Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario

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APUNTES FÍSICA EBAU Castilla y León AprenAI 2026-2027 Física de 2.º de Bachillerato en 36 temas: gravitación, electromagnetismo, ondas, óptica y física moderna, con esquemas, tests y formulario final.

APREN.AI Índice Bloque 1: Campo gravitatorio 1 Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas 8 Vectores, componentes y vectores unitarios 9 Producto vectorial: determinante y mano derecha 10 Análisis dimensional 11 Gráficas y linealización 11 Unidades SI, prefijos y cifras significativas 12 2 Leyes de Kepler y ley de gravitación universal 13 Del geocentrismo a Newton: por qué importan las leyes de Kepler 14 Las tres leyes de Kepler 14 Ley de gravitación universal 15 Peso y masa: qué cambia con la altura 16 Fuerzas centrales y momento angular 16 Justificación de la 2.ª ley de Kepler 18 3 Intensidad del campo gravitatorio 19 Fuerza y campo: dos formas de describir la gravedad 20 Intensidad del campo gravitatorio 20 Líneas de campo 21 Campo de varias masas: principio de superposición 22 Variación de g con la altura 23 Masa y densidad de un planeta a partir de g 23 4 Energía potencial, potencial y carácter conservativo 25 Fuerzas conservativas y energía potencial 25 Energía potencial gravitatoria 26 Signos del trabajo y de la variación de energía potencial 27 Potencial gravitatorio 27 Superficies equipotenciales y gradiente 27 La aproximación E_p = mgh y su validez 28 Balances energéticos entre posiciones 29 5 Movimiento orbital: velocidad y periodo 31 De la segunda ley de Newton a la velocidad orbital 31 Periodo de revolución y tercera ley de Kepler 32 Cómo «pesar» un astro: masa y densidad 33 Satélites geoestacionarios y tipos de órbitas 34 Errores típicos en los problemas de órbitas 35 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 1 6 Energía orbital, cambios de órbita y velocidad de escape 36 Energías de un satélite en órbita circular 36 Energía para lanzar, satelizar y cambiar de órbita 37 Velocidad de escape 38 Tipo de trayectoria según la energía mecánica 39 7 Introducción a la cosmología y la astrofísica 41 Estrellas y agujeros negros: la gravedad decide su destino 41 Curvas de rotación y materia oscura 42 Ondas gravitacionales y expansión del universo 43 Repercusión de la investigación espacial 44 Bloque 2: Campo eléctrico 8 Ley de Coulomb e intensidad de campo 46 Carga eléctrica: propiedades básicas 47 Ley de Coulomb en forma vectorial 47 Intensidad de campo eléctrico 48 Líneas de campo 49 Campo de varias cargas: superposición 50 9 Potencial, energía y trabajo 52 Energía potencial eléctrica y potencial 52 Trabajo para mover una carga entre dos puntos 54 Cargas aceleradas por una diferencia de potencial.

Electronvoltio 55 10 Flujo eléctrico y teorema de Gauss 57 Flujo eléctrico: qué mide y cómo se calcula 57 Teorema de Gauss 58 Conductores en equilibrio y jaula de Faraday 60 11 Analogías y diferencias entre campos 61 Gravitatorio frente a eléctrico: dos leyes casi gemelas 61 Los tres campos en una tabla 62 El campo magnético visto desde la energía 63 Bloque 2: Campo magnético 12 Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas 67 Imanes, líneas de campo y experiencia de Oersted 68 Fuerza de Lorentz y unidad tesla 69 Movimiento circular en un campo uniforme 71 Aplicaciones: selector, espectrómetro y ciclotrón 72 13 Campo creado por corrientes 74 Cargas en movimiento y ley de Biot-Savart 74 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 2 Hilo rectilíneo indefinido 75 Superposición: varios hilos 75 Espira, bobina, solenoide y toro 76 14 Fuerzas sobre corrientes y entre conductores 78 1.

Fuerza sobre un conductor rectilíneo con corriente 79 2. Fuerza entre dos conductores paralelos 79 3. Fuerza sobre un hilo con tres conductores 81 4.

Momento sobre una espira y motor eléctrico 81 Bloque 2: Inducción electromagnética 15 Flujo magnético y leyes de Faraday y Lenz 84 Flujo magnético 85 Ley de Faraday-Henry: cuánta fem se induce 86 Ley de Lenz: sentido de la corriente inducida 87 Formas de variar el flujo y fem de movimiento 88 16 Alternador, generadores y transformadores 89 El alternador: de girar una espira a obtener corriente alterna 90 Gráficas Φ(t) y ε(t): desfase de un cuarto de periodo 90 Valor eficaz 91 Generadores y motores 92 El transformador 92 Por qué la energía se transporta a alta tensión 92 Otras aplicaciones de la inducción 93 La síntesis de Maxwell 93 17 Bloque 3: Vibraciones — Movimiento armónico simple 94 Magnitudes y ecuación de la posición 95 Velocidad y aceleración 95 Dinámica: ley de Hooke y péndulo simple 96 Fase inicial a partir de las condiciones iniciales 96 Energía del oscilador 97 Bloque 3: Ondas 18 Movimiento ondulatorio y ecuación de onda armónica 100 1.

Qué es una onda y cómo se clasifica 101 2. Magnitudes características 103 3. Ecuación de una onda armónica 104 4. Doble periodicidad y gráficas 105 5. Diferencia de fase entre puntos 105 6.

