Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests

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APUNTES FÍSICA EBAU La Rioja AprenAI 2026-2027 Apuntes de Física de 2.º de Bachillerato para la EBAU de La Rioja: gravitación, electromagnetismo, ondas, óptica y física moderna, con tests y formulario.

APREN.AI Índice Bloque 1: Campo gravitatorio 1 Leyes de Kepler y gravitación universal 8 Contexto histórico: del geocentrismo a Newton 9 Las tres leyes de Kepler 10 Ley de gravitación universal 10 Fuerzas centrales y momento angular 11 Deducción de la 3.ª ley y cálculo de masas 12 2 Intensidad del campo gravitatorio 14 El concepto de campo 15 Intensidad del campo gravitatorio 15 Peso y gravedad en la superficie 16 Variación de g con la altura 17 Principio de superposición 18 Punto de campo nulo entre dos masas 19 3 Energía potencial, potencial y conservación de la energía 19 Campo conservativo y energía potencial 20 Energía potencial gravitatoria 20 Signos del trabajo: ¿quién lo hace?

21 Potencial gravitatorio 21 Relación entre campo y potencial 22 Conservación de la energía mecánica 22 La aproximación mgh y su validez 23 4 Movimiento orbital y satélites 24 Velocidad orbital y periodo 24 Energías de un satélite en órbita circular 25 Satélite geoestacionario 26 Clasificación de satélites por altura 27 Puesta en órbita y cambio de órbita 27 5 Velocidad de escape y tipos de trayectoria 29 Qué es la velocidad de escape 29 Escapar desde una órbita 30 Tipos de trayectoria según la energía mecánica 31 Agujeros negros: el caso límite 32 6 Mareas, astrofísica y exploración espacial 33 Las mareas: una diferencia de atracción 33 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 1 Gravitación y astrofísica 35 Exploración espacial y sus repercusiones 36 Bloque 2: Campo eléctrico 7 Ley de Coulomb e intensidad de campo 39 1.

La carga eléctrica y sus propiedades 40 2. Ley de Coulomb 41 3. Intensidad de campo eléctrico 42 4. Principio de superposición: varias cargas 43 5.

Campo gravitatorio y campo eléctrico 44 8 Potencial, energía potencial y trabajo 46 Del trabajo a la energía potencial 47 Potencial eléctrico 48 Trabajo del campo y trabajo externo 49 Energía de un sistema de cargas 50 Conservación de la energía 50 Relación campo-potencial 51 9 Líneas de campo, equipotenciales y flujo eléctrico 52 Líneas de campo eléctrico 52 Superficies equipotenciales 53 Flujo eléctrico 54 Teorema de Gauss 54 Conductores en equilibrio 55 10 Cargas en campos eléctricos uniformes 57 El campo uniforme entre placas 57 Carga que entra paralela al campo: aceleración por una ddp 58 Carga que entra perpendicular al campo: trayectoria parabólica 59 Aplicación: aceleradores lineales 60 Bloque 2: Campo magnético 11 Concepto, fuentes y fuerza de Lorentz 62 Imanes, polos y líneas de campo 63 Experiencia de Oersted: el origen del magnetismo 64 Campo magnético terrestre 65 Fuerza sobre una carga en movimiento 65 La fuerza magnética no realiza trabajo 67 12 Partículas cargadas en campos magnéticos uniformes y aplicaciones 68 Carga que entra en un campo magnético uniforme 68 Radio, periodo y frecuencia ciclotrónica 69 Velocidad oblicua: trayectoria helicoidal 70 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 2 Selector de velocidades 71 Espectrómetro de masas 72 Ciclotrón 73 13 Fuerza sobre conductores con corriente 74 Ley de Laplace: de Lorentz al conductor 75 Equilibrio de un conductor suspendido 76 Espira rectangular en un campo uniforme 76 Aplicaciones: galvanómetro y motor 77 14 Campos creados por corrientes y fuerzas entre corrientes 79 Ley de Biot-Savart: de dónde sale el campo de una corriente 79 Campo de un hilo rectilíneo indefinido 79 Espira circular y solenoide 81 Ley de Ampère 82 Superposición: varios hilos y puntos de campo nulo 83 Fuerza entre corrientes paralelas 84 Bloque 2: Inducción electromagnética 15 Flujo magnético y leyes de Faraday y Lenz 86 Las experiencias de Faraday y Henry 86 Flujo magnético 87 Ley de Faraday-Henry 88 Ley de Lenz: el sentido de la corriente 89 Fem en una varilla móvil 90 16 Generadores, transformadores y transporte de energía 92 El alternador: una espira que gira en un campo 92 El transformador 93 Producción, transporte y uso de la energía eléctrica 95 Bloque 3: Vibraciones y ondas 17 Movimiento armónico simple 97 Ecuación del MAS y su origen 98 Velocidad y aceleración 99 Dinámica: sistema masa-muelle y péndulo 100 Energía del oscilador armónico 101 18 Movimiento ondulatorio: concepto, tipos y magnitudes 101 Qué es una onda 102 Clasificación de las ondas 102 Magnitudes de una onda armónica 104 19 Ecuación de la onda armónica, energía e intensidad 107 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 3 De la vibración de un punto a la ecuación de la onda 107 Doble periodicidad y diferencia de fase 108 Energía, potencia e intensidad 109 Atenuación y absorción 110 Principio de Huygens 111 20 Fenómenos ondulatorios y ondas estacionarias 111 Fenómenos ondulatorios: qué le pasa a una onda al encontrar algo 112 Superposición e interferencia 113 Ondas estacionarias 113 Armónicos en cuerdas y tubos 114 21 El sonido: cualidades e intensidad sonora 118 Naturaleza del sonido: velocidad y rango audible 119 Cualidades del sonido 119 Nivel de intensidad sonora y decibelio 120 Potencia de la fuente y distancia 121 Niveles cotidianos y contaminación acústica 122 22 Efecto Doppler 123 Qué es el efecto Doppler 123 Fórmula y criterio de signos 124 Aplicaciones 125 Onda de choque 125 Bloque 3: Óptica 23 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 127 El debate histórico: ¿partícula u onda?

128 La onda electromagnética 129 El espectro electromagnético 129 Índice de refracción y cambio de medio 129 24 Reflexión, refracción, reflexión total y otros fenómenos de la luz 130 Reflexión y refracción: qué ocurre en la frontera entre dos medios 131 Ángulo límite y reflexión total 132 Lámina de caras plano-paralelas y medios encadenados 133 Dispersión y polarización 133 Bloque 3: Óptica geométrica 25 Fundamentos, dioptrios y espejos 136 Conceptos básicos 137 Criterio de signos DIN 1335 138 Dioptrio esférico: invariante de Abbe 138 Dioptrio plano 139 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 4 Espejos 139 26 Lentes delgadas 142 Qué es una lente y qué tipos hay 142 Ecuación de las lentes delgadas y aumento lateral 143 Trazado de los rayos principales 144 Problemas de proyección sobre pantalla 146 27 Instrumentos ópticos y el ojo humano 147 El ojo humano como sistema óptico 148 Defectos de la visión y su corrección 149 Instrumentos ópticos 150 Bloque 4: Física relativista 28 Postulados, simultaneidad, dilatación y contracción 153 1.

La física clásica y su crisis 154 2. Los postulados de Einstein (1905) 155 3. La simultaneidad es relativa 156 4. Dilatación del tiempo 157 5.

Contracción de la longitud 157 29 Masa, energía y equivalencia masa-energía 160 Masa en reposo y masa relativista 160 Energía total, energía en reposo y energía cinética 161 Trascendencia de E = mc² 162 Bloque 4: Física cuántica 30 Crisis de la física clásica: cuerpo negro e hipótesis de Planck 164 Radiación térmica y cuerpo negro 165 La catástrofe ultravioleta 166 Hipótesis de Planck (1900) 167 Energía de un fotón 167 31 Efecto fotoeléctrico 168 Qué es el efecto fotoeléctrico y cómo se estudia 169 Hechos experimentales frente a la teoría clásica 169 La explicación de Einstein (1905) 170 Potencial de frenado y determinación de h 171 32 Espectros atómicos 174 Espectros de emisión y de absorción 174 Fórmula de Rydberg y series del hidrógeno 175 Modelo de Bohr (1913) 175 33 Dualidad onda-corpúsculo, De Broglie e incertidumbre 177 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 5 La hipótesis de De Broglie 177 ¿Por qué no vemos la dualidad en objetos grandes?

