Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario

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APUNTES FÍSICA EBAU Extremadura AprenAI 2026-2027 Física de 2.º de Bachillerato para la EBAU de Extremadura: los 4 bloques en 38 temas, con esquemas, test en cada tema y un formulario final para repasar.

APREN.AI Índice Bloque A.1: Interacción gravitatoria 1 Ley de Gravitación Universal y peso 8 La Ley de Gravitación Universal 9 Principio de superposición 10 El peso y su variación con la altura 11 Masa inercial y masa gravitatoria 12 2 Campo gravitatorio: intensidad y líneas de campo 13 Qué es un campo 13 Intensidad del campo gravitatorio 13 Líneas de campo 14 Principio de superposición 15 Punto de campo nulo entre dos masas 16 Campo gravitatorio terrestre y variación con la altura 16 3 Fuerzas conservativas y energía potencial gravitatoria 19 Fuerzas conservativas y no conservativas 19 Energía potencial y trabajo del campo 19 Energía potencial gravitatoria: deducción y signo 20 Energía mecánica y su conservación 21 La aproximación y su validez 22 4 Potencial gravitatorio y superficies equipotenciales 23 Potencial gravitatorio de una masa puntual 23 Potencial de varias masas 24 Diferencia de potencial y trabajo 25 Superficies equipotenciales 26 Relación entre g y V 27 5 Fuerzas centrales y momento angular 28 Fuerzas centrales 28 Momento de una fuerza 28 Momento angular 29 Conservación del momento angular 29 Aplicación: perihelio y afelio 31 Bloque A.2: Aplicaciones de la gravitación 6 Leyes de Kepler 33 De Ptolomeo a Newton: cómo se llegó a las leyes 33 E = p mgh Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 1 Primera ley: ley de las órbitas 34 Segunda ley: ley de las áreas 34 Tercera ley: ley de los periodos 35 7 Satélites: órbitas, energía y velocidad de escape 37 Del planeta al satélite: la gravedad como fuerza centrípeta 37 Velocidad orbital y periodo 37 Energía de un satélite en órbita circular 38 Energía para cambiar de órbita y para poner un satélite en órbita 39 Velocidad de escape 40 Energía y tipo de trayectoria 40 Satélites artificiales y órbita geoestacionaria 41 8 Introducción a la cosmología y la astrofísica 42 La gravedad como motor del universo 43 Agujeros negros 44 Materia oscura y ondas gravitacionales 45 Repercusión de la investigación espacial 45 Bloque B.1: Campo eléctrico 9 Carga eléctrica y ley de Coulomb 47 La carga eléctrica y sus propiedades 48 Ley de Coulomb 49 Principio de superposición 50 10 Intensidad de campo eléctrico y líneas de campo 51 Qué es el campo eléctrico 52 Fuerza sobre una carga: F = qE 52 Campo creado por una carga puntual 53 Campo de varias cargas: principio de superposición 53 Líneas de campo 54 11 Flujo eléctrico y teorema de Gauss 57 Flujo eléctrico 57 Teorema de Gauss 58 Conductores en equilibrio y jaula de Faraday 59 12 Energía potencial eléctrica, potencial y trabajo 60 Energía potencial eléctrica 61 Potencial eléctrico y superposición 62 Diferencia de potencial y trabajo 62 Superficies equipotenciales 63 13 Movimiento de cargas en un campo eléctrico uniforme 66 Fuerza y aceleración en un campo uniforme 66 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 2 Relación entre campo y diferencia de potencial 67 Aceleración por una diferencia de potencial 67 El electronvoltio 68 Desviación: trayectoria parabólica 68 14 Analogías y diferencias entre campo gravitatorio y electrostático 70 Tabla comparativa 70 Tres analogías para memorizar 71 Tres diferencias para memorizar 72 Bloque B.2: Campo magnético 15 Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas 74 Imanes, materiales y la experiencia de Oersted 75 La fuerza de Lorentz y el vector B 76 Movimiento de una carga en un campo B uniforme 77 Campos E y B a la vez: selector, espectrómetro y ciclotrón 78 16 Campo creado por cargas y corrientes: Biot-Savart y Ampère 79 De dónde sale el campo magnético: cargas en movimiento 80 Ley de Biot y Savart 80 B no es conservativo: ley de Ampère 82 Dos hilos paralelos: campo total y puntos con B = 0 84 17 Fuerzas sobre corrientes y comparación de campos 85 Fuerza sobre un conductor rectilíneo: ley de Laplace 86 Fuerza entre dos hilos paralelos 87 Par sobre una espira y motor eléctrico 88 Comparación entre campo eléctrico y magnético 88 Bloque B.2: Inducción electromagnética 18 Flujo magnético y leyes de Faraday y Lenz 90 Las experiencias de Faraday y Henry 91 Flujo magnético 92 Leyes de Faraday y de Lenz 93 Tres maneras de inducir una fem 94 19 Generadores, motores y transformadores 95 Generadores eléctricos: alternador y dinamo 96 El transformador 97 Transporte de energía a alta tensión 98 Bloque C.1: Vibraciones y ondas 20 Movimiento armónico simple 100 Ecuación del movimiento y sus parámetros 101 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 3 Velocidad y aceleración 102 Dinámica: el muelle y la ley de Hooke 103 Energía del m.a.s.

103 21 Ondas mecánicas y ecuación de la onda armónica 106 Qué es una onda y cómo se clasifica 107 Magnitudes de una onda armónica 109 Ecuación de la onda armónica 110 Doble periodicidad, fase y diferencia de fase 111 Velocidad de propagación y velocidad de vibración 111 22 Energía, intensidad y fenómenos ondulatorios 113 Energía que transporta una onda 113 Intensidad de una onda 114 Atenuación frente a absorción 115 Principio de Huygens 115 Interferencia 116 Fenómenos ondulatorios en la naturaleza 117 23 Superposición y ondas estacionarias 118 Principio de superposición 118 La onda estacionaria: ecuación y amplitud 119 Nodos y vientres 119 Onda estacionaria frente a onda viajera 120 Extraer datos de la ecuación de examen 120 Cuerda fija por ambos extremos: armónicos 121 Bloque C.2: El sonido 24 Naturaleza, cualidades y nivel de intensidad sonora 124 El sonido como onda de presión 125 Intensidad y nivel de intensidad sonora 125 Cualidades del sonido 127 Niveles cotidianos, contaminación acústica y aplicaciones 128 25 Efecto Doppler 129 Qué es el efecto Doppler 130 Fórmula general y convenio de signos 130 Ejemplo: el tren que pasa 131 Ondas de choque 131 Bloque C.2: La luz 26 Ondas electromagnéticas, espectro y naturaleza de la luz 133 La síntesis de Maxwell 134 Cómo es una onda electromagnética 134 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 4 Propagación en distintos medios 135 El espectro electromagnético 135 El debate sobre la naturaleza de la luz 136 27 Reflexión, refracción y reflexión total 137 Qué ocurre cuando la luz llega a otro medio 138 Índice de refracción y leyes de Snell 138 Qué cambia y qué no: frecuencia, velocidad y longitud de onda 139 Ángulo límite y reflexión total 140 Tres medios: una lámina 141 Dispersión cromática y polarización 141 Bloque C.2: Óptica geométrica 28 Convenio DIN, dioptrios y espejos 143 Conceptos básicos 144 Aproximación paraxial y convenio DIN 1335 145 Dioptrio esférico: invariante de Abbe 145 Dioptrio plano: profundidad aparente 145 Espejo plano 146 Espejos esféricos: ecuación y aumento 146 Trazado de rayos principales 146 29 Lentes delgadas 148 Qué es una lente delgada 148 Ecuación de las lentes, aumento y potencia 149 Ecuación del fabricante de lentes 150 Trazado de rayos 150 Método fijo para resolver problemas 152 30 Sistemas ópticos: el ojo y los instrumentos 154 Idea clave de los sistemas ópticos 154 El ojo humano 154 Defectos visuales y su corrección 155 La lupa 157 La cámara fotográfica 158 Otros instrumentos 158 Bloque D.1: Física moderna 31 Relatividad especial 160 De Galileo a la crisis de la física clásica 161 Los postulados de Einstein (1905) 162 El factor de Lorentz 162 Dilatación del tiempo 163 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 5 Contracción de longitudes 163 Energía y momento relativistas 164 32 Insuficiencia de la física clásica y cuantización de Planck 166 Tres fenómenos que la física clásica no explicaba 166 La radiación del cuerpo negro 167 La catástrofe ultravioleta 169 La hipótesis de Planck 169 Energía de un fotón: cálculo en J y en eV 170 33 Efecto fotoeléctrico 171 Qué es el efecto fotoeléctrico y cómo se observa 171 Hechos experimentales frente a la física clásica 172 La explicación de Einstein (1905) 173 La gráfica Ec,máx–f y la medida de h 174 Método para resolver problemas 175 34 Espectros, dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre 177 Espectros atómicos: la luz como huella de cada elemento 177 El modelo de Bohr (1913) 178 Dualidad onda-corpúsculo: hipótesis de De Broglie (1924) 179 Principio de indeterminación de Heisenberg (1927) 180 Bloque D.2: Física nuclear 35 El núcleo: defecto de masa y energía de enlace 182 Composición del núcleo 183 La interacción nuclear fuerte 184 Defecto de masa y energía de enlace 184 Energía de enlace por nucleón y curva de estabilidad 185 36 Radiactividad y ley de desintegración 187 Qué es la radiactividad y cómo se descubrió 187 Tipos de emisión 188 Ley de desintegración radiactiva 190 Actividad, periodo de semidesintegración y vida media 191 37 Reacciones nucleares, fisión, fusión y aplicaciones 193 Reacciones nucleares: qué se conserva 193 Balance energético: Q = Δm·c² 194 Fisión nuclear y reacción en cadena 194 Fusión nuclear 197 Aplicaciones de los radioisótopos 198 Residuos y seguridad 198 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 6 38 Bloque D.2: Física de partículas — Partículas elementales e interacciones fundamentales 199 Las partículas elementales del modelo estándar 199 Del quark al átomo 200 Las cuatro interacciones fundamentales 201 ¿Qué engloba el modelo estándar?

