Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario

Enunciar la Ley de Gravitación Universal en forma vectorial explicando cada magnitud y su unidad
Calcular la fuerza gravitatoria resultante sobre una masa debida a varias masas
Calcular el peso de un cuerpo a una altura y comparar g en planetas distintos
Distinguir masa inercial y masa gravitatoria

Piénsalo antes de leer

Si la Tierra nos atrae, ¿por qué no notamos que nos atrae también una montaña o la persona de al lado?

Ver la respuesta

Porque la constante G es tan pequeña que la fuerza solo es apreciable cuando una de las masas es enorme, como un planeta.

La gravedad es la interacción que hace caer una manzana, mantiene la Luna en órbita y da peso a los cuerpos. Newton la resumió en una sola ley válida para cualquier par de cuerpos con masa. Esta sección explica esa ley, cómo se suman varias fuerzas gravitatorias y de dónde sale el peso.

Esquema

Campo gravitatorio

🍎Ley de GravitaciónFuerza, superposición y peso

🌍Campo gravitatorio gFuerza por unidad de masa

⚡Energía potencialFuerza conservativa, W = −ΔEp

🛰️SatélitesÓrbitas, energía, escape

Potencial gravitatorioSuperficies equipotenciales

🌀Momento angularFuerzas centrales, conservación

🪐Leyes de KeplerÓrbitas planetarias

🌌CosmologíaAgujeros negros, materia oscura

La Ley de Gravitación Universal

Dos partículas con masa se atraen siempre. La fuerza crece con el producto de sus masas y disminuye con el cuadrado de la distancia entre ellas. En forma vectorial:

\vec{F} = -G\,\frac{M\,m}{r^2}\,\vec{u}_r

Símbolo	Significado	Unidad SI
$\vec{F}$	Fuerza que M ejerce sobre m	N
G	Constante de gravitación universal	$N\cdot m^2/kg^2$
M, m	Masas: M es la que crea la fuerza, m la que la sufre	kg
r	Distancia entre los centros de las masas	m
$\vec{u}_r$	Vector unitario de M hacia m	sin unidad

El vector unitario $\vec{u}_r$ tiene módulo 1 y solo indica una dirección: la de la recta que une las masas, apuntando desde M hacia m. El signo menos indica que la fuerza es atractiva: apunta en sentido contrario a $\vec{u}_r$ , es decir, de m hacia M.

La constante vale G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg². Es la misma en todo el universo y no depende del medio. Es tan pequeña que la atracción entre objetos cotidianos no se nota. Solo es apreciable si al menos una de las masas es enorme, como un planeta.

Esquema de las fuerzas de atracción mutua entre dos masas.

Otras características de la fuerza gravitatoria:

Actúa a distancia: no hace falta contacto.
Es un par de acción y reacción (tercera ley de Newton): la fuerza de M sobre m y la de m sobre M tienen igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos.
Para esferas homogéneas, como los planetas, r se mide desde su centro.

Ejemplo

Dos personas de 70 kg separadas 1 m: $F = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{70\cdot70}{1^2} \approx 3{,}3\cdot10^{-7}\ N$ . Es una fuerza ridícula; por eso no notamos la atracción entre personas.

Comprueba

Si la distancia entre dos masas se triplica, ¿qué ocurre con la fuerza?

Principio de superposición

Si sobre una masa actúan varias masas a la vez, cada una ejerce su fuerza como si las demás no existieran. La fuerza resultante es la suma vectorial de todas:

\vec{F}_{total} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n

Dibuja las masas en unos ejes y, sobre la masa estudiada, una flecha hacia cada masa que la atrae.
Calcula el módulo de cada fuerza con $F = GMm/r^2$ .
Descompón cada fuerza en componentes x e y según su dirección (usa senos, cosenos o el vector unitario).
Suma por separado las componentes x y las componentes y.
Da el vector resultante y, si lo piden, su módulo con Pitágoras.

Ejemplo

Una masa m = 1 kg está en el origen. Hay una masa de 2 kg en (1, 0) m y otra de 3 kg en (0, 1) m.

1) La primera tira de m hacia +x; la segunda, hacia +y.

