Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario

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APUNTES FÍSICA EAU País Vasco AprenAI 2026-2027 La Física de 2.º de Bachillerato para la selectividad (EAU) vasca en 37 temas: campos, ondas, óptica y física moderna, con esquemas, tests y formulario.

APREN.AI Índice Bloque 1: Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación universal e intensidad de campo 7 Ley de gravitación universal 8 Campo e intensidad de campo gravitatorio 9 Campo de varias masas: principio de superposición 10 Campo gravitatorio terrestre y variación con la altura 11 2 Determinación de la gravedad con un muelle (ejercicio competencial) 13 La idea del experimento 13 Ley de Hooke y constante elástica 13 Fase 1: calibrado del muelle en la Tierra 14 Fase 2: medida de g en el planeta 14 Fase 3: masa y densidad del planeta 15 3 Energía potencial, potencial y conservación de la energía 17 Campos conservativos y no conservativos 17 Energía potencial gravitatoria 18 Potencial gravitatorio 19 Trabajo entre dos puntos 20 Energía mecánica y su conservación 20 4 Líneas de fuerza y superficies equipotenciales 22 Líneas de fuerza (o líneas de campo) 22 Superficies equipotenciales 24 Relación entre líneas y equipotenciales 24 Respuesta modelo para el examen 26 5 Leyes de Kepler y momento angular 27 Las tres leyes de Kepler 28 Momento angular y fuerzas centrales 29 Deducción de la tercera ley para órbitas circulares 30 6 Satélites: velocidad orbital, energía y velocidad de escape 32 Velocidad orbital y periodo de una órbita circular 32 Energía de un satélite en órbita 33 Energía para poner en órbita y para cambiar de órbita 34 Velocidad de escape y energía de escape 35 Tipo de trayectoria según la energía mecánica 35 Órbita geoestacionaria y satélites de navegación 36 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 1 7 Introducción a la cosmología y la astrofísica 37 La gravedad construye estrellas y galaxias 37 Agujeros negros y materia oscura 38 El universo se expande 38 Repercusión tecnológica y social 39 Bloque 2: Campo electromagnético 8 Ley de Coulomb y campo eléctrico 40 Ley de Coulomb 41 Intensidad de campo eléctrico 42 Superposición: campo de varias cargas 43 Líneas de campo 44 Campo eléctrico y campo gravitatorio 45 9 Potencial eléctrico, energía y flujo 48 Energía potencial electrostática 48 Potencial eléctrico y suma escalar 49 Trabajo para trasladar una carga 49 Superficies equipotenciales y relación entre E y V 51 Flujo eléctrico y teorema de Gauss 51 10 Partícula cargada en un campo eléctrico uniforme 52 El campo eléctrico uniforme 53 Fuerza sobre una carga: el signo lo decide todo 53 El electrón que se frena: balance energético 54 El positrón que se acelera: cinemática 55 11 Fuerza de Lorentz sobre cargas y conductores 56 Fuerza magnética sobre una carga en movimiento 57 Fuerza de Lorentz completa 58 Trayectoria circular cuando v es perpendicular a B 58 Aplicaciones: selector, espectrómetro, ciclotrón y auroras 59 Fuerza sobre un conductor con corriente 61 12 Campo magnético creado por corrientes 62 Origen del campo magnético: corrientes e imanes 63 Ley de Biot-Savart 63 Campo de un conductor rectilíneo infinito 63 Superposición: dos hilos paralelos 64 Espira, solenoide y toro 65 13 Fuerzas entre corrientes paralelas y definición de amperio 67 De dónde sale la fuerza entre dos hilos 67 Sentido de la fuerza y acción-reacción 68 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 2 Definición del amperio 69 14 Inducción electromagnética: leyes de Faraday y Lenz 70 Las experiencias de Faraday y Henry 71 Flujo magnético 72 Ley de Faraday y ley de Lenz 73 Formas de variar el flujo 74 15 Alternador, motores y transformadores 76 Qué es un generador y qué es un alternador 76 Deducción de la fem sinusoidal 77 El motor eléctrico: el proceso inverso 78 El transformador 79 Vibraciones y ondas 16 Movimiento armónico simple: cinemática 80 Qué es un movimiento armónico simple 81 La ecuación del MAS y sus magnitudes 82 Velocidad y aceleración: deducción por derivación 83 Cómo calcular la fase inicial 84 17 Dinámica y energía del oscilador armónico 86 De la cinemática a la dinámica: la fuerza recuperadora 87 Periodo del oscilador masa-muelle 87 Péndulo simple 88 Energía en el MAS 88 18 Movimiento ondulatorio y ecuación de la onda armónica 90 Clasificación de las ondas 91 Magnitudes de una onda armónica 92 Ecuación de la onda armónica 93 Doble periodicidad 94 19 Velocidad de vibración, desfase y gráficas de la onda 95 Doble periodicidad de la onda armónica 95 Velocidad de vibración 96 Aceleración de vibración 96 Diferencia de fase entre dos puntos 96 Desfase temporal de un mismo punto 97 Gráficas y-x e y-t: cómo leerlas 97 20 Fenómenos ondulatorios y ondas estacionarias 99 Principio de Huygens 99 Principio de superposición e interferencia 99 Difracción y polarización 100 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 3 Ondas estacionarias: formación y ecuación 101 Modos de vibración de una cuerda fija por ambos extremos 102 21 El sonido: cualidades, intensidad y efecto Doppler 104 Naturaleza del sonido 105 Cualidades del sonido 105 Intensidad sonora 105 Nivel de intensidad en decibelios 106 Efecto Doppler 106 Aplicaciones y contaminación acústica 107 Óptica 22 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 108 El debate histórico: ¿partículas u ondas?

109 La onda electromagnética 110 El espectro electromagnético 111 23 Reflexión y refracción: índice de refracción y ley de Snell 112 Qué ocurre cuando una onda llega a otro medio 112 Leyes de la reflexión 113 Índice de refracción 113 Leyes de la refracción: ley de Snell 114 Lámina de caras plano-paralelas 115 Dispersión de la luz y color 115 24 Ángulo límite y reflexión total 117 Qué ocurre al aumentar el ángulo de incidencia 118 Deducción de la fórmula del ángulo límite 119 Cálculos típicos 119 Aplicaciones 120 25 Óptica geométrica: dioptrios y espejos 120 Conceptos básicos y normas DIN 121 Dioptrio plano: profundidad aparente 122 Espejo plano 122 Espejos esféricos 122 26 Lentes delgadas: ecuación, potencia y trazado de rayos 124 Qué es una lente delgada 125 Ecuación de las lentes y aumento lateral 125 Potencia de una lente 126 Trazado de rayos principales 126 Casos según la posición del objeto 127 Ejercicio de examen 128 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 4 27 Instrumentos ópticos: lupa, cámara fotográfica y proyector 128 La lupa: para qué sirve y dónde va el objeto 129 Aumento angular de la lupa 130 La cámara fotográfica 131 El proyector, el microscopio y el telescopio 131 28 El ojo humano y los defectos de la visión 133 El ojo como sistema óptico 133 Acomodación, punto próximo y punto remoto 134 Miopía 135 Hipermetropía 136 Presbicia y astigmatismo 137 Bloque 4: Física moderna 29 Relatividad especial 139 Limitaciones de la física clásica y experimento de Michelson-Morley 140 Postulados de Einstein 140 El factor de Lorentz 141 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud 141 Masa y energía: E = mc² 141 30 Efecto fotoeléctrico: descripción y explicación de Einstein 142 El montaje experimental 144 Lo que la física clásica no podía explicar 144 La explicación de Einstein: el fotón 145 Trabajo de extracción y umbral 145 Ecuación de Einstein 146 31 Efecto fotoeléctrico: cálculos y potencial de frenado 149 Antes de calcular: unidades y conversiones 149 Paso 1: ¿hay emisión de electrones?