Velocidad de vibración frente a velocidad de propagación 105 19 Energía e intensidad de una onda 107 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 3 Energía que transporta una onda 107 Intensidad y potencia del foco 108 Atenuación geométrica: cómo cambian I y A con la distancia 109 Absorción por el medio 109 20 Principio de Huygens y fenómenos ondulatorios 111 Principio de Huygens 111 Reflexión y refracción 112 Superposición e interferencia 112 Difracción 113 Ondas estacionarias 114 21 El sonido: cualidades, decibelios y efecto Doppler 116 Qué es una onda sonora 116 Cualidades del sonido 117 Nivel de intensidad sonora y decibelio 117 Contaminación acústica y aplicaciones 119 Efecto Doppler 120 Bloque 3: La luz 22 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 122 El debate sobre la naturaleza de la luz 123 La luz como onda electromagnética 123 El espectro electromagnético 124 Energía de la radiación: 125 23 Reflexión, refracción, reflexión total y dispersión 126 Índice de refracción: qué cambia cuando la luz cambia de medio 126 Leyes de la reflexión y de la refracción (ley de Snell) 127 Calcular n a partir del ángulo entre el rayo reflejado y el refractado 128 Ángulo límite y reflexión total 128 Dispersión de la luz blanca y láminas de caras paralelas 129 Bloque 3: Óptica geométrica 24 Conceptos básicos y espejos 131 Sistema óptico, objeto e imagen 132 Normas DIN 1335 de signos 132 Espejo plano 133 Espejos esféricos 133 25 Lentes delgadas 136 Qué es una lente y qué tipos hay 136 Focos, distancia focal y potencia 136 Ecuación de las lentes delgadas y aumento lateral 137 E = hf Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 4 Trazado de rayos 138 Problemas de pantalla: dos posiciones de la lente 139 26 Instrumentos ópticos 142 Idea clave: la imagen de una lente es el objeto de la siguiente 142 El ojo humano y el punto próximo 142 La lupa 143 Microscopio, telescopio y cámara 144 Bloque 4: Física relativista 27 Postulados y consecuencias de la relatividad especial 147 1.

La relatividad de Galileo y su crisis 148 2. Los postulados de Einstein (1905) 150 3. Relatividad de la simultaneidad 150 4. Dilatación del tiempo 151 5. Contracción de la longitud 153 6.

Paradoja de los gemelos y pruebas experimentales 153 28 Masa, energía y velocidad límite 154 Masa en reposo y «masa relativista» 154 Por qué c es una velocidad límite 155 Energía relativista y equivalencia masa-energía 155 Relación energía-momento 156 Conservación 156 Bloque 4: Física cuántica 29 Límites de la física clásica: cuerpo negro y espectros 158 La radiación del cuerpo negro 158 El fracaso clásico: la catástrofe ultravioleta 159 La hipótesis de Planck: la energía está cuantizada 159 Espectros atómicos de emisión y absorción 160 El modelo atómico de Bohr 160 30 Efecto fotoeléctrico 162 El experimento: luz que arranca electrones 162 Cuatro hechos que la física clásica no explica 162 La explicación de Einstein: los fotones 163 Potencial de frenado 164 Unidades: el electronvoltio 164 Ejemplo resuelto 165 La gráfica Ec,máx frente a f 165 31 Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre 167 La hipótesis de De Broglie 167 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 5 Difracción de electrones y microscopio electrónico 169 Principio de incertidumbre de Heisenberg 169 Orbitales e interpretación probabilística 170 Bloque 4: Física nuclear 32 Núcleo atómico y estabilidad 173 Composición del núcleo y notación 174 ¿Por qué no estalla el núcleo?

La interacción fuerte 175 Estabilidad de los isótopos: la curva N–Z 175 Defecto de masa y energía de enlace 175 Energía de enlace por nucleón y curva de estabilidad 176 33 Radiactividad: tipos, efectos y aplicaciones 178 Qué es la radiactividad natural 178 Los tres tipos de emisión 178 Leyes de Soddy-Fajans y conservación de A y Z 179 Efectos biológicos 180 Aplicaciones 180 34 Ley de desintegración, actividad y datación 181 Ley de desintegración radiactiva 182 Periodo de semidesintegración y vida media 182 Actividad de una muestra 183 Tiempo para que se desintegre un porcentaje 183 Datación con carbono-14 183 Lectura de gráficas N(t) 184 35 Reacciones nucleares: fisión, fusión y reacción en cadena 185 Reacciones nucleares y leyes de conservación 185 Fisión nuclear 186 Reacción en cadena y masa crítica 186 Centrales nucleares 187 Fusión nuclear 188 Fisión frente a fusión 188 Aplicaciones y residuos 188 36 Bloque 4: Física de partículas — Modelo estándar e interacciones fundamentales 189 Las piezas del modelo estándar 189 Protones y neutrones hechos de quarks 190 Las cuatro interacciones fundamentales 191 Aceleradores de partículas 192 37 Formulario 193 Herramientas comunes 193 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 6 Campo gravitatorio 193 Campo eléctrico 194 Campo magnético 195 Inducción electromagnética 195 Vibraciones y ondas 196 Sonido 197 La luz 197 Óptica geométrica 197 Física relativista 198 Física cuántica 198 Física nuclear y de partículas 199 Valores y constantes 199 Errores típicos 199 Soluciones de las preguntas de repaso 200 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 7 21 % de los puntos del examen 1 Herramientas comunes: vectores,dimensiones y gráficas AL ACABAR SABRÁS Calcular un vector unitario y un producto vectorial mediante determinante Comprobar la homogeneidad dimensional de una ecuación física Linealizar datos experimentales y obtener una constante a partir de la pendiente Expresar resultados en SI con prefijos y cifras significativas correctas PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Tienes una tabla de periodos y radios de varias lunas de Júpiter.