179 Principio de indeterminación de Heisenberg 179 Interpretación probabilística y límites de la física clásica 180 Bloque 4: Física nuclear 34 El núcleo atómico y la estabilidad nuclear 182 Estructura y propiedades del núcleo 182 La interacción nuclear fuerte 183 Defecto de masa y energía de enlace 184 Curva de estabilidad y gráfica N-Z 184 35 Radiactividad y ley de desintegración 186 Qué es la radiactividad 186 Ley de desintegración radiactiva 188 Datación con carbono-14 190 36 Fisión, fusión y aplicaciones 190 Reacciones nucleares: qué se conserva 191 Energía de reacción 191 Fisión y reacción en cadena 192 Fusión 193 Aplicaciones, efectos y residuos 193 37 Bloque 4: Física de partículas — Interacciones fundamentales y Modelo Estándar 194 Las cuatro interacciones fundamentales 194 Unificación de las interacciones 195 El Modelo Estándar 196 Hadrones: bariones y mesones 197 Antimateria y aceleradores 198 Problemas abiertos 198 38 Formulario y resumen 199 Bloque 1: Campo gravitatorio 199 Bloque 2: Campo eléctrico 200 Bloque 2: Campo magnético 200 Bloque 2: Inducción 201 Bloque 3: Vibraciones y ondas 201 Bloque 3: Óptica 202 Bloque 4: Relatividad 202 Bloque 4: Física cuántica 202 Bloque 4: Física nuclear y de partículas 203 Valores y constantes 203 Errores típicos 203 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 6 Soluciones de las preguntas de repaso 204 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 7 18 % de los puntos del examen 1 Leyes de Kepler y gravitación universal AL ACABAR SABRÁS Enunciar e interpretar las tres leyes de Kepler, incluida la variación de velocidad en la órbita Justificar la 2.ª ley de Kepler a partir de la conservación del momento angular en fuerzas centrales Deducir la 3.ª ley de Kepler igualando fuerza gravitatoria y centrípeta Calcular radios orbitales, periodos y masas de cuerpos celestes con la 3.ª ley PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Cómo se puede saber la masa del Sol sin pesarlo?

Esta sección explica cómo se mueven los planetas (leyes de Kepler) y por qué lo hacen (ley de gravitación de Newton). Es la base de todo el tema: órbitas, satélites, energía y escape salen de aquí.

BLOQUE 1 Campo gravitatorio 1 Leyes de Kepler y gravitación universal 2 Intensidad del campo gravitatorio 3 Energía potencial, potencial y conservación de la energía 4 Movimiento orbital y satélites 5 Velocidad de escape y tipos de trayectoria 6 Mareas, astrofísica y exploración espacial Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 8 PROCESO Mapa del tema: campo gravitatorio Contexto histórico: del geocentrismo a Newton En la Antigüedad el movimiento de los astros se explicaba con ideas teológicas, no comprobadas por observación. El modelo geocéntrico de Aristóteles ponía la Tierra inmóvil en el centro y los astros en esferas perfectas.

Ptolomeo lo retocó con epiciclos, excentricidad y ecuante para explicar el movimiento retrógrado y los cambios de brillo de los planetas, pero mantuvo las circunferencias. El paso a la ciencia moderna, la revolución copernicana, cambió la autoridad por la observación y el experimento. Se puede resumir en cuatro etapas del método científico: Etapa Protagonista Aportación Hipótesis Copérnico Modelo heliocéntrico con órbitas circulares. Más sencillo, no más exacto que el de Ptolomeo. Sirvió para reformar el calendario (1582). Observación Galileo y Tycho Brahe Galileo observó las fases de Venus y las lunas de Júpiter; fue procesado por la Iglesia en 1633. Tycho Brahe tomó medidas muy precisas.

Revisión de la hipótesis Kepler Con los datos de Brahe formuló tres leyes empíricas (cinemática): abandona las circunferencias. Ley general Newton Ley de gravitación universal: explica la causa (dinámica) del movimiento, unas ocho décadas después de Kepler.

Kepler y Newton Leyes del movimiento planetario y fuerza gravitatoria 1 Campo gravitatorio Intensidad g creada por una masa y superposición 2 Energía y potencial Energía potencial, potencial y conservación de la energía 3 Satélites en órbita Velocidad orbital, energía orbital, geoestacionarios 4 Escape y trayectorias Velocidad de escape y tipo de órbita según energía 5 Mareas y astrofísica Fuerza de marea, materia oscura, exploración espacial 6 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 9 Las tres leyes de Kepler Se dedujeron para los planetas del Sol, pero valen para cualquier cuerpo que orbite por gravedad alrededor de otro: la Luna, un satélite artificial o las lunas de Júpiter.

1. Ley de las órbitas. Cada planeta recorre una elipse con el Sol en uno de sus focos. 2. Ley de las áreas. La línea Sol-planeta (el radio vector) barre áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad areolar, área barrida por unidad de tiempo, es constante. 3. Ley de los periodos. El cuadrado del periodo (tiempo de una vuelta completa) es proporcional al cubo del semieje mayor: . Esquema de la ley de las áreas en una órbita elíptica En la figura, las dos regiones tienen la misma área y se barren en el mismo tiempo. La región A está cerca del Sol y es "corta y ancha"; A está lejos y es "larga y estrecha". Por eso el planeta va más rápido en el perihelio que en el afelio.

El perihelio es el punto más cercano al Sol y el afelio, el más lejano. Para la Tierra como centro se dice perigeo y apogeo. En los problemas casi siempre se supone órbita circular: entonces el semieje mayor coincide con el radio . COMPRUEBA 2 Un cometa tiene una órbita muy alargada. ¿Dónde pasa más tiempo, cerca o lejos del Sol? Ley de gravitación universal Newton propuso que dos masas cualesquiera se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. En forma vectorial: Aquí es la masa que crea la fuerza y la que la sufre. es un vector unitario que va de hacia .

El signo menos indica que la fuerza sobre apunta hacia : es siempre atractiva. Actúa a lo largo de la recta que une las dos masas. T 2 a3 a r = F G G = r2 M m ur 6,67 10 N m /kg 11 2 2 M m ur M m m M Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 10 Es universal: vale para manzanas, planetas y galaxias. Cumple la tercera ley de Newton: atrae a con la misma fuerza, en sentido opuesto. es tan pequeña que la gravedad solo se nota si una masa es enorme. Con más de dos masas, la fuerza total es la suma vectorial de cada fuerza por separado (principio de superposición; véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Intensidad del campo gravitatorio»).

El peso es la fuerza gravitatoria cerca de la superficie: . Esta fórmula sirve si la altura es muy pequeña frente al radio terrestre. La idea de que la fuerza actúa "a distancia" y al instante se resuelve con el concepto de campo, que se trata en la sección siguiente. COMPRUEBA 3 Si la distancia entre dos cuerpos se triplica, ¿qué le pasa a la fuerza entre ellos? Fuerzas centrales y momento angular DEFINICIÓN Una fuerza central siempre apunta hacia (o desde) un punto fijo, el centro, y su módulo solo depende de la distancia a él. La gravitatoria y la elástica de un muelle son fuerzas centrales.

