Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario

La gravitación explica por qué cae una manzana y por qué la Luna gira alrededor de la Tierra. Todo parte de una sola ley, la de Newton, y de una idea nueva: el campo. En esta sección verás ambas y aprenderás a calcular la gravedad en cualquier punto.

Ley de gravitación universal

Newton propuso que dos cuerpos con masa se atraen siempre. La fuerza crece con las masas y disminuye mucho al alejarlos. En concreto, es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

En forma vectorial, la fuerza que la masa $M$ ejerce sobre la masa $m$ es:

• $G$ es la constante de gravitación universal: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$.
• $r$ es la distancia entre los centros de las masas, en metros.
• $\vec u_r$ es un vector unitario (módulo 1) que va de la masa que atrae hacia la masa atraída.

¿Por qué el signo menos? El vector $\vec u_r$ apunta hacia fuera, alejándose de $M$. La fuerza apunta al revés, hacia $M$. El signo negativo indica que la gravedad es siempre atractiva.

Características de estas fuerzas:

• Su dirección es la de la recta que une las dos masas.
• Aparecen por parejas: cada masa tira de la otra con el mismo módulo y sentido contrario (acción y reacción).
• Actúan a distancia, sin contacto.
• Como $G$ es muy pequeña, la fuerza solo se nota si al menos una masa es enorme, como un planeta.

Campo e intensidad de campo gravitatorio

Un campo es una propiedad que tiene cada punto del espacio por la presencia de algo. Una masa modifica el espacio que la rodea: el campo gravitatorio es esa perturbación. Cualquier otra masa colocada allí nota una fuerza.

El campo se describe con dos magnitudes. Una es vectorial, la intensidad de campo, que se representa con líneas de fuerza. Otra es escalar, el potencial, que se representa con superficies equipotenciales (véanse «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y conservación de la energía» y «Líneas de fuerza y superficies equipotenciales»).

Para deducir el campo de una masa puntual o esférica, escribimos la fuerza de dos formas. Por la segunda ley de Newton, $\vec F = m\,\vec g$. Por la ley de gravitación, $\vec F = -G\,M m\,\vec u_r/r^2$. Igualamos y dividimos entre $m$:

Propiedades del campo:

• Es radial: apunta hacia el centro de la masa que lo crea. Por eso es un campo central.
• Su módulo disminuye con el cuadrado de la distancia.
• Solo depende de la masa que lo crea, $M$, y de la distancia. No depende de la masa de prueba $m$.

Un cuerpo esférico con la masa repartida de forma uniforme crea, fuera de él, el mismo campo que una masa puntual en su centro. Por eso $r$ se mide siempre desde el centro.

Campo de varias masas: principio de superposición

Si hay varias masas, cada una crea su campo como si estuviera sola. El principio de superposición dice que el campo total es la suma vectorial de todos ellos:

1. Dibuja las masas y el punto P. Traza desde P una flecha hacia cada masa: así apunta cada campo.
2. Calcula cada módulo con $g_i = G M_i / r_i^2$, con $r_i$ la distancia de cada masa a P.
3. Descompón cada vector en componentes x e y.
4. Suma las componentes por separado y halla el módulo con Pitágoras.

Campo gravitatorio terrestre y variación con la altura

La Tierra puede tratarse como una esfera de masa $M_T \approx 5{,}97\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$ y radio $R \approx 6{,}37\cdot10^{6}\ \mathrm{m}$. Su campo apunta en todas partes hacia su centro.

En la superficie, $r=R$:

A una altura $h$ sobre la superficie, la distancia al centro es $r = R+h$. Si dividimos $g(h)$ entre $g_0$, se simplifican $G$ y $M_T$, y queda:

Esta fórmula es útil porque no necesitas conocer la masa de la Tierra, solo $g_0$ y $R$.