2) $F_1 = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 2/1^2 = 1{,}33\cdot10^{-10}\ N$ ; $F_2 = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 3/1^2 = 2{,}00\cdot10^{-10}\ N$ .

3-4) $\vec{F} = (1{,}33\,\vec{i} + 2{,}00\,\vec{j})\cdot10^{-10}\ N$ .

5) $|\vec{F}| = \sqrt{1{,}33^2+2{,}00^2}\cdot10^{-10} \approx 2{,}4\cdot10^{-10}\ N$ .

Error frecuente

Sumar los módulos de las fuerzas directamente (1,33 + 2,00). Solo se suman así si tienen la misma dirección y sentido. En cualquier otro caso, suma componentes.

El peso y su variación con la altura

El peso es la fuerza con que un planeta atrae a un cuerpo situado cerca de él. Igualando la ley de gravitación con la segunda ley de Newton ( $P = mg$ ) en la superficie:

m\,g_0 = G\frac{M\,m}{R^2} \Rightarrow g_0 = G\frac{M}{R^2}

Para la Tierra, con M_T ≈ 5,97·10²⁴ kg y R_T ≈ 6370 km, sale g₀ ≈ 9,8 m/s². La g es la intensidad del campo gravitatorio, que se estudia en «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Campo gravitatorio: intensidad y líneas de campo».

A una altura h sobre la superficie, la distancia al centro es R + h:

P = G\frac{M\,m}{(R+h)^2}

El peso disminuye al subir. Si $h \ll R$ , el cambio es despreciable y se usa $P = mg_0$ . La masa no cambia nunca; lo que cambia es el peso.

Ejemplo: planeta con doble masa e igual radio

$g' = G\frac{2M}{R^2} = 2g_0$ : un cuerpo pesa el doble. Si el planeta tuviera igual masa y doble radio: $g' = G\frac{M}{(2R)^2} = g_0/4$ . Razona siempre con cocientes: lo que no cambia se simplifica.

Error frecuente

Usar el diámetro en lugar del radio: si te dan 12740 km de diámetro, R = 6370 km.
Dejar r en km: pásalo siempre a metros (6370 km = 6,37·10⁶ m).
Poner la altura h como r: r es la distancia al centro, r = R + h.

Comprueba

¿A qué altura sobre la Tierra el peso de un cuerpo es la cuarta parte que en la superficie?

Masa inercial y masa gravitatoria

La palabra masa aparece en dos leyes con papeles distintos:

Concepto	Ley donde aparece	Qué mide
Masa inercial	$F = m_i\,a$	La resistencia del cuerpo a cambiar su velocidad
Masa gravitatoria	$F = GMm_g/r^2$	Cuánto atrae y es atraído gravitatoriamente

Los experimentos muestran que ambas masas son iguales. Por eso, al igualar $m_i a = GMm_g/r^2$ , la masa se simplifica: todos los cuerpos caen con la misma aceleración en el vacío, sea una pluma o una piedra.

Comprueba

Si la masa inercial de un cuerpo fuera el doble que su gravitatoria, ¿cómo caería respecto a los demás?

Ideas clave

La fuerza gravitatoria es $\vec{F} = -GMm/r^2\,\vec{u}_r$ : siempre atractiva y dirigida según la recta que une las masas.
G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² es universal y muy pequeña: la gravedad solo se nota con masas enormes.
Con varias masas, la fuerza total es la suma vectorial de cada fuerza, calculada por componentes.
El peso a una altura h es $GMm/(R+h)^2$ ; en la superficie $P = mg_0$ con g₀ ≈ 9,8 m/s².
La masa inercial y la gravitatoria son iguales, por eso todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

Comprueba lo que has aprendido

¿Qué indica el signo menos de la ley vectorial?

Que la fuerza tiene sentido contrario a

\vec{u}_r

, es decir, es atractiva hacia la masa que la crea.

¿Cuánto vale g en un planeta de igual masa que la Tierra y la mitad de radio?

g = GM/(R/2)^2 = 4g_0

, unos 39 m/s².

Repaso rápido

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Si ambas masas se duplican y la distancia no cambia, ¿la fuerza?

Estos apuntes pueden contener errores u omisiones. Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Más información