇒2(5−x)=3x⇒10=5x⇒x=2 m\frac{2}{x} = \frac{3}{5 - x} \Rightarrow 2(5 - x) = 3x \Rightarrow 10 = 5x \Rightarrow x = 2\text{ m}.

La força gravitatòria neta s'anul·la a 2 m2\text{ m} de l'origen.

3. Intensitat del camp gravitatori

Per evitar la idea d'una acció instantània a distància, s'introdueix el concepte de camp gravitatori. Una massa modifica les propietats de l'espai que l'envolta, de manera que qualsevol altra massa situada en aquesta regió experimenta una força.

Definició
La intensitat del camp gravitatori g⃗\vec{g} en un punt de l'espai és la força gravitatòria que experimenta la unitat de massa de prova col·locada en aquell punt: g⃗=F⃗m\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}. La seva unitat en el Sistema Internacional és el N/kg (equivalent a m/s2\text{m/s}^2).

Per a una massa puntual (o una esfera homogènia de massa MM vista des de fora, a una distància rr del seu centre), el vector camp gravitatori és:

g⃗=−GMr2u^r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r

Igual que la força, la intensitat de camp compleix el principi de superposició: g⃗total=∑ig⃗i\vec{g}_{\text{total}} = \sum_{i} \vec{g}_i.

Variació de la gravetat amb l'altura

En el cas d'un planeta esfèric de massa MM i radi RR, el valor de l'acceleració de la gravetat a la seva superfície és:

g0=GMR2g_0 = G \frac{M}{R^2}

A una altura hh sobre la superfície, la distància al centre del planeta passa a ser r=R+hr = R + h. Per tant, la intensitat de camp disminueix:

g(h)=GM(R+h)2=g0(RR+h)2g(h) = G \frac{M}{(R + h)^2} = g_0 \left( \frac{R}{R + h} \right)^2

Aquesta dependència amb l'invers del quadrat explica per què, a altituds elevades, l'atracció del planeta disminueix progressivament i només tendeix a zero quan la distància tendeix a infinit.

4. Caràcter conservatiu del camp gravitatori

Una força és conservativa quan el treball que fa sobre una partícula depèn només de les posicions inicial i final, i no del camí recorregut entre totes dues.

Definició
Una força F⃗\vec{F} és conservativa si la seva circulació al llarg de qualsevol corba tancada és nul·la: ∮F⃗⋅dr⃗=0\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0. El treball que fa aquesta força és igual a la disminució d'una funció escalar de la posició anomenada energia potencial: WA→B=−ΔEp=Ep,A−Ep,BW_{A \to B} = -\Delta E_p = E_{p,A} - E_{p,B}.
Diagrama de la força pes vertical que actua sobre un cos.
Diagrama de la força pes vertical que actua sobre un cos.

Aproximació de camp uniforme a prop de la superfície

A prop de la superfície terrestre, on l'altura hh és menyspreable davant del radi del planeta RR, el camp es considera constant: P⃗=−mgj^\vec{P} = -m g \hat{j}. El treball per desplaçar una massa verticalment des de hAh_A fins a hBh_B és:

WA→B=∫hAhB(−mg) dy=−mg(hB−hA)=mghA−mghBW_{A \to B} = \int_{h_A}^{h_B} (-m g) \, dy = -m g (h_B - h_A) = m g h_A - m g h_B

D'aquí surt la coneguda expressió local Ep(h)=mgh+cE_p(h) = m g h + c, on cc és una constant arbitrària que fixa el nivell de referència zero (normalment el terra).

