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Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo

La gravedad es la interacción entre cuerpos por el hecho de tener masa. Esta sección explica cómo se calcula la fuerza entre dos masas y cómo se describe esa acción mediante un campo, la base de todo el tema.

Ley de gravitación universal

Dos partículas con masa se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. En forma vectorial:

• $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ N\cdot m^2\cdot kg^{-2}$ es la constante de gravitación universal.
• $r$ es la distancia entre los centros, en metros.
• $\vec u_r$ es un vector unitario (módulo 1) que apunta desde la masa que crea la fuerza hacia la que la sufre.
• El signo menos indica que la fuerza va en sentido contrario a $\vec u_r$: hacia la otra masa. Por eso es siempre atractiva.

Se suele escribir $M$ para la masa que crea la fuerza y $m$ para la que la nota; también $m_1$ y $m_2$. Es solo una etiqueta: las dos masas se atraen por igual.

Intensidad del campo gravitatorio

Un campo es una perturbación del espacio que asigna a cada punto el valor de una magnitud. La acción a distancia ocurre en dos pasos: la masa M crea el campo a su alrededor y luego ese campo actúa sobre cualquier masa colocada allí. El campo gravitatorio se describe con una magnitud vectorial, la intensidad, que se dibuja con líneas de campo, y con una escalar, el potencial (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y trabajo»).

Al dividir la ley de Newton entre $m$, la masa que sufre la fuerza desaparece:

Por tanto, $\vec g$ solo depende de la masa que crea el campo y de la distancia. Es radial, apunta hacia M y disminuye con $1/r^2$: es un campo central. Conocido $\vec g$, la fuerza sobre cualquier masa es $\vec F = m\,\vec g$, que es el peso.

Campo de una esfera y campo terrestre

Fuera de un cuerpo esférico con la masa repartida de forma uniforme, el campo es el mismo que si toda la masa estuviera en su centro. Por eso las distancias se miden siempre desde el centro. A una altura $h$ sobre la Tierra:

El valor real varía de un punto a otro porque la Tierra no es una esfera perfecta ni homogénea. Si $h \ll R_T$, se toma $g \approx g_0$ y el peso es $P = m g$.

Efectos sobre el movimiento y comparación entre planetas

Por la segunda ley de Newton, $m\vec a = m\vec g$, así que un cuerpo que solo sufre la gravedad acelera con $\vec a = \vec g$. Cerca de la superficie es la caída libre: un MRUA con aceleración $g_0$. Todos los cuerpos caen igual, sin importar su masa, si no hay rozamiento con el aire.

Para comparar planetas se escribe la masa con la densidad $\rho$: $M = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3$. Entonces:

Con igual densidad, g es proporcional a R. En general basta hacer el cociente: $\frac{g_P}{g_T} = \frac{M_P}{M_T}\cdot\frac{R_T^2}{R_P^2}$. Un planeta con el doble de masa y el doble de radio tiene $g = g_T/2$.

Principio de superposición: varias masas

Si hay varias masas, cada una crea su campo como si estuviera sola. El campo total es la suma vectorial: $\vec g = \vec g_1 + \vec g_2 + \dots$. Lo mismo vale para la fuerza total.

1. Dibuja las masas y el punto P.
2. Calcula el módulo de cada $g_i = G M_i/r_i^2$, con $r_i$ la distancia de cada masa a P.
3. Dibuja cada vector apuntando hacia su masa.
4. Descompón en ejes x e y y suma componentes.

Punto de campo nulo entre dos masas

Entre dos masas los campos tienen sentidos opuestos y existe un punto donde se anulan. Como la masa menor atrae menos, hay que estar más cerca de la masa menor para compensar.

Ideas clave

• La fuerza gravitatoria $\vec F = -G M m/r^2\,\vec u_r$ es siempre atractiva y actúa por pares de acción y reacción.
• La intensidad de campo es la fuerza por unidad de masa y solo depende de la masa que crea el campo y de la distancia.
• Fuera de una esfera, r se mide desde el centro: $r = R + h$, siempre en metros.
• Todos los cuerpos caen con la misma aceleración g, independientemente de su masa.
• Con varias masas los campos se suman como vectores; el punto de campo nulo está más cerca de la masa menor.
• Para planetas de igual densidad, $g = \frac{4}{3}\pi G\rho R$ es proporcional al radio.

Pon a prueba lo aprendido

1. Un planeta tiene la misma masa que la Tierra y la mitad de radio. ¿Su g superficial? — 4 veces la terrestre
2. Entre la Tierra y la Luna, ¿dónde se anula el campo gravitatorio? — Más cerca de la Luna
3. Una piedra de 2 kg y otra de 1 kg caen sin aire. ¿Qué ocurre? — Tienen igual aceleración
4. ¿En qué unidades del SI se mide la intensidad de campo gravitatorio? — N/kg

Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y trabajo

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Bloque 1: Campo gravitatorio — Fuerzas centrales, momento angular y leyes de Kepler

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