Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario

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APUNTES FÍSICA ABAU Galicia AprenAI 2026-2027 Física de 2.º Bach para la ABAU de Galicia: gravitación, electromagnetismo, ondas, óptica y física moderna, con esquemas, tests por tema y formulario final.

APREN.AI Índice Bloque 1: Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación universal e intensidad de campo 7 Ley de gravitación universal 8 Intensidad del campo gravitatorio 9 Efectos sobre el movimiento y comparación entre planetas 11 Principio de superposición: varias masas 11 2 Energía potencial, potencial y trabajo 13 Campos conservativos: el trabajo solo depende de los extremos 13 Energía potencial gravitatoria 14 Signo del trabajo 14 Potencial gravitatorio 15 Líneas de campo y superficies equipotenciales 15 Cuándo vale Ep = mgh 16 3 Fuerzas centrales, momento angular y leyes de Kepler 17 Contexto histórico: del geocentrismo a Kepler 17 Momento de una fuerza y momento angular 17 Fuerzas centrales y conservación de L 18 Las tres leyes de Kepler 19 Segunda ley a partir de la conservación de L 19 Deducción de la tercera ley (órbita circular) 20 La órbita circular, un caso especial 21 4 Satélites: velocidad orbital, periodo y energía orbital 22 Velocidad orbital: de la fuerza a la fórmula 23 Periodo orbital y tercera ley de Kepler 23 Energía de un satélite en órbita circular 24 Energía para poner en órbita y para cambiar de órbita 25 Tipos de órbitas: bajas, medias y geoestacionarias 26 5 Velocidad de escape, tipos de trayectoria y balances energéticos 28 Velocidad de escape 29 Comparación con la velocidad orbital 29 Tipo de trayectoria según la energía mecánica 30 Balances energéticos: altura máxima 31 6 Introducción a la cosmología y la astrofísica 32 Vida de una estrella: gravedad contra presión 33 Agujero negro 33 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 1 Big Bang, expansión y ley de Hubble 33 Materia oscura, energía oscura y ondas gravitacionales 34 Repercusión de la investigación espacial 35 Bloque 2: Campo eléctrico 7 Ley de Coulomb, intensidad de campo y líneas de campo 36 Carga eléctrica 37 Ley de Coulomb 37 Intensidad de campo eléctrico 38 Superposición de campos 39 Líneas de campo 40 8 Potencial, energía potencial y movimiento de cargas 41 Energía potencial eléctrica de un sistema de cargas 41 Potencial eléctrico y diferencia de potencial 42 Trabajo y conservación de la energía 43 Relación entre campo y potencial 44 Movimiento de cargas en campos uniformes 44 Analogías y diferencias entre campo gravitatorio y eléctrico 46 9 Flujo eléctrico, teorema de Gauss y distribuciones continuas 48 Flujo eléctrico 48 Teorema de Gauss 49 Resultados para distribuciones continuas 49 Conductores en equilibrio y jaula de Faraday 50 Bloque 2: Campo magnético 10 Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas 53 Imanes, materiales y relación con la electricidad 54 La fuerza de Lorentz 55 La fuerza magnética no realiza trabajo 57 Movimiento circular en un campo uniforme 57 Movimiento helicoidal y selector de velocidades 58 Aplicaciones: espectrómetro de masas y ciclotrón 59 11 Campos creados por corrientes y líneas de campo 61 Ley de Biot y Savart 61 Conductor rectilíneo indefinido 62 Espira circular 63 Solenoide, toro y ley de Ampère 64 Líneas de campo magnético 65 12 Fuerzas sobre corrientes e interacción entre conductores 66 Fuerza sobre un conductor rectilíneo: de Lorentz a la ley de Laplace 66 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 2 Fuerza entre dos conductores paralelos 67 Definición de amperio 69 Momento sobre una espira y fundamento del motor 70 Bloque 2: Inducción electromagnética 13 Flujo magnético, leyes de Faraday y Lenz 73 Las experiencias de Faraday y Henry 74 Flujo magnético 75 Ley de Faraday-Henry 76 Ley de Lenz: sentido de la corriente 77 Fem en una varilla móvil 78 14 Generadores, motores y transformadores 79 El alternador: cómo se obtiene una fem sinusoidal 80 El motor eléctrico: el proceso inverso 81 El transformador 82 La síntesis de Maxwell 82 15 Bloque 3: Vibraciones — Movimiento armónico simple y péndulo 84 1.

Qué es un movimiento armónico simple 84 2. Ecuación de posición, velocidad y aceleración 85 3. Dinámica: de la ley de Hooke a la pulsación 87 4. Energía del oscilador armónico 87 5. El péndulo simple 88 Bloque 3: Ondas 16 Movimiento ondulatorio y ecuación de la onda armónica 91 1. Onda y MAS: dos direcciones distintas 92 2. Clasificación de las ondas 92 3. Magnitudes de una onda armónica 94 4. Ecuación de la onda armónica 95 5. Doble periodicidad: gráficas y(x) e y(t) 96 6. Velocidad de vibración frente a velocidad de propagación 96 7.

Diferencia de fase entre dos puntos 96 17 Energía, intensidad y ondas sonoras 98 Energía que transporta una onda 98 Intensidad y atenuación de ondas esféricas 98 El sonido: onda longitudinal 99 Cualidades del sonido 99 Nivel de intensidad sonora (decibelios) 100 Contaminación acústica 101 18 Fenómenos ondulatorios y efecto Doppler 102 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 3 Principio de Huygens 102 Reflexión y refracción 102 Difracción 103 Superposición e interferencia 103 Ondas estacionarias 104 Resonancia 106 Efecto Doppler 106 Bloque 3: Luz 19 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 108 El debate histórico: corpúsculos u ondas 109 La luz como onda electromagnética: Maxwell y Hertz 109 Einstein y la dualidad onda-corpúsculo 110 El espectro electromagnético 111 20 Reflexión, refracción, ángulo límite y reflexión total 112 Índice de refracción: qué cambia al cambiar de medio 112 Reflexión y refracción: leyes 113 Ángulo límite y reflexión total 114 Lámina de caras paralelas y dispersión 115 Profundidad aparente (dioptrio plano) 115 Práctica: medida del índice con el disco óptico 116 Bloque 3: Óptica geométrica 21 Conceptos, convenio de signos, dioptrios y espejos 118 Conceptos básicos 119 Convenio de signos DIN 1335 120 Dioptrio esférico: invariante de Abbe 120 Espejos 121 22 Lentes delgadas 123 Qué es una lente delgada y qué tipos hay 123 Ecuaciones de la lente delgada 124 Trazado de rayos 125 Características de la imagen según la posición del objeto 126 Práctica de laboratorio: medir la potencia de una lente 127 23 Instrumentos ópticos y el ojo humano 129 La lupa 129 Cámara fotográfica y otros instrumentos 130 El ojo humano y la acomodación 131 Defectos visuales y su corrección 132 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 4 Bloque 4: Física relativista 24 Postulados, dilatación del tiempo y contracción de la longitud 134 1.

Relatividad de Galileo y crisis de la física clásica 135 2. Los postulados de Einstein 136 3. Factor de Lorentz y relatividad de la simultaneidad 136 4. Dilatación del tiempo 137 5. Contracción de la longitud 138 6. Composición relativista de velocidades 138 25 Masa, energía y equivalencia masa-energía 140 Masa en reposo y momento lineal relativista 140 Las tres energías 141 Equivalencia masa-energía 142 Bloque 4: Física cuántica 26 Cuantización y efecto fotoeléctrico 144 1. Radiación del cuerpo negro e hipótesis de Planck 145 2. El efecto fotoeléctrico: experimento y hechos 147 3. La explicación de Einstein: el fotón 148 4.