¿Cómo sacarías la masa de Júpiter con una regla? Antes de estudiar satélites y órbitas necesitas cuatro herramientas que salen en todos los bloques: vectores, producto vectorial, análisis dimensional y linealización de gráficas. Con ellas escribirás bien las fuerzas, comprobarás tus fórmulas y sacarás constantes a partir de datos de laboratorio.

BLOQUE 1 Campo gravitatorio 1 Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas 2 Leyes de Kepler y ley de gravitación universal 3 Intensidad del campo gravitatorio 4 Energía potencial, potencial y carácter conservativo 5 Movimiento orbital: velocidad y periodo 6 Energía orbital, cambios de órbita y velocidad de escape 7 Introducción a la cosmología y la astrofísica Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 8 ESQUEMA Campo gravitatorio Vectores, componentes y vectores unitarios Un vector es una magnitud con módulo, dirección y sentido. Fuerza, velocidad y campo son vectores. Masa, energía y tiempo son escalares: solo tienen valor numérico.

Un vector se escribe con sus componentes sobre los ejes. Para ello se usan los unitarios , que señalan los ejes X, Y y Z. Así, tiene módulo . DEFINICIÓN Un vector unitario es un vector de módulo 1 que solo indica dirección. Se obtiene dividiendo un vector entre su módulo: En gravitación se usa mucho . Es el unitario que va desde la masa que crea el campo hacia el punto estudiado. Las fuerzas gravitatorias apuntan al revés, hacia la masa. Por eso llevan un signo menos delante de (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y ley de gravitación universal»).

Herramientas Vectores, dimensiones, gráficas Kepler y Newton Leyes de Kepler y gravitación universal Intensidad de campo g, superposición, líneas de campo Energía y potencial Campo conservativo, equipotenciales Movimiento orbital Velocidad y periodo orbital Energía orbital Cambios de órbita, velocidad de escape Cosmología Agujeros negros, expansión, materia oscura , , i j k = v 3 i 4 j = v = 3 + 4 2 2 5 = u v v ur ur Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 9 EJEMPLO Una masa está en el origen y el punto P en (3, 4) m. El vector de la masa a P es m, de módulo 5 m. Entonces . Comprueba: . El producto escalar de dos vectores da un número.

Se calcula componente a componente o con el ángulo que forman: Se usa para el trabajo, . Si los vectores son perpendiculares, el producto escalar vale cero. COMPRUEBA 2 ¿Por qué un satélite en órbita circular no recibe trabajo de la fuerza gravitatoria? Producto vectorial: determinante y mano derecha El producto vectorial da otro vector. Es perpendicular a los dos vectores de partida. Su módulo es . Aparece en el momento angular, el momento de una fuerza y, sobre todo, en el campo magnético. Para calcularlo con componentes se usa un determinante: EJEMPLO Sean y . Componente i: . Componente j: . Componente k: . Resultado: . Comprobación: , luego es perpendicular.

Si solo necesitas la dirección, usa la regla de la mano derecha. Los dedos van del primer vector al segundo por el ángulo más corto. El pulgar marca el sentido del resultado. Lo mismo indica un sacacorchos: avanza hacia donde apunta el producto. Recuerda la base: , , . ERROR FRECUENTE El producto vectorial no es conmutativo: . Si cambias el orden de las filas, el sentido sale al revés y la fuerza magnética apuntará mal. Otro fallo típico es olvidar el signo menos de la componente j.

= r 3 + i 4 j = ur 0,6 + i 0,8 j 0,6 + 2 0,8 = 2 1 a = b a b + x x a b + y y a b = z z cos θ a b W = F Δr × a b sin θ a b × v1 = v2 i x 1 x 2 j y 1 y 2 k z 1 z 2 Escribe los unitarios en la primera fila y las componentes de cada vector debajo, en orden. 1 Componente : tapa su fila y columna y calcula . 2 i y z 1 2 z y 1 2 Componente : lo mismo, pero cambiando el signo: . 3 j (x z 1 2 z x ) 1 2 Componente : . 4 k x y 1 2 y x 1 2 = a (1,2,0) = b (0,3,1) 2 1 0 3 = 2 (1 1 0 0) = 1 1 3 2 0 = 3 × a = b 2 i + j 3k a (2, 1,3) = 2 2 + 0 = 0 × i = j k × j = k i × k = i j × b = a × a b Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 10 COMPRUEBA 3 ¿Cuánto vale y cuánto ?

Análisis dimensional Cada magnitud se puede expresar con unas pocas magnitudes fundamentales: masa [M], longitud [L], tiempo [T] e intensidad de corriente [I]. Esa expresión es su ecuación de dimensiones. La regla básica es la homogeneidad: ambos miembros con iguales dimensiones. Los sumandos también deben tener las mismas. Así detectas fórmulas mal escritas sin hacer ningún cálculo. Bloque Comprobación Resultado Gravitación Dimensiones de G en Electromagnetismo Carga en Ondas , coherente Física moderna Constante de Planck en EJEMPLO ¿Es correcta ? Dentro de la raíz: . La raíz da , que es una velocidad. La fórmula es homogénea. Ojo: el análisis dimensional no detecta constantes numéricas.

No distingue de . Además, los argumentos de senos, cosenos, exponenciales y logaritmos deben ser adimensionales. COMPRUEBA 4 En , ¿qué dimensiones tiene ? Gráficas y linealización Con dos variables medidas en el laboratorio, lo más útil es obtener una recta. Una recta se ajusta fácilmente y su pendiente da la constante buscada. Linealizar es elegir qué representar en cada eje para que la relación sea . Órbitas: la tercera ley de Kepler dice . Si representas frente a , sale una recta por el origen. Su pendiente es y de ahí . Desintegración: tomando logaritmos en queda . Al representar frente a t, la pendiente es .