Para estudiarlas hacen falta dos magnitudes vectoriales, definidas respecto a un punto O: Momento de una fuerza: , con módulo . Mide la capacidad de la fuerza para hacer girar. Momento angular: , con módulo . Unidades: kg·m²/s, o J·s. En una órbita circular y . Ambos son perpendiculares al plano de los vectores que se multiplican (regla del tornillo) y dependen del punto elegido. Esquema del momento de una fuerza respecto a un punto La ecuación fundamental de la rotación es , análoga a . Si tomamos O en el centro de una fuerza central, y son paralelos. Entonces y el momento angular se conserva.

m M G P = mg = MO × r F M = rF sin θ = LO × r mv L = rmv sin θ θ = 90 L = rmv = dt dL M = F dt d p r F = M 0 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 11 Consecuencias de constante: Dirección fija: y siempre están en el mismo plano. La órbita es plana (parte de la 1.ª ley). Sentido fijo: el planeta siempre gira en el mismo sentido. Módulo fijo: da la 2.ª ley. Demostración de la 2.ª ley Esquema del área barrida por el radio vector en dt En perihelio y afelio y son perpendiculares, así que . En la práctica, la velocidad areolar también es el área total entre el periodo: en un círculo o en una elipse. EJEMPLO Un cometa pasa por el perihelio a 1 UA del Sol y por el afelio a 4 UA.

Con : . En el perihelio va 4 veces más rápido. Deducción de la 3.ª ley y cálculo de masas En una órbita circular, la gravedad es la única fuerza y hace de fuerza centrípeta: La constante solo depende de la masa del cuerpo central. Para elipses vale cambiando por el semieje mayor . Dos usos típicos: Comparar órbitas del mismo centro: , sin conocer . Calcular la masa central: , midiendo el periodo y el radio de algo que orbita. L r v En un tiempo el radio vector barre un triángulo de área (la mitad del paralelogramo). 1 dt dA = × 2 1 r d r Se divide entre : . 2 dt = dt dA × 2 1 r v Como , queda , que es constante porque lo es.

3 = L m × r v = dt dA 2m L L r v r v = A A r v P P πr /T 2 πab/T r v = P P r v A A v /v = P A 4/1 Se igualan: . La masa del satélite se simplifica. 1 G = r2 Mm m r v2 m La velocidad en una vuelta es . Se sustituye: . 2 v = T 2πr = r2 GM T2 4π r 2 Se reordena: . 3 T = 2 r GM 4π2 3 4π /GM 2 r a = r 1 3 T 1 2 r 2 3 T 2 2 M M = G T2 4π r 2 3 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 12 EJEMPLO La Luna orbita la Tierra a unos m con periodo de 27,3 días ( s). Entonces kg, la masa de la Tierra. ERROR FRECUENTE 1) Radio orbital no es altura: en la fórmula va la distancia al centro del planeta, . Un satélite a 400 km sobre la Tierra tiene km, no 400 km.

2) Mismo cuerpo central: la proporción solo se puede igualar entre cuerpos que giran alrededor del mismo astro. No compares la Luna (gira en torno a la Tierra) con Marte (en torno al Sol). COMPRUEBA 4 Si un planeta tuviera el doble de radio orbital que otro del mismo sistema, ¿cuántas veces mayor sería su periodo? EBAU · 2025, EXTRAORDINARIA Sabemos que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es casi circular, que el radio de esa órbita es aproximadamente , y que la Tierra tarda en dar una vuelta alrededor del Sol. Sabemos que Mercurio tiene un periodo de revolución alrededor del Sol de .

Supuesta circular la órbita de Mercurio alrededor del Sol, únicamente con los datos del enunciado del problema, calcular la distancia de Mercurio al Sol. (2 puntos) Resolución Se pide sin conocer la masa del Sol. Como Tierra y Mercurio giran en torno al mismo astro, la 3.ª ley da la misma constante para ambos: No hace falta pasar los días a segundos: se divide días entre días. El cociente es . Su potencia vale 0,3873. Resultado razonable: Mercurio tarda menos y está más cerca del Sol.

3,84 108 2,36 106 M = 6,67 10 (2,36 10 ) 11 6 2 4π (3,84 10 ) 2 8 3 6,0 1024 r = R + h r 6770 T /r 2 3 1,5 × 10 km 8 365,25 d as ı ˊ 88 d as ı ˊ R M = T M 2 R M 3 T T 2 R T 3 R = M R T ( T T T M ) 2/3 88/365,25 = 0,2409 2/3 R = M 1,5 10 8 0,3873 5,81 10 km = 7 5,81 10 m 10 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 13 18 % de los puntos del examen AHORA TÚ Marte tarda 687 días en dar una vuelta al Sol. Con los datos de la Tierra del ejercicio anterior y órbitas circulares, calcula la distancia de Marte al Sol. Mismo centro (el Sol), así que: . El cociente es . Calcula la potencia y multiplica por km.

Solución: 5 IDEAS CLAVE Kepler describe cómo se mueven los planetas: órbitas elípticas con el Sol en un foco, áreas iguales en tiempos iguales y . La gravitación es siempre atractiva, central y universal. En una fuerza central el momento de la fuerza es nulo, así que el momento angular se conserva: órbita plana y velocidad areolar constante. Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta se obtiene , que permite calcular la masa del cuerpo central. El radio orbital se mide desde el centro del astro ( ) y solo se comparan órbitas con el mismo cuerpo central. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 6. ¿Por qué la conservación del momento angular implica que la órbita es plana? 7.

¿Qué datos necesitas para calcular la masa de un planeta con la 3.ª ley de Kepler? BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 2 Intensidad del campo gravitatorio AL ACABAR SABRÁS Calcular el vector campo gravitatorio creado por una o varias masas mediante superposición Calcular la gravedad superficial de un planeta y su variación con la altura Localizar el punto de campo nulo entre dos masas Dibujar e interpretar las líneas de campo de una masa PIÉNSALO ANTES DE LEER 8 Si te alejas de la Tierra una distancia igual a su radio, ¿pesas la mitad?

R = Ma R (T /T ) T Ma T 2/3 687/365,25 = 1,881 2/3 1,5 108 T 2 a3 = F G r2 Mm ur L/2m T = 2 r GM 4π 2 3 r = R + h Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 14 El concepto de campo La ley de gravitación universal (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y gravitación universal») plantea un problema: parece que dos masas se atraen a distancia, sin nada entre ellas. Para resolverlo se introduce el campo. DEFINICIÓN Un campo es una perturbación que una masa crea en el espacio que la rodea. Asigna a cada punto un valor de una magnitud física. El campo gravitatorio asigna un vector, así que es un campo vectorial o de fuerzas. La interacción ocurre en dos pasos.

Primero, la masa fuente crea el campo. Después, el campo actúa sobre cualquier otra masa colocada en él. El campo terrestre, visto desde fuera, equivale al de una masa puntual con toda la masa de la Tierra situada en su centro. Intensidad del campo gravitatorio La intensidad del campo gravitatorio es la fuerza que el campo ejerce sobre cada kilogramo colocado en un punto: La fuerza depende de la masa que la sufre, pero solo depende de la masa que crea el campo y de la posición. Su unidad es N/kg, que equivale a m/s²: por eso coincide con la aceleración de caída.

Para una masa puntual , dividiendo la fuerza de gravitación entre : Aquí es el vector unitario (módulo 1) que va desde la masa fuente hacia el punto. El signo menos indica que apunta al revés: hacia la masa. La gravedad siempre atrae. Esta fórmula vale también fuera de una esfera homogénea: se comporta como si toda su masa estuviera en el centro, con medido desde el centro. Líneas de campo Las líneas de campo son líneas cuya tangente en cada punto da la dirección de . Una flecha indica el sentido. Su densidad (líneas por unidad de superficie) es proporcional al módulo del campo. Para una masa puntual son rectas radiales que convergen hacia la masa: nacen en el infinito y mueren en ella.

Cerca de la masa están más juntas porque el campo es más intenso. COMPRUEBA 9 Si duplicas la masa de prueba en un punto, ¿qué ocurre con g y con la fuerza? g = g m F = F m g g M m = g G = r2 M ur G = r3 M r g G r2 M ur g r g Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 15 Peso y gravedad en la superficie Esquema de una masa sobre la superficie terrestre, a distancia R_T Un cuerpo en la superficie terrestre está a una distancia del centro, no a distancia cero. El campo allí vale: La fuerza con que la Tierra atrae a es su peso: .