201 39 Formulario 203 A.1 Interacción gravitatoria 203 B.1 Campo eléctrico 204 B.2 Campo magnético e inducción 204 C.1 Vibraciones y ondas; C.2 Sonido 205 C.2 La luz y óptica geométrica 205 D Física moderna, nuclear y de partículas 206 Constantes y valores 207 Errores típicos 207 Soluciones de las preguntas de repaso 208 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 7 19 % de los puntos del examen 1 Ley de Gravitación Universal y peso AL ACABAR SABRÁS Enunciar la Ley de Gravitación Universal en forma vectorial explicando cada magnitud y su unidad Calcular la fuerza gravitatoria resultante sobre una masa debida a varias masas Calcular el peso de un cuerpo a una altura y comparar g en planetas distintos Distinguir masa inercial y masa gravitatoria PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si la Tierra nos atrae, ¿por qué no notamos que nos atrae también una montaña o la persona de al lado?

La gravedad es la interacción que hace caer una manzana, mantiene la Luna en órbita y da peso a los cuerpos. Newton la resumió en una sola ley válida para cualquier par de cuerpos con masa. Esta sección explica esa ley, cómo se suman varias fuerzas gravitatorias y de dónde sale el peso.

BLOQUE A.1 Interacción gravitatoria 1 Ley de Gravitación Universal y peso 2 Campo gravitatorio: intensidad y líneas de campo 3 Fuerzas conservativas y energía potencial gravitatoria 4 Potencial gravitatorio y superficies equipotenciales 5 Fuerzas centrales y momento angular Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 8 ESQUEMA Campo gravitatorio La Ley de Gravitación Universal Dos partículas con masa se atraen siempre. La fuerza crece con el producto de sus masas y disminuye con el cuadrado de la distancia entre ellas.

En forma vectorial: Símbolo Significado Unidad SI Fuerza que M ejerce sobre m N G Constante de gravitación universal M, m Masas: M es la que crea la fuerza, m la que la sufre kg r Distancia entre los centros de las masas m Vector unitario de M hacia m sin unidad El vector unitario tiene módulo 1 y solo indica una dirección: la de la recta que une las masas, apuntando desde M hacia m. El signo menos indica que la fuerza es atractiva: apunta en sentido contrario a , es decir, de m hacia M. La constante vale G = 6,67·10 ¹¹ N·m²/kg². Es la misma en todo el universo y no depende del medio. Es tan pequeña que la atracción entre objetos cotidianos no se nota.

Solo es apreciable si al menos una de las masas es enorme, como un planeta. Ley de Gravitación Fuerza, superposición y peso Campo gravitatorio g Fuerza por unidad de masa Energía potencial Fuerza conservativa, W = ΔEp Satélites Órbitas, energía, escape Potencial gravitatorio Superficies equipotenciales Momento angular Fuerzas centrales, conservación Leyes de Kepler Órbitas planetarias Cosmología Agujeros negros, materia oscura = F G r2 M m ur F N m /kg 2 2 ur ur ur Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 9 Esquema de las fuerzas de atracción mutua entre dos masas. Otras características de la fuerza gravitatoria: Actúa a distancia: no hace falta contacto.

Es un par de acción y reacción (tercera ley de Newton): la fuerza de M sobre m y la de m sobre M tienen igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos. Para esferas homogéneas, como los planetas, r se mide desde su centro. EJEMPLO Dos personas de 70 kg separadas 1 m: . Es una fuerza ridícula; por eso no notamos la atracción entre personas. COMPRUEBA 2 Si la distancia entre dos masas se triplica, ¿qué ocurre con la fuerza? Principio de superposición Si sobre una masa actúan varias masas a la vez, cada una ejerce su fuerza como si las demás no existieran.

La fuerza resultante es la suma vectorial de todas: F = 6,67 10 11 12 70 70 3,3 10 N 7 = Ftotal + F1 + F2 + Fn Dibuja las masas en unos ejes y, sobre la masa estudiada, una flecha hacia cada masa que la atrae. 1 Calcula el módulo de cada fuerza con . 2 F = GMm/r2 Descompón cada fuerza en componentes x e y según su dirección (usa senos, cosenos o el vector unitario). 3 Suma por separado las componentes x y las componentes y. 4 Da el vector resultante y, si lo piden, su módulo con Pitágoras. 5 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 10 EJEMPLO Una masa m = 1 kg está en el origen. Hay una masa de 2 kg en (1, 0) m y otra de 3 kg en (0, 1) m.

1) La primera tira de m hacia +x; la segunda, hacia +y. 2) ; . 3-4) . 5) . ERROR FRECUENTE Sumar los módulos de las fuerzas directamente (1,33 + 2,00). Solo se suman así si tienen la misma dirección y sentido. En cualquier otro caso, suma componentes. El peso y su variación con la altura El peso es la fuerza con que un planeta atrae a un cuerpo situado cerca de él. Igualando la ley de gravitación con la segunda ley de Newton ( ) en la superficie: Para la Tierra, con M_T 5,97·10² kg y R_T 6370 km, sale g 9,8 m/s². La g es la intensidad del campo gravitatorio, que se estudia en «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Campo gravitatorio: intensidad y líneas de campo».