149 Paso 2: energía cinética máxima y velocidad 150 Potencial de frenado 151 Cambiar la longitud de onda o el metal 151 Gráfica Ec frente a f y obtención de h 151 32 Dualidad onda-corpúsculo y principio de incertidumbre 153 Hipótesis de De Broglie 153 Calcular λ a partir de la energía cinética o del potencial 154 Electrón, fotón y partícula macroscópica 154 Confirmación experimental 155 Principio de incertidumbre de Heisenberg 155 33 El núcleo atómico: estabilidad, defecto de masa y energía de enlace 156 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 5 Composición del núcleo e isótopos 156 Fuerza nuclear fuerte y estabilidad 157 Defecto de masa y energía de enlace 157 Energía de enlace por nucleón 158 34 Radiactividad natural y ley de desintegración 160 Qué es la radiactividad natural 160 Emisiones alfa, beta y gamma 160 Leyes de Soddy y Fajans 162 Ley de desintegración radiactiva 162 35 Fisión y fusión nuclear y sus aplicaciones 165 Fisión nuclear 165 Energía liberada a partir de la pérdida de masa 165 Reacción en cadena: bombas y centrales 166 Fusión nuclear 167 Aplicaciones, riesgos y residuos 168 36 Modelo estándar de partículas 169 Partículas fundamentales: quarks y leptones 169 Hadrones: bariones y mesones 170 Interacciones fundamentales y bosones mediadores 171 Aceleradores de partículas 171 37 Formulario y resumen 172 Bloque 1: Campo gravitatorio 172 Bloque 2: Campo eléctrico 173 Bloque 2: Campo magnético e inducción 173 Vibraciones y ondas 174 Óptica 175 Bloque 4: Física moderna 175 Valores y constantes 176 Errores típicos 176 Soluciones de las preguntas de repaso 178 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 6 18 % de los puntos del examen 1 Ley de gravitación universal e intensidad de campo AL ACABAR SABRÁS Escribir la ley de gravitación universal en forma vectorial y justificar su signo negativo Deducir la expresión g = GM/r² a partir de la ley de Newton Calcular el campo total de varias masas sumando vectores por componentes Calcular el valor de g a una altura h con g(h) = g R²/(R+h)² PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si dejas caer a la vez una piedra pesada y una ligera en el vacío, ¿cuál cae con mayor aceleración?

La gravitación explica por qué cae una manzana y por qué la Luna gira alrededor de la Tierra. Todo parte de una sola ley, la de Newton, y de una idea nueva: el campo. En esta sección verás ambas y aprenderás a calcular la gravedad en cualquier punto.

BLOQUE 1 Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación universal e intensidad de campo 2 Determinación de la gravedad con un muelle (ejercicio competencial) 3 Energía potencial, potencial y conservación de la energía 4 Líneas de fuerza y superficies equipotenciales 5 Leyes de Kepler y momento angular 6 Satélites: velocidad orbital, energía y velocidad de escape 7 Introducción a la cosmología y la astrofísica Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 7 PROCESO Mapa del tema: campo gravitatorio Ley de gravitación universal Newton propuso que dos cuerpos con masa se atraen siempre. La fuerza crece con las masas y disminuye mucho al alejarlos.

En concreto, es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. En forma vectorial, la fuerza que la masa ejerce sobre la masa es: es la constante de gravitación universal: . es la distancia entre los centros de las masas, en metros. es un vector unitario (módulo 1) que va de la masa que atrae hacia la masa atraída. ¿Por qué el signo menos? El vector apunta hacia fuera, alejándose de . La fuerza apunta al revés, hacia . El signo negativo indica que la gravedad es siempre atractiva. Características de estas fuerzas: Su dirección es la de la recta que une las dos masas.

Aparecen por parejas: cada masa tira de la otra con el mismo módulo y sentido contrario (acción y reacción). Actúan a distancia, sin contacto.

Ley de gravitación Fuerza atractiva entre masas y campo g = GM/r² 1 Medir g Determinación experimental de g con un muelle 2 Energía y potencial Energía potencial, potencial y conservación de la energía 3 Líneas y equipotenciales Representación gráfica del campo y del potencial 4 Kepler y momento angular Leyes del movimiento planetario y fuerza central 5 Satélites Velocidad orbital, energía y velocidad de escape 6 Cosmología Gravedad, estrellas y expansión del universo 7 M m = F G r2 M m ur G G = 6,67 10 N m kg 11 2 2 r ur ur M M Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 8 Como es muy pequeña, la fuerza solo se nota si al menos una masa es enorme, como un planeta.

Esquema de las fuerzas de atracción mutua entre dos masas. EJEMPLO Dos personas de 70 kg separadas 1 m se atraen con: Es una fuerza imperceptible. Por eso no notamos la atracción entre objetos cotidianos. COMPRUEBA 2 Si duplicas la distancia entre dos masas, ¿qué pasa con la fuerza? Campo e intensidad de campo gravitatorio Un campo es una propiedad que tiene cada punto del espacio por la presencia de algo. Una masa modifica el espacio que la rodea: el campo gravitatorio es esa perturbación. Cualquier otra masa colocada allí nota una fuerza. El campo se describe con dos magnitudes. Una es vectorial, la intensidad de campo, que se representa con líneas de fuerza.

Otra es escalar, el potencial, que se representa con superficies equipotenciales (véanse «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y conservación de la energía» y «Líneas de fuerza y superficies equipotenciales»). DEFINICIÓN La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que actuaría sobre una unidad de masa situada en él: . Se mide en N/kg. Para deducir el campo de una masa puntual o esférica, escribimos la fuerza de dos formas. Por la segunda ley de Newton, . Por la ley de gravitación, .

Igualamos y dividimos entre : G F = 6,67 10 11 12 70 70 3,3 10 N 7 g = g /m F = F m g = F G Mm /r ur 2 m = g G g = r2 M ur G r2 M Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 9 Esquema de la deducción del campo de una masa esférica. Propiedades del campo: Es radial: apunta hacia el centro de la masa que lo crea. Por eso es un campo central. Su módulo disminuye con el cuadrado de la distancia. Solo depende de la masa que lo crea, , y de la distancia. No depende de la masa de prueba . Un cuerpo esférico con la masa repartida de forma uniforme crea, fuera de él, el mismo campo que una masa puntual en su centro. Por eso se mide siempre desde el centro.

ERROR FRECUENTE Confundir masa y peso. La masa (kg) es la cantidad de materia y no cambia de lugar a lugar. El peso es una fuerza, , en newtons, y cambia con . Un astronauta de 80 kg tiene 80 kg en la Luna, pero pesa menos. Otro fallo típico: medir desde la superficie en lugar de desde el centro. COMPRUEBA 3 Una piedra de 1 kg y otra de 10 kg están en el mismo punto. ¿Qué vale g en cada caso? Campo de varias masas: principio de superposición Si hay varias masas, cada una crea su campo como si estuviera sola. El principio de superposición dice que el campo total es la suma vectorial de todos ellos: M m r P = m g g r = gtotal + g1 + g2 + gn Dibuja las masas y el punto P.

Traza desde P una flecha hacia cada masa: así apunta cada campo. 1 Calcula cada módulo con , con la distancia de cada masa a P. 2 g = i GM /r i i 2 r i Descompón cada vector en componentes x e y. 3 Suma las componentes por separado y halla el módulo con Pitágoras. 4 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 10 EJEMPLO Dos masas de 100 kg están en y . Buscamos el campo en P, . Masa 1 (a 1 m, campo hacia la izquierda): . Masa 2 (a 3 m, campo hacia la derecha): . Total: . Gana la masa más cercana. COMPRUEBA 4 ¿En qué punto entre dos masas iguales el campo total es nulo?