De aquí sale una relación muy útil cuando el enunciado no da ni : El valor real de g varía algo de un lugar a otro, porque la Tierra no es una esfera perfecta ni homogénea. Para otro planeta se aplica igual con su masa y su radio. R T g = 0 G = R T 2 M T 6,67 10 11 (6,37 10 ) 6 2 5,97 1024 9,8 m/s2 m P = mg 0 G M T GM = T g R 0 T 2 g = 0 GM/R2 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 16 Variación de g con la altura Esquema de un punto a altura h sobre la Tierra A una altura sobre la superficie, la distancia al centro se calcula como en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y gravitación universal» ( ): EJEMPLO ¿A qué altura el campo es veces menor que ?

COMPRUEBA 10 ¿Cuánto vale g a una altura igual a 2R_T? h r = R + T h g(h) = G = (R + h) T 2 M T g 0 (R + h) T 2 R T 2 n g 0 Planteamos . 1 = (R +h) T 2 GM T nR T 2 GM T Simplificamos : . 2 GM T (R + T h) = 2 nR T 2 Raíz cuadrada: . La raíz negativa no tiene sentido físico. 3 R + T h = ± R n T Resultado: . Para , = 6370 km. 4 h = R ( T n 1) n = 4 h = R T Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 17 Principio de superposición Si hay varias masas, el campo total en un punto es la suma vectorial de los campos individuales: Cada masa crea su campo como si estuviera sola. Como son vectores, hay que sumar componente a componente.

PROCESO Campo de un sistema de masas EJEMPLO kg en (0, 0) y kg en (6, 0); punto P en (3, 4), en metros. = gtotal i=1 n gi Vector masa-punto Restar coordenadas: punto menos posición de la masa 1 Distancia y unitario Módulo r y u_r = r /r, de la masa al punto 2 Módulo de cada campo g_i = G·M_i/r_i², distancias en metros 3 Vector de cada campo g _i = g_i·u_r, apunta hacia la masa 4 Suma por componentes Sumar x con x e y con y; luego el módulo 5 M = 1 2 1012 M = 2 4 1012 Vectores de cada masa al punto: , . Módulos: m. 1 = r1 (3, 4) = r2 ( 3, 4) r = 1 r = 2 = 9 + 16 5 Unitarios: , . 2 = u1 (0,6; 0,8) = u2 ( 0,6; 0,8) Módulos: N/kg; N/kg.

3 g = 1 6,67 10 11 = 25 2 1012 5,34 g = 2 10,67 Vectores (signo menos, hacia cada masa): , N/kg. 4 = g1 ( 3,20; 4,27) = g2 (6,40; 8,54) Suma: N/kg, de módulo N/kg. Fíjate: no es 5,34 + 10,67. 5 = gP (3,20; 12,81) 13,2 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 18 ERROR FRECUENTE Sumar módulos en lugar de vectores. Solo vale si los campos tienen la misma dirección y sentido. Equivocar el sentido del unitario: va de la masa al punto; el menos hace que g apunte a la masa. Usar km: pasa siempre a metros (6370 km = m) y suma el radio a la altura. Punto de campo nulo entre dos masas Entre dos masas, como la Tierra y la Luna, los campos tienen sentidos opuestos.

Existe un punto del segmento que las une donde se anulan. Fuera del segmento ambos campos apuntan igual y no pueden anularse. Con la distancia entre centros y la distancia a la Tierra, igualamos módulos: La masa de la Luna es unas 81 veces menor, así que y . El punto queda más cerca de la masa menor. COMPRUEBA 11 Si las dos masas fueran iguales, ¿dónde estaría el punto de campo nulo? IDEAS CLAVE La intensidad del campo es la fuerza por unidad de masa: , en N/kg = m/s². Para una masa puntual o esfera: , siempre dirigido hacia la masa. En la superficie , y de ahí . Con la altura, . El campo de varias masas es la suma vectorial de cada campo, nunca la suma de módulos.

El punto de campo nulo entre dos masas está en el segmento que las une, más cerca de la menor. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Por qué g se mide en m/s² además de en N/kg? 13. ¿A qué altura g vale la cuarta parte de ?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 3 ur 6,37 106 d x G = x2 M T G (d x)2 M L = x d x M T M L = x d x 9 1 x = 0,9 d = g /m F = g GM/r 2 ur g = 0 GM/R2 GM = T g R 0 T 2 g = g R /(R + 0 T 2 T h)2 g 0 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 19 18 % de los puntos del examen Energía potencial,potencial y conservación de la energía AL ACABAR SABRÁS Calcular la energía potencial y el potencial gravitatorio de una o varias masas Determinar el signo del trabajo según lo haga el campo o un agente externo Aplicar la conservación de la energía mecánica entre dos posiciones Justificar cuándo es válida la aproximación mgh PIÉNSALO ANTES DE LEER 14 Si la energía potencial crece al subir, ¿cómo puede ser negativa en todos los puntos alrededor de la Tierra?

Campo conservativo y energía potencial Una fuerza es conservativa cuando su trabajo entre dos puntos depende solo de esos puntos y no del camino seguido. La fuerza gravitatoria lo es. Por eso, a cada posición se le puede asignar una energía potencial . El trabajo del campo es entonces la caída de esa energía: En una trayectoria cerrada el trabajo total es cero. Solo tienen sentido físico las diferencias de energía potencial. Para dar un valor a cada punto hay que elegir un punto de referencia donde . Energía potencial gravitatoria En gravitación se toma como referencia el infinito: .

Al calcular el trabajo del campo para traer una masa desde el infinito hasta la distancia del centro de se obtiene: con . La fuerza sobre apunta hacia , al revés que ; por eso aparece un signo menos en el producto escalar. Integrando: Entre dos puntos cualesquiera: Interpretación física de , que se puede decir de dos formas equivalentes: Es el trabajo que hace un agente externo, contra el campo, para traer la masa desde el infinito hasta ese punto.

E p W = A B ΔE = p E p,A E p,B E = p 0 E ( ) = p 0 m r M E (r) = p r G M m G = 6,67 10 N m /kg 11 2 2 m M dr E (r) = p r F d = r dr = r r2 GMm = [ r GMm ] r r GMm ΔE = p E (B) p E (A) = p GMm ( r B 1 r A 1 ) E (r) p Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 20 Su valor absoluto es el trabajo que debe hacer un agente externo para llevar la masa desde ese punto hasta el infinito: . En ese camino el campo hace un trabajo , que es negativo. La energía potencial gravitatoria es siempre negativa: al traer la masa desde el infinito el campo atrae y hace trabajo positivo, así que baja desde 0. Cuanto más cerca de , más negativa.

Si hay varias masas, se suman las de cada pareja (superposición escalar). COMPRUEBA 15 Un satélite pasa de r = 2R a r = 4R. ¿Su energía potencial sube o baja? ¿Qué signo tiene el trabajo del campo? Signos del trabajo: ¿quién lo hace? Situación ΔEp Trabajo del campo Ejemplo La masa se acerca a M Negativa Positivo: lo hace el campo, gana Ec Piedra que cae La masa se aleja de M Positiva Negativo: lo hace un agente externo contra el campo Piedra lanzada hacia arriba Es el mismo criterio que en termodinámica (IUPAC): trabajo aportado al sistema, positivo; trabajo que realiza el sistema, negativo. El sistema aquí es la partícula sometida al campo.

ERROR FRECUENTE Confundir el trabajo del campo con el del agente externo. Son iguales y de signo contrario: y . Si el enunciado pide «el trabajo necesario para subir el satélite», pide el externo (positivo). Escribe siempre quién hace el trabajo antes de dar el signo. Potencial gravitatorio La depende de la masa que ponemos. Para describir solo el campo se divide por ella. DEFINICIÓN El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial por unidad de masa situada en él. Se mide en J/kg y es un escalar. Por ser escalar, el potencial de varias masas es la suma algebraica de los potenciales de cada una: .