A una altura h sobre la superficie, la distancia al centro es R + h: El peso disminuye al subir. Si , el cambio es despreciable y se usa . La masa no cambia nunca; lo que cambia es el peso. EJEMPLO: PLANETA CON DOBLE MASA E IGUAL RADIO : un cuerpo pesa el doble. Si el planeta tuviera igual masa y doble radio: . Razona siempre con cocientes: lo que no cambia se simplifica. ERROR FRECUENTE Usar el diámetro en lugar del radio: si te dan 12740 km de diámetro, R = 6370 km. Dejar r en km: pásalo siempre a metros (6370 km = 6,37·10 m). Poner la altura h como r: r es la distancia al centro, r = R + h.

COMPRUEBA 3 ¿A qué altura sobre la Tierra el peso de un cuerpo es la cuarta parte que en la superficie?

F = 1 6,67 10 11 2/1 = 2 1,33 10 N 10 F = 2 6,67 10 11 3/1 = 2 2,00 10 N 10 = F (1,33 + i 2,00 ) j 10 N 10 = F 1,33 + 2,00 2 2 10 10 2,4 10 N 10 P = mg m g = 0 G R2 M m g = 0 G R2 M P = G (R + h)2 M m h R P = mg 0 g = G = R2 2M 2g 0 g = G = (2R)2 M g /4 0 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 11 Masa inercial y masa gravitatoria La palabra masa aparece en dos leyes con papeles distintos: Concepto Ley donde aparece Qué mide Masa inercial La resistencia del cuerpo a cambiar su velocidad Masa gravitatoria Cuánto atrae y es atraído gravitatoriamente Los experimentos muestran que ambas masas son iguales.

Por eso, al igualar , la masa se simplifica: todos los cuerpos caen con la misma aceleración en el vacío, sea una pluma o una piedra. COMPRUEBA 4 Si la masa inercial de un cuerpo fuera el doble que su gravitatoria, ¿cómo caería respecto a los demás? IDEAS CLAVE La fuerza gravitatoria es : siempre atractiva y dirigida según la recta que une las masas. G = 6,67·10 ¹¹ N·m²/kg² es universal y muy pequeña: la gravedad solo se nota con masas enormes. Con varias masas, la fuerza total es la suma vectorial de cada fuerza, calculada por componentes. El peso a una altura h es ; en la superficie con g 9,8 m/s².

La masa inercial y la gravitatoria son iguales, por eso todos los cuerpos caen con la misma aceleración. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Qué indica el signo menos de la ley vectorial? 6. ¿Cuánto vale g en un planeta de igual masa que la Tierra y la mitad de radio?

F = m a i F = GMm /r g 2 m a = i GMm /r g 2 = F GMm/r 2 ur GMm/(R + h)2 P = mg 0 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 12 19 % de los puntos del examen BLOQUE A.1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 2 Campo gravitatorio: intensidad y líneas de campo AL ACABAR SABRÁS Calcular vectorialmente el campo gravitatorio creado por una o varias masas en un punto Determinar el punto donde se anula el campo entre dos masas Calcular g a una altura h a partir de g y el radio terrestre Dibujar e interpretar las líneas de campo de una y de dos masas PIÉNSALO ANTES DE LEER 7 Un astronauta en la Estación Espacial flota. ¿Significa eso que allí no hay gravedad?

Qué es un campo Dos masas se atraen aunque no se toquen. Para explicar esa acción a distancia la física usa la idea de campo. La interacción se describe en dos pasos: primero la masa fuente modifica el espacio que la rodea; después, ese espacio modificado actúa sobre cualquier otra masa que se coloque en él. DEFINICIÓN Un campo es una perturbación del espacio creada por una magnitud (aquí, la masa). A cada punto del espacio le asigna un valor de una magnitud física. Si ese valor es un vector, como una fuerza, hablamos de campo vectorial o campo de fuerzas. El campo gravitatorio se describe con dos magnitudes. La intensidad de campo es un vector y se dibuja con líneas de campo.

El potencial es un escalar y se dibuja con superficies equipotenciales (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Potencial gravitatorio y superficies equipotenciales»). En la física clásica el campo se considera instantáneo. La relatividad corrige esto: ninguna perturbación del campo viaja más rápido que la luz. La idea de campo la propuso Faraday y la desarrolló Maxwell para el electromagnetismo. Hoy no se ve solo como un truco matemático: el campo tiene entidad física propia. Intensidad del campo gravitatorio La fuerza gravitatoria entre dos masas depende de las dos (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso»).

Queremos una magnitud que describa solo lo que hace la masa fuente . La solución es dividir la fuerza entre la masa de prueba . DEFINICIÓN La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa colocada en ese punto. g M m Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 13 Cada símbolo significa: = 6,67·10 ¹¹ N·m²/kg², la constante de gravitación. : distancia desde el centro de la masa fuente hasta el punto. : vector unitario que sale de y apunta hacia el punto. El signo menos indica que apunta al revés que , es decir, hacia la masa: el campo es atractivo. El módulo es .

Sus características: Dirección: radial, la recta que une con el punto. Por eso es un campo central. Sentido: siempre hacia la masa que crea el campo. Módulo: disminuye con el cuadrado de la distancia. Unidades: N/kg, que equivalen a m/s². Esquema de la obtención de g a partir de la fuerza Si conocemos el campo, la fuerza sobre cualquier masa es inmediata: . Y como por la segunda ley de Newton , resulta . La intensidad de campo coincide con la aceleración de caída de cualquier cuerpo situado allí, sea cual sea su masa. ERROR FRECUENTE Pensar que depende de la masa de prueba . La fuerza sí depende de , pero se cancela al dividir. El campo solo depende de la masa fuente y de la distancia.

Otro fallo típico: escribir sin el signo menos o sin vector unitario cuando el examen pide la expresión vectorial. COMPRUEBA 8 En un punto del espacio g = 4 N/kg. ¿Qué fuerza sufre una masa de 3 kg y con qué aceleración cae? Líneas de campo Las líneas de campo (o líneas de fuerza) dibujan el vector campo. Se leen con tres reglas: El vector es tangente a la línea en cada punto. La flecha de la línea da el sentido del campo. = g = m F G r2 M ur G r ur M g ur g = GM/r2 M = F m g = F ma = a g g m m m g g Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 14 La densidad de líneas indica el módulo: el número de líneas por unidad de superficie es proporcional a .

Una masa aislada: las líneas son radiales y llegan desde el infinito hasta la masa. Se juntan al acercarse, porque el campo crece. Son abiertas: nacen en el infinito y mueren en la masa. Nunca se cortan, porque en cada punto el campo tiene un único valor. Esquema de las líneas de campo radiales de la Tierra Dos masas: lejos de ambas, las líneas parecen las de una sola masa igual a la suma. Entre ellas las líneas se curvan y van a parar a una u otra. En el segmento que las une existe un punto sin líneas: allí el campo es nulo (lo calculamos después). Si las masas son distintas, ese punto está más cerca de la pequeña. El campo determina el movimiento de otras masas.

Una masa soltada en reposo se acelera en la dirección de , hacia la masa fuente. Si tiene velocidad lateral, la fuerza curva su trayectoria; puede describir una órbita (véase «Bloque A.2: Aplicaciones de la gravitación — Satélites: órbitas, energía y velocidad de escape»). Ojo: una partícula con velocidad no sigue necesariamente una línea de campo; las líneas marcan la aceleración, no la trayectoria. COMPRUEBA 9 ¿Por qué dos líneas de campo gravitatorio no pueden cruzarse? Principio de superposición Con varias masas, cada una crea su campo como si estuviera sola.