Campo gravitatorio terrestre y variación con la altura La Tierra puede tratarse como una esfera de masa y radio . Su campo apunta en todas partes hacia su centro. Esquema del campo gravitatorio terrestre dirigido hacia el centro. En la superficie, : A una altura sobre la superficie, la distancia al centro es . Si dividimos entre , se simplifican y , y queda: Esta fórmula es útil porque no necesitas conocer la masa de la Tierra, solo y .

x = 0 x = 4 m x = 1 m g = 1 6,67 10 11 100/1 = 2 6,67 10 N/kg 9 g = 2 6,67 10 /9 9 7,4 10 N/kg 10 = g ( 6,67 10 + 9 0,74 10 ) 9 i 5,9 10 N/kg 9 i M T 5,97 10 kg 24 R 6,37 10 m 6 r = R g = 0 G = R2 M T 6,67 10 11 (6,37 10 ) 6 2 5,97 1024 9,8 N/kg h r = R + h g(h) g 0 G M T g(h) = g 0 (R + h)2 R2 g 0 R Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 11 EJEMPLO ¿Cuánto vale g a , es decir, a una altura igual al radio? Entonces , y . PARA RECORDARLO Cerca del suelo (h de pocos km) g apenas cambia, porque . Para notar la diferencia hacen falta alturas comparables al radio terrestre. COMPRUEBA 5 ¿A qué distancia del centro de la Tierra g vale la novena parte de g ?

IDEAS CLAVE La ley de Newton describe una fuerza siempre atractiva, dirigida según la recta que une las masas. La intensidad de campo es la fuerza por unidad de masa, , y se mide en N/kg. Una masa esférica crea fuera de ella el campo , con r medido desde su centro; no depende de la masa de prueba. Con varias masas, el campo total es la suma vectorial de los campos de cada una. La gravedad disminuye con la altura según ; en la superficie terrestre N/kg. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 6. ¿Por qué la fórmula vectorial de la fuerza gravitatoria lleva signo negativo? 7. ¿Qué diferencia hay entre masa y peso? 8. ¿Cómo se calcula el campo en un punto debido a dos masas?

h = 6370 km R + h = 2R g = g R /(2R) = 0 2 2 g /4 0 2,45 N/kg R + h R = F GMm /r ur 2 = g /m F g = GM/r2 g(h) = g R /(R + 0 2 h)2 g 0 9,8 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 12 18 % de los puntos del examen BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 2 Determinación de la gravedad con un muelle (ejercicio competencial) AL ACABAR SABRÁS Calcular la constante elástica de un muelle a partir de la pendiente de la gráfica F-Δx Determinar la gravedad de un planeta con un muelle calibrado en la Tierra Calcular la masa y la densidad media de un planeta a partir de g y su radio Calcular el peso de un objeto en otro planeta PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Cómo podrías saber cuánto pesa un planeta con solo un muelle y una pesa?

La idea del experimento Queremos medir la gravedad de un planeta desconocido sin más material que un muelle y unas pesas. El truco tiene dos fases. Primero, en la Tierra, averiguamos cómo de «duro» es el muelle. Después, en el planeta, colgamos una masa conocida y miramos cuánto se estira. Si el planeta tira más fuerte que la Tierra, el muelle se alarga más. Con la gravedad del planeta y su radio podemos llegar hasta su masa y su densidad. Para eso usamos la expresión del campo en la superficie, vista en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo».

Ley de Hooke y constante elástica DEFINICIÓN La ley de Hooke dice que el alargamiento de un muelle es proporcional a la fuerza que lo estira: es el alargamiento, es decir, la longitud final menos la inicial, en metros. k es la constante elástica, en N/m: la fuerza necesaria para estirar el muelle un metro. Un muelle con k grande es rígido: cuesta mucho estirarlo. Uno con k pequeña es blando. La ley solo vale mientras no se deforme el muelle de forma permanente (límite elástico). Si colgamos una masa m y el muelle queda en reposo, la fuerza del muelle equilibra al peso. Por eso, en el equilibrio: Esta igualdad es la base de todo el ejercicio.

F = k Δx Δx k Δx = m g Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 13 Lectura de la gráfica F-Δx Si representamos la fuerza en el eje vertical y el alargamiento en el horizontal, sale una recta que pasa por el origen. Su pendiente es k: . Una recta más inclinada indica un muelle más rígido. Calcular k con la pendiente es mejor que con un solo dato. La recta reparte los pequeños errores de medida de todos los puntos. COMPRUEBA 10 Dos muelles A y B dan rectas F-Δx; la de A es el doble de inclinada. Con la misma pesa, ¿cuál se estira más? Fase 1: calibrado del muelle en la Tierra Calibrar el muelle es medir su k con fuerzas conocidas.

En la Tierra el peso de cada pesa es , y en este ejercicio se toma g = 10 m/s² en la superficie terrestre. Se cuelgan varias masas, se mide cada alargamiento y se organiza una tabla. EJEMPLO: TABLA MODELO DE DATOS m (g) m (kg) F = m·g (N) Δx (cm) Δx (m) F/Δx (N/m) 50 0,050 0,50 2,0 0,020 25 100 0,100 1,00 4,0 0,040 25 150 0,150 1,50 6,0 0,060 25 200 0,200 2,00 8,0 0,080 25 Pendiente con dos puntos de la recta: . Con datos reales los cocientes no saldrán idénticos. Se traza la recta que mejor se ajusta a los puntos y se calcula su pendiente con dos puntos de la recta, no de la tabla. Fase 2: medida de g en el planeta Ya en el planeta, k no cambia: es una propiedad del muelle, no del lugar.

Colgamos una masa m y medimos el nuevo alargamiento. Despejando del equilibrio: k = Δ(Δx) ΔF F = m g k = = 0,080 0,020 2,00 0,50 = 0,060 1,50 25 N/m g = planeta m k Δx Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 14 EJEMPLO Con el muelle anterior (k = 25 N/m) colgamos 100 g en el planeta y se estira 6,0 cm. Comprobación rápida: en la Tierra la misma pesa estiraba 4,0 cm. Aquí estira 1,5 veces más, luego g es 1,5 veces 10 m/s². Con g conocida, el peso de cualquier objeto allí es . Una persona de 60 kg pesaría , frente a 600 N en la Tierra. Su masa sigue siendo 60 kg: la masa no depende del lugar.

COMPRUEBA 11 Si en otro planeta la pesa de 100 g estirara solo 2,0 cm el mismo muelle, ¿cuánto valdría g? Fase 3: masa y densidad del planeta En la superficie de un planeta esférico de masa M y radio R, el campo vale . Si conocemos g y R, despejamos la masa: La densidad media es la masa dividida entre el volumen de la esfera: EJEMPLO Supongamos que el planeta del ejemplo (g = 15 m/s²) tiene un radio de 8000 km. Es una densidad del orden de la de un planeta rocoso, así que el resultado es razonable. Se puede ver el atajo: sustituyendo M, queda . Sirve para comprobar el resultado. Resumen del procedimiento completo: Unidades SI: m = 0,100 kg; Δx = 0,060 m. 1 Fuerza del muelle: .

Es el peso de la pesa en ese planeta. 2 F = 25 0,060 = 1,5 N Gravedad: . 3 g = = 0,100 1,5 15 m/s2 P = m g planeta 60 15 = 900 N g = 0 R2 GM M = G = G g R2 6,67 10 N m kg 11 2 2 ρ = πR 3 4 3 M Radio en metros: . 1 R = 8,0 10 m 6 Masa: . 2 M = = 6,67 10 11 15 (8,0 10 ) 6 2 6,67 10 11 9,6 1014 1,4 10 kg 25 Volumen: . 3 V = π(8,0 3 4 10 ) 6 3 2,1 10 m 21 3 Densidad: . 4 ρ = 2,1 1021 1,4 10 25 6,7 10 kg/m 3 3 ρ = 4πGR 3g Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 15 PROCESO De un muelle a la masa de un planeta ERROR FRECUENTE Meter Δx en cm o la masa en g. Con 4 cm en lugar de 0,04 m, k sale 100 veces menor y todo lo demás falla. Usar 9,8 m/s² cuando el enunciado da 10 m/s².