Expressió general de l'energia potencial gravitatòria

A distàncies astronòmiques el camp no és constant i cal integrar la força de Newton. El treball que fa el camp gravitatori per desplaçar una partícula de massa mm des d'una distància radial rAr_A fins a rBr_B d'una massa central MM és:

WA→B=∫rArB(−GMmr2)dr=[GMmr]rArB=GMmrB−GMmrAW_{A \to B} = \int_{r_A}^{r_B} \left(-G \frac{M m}{r^2}\right) dr = \left[ G \frac{M m}{r} \right]_{r_A}^{r_B} = G \frac{M m}{r_B} - G \frac{M m}{r_A}

Comparant-ho amb la definició general WA→B=Ep,A−Ep,BW_{A \to B} = E_{p,A} - E_{p,B}, s'obté la correspondència:

Ep,A−Ep,B=(−GMmrA)−(−GMmrB)E_{p,A} - E_{p,B} = \left( -G \frac{M m}{r_A} \right) - \left( -G \frac{M m}{r_B} \right)

Si s'adopta el conveni universal de situar l'origen de l'energia potencial a l'infinit (Ep(∞)=0E_p(\infty) = 0), l'energia potencial gravitatòria a una distància rr és:

Ep(r)=−GMmrE_p(r) = -G \frac{M m}{r}
Error freqüent
Molts estudiants obliden el signe negatiu de l'energia potencial general. Com que l'origen és a l'infinit, tot punt a una distància finita es troba dins d'un pou de potencial i, per tant, l'energia potencial és estrictament negativa. Augmenta (es fa menys negativa) quan ens allunyem de la massa central i tendeix a zero a l'infinit.
Un cos s'allunya de la Terra: la seva energia potencial gravitatòria augmenta o disminueix?
Augmenta: passa, per exemple, de −10 J a −4 J. Es fa menys negativa i s'acosta a zero, que és el valor a l'infinit.

5. Potencial gravitatori i superfícies equipotencials

Per descriure el camp amb una magnitud escalar que no depengui de la massa de prova que s'hi col·loqui, es defineix el potencial gravitatori VV.

Definició
El potencial gravitatori VV en un punt de l'espai és l'energia potencial per unitat de massa col·locada en aquell punt: V=EpmV = \frac{E_p}{m}. En el Sistema Internacional es mesura en J/kg.

Per a una massa puntual MM, el potencial a una distància rr és:

V(r)=−GMrV(r) = -G \frac{M}{r}

El treball que fa el mateix camp gravitatori per desplaçar una massa mm entre dos punts AA i BB està relacionat directament amb la diferència de potencial:

WA→B=−mΔV=−m(VB−VA)=m(VA−VB)W_{A \to B} = -m \Delta V = -m (V_B - V_A) = m (V_A - V_B)
MagnitudCaràcterExpressió matemàticaUnitats (SI)Comportament amb la distància (r→∞r \to \infty)
Força gravitatòria (F⃗\vec{F})Vectorial−GMmr2u^r-G \frac{M m}{r^2} \hat{u}_rNTendeix a zero (∝1/r2\propto 1/r^2)
Camp gravitatori (g⃗\vec{g})Vectorial−GMr2u^r-G \frac{M}{r^2} \hat{u}_rN/kg=m/s2\text{N/kg} = \text{m/s}^2Tendeix a zero (∝1/r2\propto 1/r^2)
Energia potencial (EpE_p)Escalar−GMmr-G \frac{M m}{r}JNegativa, tendeix a zero (∝−1/r\propto -1/r)
Potencial gravitatori (VV)Escalar−GMr-G \frac{M}{r}J/kgNegatiu, tendeix a zero (∝−1/r\propto -1/r)

La relació diferencial entre el camp vectorial i el potencial escalar és el gradient: g⃗=−∇⃗V\vec{g} = -\vec{\nabla} V. Amb simetria esfèrica, es redueix a g(r)=−dVdrg(r) = -\frac{dV}{dr}.

Les línies de camp són corbes tangents en cada punt al vector g⃗\vec{g} i indiquen el sentit en què el potencial disminueix. Les superfícies equipotencials són els llocs geomètrics on el potencial gravitatori és constant (V=ct.V = \text{ct.}). Les línies de camp i les superfícies equipotencials són perpendiculars entre si en tots els punts de l'espai.