× j i × a a F = G r2 Mm [G] = = M2 MLT L 2 2 M L T 1 3 2 q = I t [q] = IT v = λf L T = 1 LT 1 E = hf [h] = ML T 2 1 v = GM/r = L M L T M 1 3 2 L T 2 2 LT 1 2GM/r GM/r N = N e 0 λt λ y = mx + b T = 2 r GM 4π2 3 T2 r3 m = GM 4π2 M = Gm 4π2 N = N e 0 λt ln N = ln N 0 λt ln N λ Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 11 PROCESO Cómo linealizar datos PARA RECORDARLO La pendiente se calcula con dos puntos de la recta ajustada, no con dos datos sueltos. Y la pendiente tiene unidades: en frente a son s²/m³. Unidades SI, prefijos y cifras significativas Los resultados se dan en unidades del Sistema Internacional (SI): metro, kilogramo, segundo, amperio.

Los prefijos indican potencias de 10 y hay que pasarlos a SI antes de operar. Prefijo Símbolo Factor giga G mega M kilo k mili m micro μ nano n Las cifras significativas son las que aportan información real. El resultado no debe tener más que el dato menos preciso. Por ejemplo, m tiene 2 y un resultado de 7 cifras es incorrecto. Fallo Consecuencia habitual Resultado sin unidades o con unidades erróneas Se penaliza aunque el número sea correcto Ley teórica Partir de la relación, p. ej.

T² = (4π²/GM) r³ 1 Elegir ejes Variables que conviertan la ley en y = mx + b 2 Representar y ajustar Dibujar los puntos y trazar la mejor recta 3 Calcular pendiente Con dos puntos de la recta, con unidades 4 Despejar constante Igualar la pendiente a su expresión teórica 5 T2 r3 109 106 103 10 3 10 6 10 9 6,4 106 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 12 21 % de los puntos del examen Fallo Consecuencia habitual Magnitud vectorial sin flecha ni componentes Se considera incompleta Exceso de cifras significativas Puede restar puntos Operar en km o en ns sin pasar a SI Resultado falso por potencias de 10 ERROR FRECUENTE Confundir M (mega, ) con m (mili, ).

Y usar la altura h del satélite como r: r es la distancia al centro, . IDEAS CLAVE Un vector unitario tiene módulo 1 y se obtiene dividiendo un vector entre su módulo; va de la masa al punto. El producto vectorial da un vector perpendicular a ambos, se calcula con un determinante y cambia de signo al invertir el orden. Toda ecuación física debe ser homogénea; el análisis dimensional no detecta constantes numéricas. Linealizar permite obtener constantes desde la pendiente: frente a da la masa central y frente a t da . Se opera siempre en SI, con unidades, notación vectorial y cifras significativas adecuadas. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Qué dimensiones tiene G? 6.

¿Qué representas para que la tercera ley de Kepler dé una recta? 7. ¿Cómo es respecto a y ? BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 2 Leyes de Kepler y ley de gravitación universal AL ACABAR SABRÁS Enunciar las tres leyes de Kepler y aplicar la tercera para comparar periodos. Calcular fuerzas gravitatorias en forma vectorial usando el principio de superposición. Justificar la 2.ª ley de Kepler a partir de la conservación del momento angular. Relacionar velocidades en perihelio y afelio con · = · . 106 10 3 r = R + h ur T2 r3 ln N λ × a b a b r P v P r A v A Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 13 PIÉNSALO ANTES DE LEER 8 ¿Por qué la Tierra va más deprisa en enero que en julio?

Del geocentrismo a Newton: por qué importan las leyes de Kepler Durante siglos se pensó que la Tierra estaba quieta en el centro del universo. Era el modelo geocéntrico de Aristóteles. Ptolomeo lo retocó con epiciclos, excéntricas y ecuantes. Así explicaba el movimiento retrógrado de los planetas y los cambios de su brillo, pero seguía usando solo circunferencias. Copérnico propuso el modelo heliocéntrico: el Sol en el centro y la Tierra en movimiento. Al principio no era más exacto que el de Ptolomeo, solo más sencillo. Galileo aportó pruebas con el telescopio: las fases de Venus, las lunas de Júpiter, las manchas solares y las montañas de la Luna. Fue procesado por la Iglesia en 1633.

El paso decisivo vino después. Tycho Brahe tomó medidas muy precisas de las posiciones planetarias. Kepler analizó esos datos y abandonó las órbitas circulares. Formuló tres leyes que describen cómo se mueven los planetas (cinemática). Más tarde, Newton explicó por qué se mueven así (dinámica) con su ley de gravitación universal. Las tres leyes de Kepler Se enunciaron para los planetas alrededor del Sol. Pero valen para cualquier cuerpo que orbite por gravedad alrededor de otro: la Luna, los satélites artificiales o las lunas de Júpiter. Antes, un repaso de la elipse. Es la curva formada por los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante.

Su semieje mayor es la mitad del diámetro más largo. El punto de la órbita más cercano al Sol se llama perihelio; el más lejano, afelio. Para órbitas alrededor de la Tierra (la Luna, los satélites) se dicen perigeo y apogeo. Ley Enunciado Qué nos dice 1.ª (de las órbitas) Los planetas describen elipses con el Sol en uno de sus focos. La forma de la órbita. El Sol no está en el centro de la elipse. 2.ª (de las áreas) El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. La velocidad areolar es constante: el planeta va más rápido cerca del Sol. 3.ª (de los periodos) El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor. Los planetas lejanos tardan mucho más en dar una vuelta.