Es mucho más fácil que la suma vectorial del campo (véase «Intensidad del campo gravitatorio»). Todos los términos son negativos, así que nunca se anulan. Con el potencial, el trabajo del campo queda: + E p E (r) p E p M E p W = ext +ΔE p W = campo ΔE p E p V V = = m E p (V ( ) = r G M 0) V = i ( r i GM i ) W = A B m ΔV = m (V A V ) B Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 21 Las superficies equipotenciales unen los puntos con el mismo . Para una masa puntual o esférica son esferas concéntricas. Moverse sobre una de ellas no cuesta trabajo, porque . EJEMPLO Dos masas de kg están a 10 m y 5 m de un punto P. Potencial en P: Basta sumar números con signo; no hay componentes.

ERROR FRECUENTE Mezclar y . (J) necesita una masa en el punto; (J/kg) existe aunque no haya ninguna. Si das un potencial en julios, has olvidado dividir por . Relación entre campo y potencial El campo apunta hacia donde el potencial disminuye más deprisa. En una dimensión radial: En general . El gradiente es un vector perpendicular a las equipotenciales que señala hacia donde crece. Por eso las líneas de campo cortan en perpendicular a las equipotenciales y van hacia potenciales decrecientes (hacia la masa). Comprobación: , el módulo conocido con signo menos porque apunta hacia el centro. COMPRUEBA 16 ¿Puede ser cero el campo en un punto y no serlo el potencial?

Conservación de la energía mecánica La energía mecánica es . El teorema de las fuerzas vivas dice . Si solo actúan fuerzas conservativas, también . Igualando: Es el teorema de conservación de la energía mecánica. Procedimiento para un balance entre dos posiciones: V ΔV = 0 4 1012 V = P 6,67 10 + = 11 ( 10 4 1012 5 4 1012 ) 80,0 J/kg E p V E p V m g = dr dV = g V V V = dr d ( r GM ) r2 GM E = m E + c E p W = ΔE c W = ΔE p ΔE + c ΔE = p 0 mv 2 1 A 2 = r A GMm mv 2 1 B 2 r B GMm Identifica los puntos A y B y sus distancias al centro del astro (véase «Intensidad del campo gravitatorio»). 1 Escribe y en cada punto. 2 E c E p Iguala y despeja la incógnita; la masa suele simplificarse.

3 E = m,A E m,B m Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 22 EJEMPLO Un cuerpo de 500 kg se aleja radialmente de la Tierra a 300 m/s, a una altura ( kg, m). Un caso típico: lanzar desde la superficie con velocidad y calcular la velocidad a la altura . Simplificando : La aproximación mgh y su validez Cerca de la superficie se usa . Sale de la expresión general con , y : Aquí se toma constante y el origen está en el suelo ( ), no en el infinito. Por eso con la energía potencial puede ser positiva. El error relativo vale ; es del 1 % cuando , unos 63 700 m para la Tierra. Por encima, hay que usar .

Con campo uniforme, el ejemplo clásico de caída da : desde 100 m con 10 m/s llega a 45,39 m/s. Es la misma estructura que en electrostática, . PROCESO Balance energético entre dos puntos h = R T M = T 5,97 1024 R = T 6,37 106 . 1 E = c 2 1 500 300 = 2 2,25 10 J 7 m, luego . 2 r = 2R = T 1,274 107 E = p 1,274 107 6,67 10 5,97 10 500 11 24 1,56 10 J 10 . Es negativa: el cuerpo no escapa y acabará volviendo (véase «Velocidad de escape y tipos de trayectoria»).

3 E m 1,56 10 J 10 v v h m v = v 2GM 2 R(R + h) h ΔE = p mgh r = A R T r = B R + T h h R T ΔE = p GMm R + R h T 2 T h m h = R T 2 GM mgh g = GM/R T 2 h = 0 mgh h/RT h = R /100 T GMm/r v = v + 2gh 2 ΔE = p qEd Situar A y B Distancias al centro del astro, r = R + h 1 Energías en A Ec = ½mv² y Ep = GMm/r 2 Energías en B Mismas expresiones con los datos de B 3 Igualar Em Ec + Ep en A igual a Ec + Ep en B 4 Despejar Simplificar m y obtener la incógnita 5 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 23 18 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE La gravedad es conservativa: su trabajo solo depende de los puntos inicial y final. y , ambas nulas en el infinito y siempre negativas.

El trabajo del campo es ; el del agente externo tiene signo contrario. El campo apunta hacia potenciales decrecientes: , perpendicular a las equipotenciales. Sin rozamiento, se conserva entre dos posiciones. solo vale si ; el error es del 1 % hacia 63 700 m. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 17. ¿Por qué con mgh la energía potencial puede ser positiva y con GMm/r no? 18. ¿Qué trabajo hace el campo al mover una masa sobre una superficie equipotencial? BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 4 Movimiento orbital y satélites AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital y el periodo de una órbita circular a partir de la condición Fg = Fc.

Calcular las energías cinética, potencial y mecánica de un satélite en órbita circular. Calcular el radio y la altura de un satélite geoestacionario a partir de T = 24 h. Plantear la energía de puesta en órbita y la de cambio de órbita como diferencia de energías mecánicas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 19 Para subir un satélite a una órbita más alta hay que gastar energía, y sin embargo allí irá más lento. ¿Cómo puede ser? Velocidad orbital y periodo Un satélite en órbita circular gira a distancia constante del centro del planeta. La única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y gravitación universal»).

Esa fuerza hace de fuerza centrípeta: la que curva la trayectoria hacia el centro. E = p GMm/r V = GM/r W = ΔE = p m(V A V ) B g = dV /dr E + c E p mgh h R T G = r2 Mm m r v2 v = r GM Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 24 Aquí es el radio de la órbita, medido desde el centro del planeta. Si te dan la altura sobre la superficie, usa . La masa del satélite se cancela. Por eso v y T no dependen de la masa del satélite: una nave y un tornillo a la misma altura giran igual. El periodo es el tiempo de una vuelta.

Como se dedujo en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y gravitación universal», la tercera ley de Kepler da su valor: Esta relación liga tres magnitudes: periodo, radio y masa central. Conocidas dos, se calcula la tercera. Si no te dan , puedes usar con m/s² (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Intensidad del campo gravitatorio»). EJEMPLO ¿A qué velocidad habría que lanzar horizontalmente una piedra rasante al mar para que orbitase la Tierra? ERROR FRECUENTE Meter la altura en lugar de en las fórmulas. Todas usan la distancia al centro: r = R + h. Vigila también las unidades: km a m antes de operar, y radio, no diámetro.

COMPRUEBA 20 Si un satélite se coloca en una órbita de radio cuatro veces mayor, ¿cómo cambian su velocidad y su periodo? Energías de un satélite en órbita circular Sustituyendo en la energía cinética, y usando la energía potencial (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y conservación de la energía»), se obtiene: Las tres se relacionan de forma muy sencilla: Em = Ec = Ep/2. Esta relación entre cinética y potencial se conoce como teorema del virial. r h r = R + h m T T = 2 r GM 4π2 3 GM T GM = T g R 0 T 2 g = 0 9,8 Tomamos m, porque 1 m de altura es despreciable. 1 r R = T 6,37 106 Calculamos m/s.

2 v = 6,37 106 6,67 10 5,97 10 11 24 7,91 103 Comparamos con la rotación terrestre en el ecuador: m/s. 3 v = 2πR /T = T 2π 6,37 10 /86 400 6 463 La velocidad orbital rasante es unas 17 veces mayor. 4 h r v = 2 GM/r E = c G E = 2 1 r Mm p G E = r Mm m E + c E = p G 2r Mm Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 25 Energía Expresión Signo Si r aumenta… Cinética Positiva Disminuye Potencial Negativa Aumenta (menos negativa) Mecánica Negativa Aumenta (menos negativa) La energía mecánica negativa indica un sistema ligado: el satélite no puede escapar (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Velocidad de escape y tipos de trayectoria»).