Usa siempre el valor del enunciado. Poner R en km en : el error es de un factor . Calcular k con un solo punto de la tabla si piden la gráfica: hay que usar la pendiente de la recta. Dar el resultado sin unidades o con diez cifras: escribe M en kg, ρ en kg/m³ y con las cifras significativas de los datos (dos o tres). COMPRUEBA 12 Dos planetas tienen la misma g, pero uno tiene el doble de radio. ¿Cómo son sus masas?

Calibrar en la Tierra Colgar masas conocidas, F = m·g con g = 10 m/s² 1 Gráfica F-Δx Representar fuerza frente a alargamiento en metros 2 Obtener k Pendiente de la recta, en N/m 3 Medir en el planeta Colgar masa conocida y medir el nuevo alargamiento 4 Calcular g g = k·Δx/m 5 Masa y densidad M = g·R²/G y ρ = M/V de la esfera 6 M = gR /G 2 106 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 16 18 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE La ley de Hooke, , relaciona fuerza y alargamiento; k es la pendiente de la gráfica F-Δx. El muelle se calibra en la Tierra con pesos conocidos tomando g = 10 m/s². La constante k no cambia de planeta; en otro planeta .

Con g y el radio se obtiene la masa, , y la densidad, . Todas las magnitudes deben ir en SI: metros, kilogramos y newtons. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 13. ¿Por qué se puede usar en el planeta la k medida en la Tierra? 14. ¿Qué representa la pendiente de la gráfica F-Δx? 15. ¿Qué dos datos del planeta necesitas para hallar su masa?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 3 Energía potencial,potencial y conservación de la energía AL ACABAR SABRÁS Explicar qué es un campo conservativo y por qué el gravitatorio lo es Calcular la energía potencial y el potencial gravitatorio, justificando su signo negativo Calcular el trabajo del campo entre dos puntos con W = m(VA VB) e interpretar su signo Aplicar la conservación de la energía mecánica, eligiendo entre mgh y GMm/r PIÉNSALO ANTES DE LEER 16 ¿Por qué la energía potencial de un satélite en órbita es un número negativo? Campos conservativos y no conservativos Cuando una fuerza mueve un cuerpo de un punto A a un punto B, realiza un trabajo.

La pregunta clave es si ese trabajo depende del camino recorrido o no. DEFINICIÓN Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo que hace al llevar una partícula de A a B depende solo de los puntos inicial y final, no de la trayectoria. Si el trabajo sí depende del camino, el campo es no conservativo. F = k Δx g = kΔx/m M = gR /G 2 ρ = M/( πR ) 3 4 3 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 17 Esquema de dos caminos distintos entre los puntos A y B En la figura, ir de A a B por el camino 1 (curvo) o por el camino 2 (recto) da el mismo trabajo si el campo es conservativo.

De aquí sale una consecuencia directa: en una trayectoria cerrada (se vuelve al punto de partida) el trabajo total de un campo conservativo es cero. Lo que el campo da en la ida lo quita en la vuelta. Tipo Ejemplos ¿Tiene energía potencial? Conservativo Gravitatoria, eléctrica, elástica Sí No conservativo Rozamiento No: su trabajo depende del recorrido El rozamiento es el ejemplo típico de fuerza no conservativa: arrastrar una caja por un camino largo disipa más energía que por uno corto. El campo gravitatorio es conservativo. Solo las fuerzas conservativas tienen asociada una energía potencial . Es la energía que queda almacenada cuando se trabaja contra ellas.

Cada fuerza tiene su propia expresión (elástica, gravitatoria, eléctrica). Es una magnitud escalar y su origen (el punto donde vale cero) es arbitrario: solo tienen sentido físico sus variaciones. El trabajo del campo se escribe como: COMPRUEBA 17 Un satélite da una vuelta completa a la Tierra y vuelve a su posición inicial. ¿Cuánto trabajo ha hecho la gravedad en esa vuelta? Energía potencial gravitatoria La fuerza gravitatoria entre dos masas se estudió en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo».

Al calcular su trabajo entre dos puntos se llega a una energía potencial para una masa a distancia del centro de una masa : es una constante que depende de dónde pongamos el cero. El criterio habitual es tomar en el infinito, donde la atracción desaparece. Entonces y queda: con . Su significado físico: es el trabajo que hace el campo al llevar m desde ese punto hasta el infinito. E p W = A B E pA E = pB ΔE p m r M E = p + r G M m K K E = p 0 K = 0 E = p (J) r G M m G = 6,67 10 N m kg 11 2 2 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 18 ¿Por qué es negativa? Para alejar hasta el infinito hay que tirar contra la atracción.

El campo se opone al movimiento, así que su trabajo es negativo. Como en el infinito vale cero, en cualquier otro punto vale menos que cero. Cuanto más cerca de , más negativa: el cuerpo está más «atrapado». ERROR FRECUENTE Usar en problemas de satélites o grandes alturas. Esa fórmula supone constante y toma el cero en el suelo. Solo vale cerca de la superficie, con . Para órbitas usa siempre , con medido desde el centro del planeta ( ), nunca desde la superficie. Potencial gravitatorio La energía potencial depende de la masa que colocamos. Para describir solo el campo creado por se divide entre . Así se obtiene el potencial gravitatorio: la energía potencial por unidad de masa en un punto.

Equivale al trabajo que hace el campo al llevar 1 kg desde ese punto al infinito. También es negativo por el mismo motivo que . Si hay varias masas, el potencial total es la suma escalar de los potenciales de cada una: No hay que dibujar vectores; basta sumar números negativos. Es la versión escalar del principio de superposición visto para . EJEMPLO Dos masas iguales de 1000 kg están separadas 2 m. ¿Cuánto vale el potencial en el punto medio? En ese punto el campo es nulo (los vectores se anulan), pero el potencial no. Son magnitudes distintas.

Magnitud Tipo Expresión Unidad Depende de m Fuerza Vectorial N Sí Intensidad de campo Vectorial N/kg No Energía potencial Escalar J Sí Potencial Escalar J/kg No m M E = p mgh g h R T GMm/r r r = R + T h M m V = = m E p (J/kg) r G M E p V = V + 1 V + 2 … g Cada masa está a m del punto. 1 r = 1 Potencial de cada una: . 2 V = 1 V = 2 = 1 6,67 10 1000 11 6,67 10 J/kg 8 Suma escalar: . 3 V = 1,334 10 J/kg 7 g = F r2 GMm ur = g r2 GM ur E = p r GMm V = r GM Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 19 Fíjate en la relación: las magnitudes con se obtienen multiplicando por las del campo ( , ). Las vectoriales van con ; las escalares, con .

COMPRUEBA 18 Si la distancia al centro de un planeta se duplica, ¿qué les pasa a g y a V? Trabajo entre dos puntos Uniendo lo anterior, el trabajo del campo al llevar de A a B es: Interpretación del signo: : el cuerpo se mueve espontáneamente, hacia potenciales menores (más negativos), es decir, se acerca a la masa. : hace falta una fuerza externa; el cuerpo se aleja de la masa. EJEMPLO Una sonda de 100 kg pasa de un punto con J/kg a otro con J/kg. Energía mecánica y su conservación La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial: . Su conservación sale de igualar dos formas de escribir el trabajo: Conclusión: si solo actúa la gravedad, la energía mecánica es constante.