El campo total es la suma vectorial de los campos individuales: Es la misma idea que la superposición de fuerzas vista en «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso». g g = g + g1 + g2 + gn Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 15 EJEMPLO Dos masas de 100 kg están en (0, 0) m y (2, 0) m. Calculamos g en P(0, 2) m. Masa 1: distancia 2 m. N/kg, hacia abajo: . Masa 2: distancia m, . N/kg. Apunta de P a (2, 0): dirección . Componentes: . Suma: N/kg. Módulo: N/kg. Con tres masas el método es idéntico: un vector más en la suma. Punto de campo nulo entre dos masas Entre dos masas, sus campos apuntan en sentidos opuestos.

Hay un punto donde se anulan. Fuera del segmento no puede ser: allí ambos campos apuntan hacia el mismo lado. Si y están separadas una distancia y el punto está a de , imponemos módulos iguales: EJEMPLO Una masa M = 4 kg y otra M = 1 kg están a 3 m. G se simplifica. , así que y m. El punto está a 2 m de la masa grande y a 1 m de la pequeña, como esperábamos. Al tomar la raíz, usa solo la positiva: la negativa da un punto fuera del segmento, donde los campos no se anulan. COMPRUEBA 10 Si las dos masas fueran iguales, ¿dónde estaría el punto de campo nulo? Campo gravitatorio terrestre y variación con la altura La Tierra es casi esférica.

Desde fuera, una esfera con la masa bien repartida crea el mismo campo que una masa puntual situada en su centro. Por eso las distancias se miden siempre desde el centro de la Tierra. En la superficie: Dibuja las masas y el punto P. Elige ejes. 1 Para cada masa, calcula el módulo , con su distancia a P. 2 g = i GM /r i i 2 r i Dibuja cada en P apuntando hacia su masa. 3 gi Descompón cada vector en componentes x e y. 4 Suma componentes y, si se pide, calcula el módulo total.

5 g = 1 6,67 10 11 100/4 = 1,67 10 9 = g1 1,67 10 9 j 8 r = 2 8 g = 2 6,67 10 11 100/8 = 8,34 10 10 ( i )/ j 2 5,90 10 10 i 5,90 10 10 j = g 5,90 10 10 i 2,26 10 9 j g 2,34 10 9 M 1 M 2 d x M 1 = x2 GM 1 (d x)2 GM 2 = x d x M 1 M 2 (3 x)/x = = 1/4 1/2 6 2x = x x = 2 M Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 16 Con R_T 6370 km y M_T 5,97·10² kg sale g 9,8 m/s². Es un valor medio: el valor exacto cambia de un punto a otro, porque la Tierra no es una esfera perfecta ni homogénea. La variación de g con la altura (con ) se explica en «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso».

Resultado: Esta fórmula es útil cuando el problema da g y R pero no M ni G. EJEMPLO A h = R (6370 km de altura), m/s². A h = 400 km: m/s². Situación Cerca de la superficie (h R) En órbita (h comparable a R) Distancia al centro , hay que usarla Valor de g Prácticamente constante, 9,8 m/s² Menor, según Campo Uniforme: líneas paralelas Radial: líneas convergentes Uso típico Caída libre, tiro parabólico Satélites, estaciones espaciales ERROR FRECUENTE Errores con y con las unidades: véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso».

g = 0 G R T 2 M T h r = R + h g = g 0 (R + h)2 R2 g = 9,8 R /(2R) = 2 2 9,8/4 = 2,45 g = 9,8 (6370/6770) 2 8,7 R + h R R + h g R /(R + 0 2 h)2 r = R + h Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 17 EBAU · 2023, ORDINARIA 3) Diga si la siguiente frase es CIERTA o FALSA y razone la respuesta: «El potencial gravitatorio creado por una masa , en un punto situado a una distancia , es una magnitud vectorial proporcional a la masa ». [2 puntos] Resolución FALSA. Hay que decidir de qué tipo es el potencial.

El potencial en un punto es la energía potencial por unidad de masa colocada allí: Es el cociente de dos escalares (energía entre masa), luego es un escalar, negativo, no un vector. Sí es proporcional a M, pero calificarlo de vectorial hace falsa la frase. La magnitud vectorial del campo es la intensidad , que también es proporcional a M pero varía con . AHORA TÚ Cierta o falsa: «La intensidad del campo gravitatorio en un punto depende de la masa del cuerpo que colocamos en él». Primer paso: escribe la definición, , y la fuerza de gravitación . Te toca: divide, observa qué ocurre con m y decide.

Solución: 11 IDEAS CLAVE El campo gravitatorio es la perturbación que una masa crea en el espacio; actúa sobre cualquier otra masa. La intensidad es la fuerza por unidad de masa y se mide en N/kg = m/s². g no depende de la masa de prueba y coincide con la aceleración de caída. Las líneas de campo son tangentes a g, apuntan a la masa, no se cortan y su densidad indica el módulo. Con varias masas, el campo total es la suma vectorial; entre dos masas hay un punto de campo nulo más cerca de la menor. Con la altura, : midiendo siempre desde el centro de la Tierra. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Cuánto vale g a una altura igual a tres radios terrestres? 13.

¿Por qué las unidades N/kg y m/s² son equivalentes? M r M V (r) = G r M = g GM/r 2 ur 1/r2 = g /m F F = GMm/r2 = g GM/r 2 ur g = g R /(R + 0 2 h)2 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 18 19 % de los puntos del examen BLOQUE A.1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 3 Fuerzas conservativas y energía potencial gravitatoria AL ACABAR SABRÁS Definir fuerza conservativa y justificar que la gravitatoria lo es. Deducir Ep = GMm/r con origen en el infinito y explicar su signo negativo. Plantear balances de energía mecánica para hallar velocidades o alturas en un campo gravitatorio. Justificar cuándo es válida la aproximación ΔEp = mgh.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 14 ¿Por qué la energía potencial gravitatoria de un satélite es negativa, si está muy alto? Fuerzas conservativas y no conservativas Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo que se desplaza, realiza un trabajo: transfiere energía al cuerpo o se la quita. La pregunta clave es si ese trabajo depende del recorrido. DEFINICIÓN Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo no depende de la trayectoria, solo de los puntos inicial y final. Por eso, en una trayectoria cerrada su trabajo es nulo. Las dos propiedades son equivalentes. Si ir de A a B cuesta lo mismo por cualquier camino, volver de B a A da el trabajo opuesto. La ida y la vuelta suman cero.

El trabajo de la gravedad por un camino curvo es igual que por uno recto entre los mismos puntos. La fuerza gravitatoria es conservativa, igual que la elástica y la eléctrica. Una fuerza es no conservativa si su trabajo sí depende del camino. El rozamiento es el caso típico. Arrastrar una caja por un camino largo disipa más energía que por uno corto. En un recorrido cerrado su trabajo no es cero: siempre es negativo. COMPRUEBA 15 Una caja da una vuelta completa por una mesa con rozamiento. ¿Es cero el trabajo total del rozamiento? ¿Y el del peso?

Energía potencial y trabajo del campo Como el trabajo de una fuerza conservativa solo depende de los extremos, podemos asignar a cada punto un número: la energía potencial . Es la energía almacenada en el trabajo hecho contra la fuerza conservativa. Es una magnitud escalar y se mide en julios. E p W (A campo B) = ΔE = p E p,A E p,B Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 19 Solo las diferencias de energía potencial tienen sentido físico. El valor en un punto concreto depende de dónde pongamos el cero, que elegimos libremente. Además, no existe una fórmula única de : cada fuerza conservativa (elástica, gravitatoria, eléctrica) tiene la suya.

Signos del trabajo El signo indica quién hace el trabajo. En la tabla, W es siempre el trabajo del campo. Situación W del campo Quién trabaja Ejemplo Movimiento espontáneo Negativa Positivo El propio campo Una manzana que cae del árbol Movimiento forzado Positiva Negativo Un agente externo, contra el campo Subir una mochila a un estante Cuando trabaja el campo, la partícula pierde y gana energía cinética. Cuando trabaja un agente externo, la partícula gana . El trabajo externo, sin variar la energía cinética, vale .