Quin treball fa el camp gravitatori quan una massa es mou sobre una superfície equipotencial?
Cap: si VA=VBV_A = V_B, aleshores W=m(VA−VB)=0W = m(V_A - V_B) = 0.
Causes i conseqüències
  • 🪐Presència de massaModifica l'espai del voltant i hi genera atracció gravitatòria
  • 🧲Interacció atractiva universalActua al llarg de la recta que uneix les partícules
→
Configuració del camp gravitatori
→
  • 🎯Línies de camp radialsConvergeixen cap als centres de massa
  • 🌐Superfícies equipotencials esfèriquesEnvolten la massa de manera concèntrica, amb potencial constant
  • 📈Gradient de potencialEl potencial augmenta en allunyar-se cap a l'infinit

Idees clau

  • La llei de gravitació universal estableix una força d'atracció mútua entre masses, inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa.
  • La intensitat del camp gravitatori g⃗\vec{g} és la força per unitat de massa i disminueix amb el quadrat de la distància al centre del planeta.
  • Com que és una força conservativa, el treball gravitatori no depèn de la trajectòria i s'expressa com la disminució de l'energia potencial: W=−ΔEpW = -\Delta E_p.
  • Amb el conveni de referència nul·la a l'infinit, l'energia potencial gravitatòria i el potencial gravitatori són sempre negatius a distàncies finites.
  • Les línies de camp apunten cap a potencials decreixents i són perpendiculars en tot punt a les superfícies equipotencials.

Posa a prova el que has après

  1. Com canvia la força gravitatòria entre dues masses si la distància entre elles es triplica? — Es redueix a la novena part
  2. Quin valor té el treball que fa el camp gravitatori al llarg de qualsevol camí tancat? — Zero joules
  3. Quina relació geomètrica hi ha entre les línies de camp gravitatori i les superfícies equipotencials? — Són perpendiculars en cada punt
  4. Quines unitats té el potencial gravitatori en el Sistema Internacional? — J/kg

Tema 1: Camp gravitatori — Dinàmica orbital, lleis de Kepler i energia

Dinàmica del moviment orbital circular

Per descriure la trajectòria d'un cos celeste o d'un satèl·lit artificial de massa mm en òrbita circular de radi rr al voltant d'un astre central de massa MM (M≫mM \gg m), s'aplica la segona llei de Newton. Com s'ha vist a «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori», l'única interacció neta que experimenta el satèl·lit és l'atracció gravitatòria dirigida cap al centre de l'astre. Per tant, aquesta força actua íntegrament com a força centrípeta:

lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing e

r adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam

or incididunt ut labore et dolore mag

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolo

s nostrud exercitation ullamco labori

s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad mini

quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labor

ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliq

tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nos

e magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nis

m quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi

aboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip

consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do

consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod

usmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ul

dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis no

veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercita

mco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do

modo consequat lorem ipsum dolor

amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation u

do eiusmod tempor incididunt ut labo

e et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis

inim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commo

ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna ali

a commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consec

sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut la

sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut e

labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad mi

ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco lab

ation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor

ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua u

dolor sit amet consect

elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit

t ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliqui

enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi

ercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequa

iquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor in

psum dolor sit amet consectetur adipiscing el

scing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna ali

didunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat

ua ut enim ad minim veniam quis nost

ud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex

ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna a

rem ipsum dolor sit

Secció completa amb Premium

Idees clau

  • na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consecte
  • s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit se
  • s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis
  • quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercita
  • ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullam
  • tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lor

Tema 2: Camp electromagnètic — Camp elèctric i potencial electrostàtic

Interacció electrostàtica i llei de Coulomb

La matèria té una propietat intrínseca anomenada càrrega elèctrica. A diferència de la massa, que sempre genera forces atractives, la càrrega elèctrica es presenta en dues varietats: positiva i negativa. Dos cossos carregats amb el mateix signe experimenten una força de repulsió mútua, mentre que si tenen signes contraris experimenten una força d'atracció mútua.