El radio vector es el vector que va del Sol al planeta. La velocidad areolar es el área que barre por unidad de tiempo, . El periodo es el tiempo de una vuelta completa. La expresión de la tercera ley y su significado ( constante para los cuerpos que orbitan un mismo astro) se explican en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas». En una órbita elíptica, se sustituye por el semieje mayor . Su deducción para órbitas circulares está en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Movimiento orbital: velocidad y periodo». a dA/dt T T /r 2 3 r a Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 14 EJEMPLO Dos satélites giran en torno a la Tierra.

El B está a una distancia del centro cuatro veces mayor que el A. ¿Cuántas veces es mayor su periodo? COMPRUEBA 9 ¿Puedes comparar con la 3.ª ley el periodo de la Luna y el de Marte? Ley de gravitación universal Newton partió de las leyes de Kepler y propuso que dos masas cualesquiera se atraen. Es universal porque vale para cualquier par de cuerpos con masa, no solo para planetas. En forma vectorial: es la masa que crea la fuerza y la que la sufre. es la distancia entre los centros de ambas masas. es el vector unitario que va de hacia (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas»).

El signo menos indica que la fuerza apunta hacia : la gravedad es siempre atractiva. La fuerza actúa en la recta que une las dos masas. Por la tercera ley de Newton, atrae a con una fuerza igual y opuesta. Principio de superposición Si sobre una masa actúan varias, la fuerza total es la suma vectorial de las fuerzas que haría cada una por separado. Cada masa actúa como si las demás no existieran. EJEMPLO Una masa de 1 kg está en el punto medio entre dos masas iguales de 100 kg separadas 2 m. Mismo astro central, así que . No hace falta conocer . 1 T /r = A 2 A 3 T /r B 2 B 3 M Despejamos: . 2 T /T = B A (r /r ) B A 3/2 Sustituimos: . El periodo de B es 8 veces el de A.

3 4 = 3/2 8 = F G G = r2 Mm ur 6,67 10 N m kg 11 2 2 M m r ur M m M m M = Ftotal + F1 + F2 + Fn Cada masa está a 1 m. Módulo de cada fuerza: . 1 F = 6,67 10 11 100 1/1 = 2 6,67 10 N 9 Dirección: cada fuerza apunta hacia su masa, es decir, en sentidos opuestos. 2 Suma vectorial: las dos se anulan. La fuerza total es cero. 3 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 15 ERROR FRECUENTE Sumar los módulos de las fuerzas sin mirar su dirección. En el ejemplo anterior saldría , que es falso. Dibuja siempre cada vector antes de sumar y descompón en ejes e .

Peso y masa: qué cambia con la altura El peso es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre un cuerpo: , con en la superficie. Se mide en newtons. La masa mide la cantidad de materia y se mide en kilogramos. La masa no cambia con la altura; el peso sí. Si el cuerpo está a una altura , la distancia al centro es : Si , como en un edificio o un avión, y el peso es prácticamente el de la superficie. A la altura , la distancia se duplica y el peso se reduce a la cuarta parte. El estudio detallado de con la altura está en «Bloque 1: Campo gravitatorio — Intensidad del campo gravitatorio». COMPRUEBA 10 Un astronauta de 70 kg sube a una altura igual a dos radios terrestres.

¿Qué le pasa a su masa y a su peso? Fuerzas centrales y momento angular Una fuerza central es la que siempre apunta hacia un punto fijo (o desde él) y cuyo módulo solo depende de la distancia a ese punto. La gravitatoria lo es: apunta siempre al Sol. También la fuerza elástica de un muelle. El momento de una fuerza respecto a un punto O mide su capacidad de hacer girar: Usa el producto vectorial (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas»). Es perpendicular al plano de y , con el sentido de la regla del tornillo.

1,33 10 N 8 x y P = mg g = GM/R2 h R + h P(h) = G (R + h)2 Mm h R R + h R h = R g = MO × r = F MO rF sen θ r F Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 16 Esquema del momento de una fuerza respecto a un punto O. El momento angular de una partícula respecto a O es el momento de su cantidad de movimiento : Se mide en , equivalente a . Cuando y son perpendiculares, . Esto pasa en toda órbita circular y en el perihelio y afelio de una elíptica. Ambos momentos dependen del punto O elegido. Esquema del momento angular de una partícula en su trayectoria. La relación clave es la ecuación fundamental de la rotación: Es la versión giratoria de .

En una fuerza central, y son paralelos, así que y . Por tanto, con fuerza central, se conserva. Que sea constante tiene dos consecuencias: Dirección constante: y están siempre en el plano perpendicular a . La órbita es plana. Que además sea una elipse no se demuestra en Bachillerato. = p mv = L × r m = v L rmv sen θ kg m /s 2 J s r v L = rmv = dt dL M d /dt = p F r F sen θ = 0 = M 0 L L r v L Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 17 Sentido constante: el planeta gira siempre en el mismo sentido. Justificación de la 2.ª ley de Kepler En un tiempo el planeta avanza . El radio vector barre un triángulo de área igual a la mitad del paralelogramo formado por y .

Esquema del área barrida por el radio vector en una elipse. Aplicando la conservación de al perihelio (P) y al afelio (A), donde : Como , el planeta va más rápido en el perihelio. EJEMPLO Un cometa está 3 veces más lejos del Sol en el afelio que en el perihelio. En el perihelio va a 30 km/s. Truco útil: la velocidad areolar es el área total entre el periodo. En una órbita circular vale ; en una elíptica de semiejes y , . ERROR FRECUENTE Usar en cualquier punto de la órbita. Solo vale donde y son perpendiculares. En otro punto hay que incluir . Y no confundas: la velocidad areolar es constante, la velocidad lineal no. dt dr r dr Área barrida: . 1 dA = × 2 1 r d r Dividimos entre , y : .