Estas fórmulas son solo para órbitas circulares. En una órbita elíptica la cinética cambia a lo largo de la vuelta, pero se conserva, porque la gravedad es conservativa. Su valor es , donde es el semieje mayor de la elipse. EJEMPLO Un satélite de 100 kg gira a una altura , con m/s². ERROR FRECUENTE Pensar que una órbita más alta tiene «menos energía» porque el satélite va más lento. Ocurre lo contrario: más alta: más Em pero menos velocidad. La es menos negativa, y por tanto mayor. Para subir hay que aportar energía. COMPRUEBA 21 Un satélite en órbita circular pierde un poco de velocidad por rozamiento con la atmósfera y no tiene motores. ¿Qué le ocurre?

Satélite geoestacionario Un satélite geoestacionario permanece siempre sobre el mismo punto de la superficie. Para eso necesita cumplir tres condiciones: Su órbita es circular y está en el plano del ecuador. Gira en el mismo sentido que la Tierra. Su periodo es igual al de rotación terrestre: T = 24 h 86 400 s. Si se quiere más precisión, se usa el día sidéreo, de 23 h 56 min. Despejamos el radio de la tercera ley de Kepler: GMm/(2r) GMm/r GMm/(2r) E m GMm/(2a) a h = 15R T g = 0 9,81 Radio: . 1 r = R + T 15R = T 16R T Cinética: J. 2 E = c = 2 16R T m g R 0 T 2 32 100 9,81 6,37 106 1,95 108 Potencial: J. 3 E = p 2E c 3,90 108 Mecánica: J.

4 E = m E c 1,95 108 E m Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 26 Es decir, km. La altura sobre la superficie es km. A esa distancia la velocidad orbital es de unos 3 km/s. Las órbitas circulares por debajo de la geoestacionaria tienen un periodo menor de 24 h, así que adelantan a la rotación terrestre. Las que están por encima se quedan atrás. Clasificación de satélites por altura Los satélites artificiales se usan en comunicaciones, GPS y meteorología. Se clasifican según su altura sobre la superficie: Tipo Altura aprox. v aprox.

Rasgos y ejemplos Baja (LEO, Low Earth Orbit) 250-1000 km (puede llegar a unos 1400 km) 7 km/s Fáciles de poner en órbita, pero notan rozamiento atmosférico. Se ven poco tiempo desde un punto, así que hacen falta constelaciones numerosas. Efecto Doppler notable. Ejemplos: ISS (380 km), Hubble (600 km), meteorológicos NOAA (840 km), Globalstar (1400 km). Media (MEO) 10 000-30 000 km 3,3- 4,9 km/s Atraviesan la radiación de los cinturones de Van Allen. Se ponen en órbita en varias etapas. Ejemplos: navegación (GPS, GLONASS, Galileo). Geoestacionaria (GEO) 35 800 km 3 km/s Órbita ecuatorial y circular, llamada «cinturón de Clarke». Su lanzamiento es caro. Apenas presentan efecto Doppler.

Cubren mal las latitudes altas. COMPRUEBA 22 ¿Por qué un geoestacionario no sirve para dar cobertura cerca de los polos y uno LEO sí puede hacerlo? Puesta en órbita y cambio de órbita Estos problemas se resuelven con balances de energía. El trabajo que hay que aportar es la diferencia de energía mecánica entre el estado final y el inicial: . Puesta en órbita (satelización) Normalmente se supone que en la superficie el cuerpo solo tiene energía potencial. Es decir, se desprecia la energía cinética debida a la rotación terrestre. Esa energía es máxima en el ecuador y nula en los polos. Por eso conviene lanzar cerca del ecuador.

Con esa suposición, para llevarlo a una órbita circular de radio : r = = 3 4π2 GM T T 2 3 4π2 6,67 10 5,97 10 86 400 11 24 2 4,22 10 m 7 r 42 200 h = r R T 35 800 W = E m,final Em,inicial r = R + h W = 2r GMm = ( R GMm ) GMm ( R 1 2r 1 ) Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 27 Para una órbita rasante ( ) queda . Desde la superficie, la velocidad equivalente es , igual a , donde es la velocidad de escape. Un cohete real no recibe toda esa energía al inicio. Sus motores la van aportando durante el ascenso. Cambio de órbita Para pasar de una órbita circular de radio a otra de radio : Si , el trabajo es positivo: subir cuesta energía.

Al cambiar de órbita varía la energía potencial y también la cinética, porque la nueva órbita exige otra velocidad. EJEMPLO Queremos subir un satélite de 1000 kg desde una órbita rasante ( ) a otra con . PROCESO Resolver un problema de órbita r R W = GMm/(2R) v = s GM/R v / e 2 v e r 1 r 2 W = 2 GMm ( r 1 1 r 2 1 ) r > 2 r 1 r = 1 R T r = 2 2R T Aplicamos la fórmula: . 1 W = = 2 GM m T (R T 1 2R T 1 ) 4R T GM m T Sustituimos : J.

2 GM = T g R 0 T 2 W = = 4 mg R 0 T 4 1000 9,8 6,37 106 1,56 1010 Calcular r = R + h Distancia al centro del planeta, siempre en metros 1 Velocidad orbital Se obtiene igualando fuerza gravitatoria y centrípeta: v = (GM/r) 2 Periodo T = 2πr/v, o directamente con la tercera ley de Kepler 3 Energías Em = GMm/2r = Ec = Ep/2 4 Balance energético Trabajo necesario = Em final Em inicial 5 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 28 18 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta se obtiene , que no depende de la masa del satélite. En órbita circular se cumple , y la energía mecánica es negativa porque el sistema está ligado.

Cuanto más alta es la órbita, menor es la velocidad, mayor el periodo y mayor (menos negativa) la energía mecánica. Un geoestacionario está en una órbita ecuatorial con T = 24 h, r 42 200 km y h 35 800 km. La energía de puesta en órbita y la de cambio de órbita se calculan como diferencia de energías mecánicas, siempre con r = R + h. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 23. ¿Dos satélites de masas distintas en la misma órbita tienen la misma energía mecánica? 24. ¿Qué expresión da el trabajo necesario para satelizar desde la superficie hasta un radio r?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 5 Velocidad de escape y tipos de trayectoria AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad de escape imponiendo energía mecánica nula Calcular el incremento de velocidad para escapar desde una órbita circular Clasificar la trayectoria de un cuerpo según el signo de su energía mecánica Calcular el radio de Schwarzschild de un cuerpo PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 ¿Necesita un cohete pesado más velocidad para escapar de la Tierra que una piedra? Qué es la velocidad de escape Un cuerpo lanzado hacia arriba suele frenar y volver a caer. Si lo lanzamos más rápido, sube más. Existe una velocidad mínima a partir de la cual ya no vuelve nunca.

DEFINICIÓN La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que dar a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula. Así deja de estar ligado al campo gravitatorio. v = GM/r E = m E = c E /2 = p GMm/(2r) v e Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 29 Para deducirla usamos la conservación de la energía mecánica (véase «Energía potencial, potencial y conservación de la energía»). En el infinito la energía potencial vale cero. Si el cuerpo llega allí sin velocidad, su energía cinética también vale cero. Por tanto, en todo el recorrido. En el punto de lanzamiento, a distancia del centro: Desde la superficie terrestre ( ) y usando , sale , que da unos 11,2 km/s.

ERROR FRECUENTE La masa del objeto se simplifica: no depende de ella. Una piedra y un cohete necesitan la misma velocidad. Tampoco depende de la dirección de lanzamiento, porque la energía es un escalar. Solo cuentan y . Además, se suele ignorar la rotación del planeta, que daría algo de energía cinética inicial (máxima en el ecuador, nula en los polos). COMPRUEBA 26 Si un planeta tiene el mismo radio que la Tierra y cuatro veces su masa, ¿cuál es su velocidad de escape? Escapar desde una órbita Un satélite en órbita circular ya se mueve con la velocidad orbital (véase «Movimiento orbital y satélites»).