Potencial de frenado y obtención de h y W 149 27 Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre 151 De la luz como partícula al momento del fotón 151 Hipótesis de De Broglie 152 Principio de incertidumbre de Heisenberg 153 Aplicaciones tecnológicas 154 28 Bloque 4: Física de partículas — Modelo estándar, interacciones y aceleradores 156 Partículas de materia: quarks y leptones 157 Hadrones y antipartículas 157 Las interacciones como intercambio de bosones 158 Aceleradores y bosón de Higgs 158 Bloque 4: Física nuclear 29 Núcleo atómico, estabilidad, defecto de masa y energía de enlace 160 Composición del núcleo: Z, A y N 161 Interacción nuclear fuerte y estabilidad 162 Defecto de masa y energía de enlace 162 Energía de enlace por nucleón y curva de estabilidad 163 30 Radiactividad natural y ley de desintegración 164 Qué es la radiactividad y cómo se descubrió 165 Tipos de radiación: α, β , β y γ 165 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 5 Leyes de Soddy-Fajans y series radiactivas 167 Ley de desintegración radiactiva 168 Periodo de semidesintegración y vida media 168 Actividad 169 Datación por carbono-14 170 31 Reacciones nucleares, fisión, fusión y aplicaciones 170 Reacciones nucleares y su ajuste 171 Fisión nuclear y reacción en cadena 172 Fusión nuclear 173 Efectos biológicos y aplicaciones 174 32 Formulario 175 Bloque 1: Campo gravitatorio 175 Bloque 2: Campo eléctrico 176 Bloque 2: Campo magnético 177 Bloque 2: Inducción electromagnética 178 Bloque 3: Vibraciones y ondas 178 Bloque 3: Luz y óptica geométrica 179 Bloque 4: Física relativista y cuántica 180 Bloque 4: Física nuclear 181 Valores y constantes 181 Errores típicos 181 Soluciones de las preguntas de repaso 183 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 6 19 % de los puntos del examen 1 Ley de gravitación universal e intensidad de campo AL ACABAR SABRÁS Escribir y aplicar la ley de gravitación universal en forma vectorial.

Calcular g de una masa esférica a cualquier altura y compararla entre planetas. Sumar vectorialmente campos de varias masas y hallar el punto de campo nulo. Explicar por qué la aceleración de caída no depende de la masa del cuerpo. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si soltases a la vez un martillo y una pluma en la Luna, sin aire, ¿cuál llegaría antes al suelo? La gravedad es la interacción entre cuerpos por el hecho de tener masa. Esta sección explica cómo se calcula la fuerza entre dos masas y cómo se describe esa acción mediante un campo, la base de todo el tema.

BLOQUE 1 Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación universal e intensidad de campo 2 Energía potencial, potencial y trabajo 3 Fuerzas centrales, momento angular y leyes de Kepler 4 Satélites: velocidad orbital, periodo y energía orbital 5 Velocidad de escape, tipos de trayectoria y balances energéticos 6 Introducción a la cosmología y la astrofísica Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 7 ESQUEMA Campo gravitatorio Ley de gravitación universal Dos partículas con masa se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. En forma vectorial: es la constante de gravitación universal.

es la distancia entre los centros, en metros. es un vector unitario (módulo 1) que apunta desde la masa que crea la fuerza hacia la que la sufre. El signo menos indica que la fuerza va en sentido contrario a : hacia la otra masa. Por eso es siempre atractiva. Se suele escribir para la masa que crea la fuerza y para la que la nota; también y . Es solo una etiqueta: las dos masas se atraen por igual.

Fuerza y campo Ley de Newton, intensidad g, superposición Energía y potencial Ep, potencial, trabajo, equipotenciales Fuerzas centrales Momento angular y leyes de Kepler Satélites Velocidad orbital, periodo, energía orbital Escape y trayectorias Velocidad de escape y balances energéticos Cosmología Agujeros negros, expansión, materia oscura = F G r2 M m ur G = 6,67 10 N 11 m 2 kg 2 r ur ur M m m 1 m 2 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 8 Esquema de las fuerzas atractivas entre dos masas puntuales.

Característica Qué significa Dirección La recta que une las dos masas Sentido Atractivo: cada fuerza apunta hacia la otra masa Acción y reacción Van por pares: mismo módulo y dirección, sentidos opuestos ( ) A distancia No necesitan contacto Muy débil Como G es tan pequeña, solo se nota si al menos una masa es enorme EJEMPLO Dos personas de 70 kg separadas 1 m: . Es imperceptible. Con la Tierra como una de las masas, la fuerza ya es el peso de la persona, unos 690 N. COMPRUEBA 2 Si la distancia entre dos masas se triplica, ¿qué le pasa a la fuerza? Intensidad del campo gravitatorio Un campo es una perturbación del espacio que asigna a cada punto el valor de una magnitud.

La acción a distancia ocurre en dos pasos: la masa M crea el campo a su alrededor y luego ese campo actúa sobre cualquier masa colocada allí. El campo gravitatorio se describe con una magnitud vectorial, la intensidad, que se dibuja con líneas de campo, y con una escalar, el potencial (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y trabajo»). DEFINICIÓN La intensidad de campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa que sufriría una masa colocada allí: . Unidades: N/kg, equivalentes a m/s².

Al dividir la ley de Newton entre , la masa que sufre la fuerza desaparece: = F1,2 F2,1 F = 6,67 10 11 70 70/1 2 3,3 10 N 7 g = g /m F m = g G g = r2 M ur G r2 M Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 9 Esquema de la deducción de g a partir de la fuerza. Por tanto, solo depende de la masa que crea el campo y de la distancia. Es radial, apunta hacia M y disminuye con : es un campo central. Conocido , la fuerza sobre cualquier masa es , que es el peso. Campo de una esfera y campo terrestre Fuera de un cuerpo esférico con la masa repartida de forma uniforme, el campo es el mismo que si toda la masa estuviera en su centro.

Por eso las distancias se miden siempre desde el centro. A una altura sobre la Tierra: Esquema de las líneas del campo gravitatorio terrestre, radiales hacia el centro. EJEMPLO g 1/r2 g = F m g h g(h) = G g = (R + h) T 2 M T 0 G R T 2 M T 9,8 m/s2 Datos: , . 1 M = T 5,97 10 kg 24 R = T 6,37 10 m 6 En la superficie: . 2 g = 0 6,67 10 11 5,97 10 /(6,37 24 10 ) 6 2 9,8 m/s2 A , la distancia al centro es ; el campo se divide entre 4: unos 2,45 m/s². 3 h = R T r = 2R T Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 10 El valor real varía de un punto a otro porque la Tierra no es una esfera perfecta ni homogénea. Si , se toma y el peso es .

ERROR FRECUENTE Poner la altura en lugar del radio de la órbita . Otro fallo típico es dejar distancias en km: G exige metros. Convierte antes de sustituir. COMPRUEBA 3 ¿A qué distancia del centro terrestre g vale la novena parte de g ? Efectos sobre el movimiento y comparación entre planetas Por la segunda ley de Newton, , así que un cuerpo que solo sufre la gravedad acelera con . Cerca de la superficie es la caída libre: un MRUA con aceleración . Todos los cuerpos caen igual, sin importar su masa, si no hay rozamiento con el aire. ERROR FRECUENTE Creer que un cuerpo más pesado cae con más aceleración. Su peso es mayor, pero también su masa; el cociente es el mismo.