2 dt d /dt = r v = dt dA × 2 1 r v Como : . 3 = L m × r v = dt dA 2m L y son constantes, así que la velocidad areolar también lo es. 4 L m L r v m r v = P P m r v A A = v A v P r P r A r < P r A En ambos puntos , así que vale . 1 r v r v = P P r v A A . 2 v = A v r /r = P P A 30/3 = 10 km/s πr /T 2 a b πab/T r v = P P r v A A r v sen θ Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 18 COMPRUEBA 11 Si la fuerza sobre un planeta no fuera central, ¿seguiría cumpliéndose la 2.ª ley de Kepler? PROCESO De la fuerza central a Kepler IDEAS CLAVE Los planetas describen elipses con el Sol en un foco y barren áreas iguales en tiempos iguales.

es la misma para todos los cuerpos que orbitan un mismo astro. La fuerza gravitatoria es siempre atractiva y varias fuerzas se suman vectorialmente. Una fuerza central no ejerce momento, así que conserva : órbita plana y velocidad areolar constante. En perihelio y afelio : el planeta va más rápido cerca del Sol. La masa no cambia con la altura; el peso disminuye con . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Por qué el momento de la fuerza gravitatoria respecto al Sol es nulo? 13. ¿Qué expresa la velocidad areolar en función del momento angular? 14. ¿Cuánto pesa un cuerpo a una altura igual al radio terrestre respecto a la superficie?

BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 3 Intensidad del campo gravitatorio Fuerza central La gravedad apunta siempre hacia el Sol 1 Momento nulo r y F paralelos, M = r × F = 0 2 L constante dL/dt = M = 0 3 Órbita plana La dirección fija de L fija el plano 4 Áreas iguales dA/dt = L/2m constante; más rápido en perihelio 5 T /r 2 3 = F GMm/r 2 ur L r v = P P r v A A 1/(R + h)2 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 19 21 % de los puntos del examen AL ACABAR SABRÁS Calcular el vector intensidad de campo gravitatorio creado por una o varias masas puntuales mediante superposición vectorial. Localizar el punto de campo gravitatorio nulo entre dos masas.

Calcular g a una altura dada con g(h) = g R²/(R+h)². Obtener la masa y la densidad de un planeta a partir de g y de su radio. PIÉNSALO ANTES DE LEER 15 Si subes a una altura igual al radio terrestre, ¿tu peso se reduce a la mitad? Fuerza y campo: dos formas de describir la gravedad La ley de gravitación universal (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y ley de gravitación universal») da la fuerza entre dos masas separadas. Pero no explica cómo una masa «nota» a otra sin tocarla. A eso se le llama acción a distancia. La idea de campo resuelve el problema. Una masa modifica el espacio que la rodea: a cada punto le asigna un valor de una magnitud física.

Si esa magnitud es una fuerza (un vector), hablamos de campo vectorial o campo de fuerzas. La interacción ocurre así en dos pasos: En física clásica el campo se considera instantáneo: si la fuente cambia, el campo cambia a la vez en todas partes. DEFINICIÓN El campo gravitatorio es la perturbación que una masa crea en el espacio, por la cual cualquier otra masa situada en él sufre una fuerza atractiva. Intensidad del campo gravitatorio La fuerza sobre un cuerpo depende de su propia masa. Para describir solo el campo, dividimos la fuerza entre la masa que la sufre, llamada masa testigo. Así obtenemos la fuerza por unidad de masa: la intensidad de campo gravitatorio.

La masa fuente crea el campo en todo el espacio, haya o no otros cuerpos. 1 Otro cuerpo colocado en un punto interacciona con el campo de ese punto, no directamente con la fuente. 2 = g = m F G r2 M ur Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 20 Aquí es la masa que crea el campo, la distancia desde su centro al punto y el vector unitario que va de la masa al punto (véase «Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas»). El signo menos indica que apunta hacia la masa: el campo es siempre atractivo. Lo importante: g solo depende de la masa que crea el campo y de la distancia, no de la masa testigo.

Si conocemos el campo en un punto, la fuerza sobre cualquier masa colocada allí es inmediata: . Por qué g es también la aceleración de caída Sus unidades son N/kg. Como 1 N = 1 kg·m/s², resulta que N/kg = m/s², unidades de aceleración. No es casualidad. Si la gravedad es la única fuerza, la segunda ley de Newton da , y la masa se simplifica: . Por eso todos los cuerpos caen con la misma aceleración en el vacío, sea cual sea su masa. EJEMPLO Calculamos g en la superficie terrestre con kg y m: Una persona de 60 kg sufre entonces un peso de unos 588 N dirigido al centro de la Tierra. Desde fuera, la Tierra se comporta como una masa puntual con toda su masa en el centro.

Su campo es radial y apunta hacia el centro. El valor real de g cambia un poco de un lugar a otro: la Tierra no es una esfera perfecta ni tiene densidad uniforme. Por eso se usa el valor medio m/s². COMPRUEBA 16 Si dejas caer en el vacío una bola de 1 kg y otra de 10 kg, ¿cuál sufre más fuerza y cuál acelera más? Líneas de campo Las líneas de campo son un dibujo del campo vectorial. Se trazan con tres reglas: Dirección: el vector es tangente a la línea en cada punto. Sentido: lo indican flechas sobre las líneas. Módulo: el número de líneas por unidad de superficie es proporcional a g. Donde las líneas se juntan, el campo es más intenso.

Para una masa puntual, las líneas son rectas radiales que entran en la masa desde todas direcciones. Cerca de la masa están muy juntas y se separan al alejarse, igual que g disminuye con . Las líneas gravitatorias nunca salen de una masa: siempre terminan en ella, porque no existe masa negativa. Dos líneas nunca se cortan, porque en cada punto el campo tiene una sola dirección.