PROCESO Signo del trabajo gravitatorio 1 Movimien to espontáneo La partícula cae ha cia la masa que crea el campo 2 Trabaja el campo W positivo, Ep dismi nuye y la energía ci nética aumenta 3 Movimien to forzado Un agente externo aleja la partícula con tra la atracción 4 Trabajo contra el campo W del campo negati vo y la Ep aumenta Energía potencial gravitatoria: deducción y signo Consideramos una masa M fija y una partícula de masa m a distancia r. La fuerza sigue la Ley de Gravitación Universal (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso»). Tomamos el cero en el infinito: . Con otro origen, la expresión sería .

La constante k se anula al elegir el cero en el infinito. E p ΔE p E p E p W = ext +ΔE p E ( ) = p 0 Por la definición, . Es decir, la energía potencial en un punto es el trabajo del campo al llevar la partícula desde ese punto hasta el infinito. 1 E (r) = p E (r) p E ( ) = p W (r campo ) Equivalentemente, . 2 E (r) = p r F dr La fuerza es atractiva, hacia M; el desplazamiento apunta hacia fuera. Forman 180°, y el coseno aporta un signo menos: . 3 dr F d = r G dr r2 Mm Sustituimos e integramos: . 4 E (r) = p G dr = r r2 Mm [ r GMm ] r E = p r GMm GMm/r + k Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 20 ¿Por qué es negativa?

Si soltamos la partícula en el infinito, el campo la atrae hacia M y hace trabajo positivo. Así, la energía potencial disminuye desde cero: queda negativa en cualquier punto a distancia finita. Al acercarse, se hace más negativa. Una negativa indica un sistema ligado: hay que aportar energía para separar las masas. La diferencia entre dos puntos es: Dividiendo entre m se obtiene el potencial gravitatorio (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Potencial gravitatorio y superficies equipotenciales»). Sistema de varias masas La energía potencial es escalar, así que se suma sin vectores.

Para un sistema de varias masas, se suma la energía de cada pareja, tomada de dos en dos (principio de superposición): Cada pareja se cuenta una sola vez. Este valor es el trabajo que debe realizar un agente externo para formar el sistema trayendo las masas desde el infinito (o, cambiado de signo, el trabajo del campo). COMPRUEBA 16 Un satélite pasa de una órbita baja a una más alta. ¿Su energía potencial aumenta o disminuye? ¿Cambia de signo? Energía mecánica y su conservación La energía mecánica es la suma de cinética y potencial: . Combinamos dos resultados: Teorema de las fuerzas vivas: el trabajo total sobre un cuerpo es . Si todas las fuerzas son conservativas: .

Igualando, , es decir: Es el principio de conservación de la energía mecánica: si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica permanece constante. Si hay rozamiento, la energía mecánica disminuye en el trabajo del rozamiento: . E p ΔE = p E (B) p E (A) = p GMm ( r B 1 r A 1 ) E p E = p G + + ( r 12 m m 1 2 r 13 m m 1 3 r 23 m m 2 3 ) E = m E + c E p W = ΔE c W = ΔE p ΔE + c ΔE = p 0 ΔE = m 0 E + c,A E = p,A E + c,B E p,B ΔE = m W no cons Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 21 EJEMPLO ¿Con qué velocidad hay que lanzar verticalmente un objeto desde la superficie terrestre para que llegue a una altura ? Se desprecia el aire. En general: .

La aproximación y su validez Cerca del suelo usamos , con h la altura de B sobre A. Es un caso particular de la fórmula general. Con y : La aproximación consiste en despreciar frente a , válido si . Equivale a suponer g constante. Aquí el cero está en el suelo, no en el infinito, y por eso esta energía puede ser positiva. ¿Hasta dónde vale? Si exigimos un error relativo del 1 %, la condición es . Para km, esto da unos 63 700 m de altura. Por encima, el error supera el 1 %. ERROR FRECUENTE Usar con satélites o lanzamientos a cientos de kilómetros. En el ejemplo anterior, daría , un 41 % más de lo correcto.

Si h no es mucho menor que el radio, usa siempre y mide r desde el centro del planeta, no desde la superficie. COMPRUEBA 17 ¿Por qué con la energía potencial puede ser positiva y con nunca? h = R T Estado A (superficie): , velocidad . 1 r = A R T v 0 Estado B (punto más alto): , velocidad nula. 2 r = B R + T h = 2R T Conservación: . La masa m se simplifica. 3 mv 2 1 0 2 = R T GMm 2R T GMm Despejamos: . Con : m/s.

4 v = 0 2 R T GM GM = g R 0 T 2 v = 0 = g R 0 T 9,8 6,37 106 7,9 103 v = 0 2GM (R T 1 R +h T 1 ) E = p mgh ΔE = p mgh r = A R T r = B R + T h ΔE = p GMm = ( R T 1 R + h T 1 ) GMm R + R h T 2 T h m h = R T 2 GM mgh R h T R T 2 h R T h R /100 T R = T 6370 mgh mgh v = 0 2g R 0 T GMm/r mgh GMm/r Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 22 19 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE Una fuerza es conservativa si su trabajo solo depende de los puntos inicial y final; en un camino cerrado es nulo. El trabajo del campo es : positivo en movimientos espontáneos, negativo si un agente externo trabaja contra el campo. Con origen en el infinito, , siempre negativa porque el campo atrae.

Para varias masas, la energía potencial es la suma escalar de las parejas tomadas de dos en dos. Si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva. solo vale si ; con error del 1 %, hasta unos 63,7 km. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 18. ¿Qué representa físicamente en un punto? 19. Un cuerpo sube frenándose solo por la gravedad. ¿Qué signo tienen , y el trabajo del campo?

BLOQUE A.1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 4 Potencial gravitatorio y superficies equipotenciales AL ACABAR SABRÁS Calcular el potencial gravitatorio de una o varias masas puntuales como suma escalar Dibujar e interpretar la gráfica V(r) y las superficies equipotenciales Calcular el trabajo del campo entre dos puntos a partir de la diferencia de potencial Razonar afirmaciones de verdadero/falso sobre la relación entre g y V PIÉNSALO ANTES DE LEER 20 Entre dos planetas iguales hay un punto donde la gravedad total es cero. ¿Será cero también la «energía por kilo» en ese punto?

Potencial gravitatorio de una masa puntual El campo gravitatorio es conservativo: el trabajo que hace al llevar una masa de un punto a otro solo depende de esos dos puntos, no del camino (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Fuerzas conservativas y energía potencial gravitatoria»). Por eso a cada punto del espacio se le puede asignar un número, un escalar, que resume cómo es el campo allí. Ese número es el potencial.

W = ΔE = p E p,A E p,B E = p GMm/r E + c E p ΔE = p mgh h R T E = p GMm/r ΔE p ΔE c Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 23 DEFINICIÓN El potencial gravitatorio V en un punto es la energía potencial por unidad de masa que tendría una masa colocada en ese punto. Se mide en J/kg. Si partimos de la energía potencial y dividimos entre la masa de prueba m, esta desaparece: Aquí M es la masa que crea el campo y r la distancia desde su centro. La idea clave es que V solo depende de la masa fuente y del punto, no de lo que pongamos allí. La energía potencial sí depende de m: . El origen se toma en el infinito: . Como la gravedad siempre atrae, acercarse a M baja la energía.

Por eso V es siempre negativo y crece (se acerca a cero) al alejarnos. La gráfica V(r) En el examen piden a menudo dibujar V frente a r. Fuera de la masa la curva es una hipérbola: . Está toda por debajo del eje horizontal. Cerca de la masa toma valores muy negativos (un pozo). Al crecer r, sube y se aproxima asintóticamente a 0 sin tocarlo. Si la masa es una esfera de radio R, la curva se dibuja desde r = R, donde vale , el valor más bajo fuera del cuerpo. EJEMPLO Potencial en la superficie terrestre, con kg y m: Significa que cada kilogramo situado en la superficie tiene 6,25·10 J menos de energía potencial que en el infinito. COMPRUEBA 21 Duplicamos la distancia al centro de un planeta.