Para comparar planetas se escribe la masa con la densidad : . Entonces: Con igual densidad, g es proporcional a R. En general basta hacer el cociente: . Un planeta con el doble de masa y el doble de radio tiene . Principio de superposición: varias masas Si hay varias masas, cada una crea su campo como si estuviera sola. El campo total es la suma vectorial: . Lo mismo vale para la fuerza total. Punto de campo nulo entre dos masas Entre dos masas los campos tienen sentidos opuestos y existe un punto donde se anulan. Como la masa menor atrae menos, hay que estar más cerca de la masa menor para compensar.

h R T g g 0 P = mg h r = R + h m = a mg = a g g 0 F/m = g ρ M = ρ πR 3 4 3 g = 0 πGρR 3 4 = g T gP M T M P R P 2 R T 2 g = g /2 T = g + g1 + g2 … Dibuja las masas y el punto P. 1 Calcula el módulo de cada , con la distancia de cada masa a P. 2 g = i GM /r i i 2 r i Dibuja cada vector apuntando hacia su masa. 3 Descompón en ejes x e y y suma componentes. 4 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 11 EJEMPLO: TIERRA-LUNA La masa de la Tierra es unas 81 veces la de la Luna y su distancia es . Sea la distancia del punto a la Tierra. COMPRUEBA 4 Con dos masas iguales, ¿dónde está el punto de campo nulo?

IDEAS CLAVE La fuerza gravitatoria es siempre atractiva y actúa por pares de acción y reacción. La intensidad de campo es la fuerza por unidad de masa y solo depende de la masa que crea el campo y de la distancia. Fuera de una esfera, r se mide desde el centro: , siempre en metros. Todos los cuerpos caen con la misma aceleración g, independientemente de su masa. Con varias masas los campos se suman como vectores; el punto de campo nulo está más cerca de la masa menor. Para planetas de igual densidad, es proporcional al radio. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Por qué g no depende de la masa del cuerpo sobre el que actúa? 6. ¿Qué valor de r usas para un satélite a 400 km de altura? 7.

¿Qué indica el signo menos en la expresión vectorial de la ley de gravitación? d 3,84 10 m 8 x Igualamos módulos: . 1 = x2 GM T (d x)2 GM L G se simplifica y hacemos raíz: . 2 = d x x = 81 9 Despejamos: . Está al 90 % del camino, cerca de la Luna.

3 x = 0,9 d 3,46 10 m 8 = F GMm/r 2 ur r = R + h g = πGρR 3 4 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 12 19 % de los puntos del examen BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 2 Energía potencial,potencial y trabajo AL ACABAR SABRÁS Deducir Ep = GMm/r tomando el origen en el infinito Calcular el trabajo del campo con W = ΔEp = m( ) y razonar su signo Sumar potenciales de varias masas y relacionar equipotenciales con líneas de campo Justificar cuándo puede usarse Ep = mgh PIÉNSALO ANTES DE LEER 8 Si la energía potencial de un satélite es negativa, ¿tiene «menos que nada» de energía?

Campos conservativos: el trabajo solo depende de los extremos Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que hace al llevar un cuerpo de A a B no depende del camino seguido, solo de los puntos inicial y final. Un campo cuyas fuerzas son conservativas se llama campo conservativo. El campo gravitatorio lo es. Esquema de dos caminos distintos entre los puntos A y B En la figura, ir de A a B por el camino 1 o por el 2 cuesta el mismo trabajo gravitatorio. De esta idea salen varias formas equivalentes de decir que un campo es conservativo: El trabajo en una trayectoria cerrada (se vuelve al punto de partida) es nulo. El trabajo entre dos puntos no depende de la trayectoria.

Se puede definir una función escalar, la energía potencial, cuya variación da el trabajo. El campo es el gradiente de una función escalar (el potencial) cambiado de signo. La fuerza no cambia la energía cinética del cuerpo si este vuelve a su posición inicial. EJEMPLO Lanzas una pelota hacia arriba y la recoges a la misma altura. Al subir, el peso hace trabajo negativo; al bajar, positivo y del mismo valor. El total es cero y, sin aire, la pelota vuelve con la misma rapidez. Si arrastras una caja por el suelo y la devuelves al punto de partida, el rozamiento hace trabajo negativo en la ida y en la vuelta: la caja pierde energía. El rozamiento no es conservativo.

V A V B Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 13 Si todas las fuerzas son conservativas, se conserva la energía mecánica, . Por el teorema de las fuerzas vivas , y por definición ; igualando, . COMPRUEBA 9 ¿Por qué no se puede definir una energía potencial asociada al rozamiento? Energía potencial gravitatoria La energía potencial es la energía asociada a la posición de un cuerpo dentro de un campo conservativo. Es un escalar. Solo tienen sentido físico sus variaciones, por eso se define a partir del trabajo del campo: Para dar un valor en un punto hay que fijar dónde vale cero. En gravitación se elige Ep = 0 en el infinito.

Integrando la fuerza de la ley de gravitación (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo») entre el infinito y r se obtiene: El signo menos de la integral aparece porque la fuerza apunta hacia M y el desplazamiento desde el infinito también, pero el vector unitario radial apunta hacia fuera. Con otra referencia saldría ; en el infinito . Se mide en julios y . Interpretación: es el trabajo que hace el campo al llevar m desde ese punto hasta el infinito, o el trabajo que hay que hacer contra el campo para traerla desde el infinito. Con varias masas se suman las energías potenciales de cada pareja (superposición escalar).

ERROR FRECUENTE Pensar que una Ep negativa es imposible o «falsa». El signo solo indica que la masa está ligada: hay que aportarle energía para llevarla al infinito, donde vale cero. Lo físico son las diferencias. Otro fallo típico: olvidar el signo menos y obtener que Ep aumenta al acercarse. Al acercarse r baja y Ep se hace más negativa, es decir, disminuye.

Signo del trabajo Situación W del campo Quién hace el trabajo Masa que se acerca a M (piedra que cae) Negativa Positivo El propio campo; gana Ec Masa que se aleja de M (lanzamiento vertical) Positiva Negativo Un agente externo contra el campo Movimiento sobre una equipotencial Nula Nulo Nadie E = m E + c E p W = ΔE c W = ΔE p ΔE + c ΔE = p 0 ΔE = m 0 W = A B ΔE = p E p,A E p,B E (r) = p r F d = r + G dr = r r2 Mm r GMm E = p GMm/r + k k = 0 G = 6,67 10 N 11 m 2 kg 2 E (r) p ΔE p Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 14 COMPRUEBA 10 Un satélite pasa de 2R a 4R del centro terrestre. ¿Su Ep aumenta o disminuye? ¿El campo hace trabajo positivo?

Potencial gravitatorio El potencial gravitatorio V es la energía potencial por unidad de masa colocada en ese punto. Solo depende de la masa que crea el campo y de la distancia: Equivale al trabajo que hace el campo al llevar 1 kg desde el punto hasta el infinito. Al ser escalar, el potencial de varias masas es la suma algebraica de los potenciales, sin vectores (compárese con la suma vectorial de g vista en «Ley de gravitación universal e intensidad de campo»). El trabajo del campo entre dos puntos queda: EJEMPLO Líneas de campo y superficies equipotenciales Las líneas de campo son tangentes en cada punto al vector g y tienen su sentido.

Su densidad indica la intensidad: donde hay más líneas juntas, g es mayor. En una masa puntual son radiales y entran hacia ella. Esquema de líneas de campo radiales hacia una masa puntual V = = m E p [V ] = r GM J/kg W = A B m (V A V ) B Dos masas de 100 kg separadas 2 m. Se pide V en el punto medio, a 1 m de cada una. 1 Cada una aporta . 2 V = i 6,67 10 11 100/1 = 6,67 10 J/kg 9 Se suman como números: . Allí g es nulo, pero V no: campo nulo no implica potencial nulo. 3 V = 1,33 10 J/kg 8 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 15 Esquema de líneas de campo de dos masas iguales Las superficies equipotenciales unen los puntos con el mismo V.

Para una masa puntual o esférica son esferas concéntricas con centro en la masa. Son perpendiculares a las líneas de campo. Moverse sobre una de ellas no cuesta trabajo, porque . La relación matemática es (en una dimensión, ). El gradiente señala hacia donde V crece más deprisa; el signo menos indica que g apunta hacia potenciales decrecientes, es decir, hacia la masa. COMPRUEBA 11 Si en un dibujo las equipotenciales se aprietan cerca de un punto, ¿qué dice eso de g allí? Cuándo vale Ep = mgh Cerca de la superficie se usa . Es una aproximación de la fórmula general para , con origen en el suelo (h = 0); por eso aquí sí pueden salir Ep positivas.

