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Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y gravitación universal

Esta sección explica cómo se mueven los planetas (leyes de Kepler) y por qué lo hacen (ley de gravitación de Newton). Es la base de todo el tema: órbitas, satélites, energía y escape salen de aquí.

Contexto histórico: del geocentrismo a Newton

En la Antigüedad el movimiento de los astros se explicaba con ideas teológicas, no comprobadas por observación. El modelo geocéntrico de Aristóteles ponía la Tierra inmóvil en el centro y los astros en esferas perfectas. Ptolomeo lo retocó con epiciclos, excentricidad y ecuante para explicar el movimiento retrógrado y los cambios de brillo de los planetas, pero mantuvo las circunferencias.

El paso a la ciencia moderna, la revolución copernicana, cambió la autoridad por la observación y el experimento. Se puede resumir en cuatro etapas del método científico:

Las tres leyes de Kepler

Se dedujeron para los planetas del Sol, pero valen para cualquier cuerpo que orbite por gravedad alrededor de otro: la Luna, un satélite artificial o las lunas de Júpiter.

1. Ley de las órbitas. Cada planeta recorre una elipse con el Sol en uno de sus focos.
2. Ley de las áreas. La línea Sol-planeta (el radio vector) barre áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad areolar, área barrida por unidad de tiempo, es constante.
3. Ley de los periodos. El cuadrado del periodo (tiempo de una vuelta completa) es proporcional al cubo del semieje mayor: $T^2 \propto a^3$.

En la figura, las dos regiones tienen la misma área y se barren en el mismo tiempo. La región A₁ está cerca del Sol y es “corta y ancha”; A₂ está lejos y es “larga y estrecha”. Por eso el planeta va más rápido en el perihelio que en el afelio. El perihelio es el punto más cercano al Sol y el afelio, el más lejano. Para la Tierra como centro se dice perigeo y apogeo.

En los problemas casi siempre se supone órbita circular: entonces el semieje mayor $a$ coincide con el radio $r$.

Ley de gravitación universal

Newton propuso que dos masas cualesquiera se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. En forma vectorial:

Aquí $M$ es la masa que crea la fuerza y $m$ la que la sufre. $\vec u_r$ es un vector unitario que va de $M$ hacia $m$. El signo menos indica que la fuerza sobre $m$ apunta hacia $M$: es siempre atractiva.

• Actúa a lo largo de la recta que une las dos masas.
• Es universal: vale para manzanas, planetas y galaxias.
• Cumple la tercera ley de Newton: $m$ atrae a $M$ con la misma fuerza, en sentido opuesto.
• $G$ es tan pequeña que la gravedad solo se nota si una masa es enorme.
• Con más de dos masas, la fuerza total es la suma vectorial de cada fuerza por separado (principio de superposición; véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Intensidad del campo gravitatorio»).

El peso es la fuerza gravitatoria cerca de la superficie: $P = mg$. Esta fórmula sirve si la altura es muy pequeña frente al radio terrestre. La idea de que la fuerza actúa “a distancia” y al instante se resuelve con el concepto de campo, que se trata en la sección siguiente.

Fuerzas centrales y momento angular

Para estudiarlas hacen falta dos magnitudes vectoriales, definidas respecto a un punto O:

• Momento de una fuerza: $\vec M_O = \vec r \times \vec F$, con módulo $M = rF\,\sin\theta$. Mide la capacidad de la fuerza para hacer girar.
• Momento angular: $\vec L_O = \vec r \times m\vec v$, con módulo $L = rmv\,\sin\theta$. Unidades: kg·m²/s, o J·s. En una órbita circular $\theta = 90^\circ$ y $L = rmv$.

Ambos son perpendiculares al plano de los vectores que se multiplican (regla del tornillo) y dependen del punto elegido.

La ecuación fundamental de la rotación es $\frac{d\vec L}{dt} = \vec M$, análoga a $\vec F = \frac{d\vec p}{dt}$. Si tomamos O en el centro de una fuerza central, $\vec r$ y $\vec F$ son paralelos. Entonces $\vec M = 0$ y el momento angular se conserva.

Consecuencias de $\vec L$ constante:

• Dirección fija: $\vec r$ y $\vec v$ siempre están en el mismo plano. La órbita es plana (parte de la 1.ª ley).
• Sentido fijo: el planeta siempre gira en el mismo sentido.
• Módulo fijo: da la 2.ª ley.

Demostración de la 2.ª ley

1. En un tiempo $dt$ el radio vector barre un triángulo de área $dA = \frac{1}{2}|\vec r \times d\vec r|$ (la mitad del paralelogramo).
2. Se divide entre $dt$: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}|\vec r \times \vec v|$.
3. Como $|\vec L| = m|\vec r \times \vec v|$, queda $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$, que es constante porque $L$ lo es.

En perihelio y afelio $\vec r$ y $\vec v$ son perpendiculares, así que $r_A v_A = r_P v_P$. En la práctica, la velocidad areolar también es el área total entre el periodo: $\pi r^2/T$ en un círculo o $\pi ab/T$ en una elipse.

Deducción de la 3.ª ley y cálculo de masas

En una órbita circular, la gravedad es la única fuerza y hace de fuerza centrípeta:

1. Se igualan: $G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$. La masa $m$ del satélite se simplifica.
2. La velocidad en una vuelta es $v = \frac{2\pi r}{T}$. Se sustituye: $\frac{GM}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$.
3. Se reordena: $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$.

La constante $4\pi^2/GM$ solo depende de la masa del cuerpo central. Para elipses vale cambiando $r$ por el semieje mayor $a$.

Dos usos típicos:

• Comparar órbitas del mismo centro: $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$, sin conocer $M$.
• Calcular la masa central: $M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$, midiendo el periodo y el radio de algo que orbita.

Ideas clave

• Kepler describe cómo se mueven los planetas: órbitas elípticas con el Sol en un foco, áreas iguales en tiempos iguales y $T^2 \propto a^3$.
• La gravitación $\vec F = -G\frac{Mm}{r^2}\vec u_r$ es siempre atractiva, central y universal.
• En una fuerza central el momento de la fuerza es nulo, así que el momento angular se conserva: órbita plana y velocidad areolar $L/2m$ constante.
• Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta se obtiene $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$, que permite calcular la masa del cuerpo central.
• El radio orbital se mide desde el centro del astro ($r = R + h$) y solo se comparan órbitas con el mismo cuerpo central.

Pon a prueba lo aprendido

1. ¿En qué punto de su órbita va más rápido un planeta? — En el perihelio
2. ¿De qué depende la constante T²/r³ de la 3.ª ley? — Solo de la masa central
3. ¿Por qué se conserva el momento angular de un planeta? — La fuerza es central
4. Un satélite orbita a 600 km de altura. ¿Qué r usas en Kepler? — Radio terrestre más 600 km

Bloque 1: Campo gravitatorio — Intensidad del campo gravitatorio

El concepto de campo

La ley de gravitación universal (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y gravitación universal») plantea un problema: parece que dos masas se atraen a distancia, sin nada entre ellas. Para resolverlo se introduce el campo.

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Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y conservación de la energía

Campo conservativo y energía potencial

Una fuerza es conservativa cuando su trabajo entre dos puntos depende solo de esos puntos y no del camino seguido. La fuerza gravitatoria lo es. Por eso, a cada posición se le puede asignar una energía potencial $E_p$. El trabajo del campo es entonces la caída de esa energía:

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