Comparando con en el mismo radio: Hay que distinguir dos ideas: Velocidad que hay que tener para escapar: . Velocidad que hay que añadir: , si el impulso va en la dirección del movimiento. Desde la superficie (sin rotación) el cuerpo parte del reposo, así que ambas coinciden. Desde una órbita, no. En energía: el satélite tiene . Para escapar hay que llevarla a cero, aportando . EJEMPLO Un satélite orbita a 7,7 km/s. Escapar desde órbita cuesta mucho menos que desde el suelo.

E = m 0 r = R + h mv 2 1 e 2 = r GMm 0 v = e r 2GM r = R T GM = T g R 0 T 2 v = e 2g R 0 T m v e M r v = orb GM/r v e v = e = r 2GM v 2 orb v = e v 2 orb Δv = v e v = orb ( 2 1)v orb E = m GMm/(2r) GMm/(2r) Velocidad de escape a esa altura: km/s. 1 2 7,7 10,9 Incremento necesario: km/s. 2 10,9 7,7 = 3,2 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 30 Tipos de trayectoria según la energía mecánica Bajo una fuerza central gravitatoria, la trayectoria es siempre una cónica. La excentricidad mide cuánto se aleja de una circunferencia. El signo de decide cuál es. Como es negativa y positiva, el signo compara sus valores absolutos.

Un sistema ligado es aquel en el que el cuerpo no puede alejarse indefinidamente: queda atrapado. Energía Velocidad Trayectoria ¿Ligado? , con Circunferencia ( ) Sí , con Elipse ( ) Sí , con Elipse en la que el punto de lanzamiento es el apoastro (solo cae si el periastro queda bajo la superficie) Sí Parábola ( ) No Hipérbola ( ) No En la elipse, cuanto mayor es la energía cinética, mayor es la excentricidad. En la parábola el cuerpo llega al infinito con velocidad tendente a cero; en la hipérbola llega con velocidad no nula.

PROCESO Trayectoria según la velocidad La parábola es la cónica en la que cada punto está a igual distancia de un punto (foco) y de una recta (directriz): e E = m E + c E p E p E c E < m 0 E = c E 2 1 p v = v orb e = 0 E < m 0 E < 2 1 p E < c E p v < orb v < v e 0 < e < 1 E < m 0 E < c E 2 1 p v < v orb E = m 0 v = v e e = 1 E > m 0 v > v e e > 1 v < v_orb Elipse con el punto de lanzamiento como apoastro; solo choca con el planeta si el periastro queda bajo la superficie 1 v = v_orb Órbita circular, excentricidad cero 2 v_orb < v < v_e Órbita elíptica, sigue ligado 3 v = v_e Parábola: Em = 0, escapa justo 4 v > v_e Hipérbola: Em > 0, escapa con velocidad sobrante 5 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 31 Esquema de parábolas con su foco, vértice y directriz ERROR FRECUENTE Esta parábola orbital no es el tiro parabólico de 1.º.

Aquel supone constante; aquí la gravedad cambia con la distancia y el foco está en el centro del planeta. COMPRUEBA 27 Un cometa pasa con . ¿Volverá? Agujeros negros: el caso límite Si una masa se concentra tanto que su velocidad de escape iguala la de la luz, m/s, nada puede salir, ni la luz. Es un agujero negro. Es una zona, no un punto: lejos de ella sí se puede escapar. El radio de Schwarzschild es el radio que debería tener un cuerpo, con su masa, para lograrlo: EJEMPLO Para la Tierra: m. Toda su masa en una esfera de unos 9 mm: una densidad enorme. Se cree que en el centro de muchas galaxias hay agujeros negros supermasivos, de millones de veces la masa del Sol.

En el de la Vía Láctea estaría Sagitario A*. g E = c 2 E p c = 3 108 R = S c2 2GM R = S = c2 2g R 0 T 2 (3 10 ) 8 2 2 9,8 (6,37 10 ) 6 2 8,8 10 3 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 32 18 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE La velocidad de escape se obtiene imponiendo : , unos 11,2 km/s desde la superficie terrestre. No depende de la masa del objeto ni de la dirección de lanzamiento. Desde una órbita circular ; hay que añadir . : órbita ligada (circunferencia o elipse); : parábola; : hipérbola. Un agujero negro tiene velocidad de escape igual a ; su radio es . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 28.

¿Por qué coinciden la velocidad de escape y la que hay que añadir al lanzar desde la superficie? 29. ¿Qué energía hay que dar a un satélite en órbita circular para que escape? 30. ¿De qué depende el radio de Schwarzschild?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 6 Mareas,astrofísica y exploración espacial AL ACABAR SABRÁS Explicar por qué se forman dos abultamientos de marea opuestos Distinguir mareas vivas y muertas según la posición del Sol y la Luna Describir las pruebas de la materia oscura y la detección de ondas gravitacionales Explicar la órbita de Hohmann, los puntos de Lagrange y aplicaciones como el GPS PIÉNSALO ANTES DE LEER 31 Si la Luna atrae el agua hacia ella, ¿por qué también hay marea alta en el lado contrario de la Tierra? Las mareas: una diferencia de atracción Las mareas son subidas y bajadas periódicas del nivel del mar. Se deben sobre todo a la Luna y, en menor medida, al Sol.

La clave está en la ley de gravitación universal (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y gravitación universal»). El campo lunar disminuye con el cuadrado de la distancia. La cara de la Tierra que mira a la Luna está más cerca que el centro de la Tierra. La cara opuesta está más lejos. E = m 0 v = e 2GM/r v = e v 2 orb ( 2 1)v orb E < m 0 E = m 0 E > m 0 c R = S 2GM/c2 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 33 DEFINICIÓN La fuerza de marea es la diferencia entre el campo de la Luna en un punto de la superficie terrestre y el campo de la Luna en el centro de la Tierra.

Veamos qué ocurre en cada zona: Cara cercana: el agua recibe más atracción que el centro de la Tierra. Se adelanta hacia la Luna y forma un abultamiento. Cara lejana: el agua recibe menos atracción que el centro. La Tierra «se aleja» de ella y forma un segundo abultamiento. Zonas laterales: el agua se retira hacia los abultamientos. Allí hay marea baja. Como la Tierra gira bajo esos dos abultamientos, un punto de la costa pasa por dos pleamares y dos bajamares al día, aproximadamente. La fuerza de marea decrece aproximadamente con el cubo de la distancia, . Por eso la Luna, mucho menos masiva pero mucho más cercana, produce un efecto mayor que el Sol.

ERROR FRECUENTE Decir que hay marea porque «la Luna tira del agua». Con esa idea solo habría un abultamiento, el de la cara cercana. La causa es la diferencia de atracción entre las dos caras. Esa diferencia explica el abultamiento de la cara opuesta.

CAUSAS Y CONSECUENCIAS Campo lunar no uniforme Más intenso en la cara cercana Campo solar Efecto menor, se suma o resta Las mareas Dos abultamientos opuestos Cara cercana y cara lejana Dos pleamares diarias Por la rotación terrestre Mareas vivas y muertas Según la posición Sol-Luna Mareas vivas y muertas Tipo Posición Sol-Tierra- Luna Fase lunar Efecto Vivas Alineados Luna nueva o llena Los efectos se suman: mareas más amplias Muertas Formando 90° Cuartos creciente y menguante Los efectos se contrarrestan en parte: mareas pequeñas F marea M/d3 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 34 COMPRUEBA 32 Si la Tierra fuera un punto sin tamaño, ¿habría mareas?