Con y : Si se exige un error menor del 1 %, resulta . Con eso da h 63 700 m. Por encima, hay que usar . El desarrollo en serie muestra que mgh es solo el primer término: IDEAS CLAVE Un campo es conservativo si el trabajo entre dos puntos no depende del camino; el gravitatorio lo es. Con origen en el infinito, : siempre negativa, indica que la masa está ligada. El trabajo del campo es ; positivo cuando la masa se acerca. El potencial (J/kg) es escalar: se suma algebraicamente. Las equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo y . solo vale para alturas pequeñas frente al radio terrestre.

W = m(V 1 V ) = 2 0 = g V g = dV /dr ΔE = p mgh h R T r = A R T r = B R + T h ΔE = p GMm = ( R T 1 R + h T 1 ) R + R h T 2 T GMm h m h = R T 2 GM mgh h = R /100 T R = T 6370 km GMm/r ΔE = p mgh m h + R g 2 … E = p GMm/r W = A B ΔE = p m(V A V ) B V = GM/r = g V ΔE = p mgh Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 16 19 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Qué trabajo hace el campo al mover una masa entre dos puntos de la misma equipotencial? 13. ¿Por qué en mgh pueden salir energías potenciales positivas? 14. ¿Hacia dónde apunta g respecto a V?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 3 Fuerzas centrales,momento angular y leyes de Kepler AL ACABAR SABRÁS Calcular el momento de una fuerza y el momento angular de una partícula Justificar por qué una fuerza central conserva L y deducir la órbita plana y la ley de las áreas Aplicar · = · para relacionar velocidades en perihelio y afelio Deducir la tercera ley de Kepler para una órbita circular PIÉNSALO ANTES DE LEER 15 ¿Por qué un patinador gira más rápido al recoger los brazos, y qué tiene eso que ver con los planetas?

Contexto histórico: del geocentrismo a Kepler Durante siglos dominó el modelo geocéntrico: la Tierra, inmóvil, ocupaba el centro y los astros giraban a su alrededor en esferas perfectas. Ptolomeo lo retocó con epiciclos, excéntricas y el ecuante para explicar el movimiento retrógrado y los cambios de brillo de los planetas, pero mantuvo los círculos. Copérnico propuso un modelo heliocéntrico: el Sol en el centro y la Tierra en movimiento. No era más exacto que el de Ptolomeo, pero sí más sencillo. Tardó en aceptarse porque chocaba con la autoridad religiosa y filosófica.

Galileo aportó observaciones a su favor: las fases de Venus, las lunas de Júpiter, las manchas solares y las montañas de la Luna. Fue procesado por la Iglesia en 1633. Kepler trabajó con las medidas precisas de Tycho Brahe. Entre 1600 y 1620 formuló tres leyes que describen cómo se mueven los planetas, ya sin órbitas circulares. Después, Newton explicó por qué se mueven así con su ley de gravitación (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo»). Este proceso (hipótesis, observación, revisión, ley) es la base del método científico.

Momento de una fuerza y momento angular Para estudiar giros no basta con la fuerza: importa también dónde se aplica respecto a un punto O. Por eso se definen dos magnitudes vectoriales. r p v p r a v a Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 17 DEFINICIÓN El momento de una fuerza respecto a O es , donde va de O al punto de aplicación. Su módulo es , con la distancia de O a la recta de acción de la fuerza (brazo). El momento angular de una partícula respecto a O es , con módulo . Se mide en kg·m²/s (equivale a J·s). Esquema del momento de una fuerza y su brazo respecto a O Propiedades comunes de ambos momentos: Dependen del punto O elegido.

Son perpendiculares al plano que forman y (o y ); el sentido lo da la regla del tornillo. No cambian si el vector se desliza a lo largo de su recta, porque el brazo b es el mismo. Si y son perpendiculares, . Ocurre siempre en una órbita circular y en el perihelio y el afelio de una elipse. EJEMPLO Abrir una puerta empujando junto a las bisagras cuesta mucho: el brazo b es casi cero y el momento es pequeño. Empujando en el pomo, la misma fuerza produce mucho más momento. COMPRUEBA 16 Una fuerza apunta justo hacia O. ¿Cuánto vale su momento respecto a O y por qué?

Fuerzas centrales y conservación de L Una fuerza central es la que siempre apunta hacia un centro fijo (o desde él) y cuyo valor solo depende de la distancia a ese centro. La gravitatoria y la elástica de un muelle son ejemplos. La relación entre momento y momento angular es la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, análoga a : = MO × r F r M = rF sen θ = F b b = r sen θ = LO × r mv L = rmv sen θ r F r v r v L = rmv = F d /dt p Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 18 Si tomamos el centro de fuerzas como O, y son paralelos y . Por tanto bajo una fuerza central, L se conserva en módulo, dirección y sentido. Cada aspecto tiene una consecuencia: L constante en...

Consecuencia Dirección y están siempre en el plano perpendicular a : la órbita es plana. Sentido El planeta gira siempre en el mismo sentido. Módulo Velocidad areolar constante (segunda ley de Kepler). La conservación de L demuestra que la órbita es plana, pero no que sea una elipse; eso queda fuera de Bachillerato. Las tres leyes de Kepler Valen para planetas alrededor del Sol y para cualquier cuerpo que orbite por gravedad en torno a otro central (lunas, satélites artificiales). 1. Ley de las órbitas: los planetas describen elipses con el Sol en uno de los focos. 2. Ley de las áreas: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. 3.

Ley de los periodos: el cuadrado del periodo T (tiempo de una vuelta) es proporcional al cubo del semieje mayor a de la órbita. Esquema de órbita elíptica con el Sol en un foco El punto de la órbita más cercano al Sol es el perihelio y el más lejano, el afelio (para la Tierra como centro: perigeo y apogeo; en general, periastro y apoastro). Segunda ley a partir de la conservación de L En un tiempo dt el planeta avanza . El área barrida es casi un triángulo: la mitad del paralelogramo formado por y .

= dt dL M r F = M 0 r v L dr r dr Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 19 Esquema del área barrida por el radio vector en un tiempo dt En perihelio y afelio , así que , es decir: Cuanto más cerca del Sol, más rápido va el planeta. En problemas, la velocidad areolar también se obtiene como área total entre periodo: (o si es circular). EJEMPLO Un cometa está a 1 UA del Sol en el perihelio y a 5 UA en el afelio. Como , en el afelio va 5 veces más despacio. ERROR FRECUENTE Aplicar en cualquier punto de la órbita. Solo vale donde (perihelio y afelio); en otro punto hay que incluir . Tampoco confundas: lo constante es L, no la velocidad.

COMPRUEBA 17 ¿En qué época del año recorre la Tierra más rápido su órbita, cuando está más cerca o más lejos del Sol? Deducción de la tercera ley (órbita circular) Suponemos una órbita circular de radio r alrededor de una masa M. La gravedad actúa como fuerza centrípeta: Área del triángulo: . 1 dA = × 2 1 r d r Dividimos por dt y usamos : . 2 d /dt = r v = dt dA × 2 1 r v Como , queda la velocidad areolar: . 3 L = m × r v = dt dA = 2m L cte r v mr v = p p mr v a a r v = p p r v a a πab/T πr /T 2 v = a v r /r p p a r v = p p r v a a r v sen θ Igualamos: , de donde (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Satélites: velocidad orbital, periodo y energía orbital»).