Lo que el cuerpo gana en cinética lo pierde en potencial, y al revés. Si hay rozamiento u otras fuerzas no conservativas, deja de conservarse. m m = F m g E = p mV 1/r2 1/r m W = A B ΔE = p E pA E = pB m (V A V ) B W > 0 W < 0 V = A 6 107 V = B 3 107 Resta de potenciales: . 1 V A V = B 3 10 J/kg 7 Multiplica por la masa: . 2 W = 100 ( 3 10 ) = 7 3 10 J 9 Interpreta: el trabajo es negativo, la sonda se aleja del planeta y alguien (sus motores) debe aportar esa energía. 3 E = m E + c E p Teorema de las fuerzas vivas: el trabajo total es . 1 W = ΔE c Si la única fuerza es la gravitatoria, ese trabajo también es . 2 W = ΔE p Igualando: . 3 ΔE = c ΔE p ΔE + c ΔE = p 0 Por tanto , es decir, .

4 ΔE = m 0 E + cA E = pA E + cB E pB E m Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 20 EJEMPLO Se suelta una piedra desde el reposo a 20 m del suelo, sin rozamiento, con m/s². Cerca de la superficie vale . PROCESO De los trabajos a la conservación 1 Fuerzas vi vas El trabajo total equi vale a la variación de energía cinética 2 Campo conservativo El trabajo gravitatorio equivale a menos la variación de Ep 3 Igualar tra bajos ΔEc = ΔEp cuando solo actúa la gravedad 4 Em cons tante ΔEm = 0: EmA = EmB PARA RECORDARLO Usa para alturas pequeñas frente al radio del planeta. Usa en cuanto cambie apreciablemente la distancia al centro (satélites, sondas, lanzamientos).

COMPRUEBA 19 Un cuerpo cae hacia la Tierra desde muy lejos, sin rozamiento. ¿Qué ocurre con su Ep, su Ec y su Em? IDEAS CLAVE Un campo es conservativo si su trabajo entre dos puntos no depende del camino; en una trayectoria cerrada es nulo. Con el cero en el infinito, y : ambas son negativas porque alejar la masa exige trabajo contra el campo. El potencial es escalar: el de varias masas se obtiene sumando números, sin vectores. El trabajo del campo es . Si solo actúa la gravedad, se conserva. solo vale cerca de la superficie, donde g es casi constante. g = 9,8 E = p mgh Arriba: , porque . 1 E = m mgh E = c 0 Abajo: , porque . 2 E = m mv 2 1 2 h = 0 Igualando, la masa se simplifica: .

3 v = = 2gh 2 9,8 20 19,8 m/s mgh GMm/r E = p GMm/r V = GM/r W = A B ΔE = p m(V A V ) B E + c E p E = p mgh Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 21 18 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 20. ¿Por qué no se puede definir una energía potencial para el rozamiento? 21. ¿Qué significa físicamente que valga cero en el infinito? 22. ¿En qué unidades se mide el potencial gravitatorio y por qué? BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 4 Líneas de fuerza y superficies equipotenciales AL ACABAR SABRÁS Dibujar y describir las líneas de fuerza y las equipotenciales de una masa puntual o esférica.

Justificar por qué las equipotenciales son esferas concéntricas a partir de V = GM/r. Demostrar que el trabajo sobre una superficie equipotencial es nulo. Redactar una respuesta modelo completa a la cuestión teórica del examen. PIÉNSALO ANTES DE LEER 23 Un satélite da vueltas a la Tierra a altura constante durante años sin motor. ¿Cómo es posible que la gravedad no lo frene ni lo acelere? Un campo gravitatorio no se ve, pero se puede dibujar. Para ello se usan dos herramientas complementarias: las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales. Las primeras muestran hacia dónde tira el campo y con qué intensidad. Las segundas agrupan los puntos que tienen el mismo potencial.

Líneas de fuerza (o líneas de campo) DEFINICIÓN Una línea de fuerza es una línea imaginaria que, en cada uno de sus puntos, es tangente al vector intensidad de campo . Lleva el mismo sentido que el campo. La intensidad de campo es la fuerza por unidad de masa (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo»). Si dejamos una masa de prueba en reposo, empieza a moverse en la dirección de la línea que pasa por ese punto. Propiedades de las líneas de fuerza: Dirección: la de en cada punto, es decir, la tangente a la línea. Sentido: el de la fuerza que sufriría una masa colocada allí. Densidad: donde hay más líneas juntas, el campo es más intenso.

El módulo de es proporcional al número de líneas que atraviesan cada unidad de superficie. E p g g g g Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 22 Nunca se cortan: si dos líneas se cruzaran, en el punto de cruce habría dos direcciones de . Eso es imposible, porque el campo tiene un único valor en cada punto. Masa puntual o esférica Para una masa puntual o esférica, el campo es central y atractivo: El vector es unitario y apunta desde el centro de la masa hacia fuera. El signo menos indica que apunta hacia dentro. Por eso las líneas de fuerza son semirrectas radiales y entrantes: nacen en el infinito y terminan en la masa. Al acercarnos a , las líneas se juntan.

Esto refleja que crece al disminuir . Esquema de líneas radiales entrantes hacia una masa puntual Con dos masas iguales, el campo total es la suma vectorial de ambos (principio de superposición). Las líneas se curvan. Entre las dos masas hay un punto, justo en el medio, donde los dos campos se anulan. Esquema de líneas de campo de dos masas iguales COMPRUEBA 24 Si a una distancia r pasan 4 líneas por cada m² y duplicamos la distancia, ¿qué ocurre con la densidad de líneas?

g M = g r2 GM ur ur g M g r Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 23 Superficies equipotenciales DEFINICIÓN Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos del espacio que tienen el mismo potencial gravitatorio: en ella se cumple . El potencial gravitatorio se explica en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y conservación de la energía». Para una masa puntual o esférica vale: Aquí , va en kg y en m. El potencial depende solo de la distancia al centro. Por tanto, todos los puntos a la misma distancia tienen el mismo potencial. Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas centradas en la masa.

Las esferas cercanas a la masa tienen un potencial más negativo, es decir, más bajo. Al alejarnos, aumenta y tiende a 0 en el infinito. Esquema de equipotenciales esféricas perpendiculares a las líneas de campo EJEMPLO Compara dos esferas equipotenciales de la Tierra, una de radio y otra de radio : El potencial de la esfera exterior es la mitad de negativo, así que es mayor. Las líneas de fuerza van de la esfera de a la de , es decir, de mayor a menor potencial. Relación entre líneas y equipotenciales Son perpendiculares en todo punto. En la masa puntual se ve directamente: un radio corta siempre en ángulo recto a una esfera centrada en el mismo punto.

Las líneas apuntan hacia potenciales decrecientes. Indican la dirección en que el potencial disminuye más deprisa. El trabajo sobre una equipotencial es nulo. V = cte V = (J/kg) r G M G = 6,67 10 N m /kg 11 2 2 M r r V r 2r V = 2r = 2r GM 2 V r 2r r Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 24 El trabajo que hace el campo al llevar una masa de un punto 1 a un punto 2 es: Si los dos puntos están en la misma equipotencial, . Entonces W = m(V V ) = 0 (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y conservación de la energía»). Además, el desplazamiento sobre la superficie es perpendicular a la fuerza, así que el producto escalar también es cero.

EJEMPLO Un satélite en órbita circular se mueve siempre a la misma distancia del centro de la Tierra. Recorre, por tanto, una equipotencial. La gravedad no realiza trabajo sobre él y su energía cinética no cambia. ERROR FRECUENTE Decir que las líneas de fuerza van «de menor a mayor potencial» porque «el potencial crece hacia la masa». Es al revés. Cerca de la masa, es más negativo. Las líneas entran hacia la masa, es decir, hacia potenciales decrecientes. Otro fallo típico es dibujar las líneas saliendo de la masa: en gravitación son siempre entrantes. COMPRUEBA 25 ¿Por qué dos superficies equipotenciales distintas no pueden cortarse?