M r ur g = F m g m = a m g = a g M = T 5,97 1024 R = T 6,37 106 g = 0 = R T 2 GM T (6,37 10 ) 6 2 6,67 10 5,97 10 11 24 9,8 m/s2 g = 0 9,8 g 1/r2 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 21 Campo de varias masas: principio de superposición Si hay varias masas, cada una crea su campo como si estuviera sola. El campo total es la suma vectorial de los campos individuales: es el principio de superposición. Procedimiento: EJEMPLO Dos masas de 100 kg están en A(0, 0) y B(4, 0) m. Buscamos el campo en P(0, 3) m. Paso 1: distancias. m. m. Paso 2 y 3: módulos. N/kg, hacia abajo. N/kg, apuntando de P hacia B. Paso 4: componentes. El vector de P a B es (4, 3), de longitud 5.

Su unitario es (0,8; 0,6). Entonces y . Paso 5: suma. N/kg. Módulo: N/kg. ERROR FRECUENTE Sumar los módulos: en el ejemplo saldría N/kg, que es falso. Los campos solo se suman como números si son paralelos. Si apuntan en sentidos opuestos, se restan; si forman un ángulo, hay que descomponer en componentes. Punto de campo nulo entre la Tierra y la Luna Entre dos masas hay un punto donde sus campos tienen igual módulo y sentidos opuestos. Ahí el campo total es cero. Solo puede estar sobre la recta que las une y entre ellas, más cerca de la masa menor. = gtotal + g1 + g2 + gn Dibuja las masas y el punto P. Marca la distancia de cada masa a P.

1 Dibuja cada vector en P, siempre apuntando hacia su masa. 2 gi Calcula cada módulo con . 3 g = i GM /r i i 2 Escribe cada vector en componentes e , con su signo. 4 x y Suma componente a componente y, si piden el módulo, aplica Pitágoras. 5 r = A 3 r = B = 4 + 3 2 2 5 g = A 6,67 10 11 100/9 7,41 10 10 g = B 6,67 10 11 100/25 2,67 10 10 gB (2,13 i 1,60 ) j 10 10 gA 7,41 10 10 j g (2,13 i 9,01 ) j 10 10 2,13 + 9,01 2 2 10 10 9,26 10 10 10,08 10 10 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 22 EJEMPLO Tomamos la masa de la Luna como aproximadamente 1/81 de la terrestre ( ) y la distancia Tierra-Luna . Llamamos a la distancia del punto al centro de la Tierra.

Igualamos módulos: . G se simplifica. Sustituimos y sacamos raíz: . Despejamos: . El punto está al 90 % del camino, muy cerca de la Luna. Al sacar la raíz tomamos solo la positiva, porque buscamos el punto entre las masas. Fuera del segmento ambos campos apuntan en el mismo sentido y no se anulan. COMPRUEBA 17 ¿Dónde estaría el punto de campo nulo entre dos masas iguales? ¿Y fuera del segmento que las une? Variación de g con la altura A una altura sobre la superficie, la distancia al centro es . Dividiendo el campo a esa altura entre el de la superficie, G y M desaparecen: Esta fórmula es útil porque solo necesita y el radio.

Muestra que g disminuye con el cuadrado de la distancia al centro, no de la altura. EJEMPLO ¿A qué altura g vale la cuarta parte de ? m. Hay que duplicar la distancia al centro, no la altura. ERROR FRECUENTE Poner en la fórmula en lugar de , o usar el diámetro como si fuera el radio. Lee bien si el dato es «altura sobre la superficie» o «distancia al centro». Y pasa siempre los km a metros. Masa y densidad de un planeta a partir de g Véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas» para el cálculo de la masa y la densidad de un planeta a partir de g.

Aquí solo recordamos el resultado: M T 81 M L d x = x2 GM T (d x)2 GM L = x2 81 (d x)2 1 = x 9 d x 1 9d 9x = x x = 0,9 d h r = R + h g(h) = g 0 (R + h)2 R2 g 0 g 0 = 4 1 (R+h)2 R2 R + h = 2R h = R = T 6,37 106 r = h r = R + h ρ = = V M 4πGR 3 g 0 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 23 EJEMPLO Para la Tierra: kg/m³. Es unas cinco veces y media la densidad del agua. Como las rocas de la corteza son menos densas, el interior debe ser mucho más denso.

PROCESO De g y R a la densidad 1 Datos g y R Medidos en la super ficie del planeta, en unidades SI 2 Despejar la masa M = g R²/G a partir de g = GM/R² 3 Volumen esférico V = 4πR³/3 4 Densidad ρ = M/V = 3g /(4πGR) COMPRUEBA 18 Dos planetas tienen la misma densidad, pero uno tiene el doble de radio. ¿Cómo es su g en superficie? IDEAS CLAVE El campo gravitatorio es una propiedad del espacio creada por una masa; otra masa interacciona con el campo del punto donde está. La intensidad de campo es la fuerza por unidad de masa, , y coincide con la aceleración de caída libre. Las líneas de campo gravitatorio son tangentes a g, terminan en las masas y su densidad indica la intensidad.

El campo de varias masas es la suma vectorial de los campos individuales, nunca la suma de módulos. Con la altura, : cuenta la distancia al centro, no la altura. Conociendo g y R se obtienen la masa y la densidad del planeta. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Por qué la intensidad de campo no depende de la masa testigo? 20. ¿Qué indica que las líneas de campo estén más juntas en una zona? 21. Escribe la densidad de un planeta en función de su g superficial y su radio.