1 = r2 GMm r mv2 v = GM/r En el movimiento circular uniforme, . 2 v = 2πr/T Igualamos y elevamos al cuadrado: . 3 = r GM T2 4π r 2 2 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 20 La constante solo depende de la masa central M, no de la del planeta. Para elipses vale sustituyendo r por el semieje mayor a. Así, para cuerpos que orbitan la misma masa: , y con tres datos se obtiene el cuarto sin conocer M. La órbita circular, un caso especial En una órbita circular siempre y r y v no cambian, así que es constante en módulo y dirección.

Además, el trabajo de la gravedad es nulo y la energía cinética no varía; se justifica en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Satélites: velocidad orbital, periodo y energía orbital». COMPRUEBA 18 Si un satélite orbitara una masa 4 veces mayor a igual radio, ¿cómo cambiaría T?

PROCESO De la fuerza central a Kepler Despejamos: 4 T = 2 r GM 4π2 3 = a 1 3 T 1 2 a 2 3 T 2 2 r v L = mrv Fuerza central F paralela a r respecto al centro 1 Momento nulo M = r × F = 0 2 L constante dL/dt = M = 0 3 Órbita plana Dirección de L fija 4 Ley de las áreas dA/dt = L/2m constante 5 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 21 19 % de los puntos del examen CRONOLOGÍA Del geocentrismo a Newton IDEAS CLAVE El momento angular cambia solo si hay momento de fuerza: . Una fuerza central es paralela a , su momento es nulo y L se conserva. L constante en dirección implica órbita plana; en módulo, velocidad areolar constante (segunda ley).

En perihelio y afelio se cumple : el planeta va más rápido cerca del Sol. Tercera ley: , con constante que solo depende de la masa central. En órbita circular L es constante y el trabajo de la gravedad es nulo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Por qué la conservación de L obliga a que la órbita sea plana? 20. ¿Qué expresión relaciona la velocidad areolar con el momento angular?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 4 Satélites: velocidad orbital,periodo y energía orbital AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital y el periodo de un satélite igualando fuerza gravitatoria y centrípeta Calcular la masa de un cuerpo celeste a partir del radio y el periodo de un satélite Calcular las energías cinética, potencial y mecánica de un satélite en órbita circular Calcular la energía necesaria para poner un satélite en órbita o cambiarlo de órbita Antigüedad Modelo geocéntrico con esferas; Ptolomeo añade epiciclos y ecuante Copérnico Propone el modelo heliocéntrico, más sencillo 1600-1620 Kepler formula sus tres leyes con datos de Tycho Brahe 1633 Galileo es procesado por la Iglesia Newton La gravitación universal explica las leyes de Kepler = L × r mv d /dt = L M r r v = p p r v a a T = 2 (4π /GM) r 2 3 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 22 PIÉNSALO ANTES DE LEER 21 Para que un satélite suba a una órbita más alta hay que darle energía.

Sin embargo, allí arriba irá más despacio. ¿Cómo puede ser? Velocidad orbital: de la fuerza a la fórmula Un satélite en órbita circular gira a distancia constante del centro del planeta. La única fuerza que actúa sobre él es la atracción gravitatoria (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo»). Esa fuerza no lo frena ni lo acelera: solo curva su trayectoria. Por eso hace el papel de fuerza centrípeta. La velocidad orbital es la velocidad que debe llevar un satélite para mantener una órbita circular estable de radio .

Dos consecuencias: No depende de la masa del satélite: una estación espacial y un tornillo suelto a la misma altura van igual de rápido. Cuanto menor es el radio, mayor es la velocidad. Las órbitas bajas son las más rápidas. El radio orbital se mide desde el centro del planeta: , donde es el radio del planeta y la altura sobre la superficie. ERROR FRECUENTE Meter en la fórmula la altura en vez de , o dejarla en km. Otros despistes típicos: usar el diámetro en lugar del radio, o no pasar km a m. Antes de sustituir, escribe siempre en metros. EJEMPLO Satélite a 630 km de altura sobre la Tierra. Entonces m. m/s, unos 7,5 km/s.

Periodo orbital y tercera ley de Kepler El periodo es el tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta completa. Como el movimiento es circular uniforme, recorre la circunferencia a velocidad constante: r Se igualan la fuerza gravitatoria y la centrípeta: . 1 G = r2 Mm m r v2 La masa del satélite aparece a los dos lados y se simplifica. 2 m Se despeja la velocidad: . 3 v = 2 r GM v = r GM r r = R + h R h h r = R + h r = R + h r = 6,37 10 + 6 0,63 10 = 6 7,00 106 v = 7,00 106 6,67 10 5,97 10 11 24 5,69 107 7,54 103 T 2πr T = = v 2πr 2π GM r3 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 23 Si se eleva al cuadrado se obtiene .

Es la tercera ley de Kepler para órbitas circulares (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Fuerzas centrales, momento angular y leyes de Kepler»). La constante solo depende del cuerpo central. Calcular la masa de un cuerpo celeste La ecuación relaciona tres cosas: periodo, radio de la órbita y masa del cuerpo central. Conocidas dos, se obtiene la tercera. Despejando la masa: EJEMPLO La Luna gira alrededor de la Tierra con m y días. ¿Qué masa tiene la Tierra? A veces el enunciado da la densidad y el radio del planeta, no su masa. Entonces se usa con , suponiendo el planeta esférico.

COMPRUEBA 22 Si un satélite pasa a una órbita de radio cuatro veces mayor, ¿cómo cambian su velocidad y su periodo? Energía de un satélite en órbita circular La energía mecánica es la suma de cinética y potencial. La energía potencial gravitatoria vale , con cero en el infinito (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y trabajo»). La cinética se obtiene con la velocidad orbital: como , Sumando las dos: Magnitud Expresión Signo Relación Si r aumenta…

Energía cinética Positiva Disminuye Energía potencial Negativa Aumenta (menos negativa) Energía mecánica Negativa Aumenta (menos negativa) T = 2 r GM 4π 2 3 4π /GM 2 M = G T2 4π r 2 3 r 3,84 108 T 27,3 Periodo en segundos: s. 1 T = 27,3 86400 2,36 106 Sustituimos: . 2 M = 6,67 10 (2,36 10 ) 11 6 2 4π (3,84 10 ) 2 8 3 Numerador ; denominador . Resultado: kg, coherente con el valor conocido.

3 2,24 1027 3,71 102 M 6,0 1024 M = ρV V = πR 3 4 3 E = p GMm/r v = 2 GM/r E = c mv = 2 1 2 2r GMm E = E + c E = p 2r GMm = r GMm 2r GMm 2r GMm E = c 2 E p r GMm E = p 2E c 2r GMm E = = 2 E p E c Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 24 La energía mecánica negativa indica órbita ligada: el satélite no puede escapar del planeta. También puede escribirse . En una órbita circular la energía cinética es constante. En una órbita elíptica no: el satélite acelera al acercarse y frena al alejarse. Pero la energía mecánica sí se conserva en ambos casos, porque la gravedad es conservativa. La fórmula vale para la elipse si se sustituye por el semieje mayor .

Trabajo de la gravedad en una órbita circular La fuerza gravitatoria apunta al centro y la velocidad es tangente. Son siempre perpendiculares, así que la gravedad no realiza trabajo. Lo mismo se deduce con : como no cambia, . COMPRUEBA 23 Un satélite pierde altura por rozamiento con la atmósfera. ¿Su energía cinética sube o baja? Energía para poner en órbita y para cambiar de órbita La energía de satelización es la que hay que aportar a un cuerpo situado a distancia del centro para colocarlo en órbita de radio . Es la diferencia de energía mecánica entre los dos estados.

Si se parte de la superficie y se desprecia la energía cinética inicial (cohete en reposo sobre la rampa), la energía inicial es solo potencial: La velocidad de satelización equivalente es . En el caso límite de una órbita rasante ( ), queda y . Esta velocidad es la que habría que tener al inicio, sin más impulso. Un cohete real sale despacio y sus motores aportan energía durante el ascenso. Además, la superficie terrestre gira: un objeto en ella ya tiene algo de energía cinética, así que la energía necesaria depende del lugar de lanzamiento. Lanzar cerca del ecuador y hacia el este aprovecha ese giro.