ESQUEMA Representación del campo gravitatorio m W = 1 2 m ΔV = m (V 1 V ) 2 V = 1 V 2 V Líneas de fuerza Tangentes a g Radiales y entrantes Hacia la masa Densidad g Más juntas, campo más intenso Nunca se cortan g único en cada punto Equipotenciales V constante Esferas concéntricas V = GM/r depende de r Trabajo nulo W = mΔV = 0 Perpendiculares a líneas Ángulo de 90° en todo punto Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 25 Respuesta modelo para el examen Una buena respuesta se organiza en tres bloques: EAU · 2022, ORDINARIA (B.4, 2 PUNTOS) B.4.- Líneas de fuerza y superficies equipotenciales en el campo gravitatorio creado por una masa puntual (o esférica).

Desarrollo de la cuestión: Resolución Es una cuestión teórica. Hay que definir los dos conceptos, deducir su forma para una masa puntual y relacionarlos. 1. Líneas de fuerza. Son líneas imaginarias tangentes en cada punto a , con su mismo sentido. Para una masa se cumple . El campo es central y atractivo, así que las líneas son semirrectas radiales dirigidas hacia el centro de la masa. Donde hay más líneas por unidad de superficie, el campo es más intenso. Por eso las líneas se juntan cerca de . No se cortan, porque tiene una sola dirección en cada punto. (Dibujo: radios que apuntan hacia la masa.) 2. Superficies equipotenciales. Son los puntos con .

Como depende solo de , el potencial es igual a la misma distancia del centro. Las equipotenciales son esferas concéntricas centradas en . Cuanto más cerca de la masa, más negativo es el potencial. (Dibujo: circunferencias concéntricas cortadas por los radios.) 3. Relación. Las líneas de fuerza son perpendiculares a las equipotenciales en todo punto. Apuntan hacia potenciales decrecientes, que aquí son más negativos. Entre dos puntos de la misma equipotencial, el trabajo es nulo: . Lo mismo se deduce de que la fuerza es perpendicular al desplazamiento. Líneas de fuerza: definición (tangentes a ), sentido y densidad proporcional a . Forma radial y entrante, justificada con la expresión de .

Incluir un dibujo. 1 g g g Equipotenciales: definición ( ). Esferas concéntricas, justificadas porque solo depende de . Incluir un dibujo. 2 V = cte V = GM/r r Relación entre ambas: perpendicularidad, sentido hacia potenciales decrecientes y trabajo nulo . 3 W = mΔV = 0 g M = g r2 GM ur M g V = cte V (r) = r GM r M W = mΔV = m(V 2 V ) = 1 0 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 26 18 % de los puntos del examen AHORA TÚ Describe las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales del campo creado por dos masas iguales separadas una distancia d. Explica qué ocurre en el punto medio. Primeros pasos: el campo total es la suma vectorial de los dos campos.

Cerca de cada masa, las líneas son casi radiales y entrantes. Lejos de ambas, el conjunto se comporta como una sola masa 2M. Te toca: razonar qué pasa con g en el punto medio y cómo son las equipotenciales cerca de cada masa y muy lejos. Solución: 26 IDEAS CLAVE Las líneas de fuerza son tangentes a , nunca se cortan y su densidad indica la intensidad del campo. Para una masa puntual o esférica, las líneas son radiales y entrantes hacia la masa. Como solo depende de r, las equipotenciales son esferas concéntricas. Líneas y equipotenciales son perpendiculares, y las líneas apuntan hacia potenciales decrecientes. Mover una masa sobre una equipotencial no requiere trabajo: .

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27. ¿Por qué las líneas de fuerza gravitatorias no pueden cortarse? 28. Da dos justificaciones de que el trabajo sobre una equipotencial es nulo.

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 5 Leyes de Kepler y momento angular AL ACABAR SABRÁS Enunciar las tres leyes de Kepler y explicar la elipse, el perihelio y el afelio Demostrar que una fuerza central conserva el momento angular y deducir de ello la ley de las áreas Calcular velocidades en perihelio y afelio con · = · Deducir T² = 4π²r³/(GM) igualando fuerza gravitatoria y centrípeta g V = GM/r W = mΔV = 0 r p v p r a v a Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 27 PIÉNSALO ANTES DE LEER 29 ¿Por qué la Tierra va algo más deprisa en enero que en julio? Johannes Kepler formuló entre 1600 y 1620 tres leyes que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol.

Las obtuvo a partir de observaciones, sin conocer su causa. Décadas después, la ley de gravitación de Newton permitió explicarlas (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo»). Las tres leyes de Kepler Primera ley (ley de las órbitas). Cada planeta describe una órbita elíptica con el Sol en un foco. Una elipse es una curva cerrada con dos puntos interiores llamados focos. La suma de distancias de cualquier punto de la curva a los dos focos es siempre la misma. El otro foco está vacío. Esquema de órbita elíptica con el Sol en un foco. El punto de la órbita más cercano al Sol se llama perihelio, y el más lejano, afelio.

Las órbitas reales de los planetas son poco alargadas, casi circulares. Segunda ley (ley de las áreas). La recta que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Si en un intervalo el planeta barre el área lejos del Sol, en otro intervalo igual barre un área cerca del Sol. Esquema de áreas iguales barridas en tiempos iguales. Cerca del Sol el radio es corto, así que el sector es ancho: el planeta recorre más arco en el mismo tiempo. Por tanto, el planeta va más rápido en el perihelio y más lento en el afelio. Δt A 1 A = 2 A 1 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 28 Tercera ley (ley de los periodos).

El cuadrado del periodo de revolución es proporcional al cubo de la distancia media al Sol: El periodo de revolución es el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta completa. La constante es la misma para todos los planetas del Sistema Solar. COMPRUEBA 30 Un planeta A está más lejos del Sol que otro B. ¿Cuál tarda más en dar la vuelta? Momento angular y fuerzas centrales La segunda ley tiene una explicación física. Para darla necesitamos una magnitud nueva. DEFINICIÓN El momento angular de una partícula respecto a un punto O es el producto vectorial de su vector de posición por su momento lineal: . Su módulo es , donde es el ángulo entre y . Su unidad es .

Por ser un producto vectorial, es perpendicular al plano que forman y . Una fuerza central es la que siempre apunta hacia un punto fijo (o desde él), es decir, va en la dirección de . La gravedad que el Sol ejerce sobre un planeta es central: siempre apunta hacia el Sol. Demostración: una fuerza central conserva L Consecuencias Órbita plana. Como la dirección de no cambia, y están siempre en el mismo plano. El planeta no sale de ese plano. Ley de las áreas. En un tiempo el radio barre un triángulo de área . Dividiendo por : . Como L y m son constantes, la velocidad con que se barren áreas también lo es. Perihelio y afelio. En esos dos puntos y son perpendiculares ( ). Igualando L: .

T = 2 c r3 T c = L × r mv L = r m v sin α α r v kg m /s 2 L r v r Derivamos respecto al tiempo con la regla del producto: . 1 L = dt dL × dt dr m + v × r m dt dv El primer término es , porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. 2 × v m = v 0 En el segundo, (segunda ley de Newton). Queda . 3 m = dt dv F = dt dL × r F Si la fuerza es central, es paralela a , y . 4 F r × r = F 0 Conclusión: con fuerza central, L es constante en módulo, dirección y sentido. 5 L r v dt dA = × 2 1 r d r dt = dt dA 2m L r v sin α = 1 r v = p p r v a a Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 29 EJEMPLO Un cometa pasa por su perihelio a una distancia r y por su afelio a 4r.