Gravitación y astrofísica Evolución estelar. Una estrella es un equilibrio entre la gravedad, que la comprime, y la presión generada por la fusión nuclear en su núcleo. Cuando se agota el combustible, la gravedad gana. Según su masa, el resto final es una enana blanca, una estrella de neutrones o un agujero negro. Materia oscura. Es materia que no interacciona con la luz: no la emite ni la absorbe. Se deduce de forma indirecta por sus efectos gravitatorios: Velocidades de rotación de las galaxias (por ejemplo, NGC 3198): las estrellas exteriores giran más rápido de lo que permite la materia visible. Movimiento de cúmulos de galaxias y estructuras a gran escala.

Lentes gravitacionales: la masa curva la trayectoria de la luz. Aquí sí hay interacción con la luz, pero solo gravitatoria, por la equivalencia entre masa y energía. Esquema de lente gravitacional: galaxia que multiplica la imagen de un cuásar. Una galaxia puede desviar la luz de un cuásar lejano y producir varias imágenes de él; un caso famoso es la cruz de Einstein. Según las estimaciones cosmológicas, el universo contiene un 5 % de materia ordinaria, un 27 % de materia oscura y un 68 % de energía oscura. Ondas gravitacionales. Son perturbaciones del espaciotiempo que se propagan a la velocidad de la luz. Las predice la relatividad general.

Las producen masas enormes aceleradas, como dos agujeros negros que giran uno alrededor del otro. Se confirmaron de forma indirecta en 1974 con el púlsar binario PSR B1913+16: su periodo cambiaba como si perdiera energía en forma de ondas. Hulse y Taylor recibieron por ello el Nobel de Física en 1993. La detección directa la logró LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) en 2015, anunciada en febrero de 2016. Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 35 La gravitación también tuvo éxitos clásicos: las perturbaciones en la órbita de Urano permitieron predecir Neptuno, hallado en 1846 donde indicaban los cálculos.

COMPRUEBA 33 ¿Por qué se dice que la materia oscura existe si nadie la ha visto? Exploración espacial y sus repercusiones Para pasar de una órbita circular baja a otra más alta se usa la órbita de transferencia de Hohmann. Es una maniobra con dos impulsos y un tramo elíptico (véase también «Cambio de órbita» en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Movimiento orbital y satélites»). Esquema de la transferencia de Hohmann entre dos órbitas circulares. Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 36 PROCESO Transferencia de Hohmann Los puntos de Lagrange son posiciones de equilibrio en un sistema de dos cuerpos que giran, como Sol-Tierra. Hay cinco (L1 a L5).

Un satélite allí gira con el mismo periodo que la Tierra. En L1, más cerca del Sol, tendría un periodo menor, pero la Tierra tira hacia fuera y lo alarga. Ahí está SOHO. En L2, más lejos, la Tierra suma su atracción y acorta el periodo; ahí están WMAP y el telescopio James Webb. Otras aplicaciones: GPS: una red de satélites envía señales horarias; el receptor calcula su posición. Necesita correcciones relativistas. Satélites de comunicaciones (geoestacionarios), meteorología y observación de la Tierra. Geología: GOCE y GRACE miden anomalías del campo gravitatorio terrestre. Asistencia gravitatoria: una sonda gana velocidad al pasar cerca de un planeta.

En lo económico y social, la tecnología espacial ha generado industria y empleo y ha dado aplicaciones cotidianas: navegación, previsión del tiempo, telecomunicaciones. También crea problemas, como la basura espacial: restos que amenazan a los satélites activos. IDEAS CLAVE La marea se debe a la diferencia del campo lunar entre las caras de la Tierra y su centro. Hay dos abultamientos opuestos, por eso hay dos pleamares diarias. Mareas vivas con Sol y Luna alineados; muertas con ambos en ángulo recto. La materia oscura solo se detecta por su gravedad; supone un 27 % del universo. Las ondas gravitacionales, predichas por la relatividad general, se detectaron con LIGO en 2015.

Hohmann y los puntos de Lagrange son claves en la exploración espacial. Órbita circular baja El satélite parte de radio R 1 Primer impulso Aumenta la velocidad y entra en órbita elíptica 2 Tramo elíptico Viaja hasta el punto más alejado, radio R' 3 Segundo impulso Nuevo aumento de velocidad para circularizar 4 Órbita circular alta Queda en la órbita final de radio R' 5 Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 37 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 34. ¿Por qué hay marea alta en la cara de la Tierra opuesta a la Luna? 35. ¿En qué fases lunares hay mareas muertas?

Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 38 15 % de los puntos del examen 7 Ley de Coulomb e intensidad de campo AL ACABAR SABRÁS Aplicar la ley de Coulomb en el vacío y en un medio usando la permitividad relativa Calcular el vector campo eléctrico de una carga puntual con el signo correcto Obtener campo y fuerza de varias cargas por superposición, usando simetrías en polígonos Localizar puntos de campo nulo y comparar el campo eléctrico con el gravitatorio PIÉNSALO ANTES DE LEER 36 Si en el centro de un cuadrado hay cuatro cargas iguales en los vértices, ¿notará fuerza una carga colocada allí?

Una carga eléctrica crea a su alrededor un campo que ejerce fuerzas sobre otras cargas. En esta sección se estudia la fuerza entre cargas puntuales (ley de Coulomb), el vector campo eléctrico y cómo sumar los efectos de varias cargas. BLOQUE 2 Campo eléctrico 7 Ley de Coulomb e intensidad de campo 8 Potencial, energía potencial y trabajo 9 Líneas de campo, equipotenciales y flujo eléctrico 10 Cargas en campos eléctricos uniformes Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 39 ESQUEMA Campo eléctrico 1. La carga eléctrica y sus propiedades Los fenómenos eléctricos se conocen desde la Antigüedad. Hacia el año 600 a.

C., Tales de Mileto describió que el ámbar frotado (elektron en griego) atraía trocitos de pelusa o hierba seca. La explicación llegó mucho después: Época Científico Aportación S. XVI Gilbert (Inglaterra) Separa fenómenos eléctricos y magnéticos; primer modelo de la electricidad; la Tierra como imán (explica la brújula) S. XVIII Du Fay (Francia) Dos tipos de electricidad: vítrea (vidrio) y resinosa (ámbar) S. XVIII Botella de Leyden (Países Bajos) Primer condensador S. XVIII Franklin (EE. UU.) Los rayos son eléctricos; pararrayos; signos + y ; teoría del «fluido eléctrico» S. XVIII Volta (Italia) Primera pila S.

XVIII Coulomb (Francia) Concepto de carga y ley de la interacción electrostática (1785) DEFINICIÓN La carga eléctrica ( ) es una propiedad de la materia que explica los fenómenos eléctricos y magnéticos. Es una magnitud escalar; en el SI se mide en culombios (C). Un culombio es la carga que transporta una corriente de 1 A en 1 s: . Dos tipos: positiva y negativa. Un cuerpo neutro tiene igual número de cargas de cada signo.

Coulomb y campo E Fuerza entre cargas y vector campo Superposición Suma vectorial de varias cargas Potencial y energía Trabajo, energía potencial, potencial Líneas y flujo Equipotenciales y teorema de Gauss Campos uniformes Movimiento de cargas entre placas Q I = Q/t Física EBAU La Rioja: todo el temario, formulario y tests 40 Cuantizada (discontinua): toda carga es un múltiplo de la carga elemental, e = 1,6·10 ¹ C (la del protón; la del electrón es igual con signo opuesto). Aditiva: la carga total es la suma de las cargas. Submúltiplos: mC = 10 ³ C, μC = 10 C, nC = 10 C. Otras unidades: unidad electrostática (3,33·10 ¹ C) y faraday (carga de un mol de electrones, 96 500 C).

Un cuerpo neutro se electriza de tres formas: Frotamiento: un cuerpo arranca electrones al otro. El que los gana queda negativo; el que los pierde, positivo. Contacto: al tocar un cuerpo cargado con uno neutro, parte de la carga pasa de uno a otro. Inducción: al acercar un cuerpo cargado, sin tocar, las cargas del neutro se separan. Por ejemplo, un…