EJEMPLO Energía para poner un satélite de 500 kg en la órbita de 630 km del primer ejemplo ( m). Para cambiar de órbita, de a , también se resta la energía mecánica. Cambian a la vez la potencial y la cinética, porque cada radio exige su propia velocidad: E = mv 2 1 2 E = GMm/2a r a W = ΔE p r ΔE = p 0 R r E = s E rbita o ˊ E = superficie 2r GMm = ( R GMm ) GMm ( R 1 2r 1 ) v = s 2GM (R 1 2r 1 ) r = R E = s 2R GMm v = s GM/R r = 7,00 106 J·m. 1 GMm = 6,67 10 11 5,97 10 24 500 1,99 1017 Paréntesis: m ¹. 2 6,37 106 1 1,40 107 1 1,570 10 7 0,714 10 = 7 8,56 10 8 J.

3 E s 1,99 10 17 8,56 10 8 1,70 1010 r 1 r2 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 25 EJEMPLO El satélite anterior sube de m a m. J. Es positiva: subir de órbita cuesta energía, aunque el satélite acabe yendo más despacio. PROCESO Cómo resolver un problema de satélites COMPRUEBA 24 ¿Por qué para cambiar de órbita no basta con calcular la variación de energía potencial? Tipos de órbitas: bajas, medias y geoestacionarias Los satélites artificiales son esenciales para comunicaciones, navegación (GPS) y meteorología. Se distinguen por la forma de la órbita (circular o elíptica), su inclinación respecto al ecuador y, sobre todo, su altura. Tipo Altura aprox. Velocidad aprox.

Características Ejemplos Órbita baja (LEO, Low Earth Orbit) 250- 1000 km 7 km/s Fácil de alcanzar; algo de rozamiento atmosférico; cada satélite es visible poco tiempo desde un punto, y la cobertura global exige constelaciones numerosas; efecto Doppler notable ISS ( 400 km), Hubble ( 540 km), satélites de observación terrestre ΔE = E 2 E = 1 2 GMm ( r 1 1 r 2 1 ) r = 1 7,00 106 r = 2 1,40 107 ΔE = (1,429 2 1,99 1017 10 7 0,714 10 ) 7 7,1 109 Calcular r = R + h Radio desde el centro del planeta, en metros 1 Igualar fuerzas Gravitatoria igual a centrípeta 2 Velocidad y periodo v = (GM/r) y T = 2πr/v 3 Energías orbitales Ec = GMm/2r, Ep = GMm/r, E = GMm/2r 4 Balance energético Energía aportada = E final E inicial 5 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 26 Tipo Altura aprox.

Velocidad aprox. Características Ejemplos Órbita media (MEO, Medium Earth Orbit) 10 000- 30 000 km 3-7 km/s Atraviesa los cinturones de Van Allen (radiación); lanzamiento más difícil, a veces en varias etapas Navegación: GPS, GLONASS, Galileo Geoestacionaria (GEO) 35 800 km 3 km/s Plano ecuatorial, circular, de un día; lanzamiento caro; casi sin Doppler; mala cobertura en latitudes altas Comunicaciones y meteorología Un satélite geoestacionario está siempre sobre el mismo punto del ecuador. Para ello debe girar en el plano ecuatorial, en el mismo sentido que la Tierra y con su mismo periodo de rotación.

Ese periodo no es exactamente 24 h: es el día sidéreo, 23 h 56 min (unos 86 164 s), el tiempo de una vuelta respecto a las estrellas. A esta órbita se la llama también cinturón de Clarke. EJEMPLO Radio de la órbita geoestacionaria con s: m. Altura: m, unos 35 800 km. ABAU · 2023, ORDINARIA PREGUNTA 1. Responda indicando y justificando la opción correcta: 1.1. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. El trabajo que realiza la fuerza de la gravedad sobre el satélite a lo largo de media órbita es: (1 punto) a) positivo. b) negativo. c) nulo. Resolución Se pide el signo del trabajo de la gravedad. Hay dos razonamientos válidos. Por la definición de trabajo. .

La fuerza apunta al centro de la Tierra y el desplazamiento es tangente a la circunferencia. Son perpendiculares en todo momento, así que y . Por la energía potencial. La gravedad es conservativa: . Como y no cambia, . Respuesta: c) nulo. Ocurre en media órbita, en una órbita entera o en cualquier tramo. T T = 86164 r = = 3 4π2 GMT2 3 39,5 3,98 10 7,42 10 14 9 3 7,48 1022 4,22 107 4,22 10 7 6,37 10 6 3,58 107 W = A B F dr F d = r 0 W = 0 W = ΔE p E = p GMm/r r ΔE = p 0 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 27 19 % de los puntos del examen AHORA TÚ Un satélite pasa de una órbita circular de radio a otra de radio .

Su energía cinética: a) se duplica; b) se reduce a la mitad; c) no cambia. Justifícalo. Primer paso: la energía cinética orbital es , inversamente proporcional al radio. Te toca: sustituye y compara con la inicial. Solución: 25 IDEAS CLAVE Igualando gravedad y fuerza centrípeta sale , que no depende de la masa del satélite. El periodo cumple , que permite calcular la masa del cuerpo central con y . En órbita circular , y : la energía mecánica es negativa (órbita ligada). Las energías de satelización y de cambio de órbita son diferencias de energía mecánica, no solo de potencial.

El satélite geoestacionario gira en el plano ecuatorial con el periodo del día sidéreo (23 h 56 min), a unos 35 800 km de altura. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 26. ¿Qué relación hay entre la energía mecánica y la cinética de un satélite en órbita circular? 27. ¿Por qué un satélite geoestacionario no puede estar sobre Galicia? 28. ¿Qué datos necesitas para calcular la masa de un planeta con uno de sus satélites?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 5 Velocidad de escape,tipos de trayectoria y balances energéticos AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad de escape desde la superficie o desde una altura imponiendo E = 0 Relacionar el signo de la energía mecánica con el tipo de trayectoria Calcular la altura máxima de un lanzamiento vertical por conservación de la energía Distinguir velocidad de escape y velocidad que hay que añadir desde una órbita r 2r E = c 2r GMm 2r v = GM/r T = 2 r GM 4π2 3 r T E = c GMm/2r E = p GMm/r E = GMm/2r Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 28 PIÉNSALO ANTES DE LEER 29 ¿Hace falta más velocidad para escapar de la Tierra lanzando un objeto hacia arriba o en horizontal?

Velocidad de escape Lanzamos un cuerpo hacia arriba. ¿Qué velocidad mínima necesita para no volver nunca? Esa es la velocidad de escape. DEFINICIÓN La velocidad de escape es la velocidad mínima para llegar al infinito con velocidad nula, sin propulsión posterior. La gravedad es un campo conservativo, así que la energía mecánica se conserva (véase «Energía potencial, potencial y trabajo»). En el infinito tomamos . Si el cuerpo llega allí justo parado, también . Por tanto, su energía mecánica total es cero. Desde la superficie, . Desde una altura , . Cuanto más lejos, menor es la velocidad de escape. EJEMPLO Superficie terrestre: m/s, es decir, unos 11,2 km/s.

Dos propiedades salen de la deducción: No depende de la masa del cuerpo lanzado: aparece en los dos términos y se cancela. No depende de la dirección: la energía cinética es escalar. Solo cuenta el módulo de la velocidad (ignorando el rozamiento y la rotación terrestre). Comparación con la velocidad orbital Un satélite en órbita circular de radio se mueve a (véase «Satélites: velocidad orbital, periodo y energía orbital»). Comparando: Esta relación vale solo para el mismo radio . E = p 0 E = c 0 Energía en el punto de lanzamiento, a distancia del centro: . 1 r E = mv 2 1 e 2 r GMm Imponemos la condición límite . 2 E = 0 Despejamos.