El 1785, el físic francès Charles-Augustin de Coulomb va quantificar experimentalment aquesta interacció amb una balança de torsió. La llei de Coulomb estableix que la força electrostàtica entre dues càrregues puntuals en repòs és directament proporcional al producte dels seus valors i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa, i actua al llarg de la recta que les uneix:

F⃗12=Kq1q2r2u^r\vec{F}_{12} = K \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{u}_r

En el Sistema Internacional, la força es mesura en newtons (N), les càrregues en coulombs (C) i la distància en metres (m). La constant de proporcionalitat KK depèn del medi material en què es troben les càrregues. En el buit o en l'aire, val aproximadament K0=14πε0≈9×109 N⋅m2/C2K_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2, on ε0=8,85×10−12 C2/(N⋅m2)\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2) és la permitivitat elèctrica del buit. A diferència de la constant de gravitació universal (vegeu «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori»), la constant electrostàtica varia considerablement segons el medi dielèctric que hi ha entre les càrregues.

Esquema de la superposició vectorial de forces electrostàtiques sobre una càrrega puntual.
Esquema de la superposició vectorial de forces electrostàtiques sobre una càrrega puntual.

Quan en una regió hi ha diverses càrregues, la interacció global sobre una càrrega qualsevol q0q_0 es determina amb el principi de superposició: la força neta és la suma vectorial de les forces que cadascuna de les altres càrregues exerciria sobre ella de manera independent:

F⃗total=∑i=1nF⃗i=F⃗1+F⃗2+⋯+F⃗n\vec{F}_{\text{total}} = \sum_{i=1}^n \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n

Intensitat del camp elèctric

Per evitar la idea d'una acció instantània a distància, s'introdueix el concepte de camp elèctric. Una càrrega font modifica les propietats de l'espai que l'envolta; aquesta pertorbació és el camp electrostàtic. Es defineix la intensitat de camp elèctric (E⃗\vec{E}) en un punt de l'espai com la força que experimenta la unitat de càrrega de prova positiva col·locada en aquell punt:

E⃗=F⃗q0\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}

La seva unitat en el Sistema Internacional és el newton per coulomb (N/C), equivalent al volt per metre (V/m). Per a una càrrega puntual aïllada QQ situada a l'origen, el camp que crea a una distància rr és:

E⃗=KQr2u^r\vec{E} = K \frac{Q}{r^2} \hat{u}_r

El principi de superposició s'estén de manera natural al camp elèctric: en una distribució de càrregues discretes, el camp elèctric total en un punt és la suma vectorial dels camps creats per cada càrrega, E⃗total=∑E⃗i\vec{E}_{\text{total}} = \sum \vec{E}_i.

Error freqüent

No confonguis les constants ni les fonts dels camps: la interacció electrostàtica fa servir la constant electrostàtica KK i les càrregues QQ, mentre que el camp gravitatori fa servir la constant de gravitació GG i les masses (vegeu «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori»). A més, la gravetat és sempre atractiva, però la força elèctrica pot ser atractiva o repulsiva.

Línies de camp i superfícies equipotencials

Les línies de camp elèctric donen una representació geomètrica i intuïtiva del vector E⃗\vec{E}. Compleixen les propietats fonamentals següents:

  • Són tangents en cada punt al vector intensitat de camp E⃗\vec{E} i tenen el seu mateix sentit.
  • Neixen a les càrregues positives (fonts) i moren a les càrregues negatives (pous), o s'estenen fins a l'infinit.
  • La seva densitat (nombre de línies per unitat de superfície perpendicular) és proporcional al mòdul del camp en aquella regió.
  • Dues línies de camp no es poden tallar mai, perquè en el punt d'intersecció el camp elèctric tindria dues direccions diferents, cosa físicament impossible.
Diagrama de línies de camp elèctric per a càrregues positives i negatives.
Diagrama de línies de camp elèctric per a càrregues positives i negatives.