Si en el perihelio va a 40 km/s, ¿qué velocidad tiene en el afelio? Paso 1: en ambos puntos la velocidad es perpendicular al radio, así que . Paso 2: despejamos km/s. Al alejarse cuatro veces, su velocidad se divide entre cuatro. ERROR FRECUENTE Aplicar en cualquier punto de la órbita. Solo vale donde es perpendicular a (perihelio y afelio). En otro punto hay que incluir . Tampoco confundas conservación de L con velocidad constante: en la elipse v cambia. COMPRUEBA 31 ¿Por qué la órbita de un planeta no puede ser una curva que se salga de un plano?

PROCESO De la fuerza central a Kepler Deducción de la tercera ley para órbitas circulares La idea es simple: en una órbita circular, la gravedad es justo la fuerza que mantiene el giro. Suponemos órbita circular de radio r, aunque las reales sean elípticas. r v = p p r v a a v = a = r a r v p p = 4r r 40 10 r v = p p r v a a v r sin α Gravedad central La fuerza del Sol apunta siempre hacia el Sol 1 r × F = 0 Fuerza paralela al vector de posición 2 L constante Se conserva el momento angular 3 Órbita plana Dirección de L fija 4 Ley de las áreas dA/dt = L/(2m) constante 5 La fuerza gravitatoria del Sol (masa M) sobre el planeta (masa m) actúa como fuerza centrípeta: .

1 = r2 GMm m r v2 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 30 Comparando con , la constante de Kepler es , con N·m²·kg ². PARA RECORDARLO La masa m del planeta se cancela en el primer paso. Por eso c depende solo de la masa central. Todos los planetas del Sol comparten la misma c; las lunas de Júpiter comparten otra distinta, y los satélites de la Tierra, otra. EJEMPLO Dos satélites giran alrededor de la Tierra. El segundo tiene una órbita de radio cuatro veces mayor. ¿Cuántas veces es mayor su periodo? Como orbitan el mismo cuerpo, c es igual para ambos: . Sacando la raíz: . No hace falta conocer las masas de los satélites.

COMPRUEBA 32 Si un planeta tuviera el doble de masa pero la misma órbita, ¿cambiaría su periodo? IDEAS CLAVE Primera ley: los planetas describen elipses con el Sol en uno de sus focos. Segunda ley: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, así que el planeta va más rápido en el perihelio. El momento angular se conserva bajo fuerzas centrales como la gravedad; eso explica la ley de las áreas y que la órbita sea plana. En perihelio y afelio se cumple . Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta se obtiene ; la constante depende solo de la masa central.

Simplificamos m y un factor r: , de donde sale la velocidad orbital (se estudia a fondo en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Satélites: velocidad orbital, energía y velocidad de escape»). 2 v = 2 r GM v = r GM En un movimiento circular uniforme, una vuelta de longitud se hace en un periodo T: . 3 2πr v = T 2πr Igualamos ambas velocidades: . 4 = r GM T 2πr Elevamos al cuadrado y despejamos : 5 T2 T = 2 GM 4π r 2 3 T = 2 c r3 c = GM 4π2 G = 6,67 10 11 = T 1 2 T 2 2 = r 1 3 r 2 3 4 = 3 64 T = 2 8 T 1 = L × r mv r v = p p r v a a T = 2 GM 4π r 2 3 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 31 18 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 33.

¿Qué condición debe cumplir una fuerza para conservar el momento angular? 34. ¿Por qué la constante de la tercera ley es distinta para las lunas de Júpiter que para los planetas?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 6 Satélites: velocidad orbital,energía y velocidad de escape AL ACABAR SABRÁS Deducir y calcular la velocidad orbital y el periodo de un satélite Calcular la energía cinética, potencial y mecánica de un satélite en órbita Aplicar balances de energía al lanzamiento, al cambio de órbita y al escape Determinar la altura de la órbita geoestacionaria y el tipo de trayectoria según la energía PIÉNSALO ANTES DE LEER 35 ¿Un satélite situado más lejos de la Tierra va más rápido o más despacio que uno cercano? Velocidad orbital y periodo de una órbita circular Un satélite es un cuerpo que gira alrededor de otro más masivo porque lo atrae su gravedad.

Aquí trabajamos con órbitas circulares. Llamamos a la masa del planeta y a la del satélite. El radio de la órbita es , medido desde el centro del planeta. ¿Por qué no cae el satélite? Sí cae, pero a la vez avanza de lado. La atracción gravitatoria (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo») solo curva su trayectoria. Hace el papel de fuerza centrípeta, la fuerza dirigida al centro que exige todo movimiento circular uniforme. Igualamos las dos expresiones de la fuerza: La masa se simplifica y despejamos la velocidad: Esta es la velocidad orbital. Tiene tres consecuencias importantes: No depende de la masa del satélite.

Una estación espacial y un tornillo suelto en la misma órbita van igual de rápido. M m r = r2 GMm m r v2 m v = r GM Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 32 Cuanto más lejos está el satélite, más despacio va. Para cada radio hay una única velocidad posible de órbita circular. El radio se calcula siempre como , donde es el radio del planeta y la altura sobre la superficie. El periodo es el tiempo de una vuelta completa. En movimiento circular uniforme se recorre la circunferencia a velocidad constante: Si elevamos al cuadrado obtenemos , que es la tercera ley de Kepler. Su deducción completa está en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y momento angular».

Si el enunciado no da , puedes usar . Así . EJEMPLO Un satélite orbita la Tierra a 630 km de altura. Calcula su velocidad y su periodo. COMPRUEBA 36 Si un satélite pasa a una órbita de radio cuatro veces mayor, ¿cómo cambia su velocidad? Energía de un satélite en órbita La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. La energía potencial gravitatoria se definió en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y conservación de la energía». Vale y toma el cero en el infinito. La energía cinética sale de sustituir la velocidad orbital, : Sumamos las dos: Fíjate en la relación entre ellas: Em = Ec = Ep/2.

La energía mecánica de una órbita circular siempre es negativa. Un valor negativo significa que el satélite está ligado al planeta: no tiene energía suficiente para alejarse hasta el infinito. r = R + h R h T T = = v 2πr 2π GM r3 T = 2 GM 4π r 2 3 M GM = g R 0 2 v = g R /r 0 2 Radio de la órbita: m. Primero pasamos los km a metros. 1 r = 6,37 10 + 6 0,63 10 = 6 7,00 106 Producto N·m²/kg. 2 GM = 6,67 10 11 5,97 10 24 3,98 1014 Velocidad: m/s. 3 v = 3,98 10 /7,00 10 14 6 7,54 103 Periodo: s, unos 97 minutos.

4 T = 2π 7,00 10 /7,54 6 10 3 5,83 103 E = p r GMm v = 2 GM/r E = c mv = 2 1 2 2r GMm E = m 2r GMm = r GMm 2r GMm Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 33 Una órbita más alta tiene una energía mecánica menos negativa, es decir, mayor. Por eso subir de órbita cuesta energía, aunque el satélite acabe yendo más despacio. Magnitud Fórmula Al aumentar r Velocidad orbital Disminuye Periodo Aumenta Energía cinética Disminuye Energía potencial Aumenta (menos negativa) Energía mecánica Aumenta (menos negativa) ERROR FRECUENTE Mantener una órbita circular no requiere trabajo. La fuerza gravitatoria es siempre perpendicular a la velocidad.

Por eso su trabajo es nulo y la energía no cambia. Solo cuesta energía cambiar de órbita o lanzar el satélite. Si te piden el trabajo para mantener la órbita, la respuesta es cero y hay que justificarlo. COMPRUEBA 37 Un satélite tiene una energía cinética de 3·10 J. ¿Cuánto valen su energía mecánica y su energía potencial? Energía para poner en órbita y para cambiar de órbita Estos problemas son balances de energía. La energía que aportan los motores es la diferencia de energía mecánica entre el estado final y el inicial: Lanzamiento desde la superficie. Si despreciamos la rotación terrestre, el satélite parte en reposo y solo tiene energía potencial: . Al final está en órbita con .