La masa se simplifica: 3 m v = e r 2GM r = R T h r = R + T h v = e 6,37 106 2 6,67 10 5,97 10 11 24 1,12 104 m r v = orb GM/r v = e v 2 orb r Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 29 ERROR FRECUENTE Confundir la velocidad de escape con la velocidad que hay que añadir. Un satélite en órbita ya tiene . Solo necesita sumarle si se impulsa en su dirección de movimiento. En energía, basta aportar , porque su energía es . Ambas ideas coinciden solo si se parte del reposo, como en la superficie (sin rotación). COMPRUEBA 30 Si lanzas un cuerpo de doble masa desde el mismo punto, ¿cambia la velocidad de escape? ¿Y la energía necesaria?

Tipo de trayectoria según la energía mecánica Bajo una fuerza gravitatoria central, la trayectoria es siempre una cónica: circunferencia, elipse, parábola o hipérbola. El signo de decide cuál. siempre es negativa y siempre positiva. Así, el signo de indica cuál de las dos domina en valor absoluto. Esquema de las cónicas posibles según la energía del cuerpo.

Energía Velocidad Trayectoria Excentricidad ( ) Hipérbola: escapa y llega al infinito con velocidad no nula ( ) Parábola: escapa y su velocidad tiende a cero , Elipse ligada; más alargada cuanto más rápido v orb Δv = v e v = orb ( 2 1)v orb GMm/2r GMm/2r E = E + c E p E p E c E E > 0 E > c E p v > v e e > 1 E = 0 E = c E p v = v e e = 1 E < 0 E < 2 1 p E < c E p v < orb v < v e 0 < e < 1 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 30 Energía Velocidad Trayectoria Excentricidad , Circunferencia , Elipse con el punto de lanzamiento como apoastro; choca si el periastro queda por debajo del radio del planeta (siempre, si se lanza desde la superficie) — Con el cuerpo queda atrapado en el campo gravitatorio.

El caso parabólico es teórico: tardaría un tiempo infinito en llegar al infinito. Las velocidades de la tabla se refieren a un lanzamiento perpendicular al radio. PROCESO Velocidad de lanzamiento y trayectoria COMPRUEBA 31 Un satélite en órbita circular recibe un impulso que aumenta su velocidad un 20 %. ¿Qué trayectoria sigue? Balances energéticos: altura máxima Si se lanza verticalmente con , el cuerpo sube, se para y cae. En el punto más alto, a distancia del centro, . Igualamos la energía mecánica en los dos puntos: Se despeja y la altura es .

E < 0 E = c E 2 1 p v = v orb e = 0 E < 0 E < c E 2 1 p v < v orb E < 0 v < v_orb Elipse que choca contra el planeta 1 v = v_orb Órbita circular, E = GMm/2r 2 v_orb < v < v_e Órbita elíptica, E < 0 3 v = v_e Parábola, E = 0, escapa justo 4 v > v_e Hipérbola, E > 0, llega con velocidad 5 v < 0 v e r max E = c 0 mv 2 1 0 2 = R GMm r max GMm r max h = r max R Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 31 19 % de los puntos del examen EJEMPLO Lanzamiento desde la superficie terrestre con m/s. Dividimos entre : J/kg y J/kg. Entonces , de donde m. La altura es m. PARA RECORDARLO No uses a grandes alturas: g cambia con la distancia. Usa siempre con medido desde el centro.

IDEAS CLAVE La velocidad de escape se obtiene imponiendo E = 0: ; en la superficie terrestre vale unos 11,2 km/s. No depende de la masa ni de la dirección del lanzamiento, y disminuye con la distancia al centro. A igual radio, ; desde una órbita basta añadir la diferencia. E < 0: órbita ligada (circular o elíptica); E = 0: parábola; E > 0: hipérbola. La altura máxima se calcula conservando la energía mecánica con en el punto más alto. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 32. ¿Qué energía hay que dar a un satélite en órbita circular de radio r para que escape? 33. ¿A qué distancia del centro la velocidad de escape es la mitad que en la superficie?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 6 Introducción a la cosmología y la astrofísica AL ACABAR SABRÁS Explicar la evolución de una estrella según su masa como competencia entre gravedad y presión Justificar qué es un agujero negro a partir de la velocidad de escape Interpretar la ley de Hubble y las pruebas del Big Bang Describir aplicaciones de la investigación espacial y su impacto social v = 0 5 103 m R T GM T 6,25 107 v = 2 1 0 2 1,25 107 = r max GM T 5,00 107 r max 7,96 106 h 1,6 106 mgh E = p GMm/r r v = e 2GM/r v = e v 2 orb E = c 0 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 32 PIÉNSALO ANTES DE LEER 34 ¿Por qué no puede salir la luz de un agujero negro si la luz no tiene masa?

Vida de una estrella: gravedad contra presión Una estrella es una gran esfera de gas en equilibrio. La gravedad tira de toda su masa hacia el centro. La presión del gas caliente, mantenida por la fusión nuclear del núcleo, empuja hacia fuera. Mientras las dos se compensan, la estrella es estable. Cuando se agota el combustible nuclear, la presión baja y la gravedad gana y comprime la estrella.

El final depende de la masa: Masa inicial Final Qué frena el colapso Pequeña o media (como el Sol) Enana blanca: núcleo del tamaño de la Tierra Presión de los electrones muy apretados Grande Supernova y estrella de neutrones: unos kilómetros de radio Presión de los neutrones Muy grande Agujero negro Nada: el colapso continúa Agujero negro Como se ha visto en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Velocidad de escape, tipos de trayectoria y balances energéticos», la velocidad de escape es : crece si hay mucha masa en poco radio. Un agujero negro es una zona donde la velocidad de escape supera c. Nada puede ir más rápido que la luz, así que nada sale, ni siquiera la luz. Dos matices.

Es una zona, no un punto: lejos de ella sí se puede escapar. Y no exige una masa enorme, sino una concentración enorme. En el centro de muchas galaxias hay agujeros negros supermasivos, de millones de masas solares. En el centro de la Vía Láctea está Sagitario A*. Existen análogos en otros campos: el agujero «sónico», del que no escapa el sonido, y el electromagnético. EJEMPLO Si , despejando queda . Para la Tierra sale menos de un centímetro: habría que comprimirla hasta ese radio. Hoy su velocidad de escape es solo 11,2 km/s. COMPRUEBA 35 ¿Por qué una estrella de neutrones no es un agujero negro aunque sea muy densa?

Big Bang, expansión y ley de Hubble En 1929, Hubble observó que la luz de las galaxias lejanas llega desplazada al rojo (efecto Doppler, véase «Bloque 3: Ondas — Fenómenos ondulatorios y efecto Doppler»). Se alejan, y más rápido cuanto más lejos están: v = e 2GM/r v = e c r = 2GM/c2 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 33 es la constante de Hubble. No es que las galaxias huyan de nosotros: el propio espacio se expande y todas se separan entre sí. Si se invierte la película, todo estuvo junto en un estado muy caliente y denso: el Big Bang. Su resto es la radiación de fondo de microondas, descubierta en 1965.

ERROR FRECUENTE Decir que el Big Bang fue una explosión desde un centro. No hay centro: la expansión ocurre en todos los puntos a la vez, y desde cualquier galaxia se vería la misma ley de Hubble. Materia oscura, energía oscura y ondas gravitacionales La materia oscura no interacciona con la luz, pero sí atrae gravitatoriamente. Se deduce de forma indirecta: Curvas de rotación de galaxias, como NGC 3198: las estrellas exteriores giran demasiado rápido para la masa visible. Movimiento de cúmulos y estructuras a gran escala. Lentes gravitacionales: la masa curva la trayectoria de la luz de objetos lejanos, como en la cruz de Einstein.