¿Qué le pasa al potencial? Potencial de varias masas Si hay varias masas, cada una crea su propio potencial en el punto P. El potencial total es su suma. Como V es un escalar, se suman números con su signo, sin vectores: E = p r GMm V = = m E p r GM E = p mV V ( ) = 0 V 1/r GM/R M = T 5,97 1024 R = T 6,37 106 V = 6,37 106 6,67 10 5,97 10 11 24 6,25 10 J/kg 7 V = P V + 1 V + 2 = G + + … ( r 1 M 1 r 2 M 2 ) Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 24 Esto es mucho más sencillo que sumar campos g, que exige descomponer en componentes (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Campo gravitatorio: intensidad y líneas de campo»).

EJEMPLO Dos masas iguales de 100 kg están separadas 2 m. ¿Cuánto vale V en el punto medio? Cada masa está a 1 m de ese punto: J/kg. Sumamos: J/kg. En ese mismo punto los dos campos g son iguales y opuestos, así que g = 0. ERROR FRECUENTE Pensar que si g = 0 en un punto, también V = 0 (o al revés). Es falso. En el punto medio del ejemplo g se anula porque los vectores se cancelan. Los potenciales, en cambio, son negativos los dos y se suman. Recuerda: V nunca se anula a distancia finita de las masas, y un V no nulo no impide que g sea cero. Diferencia de potencial y trabajo El trabajo del campo al llevar una masa m de A a B es .

Usando : La diferencia de potencial entre dos puntos para una masa puntual es: Interpretación del signo: Movimiento Cambio de V Trabajo del campo Qué ocurre Acercarse a M V disminuye Positivo El campo lo hace solo (caída) Alejarse de M V aumenta Negativo Hace falta una fuerza externa Sobre una equipotencial No cambia Cero Ni gana ni pierde energía potencial Conclusión: las masas se mueven de forma espontánea hacia potenciales decrecientes. COMPRUEBA 22 Un satélite de 500 kg pasa de un punto con V = 4·10 J/kg a otro con V = 3·10 J/kg. ¿Qué trabajo hace el campo? Calcula la distancia de cada masa al punto P. 1 Calcula cada potencial con ; todos salen negativos.

2 V = i GM /r i i Súmalos sin más: no hay ángulos ni direcciones. 3 V = 1 V = 2 6,67 10 11 100/1 = 6,67 10 9 V = 1,33 10 8 W = A B ΔE = p E p,A E p,B E = p mV W = A B m (V A V ) = B m ΔV ΔV = V B V = A GM ( r B 1 r A 1 ) Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 25 Superficies equipotenciales DEFINICIÓN Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos que tienen el mismo valor del potencial. Para una masa puntual o esférica, V solo depende de r. Todos los puntos a la misma distancia tienen el mismo V. Por eso las equipotenciales son esferas concéntricas centradas en la masa (en un dibujo plano, circunferencias).

Esquema de líneas de campo y equipotenciales esféricas de una masa Propiedades: Trabajo nulo: entre dos puntos 1 y 2 de la misma superficie, . Perpendiculares a las líneas de campo: si g tuviera una componente a lo largo de la superficie, haría trabajo al moverse por ella, lo que es imposible. No se cortan: un punto no puede tener dos valores de V. Si se dibujan con el mismo salto de V entre ellas, se juntan donde el campo es más intenso, es decir, cerca de la masa. Las líneas de campo apuntan en el sentido de los potenciales decrecientes. Con dos masas iguales, cerca de cada una las equipotenciales son casi esferas a su alrededor.

Más lejos, se fusionan en superficies alargadas que envuelven a las dos, siempre cortando en ángulo recto las líneas de campo como las de la figura. W = m(V 1 V ) = 2 0 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 26 Esquema de las líneas de campo de dos masas iguales Relación entre g y V Campo y potencial describen lo mismo: uno con un vector, el otro con un escalar. El campo es el gradiente del potencial cambiado de signo. En situaciones con simetría radial: Comprobación: derivando se obtiene , y por tanto . El signo menos indica que g apunta hacia el centro, hacia donde V disminuye.

PARA RECORDARLO El gradiente de V es perpendicular a las equipotenciales y señala hacia donde V crece más deprisa. El campo g va en esa misma dirección pero en sentido contrario: «cuesta abajo» en el potencial. Donde V cambia rápido (equipotenciales juntas), g es grande. COMPRUEBA 23 En una región V vale lo mismo en todos los puntos. ¿Cuánto vale g allí? IDEAS CLAVE El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa: , en J/kg, con origen en el infinito y siempre negativo. El potencial de varias masas es la suma escalar de los potenciales de cada una, con su signo. El trabajo del campo entre dos puntos es : es positivo cuando la masa va hacia potenciales menores.

Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo y moverse sobre ellas no cuesta trabajo; para una masa puntual son esferas concéntricas. El campo es menos la derivada del potencial, : apunta hacia donde V disminuye. g = dr dV V = GM/r dV /dr = GM/r2 g = GM/r2 V = GM/r W = m(V A V ) B g = dV /dr Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 27 19 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 24. ¿Por qué el potencial gravitatorio es siempre negativo? 25. ¿Por qué una equipotencial debe ser perpendicular a las líneas de campo? 26. ¿Puede ser g = 0 en un punto donde V 0?

BLOQUE A.1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 5 Fuerzas centrales y momento angular AL ACABAR SABRÁS Definir fuerza central, momento de una fuerza y momento angular, indicando dirección y sentido. Demostrar que el momento angular se conserva bajo fuerzas centrales y deducir la órbita plana. Deducir que la velocidad areolar es constante a partir de L. Aplicar r·v = cte en perihelio y afelio justificando la perpendicularidad. PIÉNSALO ANTES DE LEER 27 ¿Por qué los planetas no se salen nunca del plano de su órbita? Fuerzas centrales Una fuerza central es una fuerza cuya dirección pasa siempre por un punto fijo, llamado centro de fuerzas. Su módulo solo depende de la distancia a ese centro.

Si colocamos el origen de coordenadas en el centro, el vector posición y la fuerza quedan siempre en la misma recta: son paralelos o antiparalelos. La fuerza gravitatoria del Sol sobre un planeta es central: siempre apunta hacia el Sol (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso»). La fuerza elástica de un muelle sujeto por un extremo también lo es. Estas fuerzas importan porque están relacionadas con las fuerzas conservativas y con el momento angular. Momento de una fuerza El momento de una fuerza respecto a un punto O mide la capacidad de esa fuerza para hacer girar un cuerpo alrededor de O.

Se define con un producto vectorial: Aquí es el ángulo entre y . La distancia es el brazo: la distancia mínima de O a la recta de acción de la fuerza. Piensa en una puerta: empujar junto a las bisagras apenas la mueve, porque el brazo es casi cero. r F = MO × r , = F MO r F sin θ = F b θ r F b = r sin θ Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 28 El momento es un vector perpendicular al plano formado por y . Su sentido sigue la regla de la mano derecha (o del tornillo): giras los dedos de hacia y el pulgar marca el sentido. Su valor depende del punto elegido. En cambio, no cambia si la fuerza se desliza a lo largo de su recta de acción, porque el brazo es el mismo.