Perpendiculars a les línies de camp hi ha les superfícies equipotencials, que són el lloc geomètric dels punts de l'espai que tenen el mateix potencial electrostàtic. Quan una càrrega es desplaça al llarg d'una superfície equipotencial, la força elèctrica no fa treball, perquè el desplaçament és perpendicular a la força.

Potencial electrostàtic i energia potencial elèctrica

El camp electrostàtic és un camp de forces conservatives (vegeu «Tema 1: Camp gravitatori — Llei de gravitació universal i camp gravitatori»): el treball que fa la força electrostàtica sobre una càrrega que es mou entre dos punts no depèn de la trajectòria, sinó només dels punts inicial i final. Això permet definir una energia potencial electrostàtica (EpE_p):

WA→B=−ΔEp=Ep,A−Ep,BW_{A \to B} = -\Delta E_p = E_{p,A} - E_{p,B}

Per a dues càrregues puntuals QQ i qq separades una distància rr, i amb el conveni habitual que l'energia potencial és nul·la a l'infinit (Ep(∞)=0E_p(\infty) = 0), l'energia potencial del sistema és:

Ep=KQqrE_p = K \frac{Q q}{r}

Fixa't que si les càrregues tenen el mateix signe, Ep>0E_p > 0 (cal fer un treball extern per acostar-les en contra de la repulsió), mentre que si tenen signes oposats, Ep<0E_p < 0 (sistema lligat per l'atracció).

Si el sistema té més de dues càrregues, la seva energia potencial és la suma de les energies de totes les parelles, comptant cada parella una sola vegada. Per exemple, per a tres càrregues:

Ep=K(q1q2r12+q1q3r13+q2q3r23)E_p = K \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right)

Aquesta energia és igual al treball que cal fer per portar les càrregues des de l'infinit fins a la seva posició.

El potencial electrostàtic (VV) en un punt és l'energia potencial per unitat de càrrega de prova situada en aquell punt:

V=Epq=KQrV = \frac{E_p}{q} = K \frac{Q}{r}

El potencial és una magnitud escalar; la seva unitat en el SI és el volt (1 V=1 J/C1 \text{ V} = 1 \text{ J/C}). El treball que fa el mateix camp per traslladar una càrrega qq des d'un punt AA fins a un punt BB s'expressa en funció de la diferència de potencial:

WA→B=q(VA−VB)=−qΔVW_{A \to B} = q (V_A - V_B) = -q \Delta V
Un electró passa d'un punt a 100 V a un altre a 300 V. El camp hi fa un treball positiu o negatiu?
Positiu: W=q(VA−VB)=(−e)(100 V−300 V)=+200 eVW = q(V_A - V_B) = (-e)(100\text{ V} - 300\text{ V}) = +200\text{ eV}, és a dir, 3,2×10−17 J3{,}2 \times 10^{-17}\text{ J}. Les càrregues negatives es mouen espontàniament cap a potencials més alts.
Esquema
Magnituds del camp electrostàtic
🧭Magnituds vectorialsTenen mòdul, direcció i sentit
⚡Força electrostàticaAcció entre dues càrregues puntuals
📍Camp elèctricForça per unitat de càrrega de prova
🔢Magnituds escalarsQueden descrites només pel seu valor numèric
🔋Energia potencialCapacitat de fer treball electrostàtic
⚡Potencial electrostàticEnergia potencial per unitat de càrrega
MagnitudCaràcterFórmula (càrrega puntual)Unitat SI
Força electrostàtica (F⃗\vec{F})VectorialF⃗=KQqr2u^r\vec{F} = K \frac{Q q}{r^2} \hat{u}_rN
Camp elèctric (E⃗\vec{E})VectorialE⃗=KQr2u^r\vec{E} = K \frac{Q}{r^2} \hat{u}_rN/C o V/m
Energia potencial (EpE_p)EscalarEp=KQqrE_p = K \frac{Q q}{r}J
Potencial elèctric (VV)EscalarV=KQrV = K \frac{Q}{r}V

