Apuntes de Física EvAU Madrid: temario, formulario y tests

1. Fundamentos cinemáticos y magnitudes del movimiento orbital

Para abordar la interacción gravitatoria y el movimiento de los cuerpos celestes resulta imprescindible fijar las magnitudes cinemáticas y geométricas básicas. Consideremos un cuerpo esférico homogéneo de masa $M$ y radio $R$. Su volumen viene dado por $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, por lo que su densidad media se define como el cociente entre su masa y dicho volumen: $\rho = \frac{M}{V}$.

Cuando una partícula de masa $m$ describe una trayectoria en el espacio con velocidad $\boldsymbol{v}$, su cantidad de movimiento o momento lineal se define como el producto de su masa inercial por su velocidad:

En el caso particular de un movimiento circular uniforme de radio $r$ (donde la longitud recorrida en una revolución completa es $L = 2\pi r$), la relación entre el periodo orbital $T$ (tiempo invertido en completar una vuelta), la velocidad angular $ω$ y la velocidad orbital lineal $v$ queda determinada por:

2. Cinemática planetaria: Las tres leyes de Kepler

A comienzos del siglo XVII, Johannes Kepler sintetizó décadas de observaciones astronómicas empíricas en tres leyes fundamentales que describen el movimiento planetario en el sistema solar:

Primera ley (ley de las órbitas)

Cada planeta describe una órbita elíptica en uno de cuyos focos se sitúa el Sol.

Una consecuencia directa de la geometría elíptica es que la distancia entre el planeta y el astro central varía de forma continua. Se denomina perihelio al punto de la trayectoria más próximo al centro solar, y afelio a la posición orbital más alejada.

Segunda ley (ley de las áreas) y conservación del momento angular

El segmento rectilíneo (radio vector $\boldsymbol{r}$) que une el centro del Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. La rapidez con la que se cubre dicha superficie se conoce como velocidad areolar ($v_{\text{areolar}}$):

Esta regularidad geométrica es una consecuencia de la naturaleza de las fuerzas centrales. Una fuerza central actúa siempre en la dirección de la recta que une los centros de ambos cuerpos ($\boldsymbol{F} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}$), lo que anula el momento de la fuerza ($\boldsymbol{M}_O = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$). Según el teorema del momento angular:

El vector momento angular $\boldsymbol{L}$ permanece constante en módulo, dirección y sentido, obligando a que la órbita esté confinada enteramente en un plano perpendicular a dicho vector. El diferencial de área barrido por el radio vector en un tiempo diferencial $\text{d}t$ corresponde a la mitad del paralelogramo delimitado por $\boldsymbol{r}$ y $\text{d}\boldsymbol{r}$:

Dado que en los extremos del eje mayor (perihelio y afelio) el vector de posición $\boldsymbol{r}$ y el vector velocidad $\boldsymbol{v}$ son rigurosamente perpendiculares ($\text{sen}(90^∘) = 1$), el módulo del momento angular se reduce a $L = r m v$. Aplicando la constancia de $L$:

Puesto que la distancia al afelio es mayor que al perihelio ($r_a > r_p$), la velocidad del planeta debe ser necesariamente mayor en el perihelio que en el afelio ($v_p > v_a$).

Tercera ley (ley de los periodos)

El cuadrado del periodo de revolución orbital de cualquier planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor $a$ (o radio medio orbital $r$ en aproximación circular) de su trayectoria:

Donde la constante $C$ es común para todos los cuerpos que orbitan alrededor del mismo astro central.

3. Dinámica gravitatoria: Ley de gravitación universal

Isaac Newton formuló la ley que explica físicamente las regularidades descritas por Kepler: dos masas puntuales separadas en el espacio experimentan una atracción mutua a lo largo de la recta que las une. La fuerza gravitatoria que la masa $M$ ejerce sobre la masa $m$ separadas una distancia $r$ se expresa vectorialmente como:

Donde $\boldsymbol{u}_r = \frac{\boldsymbol{r}}{r}$ es el vector unitario radial dirigido desde la masa causante de la interacción hasta la masa sobre la que actúa la fuerza, el signo negativo constata el carácter puramente atractivo de la interacción gravitatoria, y $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2\text{kg}^{-2}$ representa la constante de gravitación universal.

Deducción dinámica de la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares

Para un satélite o planeta que recorre una órbita circular uniforme de radio $r$ alrededor de una masa central $M$, la única fuerza que actúa es la atracción gravitatoria dirigida radialmente hacia el centro. Por tanto, la fuerza gravitatoria desempeña el papel exclusivo de fuerza centrípeta ($F_g = F_c$):

1. Igualamos la atracción gravitatoria con la expresión de la fuerza centrípeta:
   $$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \boldsymbol{\implies} v^2 = G \frac{M}{r}$$
2. Sustituimos la definición cinemática de la velocidad circular ($v = \frac{2π r}{T}$):
   $$\bigg(\frac{2π r}{T}\bigg)^2 = G \frac{M}{r} \boldsymbol{\implies} \frac{4π^2 r^2}{T^2} = G \frac{M}{r}$$
3. Reorganizamos los términos aislando las variables orbitales en un miembro:
   $$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4π^2}{G M}$$

4. Intensidad del campo gravitatorio

Para una masa puntual $M$ situada en el origen, el vector intensidad de campo gravitatorio a una distancia $r$ viene dado por:

El signo negativo indica que el campo siempre está orientado hacia la masa que lo origina (líneas de campo radiales y convergentes hacia la masa fuente).

Variación de la gravedad con la altura

En la superficie de un planeta de radio $R$ y masa $M$, la aceleración de la gravedad tiene un módulo de:

Si elevamos un cuerpo a una altura $h$ por encima de la superficie esférica, la distancia efectiva al centro del planeta pasa a ser $r = R + h$, resultando:

De esta expresión se concluye que la gravedad disminuye de forma cuadrática e inversa con la distancia al centro planetario, siendo nula en el límite asintótico del infinito.

5. Principio de superposición y cálculo vectorial para sistemas de masas

Cuando el campo es originado por una distribución discreta de varias masas puntuales ($M_1, M_2, \text{...}, M_n$), el campo resultante en cualquier punto $P$ es la suma vectorial directa de los campos individuales generados por cada una de ellas (principio de superposición):

Para determinar de forma rigurosa el campo gravitatorio total en dos dimensiones se deben seguir estos pasos:

1. Calcular los vectores que van desde cada masa $M_i$ hasta el punto $P$: $\boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_P - \boldsymbol{r}_{M_i}$.
2. Calcular la distancia euclídea: $r_i = |\boldsymbol{r}_i| = \text{√}(x_i^2 + y_i^2)$.
3. Construir el vector unitario radial correspondiente: $\boldsymbol{u}_{r_i} = \frac{\boldsymbol{r}_i}{r_i}$.
4. Calcular la contribución vectorial de cada masa: $\boldsymbol{g}_i = -G \frac{M_i}{r_i^2} \boldsymbol{u}_{r_i}$.
5. Sumar analíticamente por componentes cartesianas: $\boldsymbol{g}_T = \left(\sum g_{ix}\right)\boldsymbol{i} + \left(\sum g_{iy}\right)\boldsymbol{j}$.

Para magnitudes escalares del campo gravitatorio, como el potencial gravitatorio $V = -G \frac{M}{r}$ o el cálculo del trabajo mediante $W_{A \boldsymbol{\rightarrow} B} = -\boldsymbol{Δ}E_p = -m \boldsymbol{Δ}V$, consúltese la sección «Tema 1: Campo gravitatorio — Energía orbital y velocidad de escape».