Si y son paralelos, y el momento es nulo. Esto ocurre siempre con las fuerzas centrales tomadas respecto a su centro. COMPRUEBA 28 Un planeta recibe la fuerza del Sol. ¿Cuánto vale el momento de esa fuerza respecto a un punto distinto del Sol? Momento angular El momento angular de una partícula respecto a O es el «momento» de su momento lineal : Se mide en kg·m²/s, que equivale a J·s. Es perpendicular al plano que forman y , con sentido dado por la mano derecha. Si y son perpendiculares, queda . Pasa en toda órbita circular y en algunos puntos de las órbitas elípticas. Esquema del momento angular perpendicular al plano de r y p.

Conservación del momento angular Al derivar respecto al tiempo aparece la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: Es la versión giratoria de la segunda ley de Newton, . Con una fuerza central, respecto a su centro . Por tanto y L = r × m·v se conserva: módulo, dirección y sentido constantes. r F r F r F sin θ = 0 = p mv = LO × r m , L = v r m v sin θ r v r v L = rmv L = dt dL × r = F M d /dt = p F = M 0 d /dt = L 0 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 29 Consecuencia 1: la órbita es plana Como no cambia de dirección, y y son siempre perpendiculares a él, ambos están siempre en el mismo plano. El planeta no sale de ese plano.

Además, el sentido constante significa que siempre gira en el mismo sentido. Es la base de la primera ley de Kepler (véase «Bloque A.2: Aplicaciones de la gravitación — Leyes de Kepler»); que la órbita sea una elipse no se demuestra en Bachillerato. Consecuencia 2: velocidad areolar constante La velocidad areolar es el área que barre el vector posición por unidad de tiempo. En un tiempo , el vector barre un triángulo de área igual a la mitad del paralelogramo formado por y : Esquema del área barrida por el vector posición en una órbita. Así, áreas iguales se barren en tiempos iguales: la segunda ley de Kepler (véase «Bloque A.2: Aplicaciones de la gravitación — Leyes de Kepler»).

En problemas, la velocidad areolar media es el área total entre el periodo: en una circunferencia o en una elipse de semiejes a y b. L r v dt r dr Área barrida: . 1 dA = × 2 1 r d r Dividimos entre , con : . 2 dt d /dt = r v = dt dA × 2 1 r v Como , queda . 3 L = m × r v = dt dA = 2m L cte πr /T 2 πab/T Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 30 PROCESO De la fuerza central a Kepler Aplicación: perihelio y afelio En el punto más cercano (perihelio) y en el más lejano (afelio) de la órbita, y son perpendiculares. Igualando L en ambos puntos y simplificando la masa: Cuanto más cerca del Sol, más rápido va el planeta.

EJEMPLO Un cometa pasa por el perihelio a 1 UA del Sol con 40 km/s. Su afelio está a 20 UA. ¿Qué velocidad lleva allí? 1) En ambos puntos v es perpendicular a r, así que vale . 2) Despejamos: . Las unidades de distancia se cancelan, así que no hace falta pasar a metros. ERROR FRECUENTE Usar en cualquier punto de la elipse. Solo vale donde v es perpendicular a r (perihelio, afelio u órbita circular). En otro punto hay que escribir . Justifica siempre en el examen por qué el ángulo es 90°. COMPRUEBA 29 Si un satélite pasa a la mitad de distancia del centro de fuerzas en un punto con v perpendicular a r, ¿cómo cambia su velocidad respecto a otro punto con v perpendicular?

Fuerza central r y F paralelos respecto al centro 1 Momento nulo M = r × F = 0 2 L constante dL/dt = M = 0 3 Órbita plana Dirección de L fija 4 Velocidad areolar constante dA/dt = L/2m, segunda ley de Kepler 5 r v r v = P P r v A A r v = P P r v A A v = A = r A r v P P = 20 1 40 2 km/s r v = 1 1 r v 2 2 r v sin θ = 1 1 1 r v sin θ 2 2 2 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 31 IDEAS CLAVE Una fuerza central apunta siempre hacia un punto fijo y su módulo solo depende de la distancia a él. El momento de una fuerza es y se anula si r y F son paralelos. El momento angular es y se conserva bajo fuerzas centrales porque .

L constante en dirección implica órbita plana; en módulo implica velocidad areolar constante . En perihelio y afelio se cumple . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 30. ¿Por qué la conservación de la dirección de L obliga a que la órbita sea plana? 31. ¿Qué relación hay entre velocidad areolar y momento angular?

= M × r F = L × r mv = M 0 L/2m r v = P P r v A A Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 32 19 % de los puntos del examen 6 Leyes de Kepler AL ACABAR SABRÁS Enunciar las tres leyes de Kepler y explicar perihelio, afelio y semieje mayor Justificar la segunda ley a partir de la conservación del momento angular Deducir T² = 4π²r³/(GM) igualando fuerza gravitatoria y centrípeta Aplicar la tercera ley para relacionar periodos y radios de cuerpos que orbitan el mismo astro PIÉNSALO ANTES DE LEER 32 ¿Por qué un planeta lejano como Neptuno tarda mucho más de lo proporcional a su distancia en dar la vuelta al Sol?

De Ptolomeo a Newton: cómo se llegó a las leyes Durante siglos dominó el modelo geocéntrico: la Tierra estaba inmóvil en el centro y los astros giraban a su alrededor. Ptolomeo lo retocó con epiciclos, excéntricas y ecuante para explicar el movimiento retrógrado de los planetas y sus cambios de brillo. Aun así, mantuvo siempre las circunferencias. Copérnico propuso un modelo heliocéntrico: el Sol en el centro y la Tierra en movimiento. Seguía usando órbitas circulares. Galileo aportó observaciones con el telescopio, como las fases de Venus y las lunas de Júpiter. Tycho Brahe midió con gran precisión las posiciones de los planetas.

Kepler analizó esas medidas y, entre 1600 y 1620, enunció tres leyes. Abandonó las circunferencias y adoptó elipses. Sus leyes describen cómo se mueven los planetas (cinemática). Más tarde Newton explicó por qué: con la Ley de Gravitación Universal (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso») dedujo las leyes de Kepler.

BLOQUE A.2 Aplicaciones de la gravitación 6 Leyes de Kepler 7 Satélites: órbitas, energía y velocidad de escape 8 Introducción a la cosmología y la astrofísica Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 33 CRONOLOGÍA Del geocentrismo a la gravitación Las leyes valen para cualquier cuerpo que orbite otro por gravedad: planetas alrededor del Sol, la Luna alrededor de la Tierra o un satélite artificial. Primera ley: ley de las órbitas Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en un foco. DEFINICIÓN Una elipse es la curva cuyos puntos cumplen que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, los focos ( y ), es constante.

El semieje mayor es la mitad del diámetro más largo. El Sol ocupa un foco. El otro foco está vacío. Por eso la distancia planeta-Sol cambia a lo largo de la órbita: Perihelio: punto de la órbita más cercano al Sol. Afelio: punto más alejado del Sol. Si el cuerpo central es la Tierra, esos puntos se llaman perigeo y apogeo. En general, periastro y apoastro. La distancia perihelio + afelio vale , así que es la distancia media al Sol. Las órbitas planetarias son elipses muy poco achatadas. Por eso en muchos problemas se tratan como circunferencias de radio . COMPRUEBA 33 Un planeta está a 1,0 y 1,4 unidades del Sol en perihelio y afelio. ¿Cuánto vale su semieje mayor?

Segunda ley: ley de las áreas El radio vector es el segmento que une el Sol con el planeta. La segunda ley dice que barre áreas iguales en tiempos iguales. Dicho de otro modo, la velocidad areolar (área barrida por unidad de tiempo) es constante.

Ptolomeo Modelo geocéntrico con epiciclos y circunferencias Copérnico Modelo heliocéntrico, aún con órbitas circulares Galileo y Tycho Observaciones telescópicas y medidas precisas de posiciones 1600-1620 Kepler enuncia sus tres leyes con órbitas elípticas Newton La gravitación universal explica las leyes de Kepler F 1 F 2 a 2a a r = a Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 34 Dos áreas barridas y son iguales si se recorren en el mismo tiempo . Cerca del Sol el radio vector es corto, así que el planeta debe recorrer un arco más largo para barrer la misma área. El planeta va más rápido en el perihelio y más lento en el afelio. Justificación física.