Dinàmica de càrregues en camps elèctrics uniformes

En un camp elèctric constant i uniforme (com el que hi ha entre les plaques d'un condensador pla separades una distància dd amb una diferència de potencial ΔV\Delta V, on E=ΔVdE = \frac{\Delta V}{d}), una partícula de massa mm i càrrega qq experimenta una força constant:

F⃗=qE⃗=ma⃗  ⟹  a⃗=qE⃗m\vec{F} = q \vec{E} = m \vec{a} \implies \vec{a} = \frac{q \vec{E}}{m}

Velocitat inicial nul·la o paral·lela al camp

Si la partícula surt del repòs o té una velocitat paral·lela a les línies de camp, descriu un moviment rectilini uniformement accelerat. Per conservació de l'energia mecànica (sense fregament i menyspreant la gravetat), l'augment d'energia cinètica és igual a la disminució d'energia potencial:

ΔEc=−ΔEp  ⟹  12mvf2−12mv02=q(Vi−Vf)\Delta E_c = -\Delta E_p \implies \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = q (V_i - V_f)

Les càrregues positives es mouen espontàniament cap a potencials decreixents, mentre que les càrregues negatives s'acceleren en sentit contrari al camp i es desplacen cap a regions de potencial més alt.

Velocitat inicial perpendicular al camp: trajectòria parabòlica

Si la partícula entra entre les plaques amb una velocitat v0v_0 perpendicular al camp (eix X paral·lel a les plaques, camp en la direcció de l'eix Y), el moviment és com un tir horitzontal: la força només actua en la direcció del camp.

  • Eix X (sense força): moviment uniforme, x=v0tx = v_0 t.
  • Eix Y (força constant qEqE): moviment uniformement accelerat, y=12qEmt2y = \frac{1}{2} \frac{qE}{m} t^2.

Eliminant el temps s'obté l'equació de la trajectòria, que és una paràbola:

y=qE2mv02 x2y = \frac{q E}{2 m v_0^2} \, x^2

Si les plaques tenen una longitud LL, la partícula hi és durant un temps t=L/v0t = L/v_0 i en surt desviada una distància i amb una velocitat vertical:

ysortida=qEL22mv02,vy=qELmv0y_{\text{sortida}} = \frac{q E L^2}{2 m v_0^2}, \qquad v_y = \frac{q E L}{m v_0}

En sortir de les plaques ja no hi ha força i la partícula continua en línia recta. Aquest és el principi de la desviació del feix en els antics tubs de raigs catòdics i en les impressores de raig de tinta.

Error freqüent

Pensar que la component v0v_0 canvia dins de les plaques. La força elèctrica és perpendicular a v0v_0: només canvia la component de la velocitat paral·lela al camp. Per a electrons i protons, el pes és menyspreable davant de la força elèctrica.

Exemple resolt: camp, potencial i treball en el pla

Exemple pas a pas

Dues càrregues puntuals q1=+4 μCq_1 = +4 \text{ }\mu\text{C} i q2=−4 μCq_2 = -4 \text{ }\mu\text{C} estan fixes al pla XYXY, als punts A(−3,0) mA(-3, 0) \text{ m} i B(3,0) mB(3, 0) \text{ m}, respectivament. Considera K=9×109 N⋅m2/C2K = 9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2. Determina:

  1. El potencial electrostàtic a l'origen O(0,0)O(0, 0) i al punt P(0,4) mP(0, 4) \text{ m}:

    Per calcular el potencial fem servir la superposició de magnituds escalars:

    VO=Kq1r1O+Kq2r2O=9×109(4×10−63+−4×10−63)=0 VV_O = K \frac{q_1}{r_{1O}} + K \frac{q_2}{r_{2O}} = 9 \times 10^9 \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{3} + \frac{-4 \times 10^{-6}}{3} \right) = 0 \text{ V}

    La distància de les dues càrregues al punt P(0,4)P(0, 4) és r=(±3)2+42=5 mr = \sqrt{(\pm 3)^2 + 4^2} = 5 \text{ m}:

    VP=9×109(4×10−65+−4×10−65)=0 VV_P = 9 \times 10^9 \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{5} + \frac{-4 \times 10^{-6}}{5} \right) = 0 \text{ V}
  2. El vector camp elèctric total a l'origen O(0,0)O(0, 0):

    El camp E⃗1\vec{E}_1 degut a q1q_1 apunta en la direcció +i⃗+\vec{i} (s'allunya de la càrrega positiva):

    E⃗1=9×109⋅4×10−632i⃗=4000i⃗ N/C\vec{E}_1 = 9 \times 10^9 \cdot \frac{4 \times 10^{-6}}{3^2} \vec{i} = 4000 \vec{i} \text{ N/C}

    El camp E⃗2\vec{E}_2 degut a q2q_2 apunta cap a la càrrega negativa, també en el sentit +i⃗+\vec{i}:

    E⃗2=9×109⋅4×10−632i⃗=4000i⃗ N/C\vec{E}_2 = 9 \times 10^9 \cdot \frac{4 \times 10^{-6}}{3^2} \vec{i} = 4000 \vec{i} \text{ N/C}

    Sumant vectorialment els dos termes:

    E⃗total(O)=E⃗1+E⃗2=8000i⃗ N/C\vec{E}_{\text{total}}(O) = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 8000 \vec{i} \text{ N/C}
  3. Punts de camp elèctric nul a l'eix X:

    A l'interior del segment ABAB (−3<x<3-3 < x < 3), els dos vectors apunten cap a la dreta i, per tant, no s'anul·len mai. Fora del segment, com que les càrregues tenen el mateix valor absolut però són a distàncies diferents de qualsevol punt exterior, ∣E⃗1∣≠∣E⃗2∣|\vec{E}_1| \neq |\vec{E}_2| per a qualsevol valor finit de xx. Per tant, no hi ha cap punt a distància finita amb camp nul.

  4. Treball que fa el camp per traslladar una càrrega de prova q0=+2 μCq_0 = +2 \text{ }\mu\text{C} des de PP fins a OO:

    Aplicant la definició de treball electrostàtic en funció del potencial:

    WP→O=q0(VP−VO)=2×10−6⋅(0−0)=0 JW_{P \to O} = q_0 (V_P - V_O) = 2 \times 10^{-6} \cdot (0 - 0) = 0 \text{ J}

Idees clau

  • La llei de Coulomb descriu la força central entre càrregues puntuals: repulsiva si tenen el mateix signe i atractiva si tenen signes oposats.
  • El camp elèctric és una magnitud vectorial que descriu la pertorbació de l'espai creada per les càrregues; el potencial electrostàtic n'és l'equivalent escalar.
  • Les línies de camp surten de les càrregues positives, acaben a les negatives i són perpendiculars a les superfícies equipotencials.
  • El camp electrostàtic és conservatiu, cosa que permet relacionar el treball amb la variació d'energia potencial: W=−ΔEp=q(VA−VB)W = -\Delta E_p = q(V_A - V_B).
  • En un camp elèctric uniforme, les càrregues positives s'acceleren cap a potencials més baixos i les negatives cap a potencials més alts; si entren perpendiculars al camp, descriuen una paràbola.

Posa a prova el que has après

  1. Quina és la unitat de la intensitat del camp elèctric en el Sistema Internacional? — Newton per coulomb
  2. Cap a on es desplaça espontàniament una càrrega elèctrica negativa lliure en un camp electrostàtic? — Cap a potencials elèctrics més alts
  3. Si es duplica la distància entre dues càrregues puntuals, la força d'interacció entre elles: — Es redueix a la quarta part
  4. Quin angle formen en cada punt les línies de camp elèctric amb les superfícies equipotencials? — 90 graus
  5. Un protó entra entre dues plaques carregades amb una velocitat perpendicular al camp. Quina trajectòria descriu entre les plaques? — Una paràbola

Exámenes oficiales en PDF y soluciones: examenselectivitat.cat