La energía oscura explica que la expansión se esté acelerando. Reparto estimado del universo: 5 % materia ordinaria, 27 % materia oscura, 68 % energía oscura. Las ondas gravitacionales son ondulaciones del espacio-tiempo previstas por la relatividad general. Hulse y Taylor descubrieron en 1974 el púlsar binario PSR B1913+16; el decaimiento de su órbita, medido entre 1978 y 1982, confirmó de forma indirecta su existencia (Nobel en 1993). LIGO las detectó directamente en septiembre de 2015 y lo anunció en febrero de 2016. CRONOLOGÍA Hitos de la cosmología COMPRUEBA 36 Si la materia oscura no emite ni refleja luz, ¿cómo puede desviarla en una lente gravitacional?

v = H d 0 H 0 1929 Hubble: las galaxias se alejan, v = H ·d 1965 Descubrimiento de la radiación de fondo de microondas 1974 Descubrimiento del púlsar binario PSR B1913+16, que luego dio la prueba indirecta de las ondas gravitacionales 2015-2016 LIGO detecta ondas gravitacionales; anuncio en febrero de 2016 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 34 Repercusión de la investigación espacial GPS: satélites con relojes atómicos; necesita correcciones relativistas para no acumular errores. Satélites de comunicaciones y meteorología. Otros miden el campo gravitatorio terrestre (GOCE, GRACE) y sus anomalías, útiles en geología.

Puntos de Lagrange: posiciones de equilibrio en el sistema Sol-Tierra. SOHO está en L1; WMAP y el James Webb, en L2. Maniobras: transferencia de Hohmann y asistencia gravitatoria ahorran combustible. Materiales y tecnologías derivadas, con impacto económico. Problema social y ambiental: la basura espacial. La gravitación también predice: las perturbaciones de la órbita de Urano llevaron a descubrir Neptuno en 1846. IDEAS CLAVE Una estrella vive en equilibrio entre gravedad y presión; su masa decide si acaba en enana blanca, estrella de neutrones o agujero negro. Un agujero negro es una zona cuya velocidad de escape supera c.

La ley de Hubble, (1929), muestra que el universo se expande; el fondo de microondas (1965) apoya el Big Bang. El universo es 5 % materia ordinaria, 27 % materia oscura y 68 % energía oscura. LIGO detectó ondas gravitacionales en septiembre de 2015 (anuncio en febrero de 2016). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 37. ¿Qué determina el final de una estrella? 38. ¿Qué indica el desplazamiento al rojo de las galaxias lejanas?

v = H d 0 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 35 10 % de los puntos del examen 7 Ley de Coulomb,intensidad de campo y líneas de campo AL ACABAR SABRÁS Aplicar la ley de Coulomb en forma vectorial a dos cargas puntuales Calcular el campo eléctrico de 2-4 cargas por superposición Dibujar las líneas de campo de una carga, un dipolo y dos cargas iguales Resolver el equilibrio de una carga colgada en un campo uniforme PIÉNSALO ANTES DE LEER 39 Si el campo eléctrico en un punto apunta hacia la derecha, ¿toda carga allí se moverá hacia la derecha? La interacción eléctrica explica por qué se atraen o repelen los cuerpos cargados.

En esta sección se estudia la fuerza entre cargas puntuales, el concepto de campo eléctrico y cómo se dibuja con líneas de campo. BLOQUE 2 Campo eléctrico 7 Ley de Coulomb, intensidad de campo y líneas de campo 8 Potencial, energía potencial y movimiento de cargas 9 Flujo eléctrico, teorema de Gauss y distribuciones continuas Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 36 ESQUEMA Campo eléctrico Carga eléctrica La carga eléctrica es la propiedad de la materia responsable de la interacción eléctrica. Hay dos tipos, llamados positiva y negativa por convenio. Sus propiedades básicas son: Cargas del mismo signo se repelen y de signo contrario se atraen.

Se conserva: en un sistema aislado la carga total no cambia. Está cuantizada: toda carga es un múltiplo de la carga elemental e = 1,60·10 ¹ C, la del protón (+) o la del electrón ( ). Millikan midió la carga del electrón en 1909 con su experimento de la gota de aceite (Nobel en 1923). Se apoyó en la relación carga/masa del electrón, obtenida por Thomson en 1897 (Nobel en 1906) estudiando los rayos catódicos de Crookes. El nombre «electrón» lo propuso Stoney en 1891. Un cuerpo se electriza cuando gana o pierde electrones y rompe su neutralidad. Puede ocurrir por frotamiento, por contacto (péndulo eléctrico, electroscopio) o por inducción.

La unidad SI de carga es el culombio (C): la carga que transporta en un segundo una corriente de 1 amperio. Ley de Coulomb Charles Coulomb midió la fuerza entre dos cargas puntuales. Su módulo es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. En forma vectorial, la fuerza que ejerce sobre es: Aquí es un vector unitario que va de hacia . Las cargas se ponen con su signo: si el producto es positivo, la fuerza sigue a (repulsión); si es negativo, va al revés (atracción).

Ley de Coulomb Fuerza entre cargas puntuales Intensidad de campo E = F/q y superposición 〰 Líneas de campo Representación gráfica de E Potencial y energía Magnitudes escalares, trabajo Movimiento de cargas Conservación de la energía Teorema de Gauss Flujo y distribuciones continuas Q 1 Q 2 = F1,2 K K = r2 Q Q 1 2 u1 4πε 1 u1 Q 1 Q 2 u1 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 37 Esquema de fuerzas de repulsión entre dos cargas positivas La constante no es universal: depende del medio. La permitividad del medio es , donde es la permitividad relativa. En el vacío (y casi igual en el aire) , así que .

Característica Qué significa Dirección La recta que une las dos cargas (fuerza central) Sentido Depende de los signos: repulsiva o atractiva A distancia No necesita ningún medio material entre las cargas Acción y reacción ; igual módulo Se parece a la ley de gravitación (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Ley de gravitación universal e intensidad de campo»), pero la gravedad siempre atrae y la fuerza eléctrica puede repeler. COMPRUEBA 40 Si duplicas la distancia entre dos cargas y duplicas una de ellas, ¿qué le pasa a la fuerza? Intensidad de campo eléctrico Una carga modifica el espacio que la rodea: crea un campo eléctrico. Cualquier otra carga colocada allí nota una fuerza.

Se describe con una magnitud vectorial, la intensidad de campo , y otra escalar, el potencial (véase «Bloque 2: Campo eléctrico — Potencial, energía potencial y movimiento de cargas»). DEFINICIÓN La intensidad de campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga positiva de prueba colocada en él: . Se mide en N/C, que equivale a V/m. Para una carga puntual , con dirigido desde hacia el punto: Este campo es radial y disminuye con el cuadrado de la distancia. Si apunta hacia fuera; si , hacia la carga.

K ε = ε ε r 0 ε r ε = 0 8,85 10 C N m 12 2 1 2 K = 4πε 0 1 9 10 N m C 9 2 2 = F12 F21 K Q Q /r 1 2 2 E = E /q F Q ur Q = E K r2 Q ur Q > 0 Q < 0 Apuntes de Física ABAU Galicia: temario, tests y formulario 38 Esquema del sentido del campo según el signo de Q Conocido el campo, la fuerza sobre cualquier carga es . ERROR FRECUENTE El sentido de lo fija la carga que crea el campo, no la que lo nota. Pero la fuerza sobre una carga negativa es opuesta al campo. Un electrón en un campo que apunta a la derecha se empuja hacia la izquierda. Equilibrio de una carga colgada en un campo uniforme Una bolita de masa y carga cuelga de un hilo en un campo horizontal uniforme. El hilo se inclina…