La gravedad es una fuerza central: siempre apunta hacia el Sol. Su momento respecto al Sol es nulo, , y por tanto el momento angular se conserva (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Fuerzas centrales y momento angular»). De ahí salen dos consecuencias: Como la dirección de es fija, la órbita está en un plano. La velocidad areolar vale , que es constante: es la segunda ley. En perihelio y afelio y son perpendiculares. La conservación de da: EJEMPLO Si el afelio está al doble de distancia que el perihelio, . Entonces : en el afelio el planeta va a la mitad de velocidad. COMPRUEBA 34 ¿Se cumpliría la ley de las áreas si la fuerza sobre el planeta no apuntase hacia el Sol?

Tercera ley: ley de los periodos El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. La ley dice que es proporcional al cubo del semieje mayor: . Los planetas lejanos tardan mucho más. Deducción para órbitas circulares La constante depende solo de la masa central. No depende de la masa del planeta, que se ha simplificado. Todos los planetas del Sol comparten la misma ; los satélites de la Tierra tienen otra distinta. Para elipses la fórmula vale cambiando por (no se demuestra en Bachillerato). Uso práctico: para dos cuerpos que orbitan el mismo astro, . Con tres datos se obtiene el cuarto sin conocer .

A 1 A 2 Δt = M × r = F 0 = L × r mv L = dt dA 2m L r v L r v = p p r v a a r = a 2r p v = a v r /r = p p a v /2 p T T2 T = 2 k a3 Suponemos órbita circular de radio y movimiento uniforme. 1 r La fuerza gravitatoria del Sol (masa ) actúa como fuerza centrípeta sobre el planeta (masa ): . 2 M m = r2 GMm m r v2 Se simplifica y se despeja: . 3 m v = 2 r GM En una vuelta se recorre en un tiempo : . 4 2πr T v = T 2πr Sustituyendo: , y reordenando se llega a la ley. 5 = T2 4π r 2 2 r GM T = 2 r GM 4π2 3 k = GM 4π2 k r a = a 1 3 T 1 2 a 2 3 T 2 2 M Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 35 EJEMPLO Un planeta orbita a 4 veces la distancia Tierra-Sol.

Entonces , y : tarda 8 años en dar la vuelta. ERROR FRECUENTE Usar la proporción entre cuerpos con distinto astro central, por ejemplo la Luna y Marte. Solo es válida si orbitan la misma masa . Otro fallo: escribir olvidando los cuadrados y cubos. COMPRUEBA 35 Si la masa del Sol fuera el doble, ¿qué pasaría con el periodo de la Tierra a la misma distancia? IDEAS CLAVE Kepler describió el movimiento planetario con tres leyes a partir de los datos de Tycho Brahe; Newton las explicó con la gravitación. Primera ley: órbitas elípticas con el Sol en un foco; perihelio es el punto más cercano y afelio el más lejano.

Segunda ley: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, consecuencia de conservar el momento angular. El planeta va más rápido en el perihelio: . Tercera ley: , con una constante que depende solo de la masa central. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 36. ¿Dónde está el Sol respecto a la órbita elíptica de un planeta? 37. ¿Qué igualdad se usa para deducir la tercera ley en órbitas circulares?

T = 2 T T 2 4 = 3 64 T T 2 T = 8 T T T /a 2 3 M T r3 r v = p p r v a a T = 2 r GM 4π2 3 Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 36 19 % de los puntos del examen BLOQUE A.2: APLICACIONES DE LA GRAVITACIÓN 7 Satélites: órbitas,energía y velocidad de escape AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital y el periodo de un satélite igualando fuerza gravitatoria y centrípeta. Calcular la masa de un planeta a partir del radio y el periodo de un satélite. Calcular la energía mecánica en órbita y la energía para satelizar o cambiar de órbita. Deducir la velocidad de escape y relacionar el signo de Em con el tipo de trayectoria.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 38 ¿Por qué un satélite que sube a una órbita más alta acaba moviéndose más despacio, si para subirlo hemos gastado energía? Del planeta al satélite: la gravedad como fuerza centrípeta Un satélite es cualquier cuerpo que gira alrededor de otro más masivo, llamado cuerpo central. La Luna es un satélite natural de la Tierra; la Estación Espacial Internacional (ISS) es uno artificial. Las mismas ecuaciones sirven para planetas, lunas y satélites. Vamos a suponer órbitas circulares. En ellas la única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso»).

Esa fuerza apunta siempre al centro, así que hace de fuerza centrípeta: no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección. DEFINICIÓN El radio de la órbita es la distancia del satélite al centro del cuerpo central. Si el satélite vuela a una altura sobre la superficie de un planeta de radio : . Velocidad orbital y periodo La velocidad orbital es la velocidad que necesita un satélite para mantener una órbita circular de radio . Se obtiene igualando fuerza gravitatoria y fuerza centrípeta: La masa del satélite se simplifica. Por eso dos satélites a la misma altura van igual de rápido, aunque uno pese mucho más. Además, cuanto mayor es , menor es : los satélites lejanos van más despacio.

El periodo de revolución es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Como en la deducción de «Bloque A.2: Aplicaciones de la gravitación — Leyes de Kepler», se usa . Igualando con la velocidad orbital y elevando al cuadrado: r h R r = R + h r G = r2 Mm m r v2 v = r GM m r v T v = 2πr/T Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 37 Es la tercera ley de Kepler para órbitas circulares (véase «Bloque A.2: Aplicaciones de la gravitación — Leyes de Kepler»). La constante solo depende del cuerpo central. Cálculo de la masa de un cuerpo central La tercera ley relaciona tres magnitudes: , y . Si conocemos dos, sacamos la tercera.

Lo más útil: medir el radio y el periodo de un satélite para "pesar" el planeta. Despejando: EJEMPLO La Luna gira alrededor de la Tierra con m y días. Calculamos la masa de la Tierra. A veces el enunciado no da la masa, sino la densidad y el radio. Entonces se usa , con para un planeta esférico. ERROR FRECUENTE Meter el periodo en horas o días. En el SI va en segundos: 1 día = 86 400 s. Usar la altura donde va el radio . Siempre , y en metros, no en kilómetros (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal y peso»). Confundir diámetro y radio del planeta. COMPRUEBA 39 Si un satélite pasa a una órbita de radio cuatro veces mayor, ¿cómo cambia su velocidad orbital?

Energía de un satélite en órbita circular El satélite tiene energía cinética por moverse y energía potencial gravitatoria por estar en el campo del planeta (véase «Bloque A.1: Interacción gravitatoria — Fuerzas conservativas y energía potencial gravitatoria»). Recordemos que , con referencia cero en el infinito. Con la energía cinética queda: = r GM T2 4π r 2 2 T = 2 r GM 4π2 3 4π /(GM) 2 T r M M = GT2 4π r 2 3 r 3,84 108 T 27,3 Pasamos el periodo a segundos: s. 1 T = 27,3 86400 2,36 106 Sustituimos: . 2 M = 6,67 10 (2,36 10 ) 11 6 2 4π (3,84 10 ) 2 8 3 Numerador: . Denominador: . 3 39,5 5,66 10 25 2,24 1027 6,67 10 11 5,57 10 12 371 Resultado: kg, que coincide con la masa terrestre.

4 M 6,0 1024 ρ M = ρV V = πR 3 4 3 h r r = R + h E = p GMm/r v = 2 GM/r E = c mv = 2 1 2 2r GMm Apuntes de Física EBAU Extremadura con tests y formulario 38 Sumando ambas…