Por tanto: Cambio de órbita de radio a radio . Las dos energías son orbitales: Si , el trabajo es positivo: hay que aportar energía. GM/r 2π r /(GM) 3 GMm/(2r) GMm/r GMm/(2r) W = E m, final E m, inicial E = m, inicial GMm/R E = m, final GMm/(2r) W = GMm ( R 1 2r 1 ) r 1 r 2 W = 2 GMm ( r 1 1 r 2 1 ) r > 2 r 1 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 34 EJEMPLO Un satélite de 500 kg pasa de la órbita de radio 7,00·10 m a otra de radio 1,40·10 m. ¿Qué energía hace falta? ERROR FRECUENTE Usar la altura en lugar del radio en las fórmulas. También perder puntos por no pasar los km a m o las horas a s antes de operar. Comprueba las unidades del SI antes de sustituir.

Velocidad de escape y energía de escape La velocidad de escape es la velocidad mínima para alejarse hasta el infinito sin más propulsión. En el caso límite, el cuerpo llega al infinito con velocidad cero. Allí su energía cinética y su potencial valen cero, así que su energía mecánica total es nula. Como la energía mecánica se conserva, en la superficie también debe ser cero: Para la Tierra sale v_e 11,2 km/s. No depende de la masa del cuerpo ni de la dirección de lanzamiento. La energía de escape es la energía cinética que hay que comunicar para escapar: . Si el cuerpo ya está en una órbita de radio , basta aportar lo que falta hasta llegar a cero: .

Desde la órbita, la velocidad de escape es , es decir, veces la velocidad orbital. COMPRUEBA 38 ¿Por qué cuesta menos escapar desde una órbita que desde la superficie? Tipo de trayectoria según la energía mecánica El signo de la energía mecánica decide si el cuerpo queda atrapado o se va: Energía mecánica Trayectoria Situación Negativa Cerrada: circunferencia o elipse Ligado al planeta Cero Abierta: parábola Escapa justo, llega con v = 0 al infinito Positiva Abierta: hipérbola Escapa y le sobra velocidad en el infinito Energía inicial: J. 1 E = 1 2 7,00 106 3,98 10 500 14 1,42 1010 Energía final: el radio se duplica, así que la energía se reduce a la mitad: J. 2 E 2 7,1 109 Trabajo: J.

Es positivo, como debe ser para subir. 3 W = E 2 E 1 7,1 109 h r = R + h mv 2 1 e 2 = R GMm 0 v = e R 2GM E = GMm/R r W = GMm/(2r) 2GM/r 2 Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 35 Por ejemplo, un cometa que pasa una sola vez junto al Sol y no vuelve sigue una trayectoria abierta. Un cometa periódico tiene energía negativa y una órbita elíptica. ESQUEMA Trayectorias según la energía mecánica Órbita geoestacionaria y satélites de navegación Un satélite geoestacionario está siempre sobre el mismo punto del ecuador. Para ello gira en el plano ecuatorial, en el mismo sentido que la Tierra y con su mismo periodo: T = 24 h.

Se usan en telecomunicaciones y meteorología porque una antena fija puede apuntarles siempre. Su radio se obtiene con la tercera ley de Kepler: Los satélites de navegación, como los de los sistemas GPS o Galileo, no son geoestacionarios. Van en órbitas medias e inclinadas. Así cubren toda la Tierra y desde cualquier punto se ven varios a la vez, lo que permite calcular la posición. IDEAS CLAVE La gravedad actúa como fuerza centrípeta, y de ahí sale , independiente de la masa del satélite. En órbita circular . La energía para lanzar o cambiar de órbita es la diferencia de energías mecánicas; mantener la órbita no cuesta trabajo. La velocidad de escape vale unos 11,2 km/s en la Tierra.

Energía mecánica negativa da órbita cerrada; cero, parábola; positiva, hipérbola. El satélite geoestacionario tiene T = 24 h, r 42 200 km y h 35 800 km sobre el ecuador. Cerradas (Em < 0) Cuerpo ligado al planeta Circunferencia Em = GMm/(2r) Elipse Planetas y cometas periódicos Abiertas (Em 0) El cuerpo escapa Parábola Em = 0, llega con v = 0 Hipérbola Em > 0, le sobra velocidad Pasamos el periodo a segundos: s. 1 T = 24 3600 = 86 400 Despejamos: . 2 r = 3 4π2 GMT2 Sustituimos: m, unos 42 200 km. 3 r = 3 4π2 3,98 10 (86 400) 14 2 4,22 107 Restamos el radio terrestre: km.

4 h 42 200 6370 35 800 v = GM/r E = m GMm/(2r) = E = c E /2 p 2GM/R Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 36 18 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 39. ¿Qué relación hay entre la velocidad de escape desde una órbita y la velocidad orbital en ella? 40. ¿Por qué la energía mecánica de una órbita circular es negativa?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 7 Introducción a la cosmología y la astrofísica AL ACABAR SABRÁS Explicar cómo la gravedad forma y hace evolucionar estrellas y galaxias Enunciar la ley de Hubble y relacionarla con el Big Bang Distinguir materia oscura, energía oscura y agujeros negros Describir la repercusión tecnológica y social de la investigación espacial PIÉNSALO ANTES DE LEER 41 Si todas las galaxias se alejan de nosotros, ¿estamos en el centro del universo? La gravedad construye estrellas y galaxias El espacio contiene nubes interestelares: masas enormes de gas, sobre todo hidrógeno, y polvo. Cada parte de la nube atrae a las demás.

Si la nube es lo bastante densa, la atracción gana a la presión del gas y la nube se contrae: es el colapso gravitatorio. Al contraerse, la energía potencial gravitatoria se transforma en calor. El centro alcanza millones de grados y empieza la fusión de hidrógeno en helio. Nace una estrella. Su vida es un equilibrio: la gravedad tira hacia dentro y la presión de la energía liberada empuja hacia fuera. Cuando se agota el combustible, la gravedad vuelve a mandar.

El final depende de la masa: Masa inicial Final Parecida al Sol Gigante roja y después enana blanca Mucho mayor Supernova y estrella de neutrones Muy grande Supernova y agujero negro La misma atracción agrupa miles de millones de estrellas en galaxias, y las galaxias en cúmulos. Apuntes de Física EAU País Vasco: temario, tests y formulario 37 PROCESO Vida de una estrella COMPRUEBA 42 ¿Por qué una estrella no colapsa mientras tiene combustible? Agujeros negros y materia oscura Un agujero negro es una región tan compacta que ni la luz puede escapar: su velocidad de escape supera la de la luz (véase «Satélites: velocidad orbital, energía y velocidad de escape»).

No se ve, pero se detecta por su efecto gravitatorio sobre las estrellas y el gas cercanos. Las estrellas exteriores de las galaxias giran más rápido de lo que permite la materia visible. Debe existir una masa extra que no emite luz: la materia oscura. Solo la notamos por su gravedad. Además, la energía oscura sería la responsable de que la expansión del universo se acelere. ERROR FRECUENTE No confundas materia oscura con agujeros negros. La materia oscura es una masa invisible repartida por las galaxias; un agujero negro es un objeto concreto y compacto. Tampoco mezcles materia oscura (atrae) con energía oscura (acelera la expansión).

El universo se expande En 1929 Edwin Hubble observó que la luz de las galaxias lejanas llega desplazada hacia el rojo: se alejan de nosotros. La ley de Hubble dice que la velocidad de alejamiento es proporcional a la distancia: , donde es la constante de Hubble. Si hoy todo se separa, en el pasado estuvo junto. Así surge la teoría del Big Bang: el universo nació hace unos 13 800 millones de años en un estado muy denso y caliente. Sus pruebas principales…