ρ = 4π 6,67 10 6,37 10 11 6 3 9,8 5,5 103 = g GM/r 2 ur g = g R /(R + 0 2 h)2 M = g R /G 0 2 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 24 21 % de los puntos del examen BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 4 Energía potencial,potencial y carácter conservativo AL ACABAR SABRÁS Deducir la expresión Ep = GMm/r a partir del trabajo y justificar su signo Calcular el trabajo del campo entre dos puntos usando energía potencial o potencial Razonar por qué las líneas de campo son perpendiculares a las equipotenciales Aplicar la conservación de la energía mecánica y decidir cuándo vale mgh PIÉNSALO ANTES DE LEER 22 Si subir un libro a una estantería le da energía potencial positiva, ¿por qué los satélites tienen energía potencial negativa?

Fuerzas conservativas y energía potencial Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que hace entre dos puntos solo depende de esos puntos, no del camino seguido. Consecuencia directa: en un camino cerrado, el trabajo total es cero. La gravedad cumple esta propiedad, así que decimos que el campo gravitatorio es un campo conservativo. Para estas fuerzas podemos definir una función de la posición, la energía potencial , que mide la energía almacenada por estar en un sitio. El trabajo de la fuerza se obtiene de ella: La idea intuitiva: si la fuerza hace trabajo positivo (por ejemplo, una piedra que cae), la energía potencial baja. Lo que gana el cuerpo en movimiento lo pierde en posición.

Solo se miden diferencias de energía potencial. Para dar un valor en un punto hay que elegir un punto de referencia donde . Cada tipo de fuerza conservativa (gravitatoria, elástica, eléctrica) tiene su propia expresión de ; no hay una fórmula general, como sí la hay para la energía cinética. Conservación de la energía mecánica La energía mecánica es la suma , y puede incluir varias energías potenciales a la vez. El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo total es . Si todas las fuerzas son conservativas, además . Igualando: Es el teorema de conservación de la energía mecánica: si solo actúan fuerzas conservativas, E_m se mantiene.

E p W = A B A B F d = r ΔE = p E p,A E p,B E = p 0 E p E = m E + c E p W = ΔE c W = ΔE p ΔE = c ΔE p Δ(E + c E ) = p 0 ΔE = m 0 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 25 COMPRUEBA 23 Una masa sube por una rampa y vuelve al punto de partida. Sin rozamiento, ¿cuánto trabajo total ha hecho el peso? Energía potencial gravitatoria Consideramos una masa que crea el campo y una partícula a distancia . Necesitamos elegir la referencia. La más cómoda es tomar E_p = 0 en el infinito, donde la interacción desaparece: Deducción Y la diferencia entre dos puntos: Unidad: julio (J).

Si hay varias masas, se aplica el principio de superposición (véase «Intensidad del campo gravitatorio»): se suman las energías potenciales de cada par de masas. ¿Por qué es negativa? Al traer la partícula desde el infinito, el propio campo la arrastra hacia . Su trabajo es positivo. Como , la energía potencial sale negativa. Se puede leer así: la E_p crece hacia cero al alejarse. El máximo, cero, está en el infinito. Una negativa indica además que habría que aportar energía para separar las masas. Interpretación física de : Es el trabajo que hace el campo al traer la partícula desde el infinito, cambiado de signo. Equivale al trabajo externo necesario para traerla sin acelerarla.

Es también el trabajo que hace el campo al llevarla desde ese punto hasta el infinito. ERROR FRECUENTE Al restar muchos alumnos pierden el signo menos delante de . Comprobación rápida: si el cuerpo se aleja ( ), tiene que salir positivo. Si no, revisa los signos. M m r E ( ) = p 0 Partimos de la definición: . Como , queda . 1 E (r) p E ( ) = p W r E ( ) = p 0 E (r) = p r F dr La fuerza gravitatoria (véase «Leyes de Kepler y ley de gravitación universal») es : apunta hacia . 2 = F G r2 Mm ur M El desplazamiento es . El producto escalar da . 3 d = r dr ur F d = r G dr r2 Mm Integramos: .

4 E (r) = p G dr = r r2 Mm [ r GMm ] r Como , el resultado es: 5 = 1 0 E (r) = p r GMm ΔE = p E (B) p E (A) = p GMm ( r B 1 r A 1 ) M E = p W E p E (r) p r B 1 r A 1 GMm r > B r A ΔE p Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 26 Signos del trabajo y de la variación de energía potencial La partícula sobre la que actúa el campo es «el sistema». Si el campo hace el trabajo, la partícula gana energía cinética y pierde potencial. Si una fuerza externa trabaja contra el campo, ocurre lo contrario. Situación Trabajo del campo ¿Quién lo hace?

Piedra que cae Negativa Positivo El campo Piedra lanzada hacia arriba Positiva Negativo Un agente externo, contra el campo Resumen: en un campo gravitatorio, el movimiento espontáneo va hacia energías potenciales menores. COMPRUEBA 24 Un satélite pasa de una órbita de radio r a otra de radio 2r. ¿Su energía potencial sube o baja? ¿El campo hace trabajo positivo o negativo? Potencial gravitatorio DEFINICIÓN El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial por unidad de masa colocada allí. Es un escalar que solo depende de la masa que crea el campo. Con la misma referencia, .

La diferencia de potencial entre dos puntos es: Conocido el potencial, el trabajo del campo al mover cualquier masa es . La ventaja del potencial es que describe el campo sin necesidad de saber qué masa vamos a poner. Es lo mismo que hace la intensidad (véase «Intensidad del campo gravitatorio»), pero con un número en lugar de un vector. Es habitual representar o frente a : sale una curva negativa que sube hacia cero al aumentar la distancia. Superficies equipotenciales y gradiente Si unimos todos los puntos con el mismo potencial, obtenemos una superficie equipotencial. Para una masa puntual o esférica, solo depende de , así que las equipotenciales son esferas concéntricas.

Propiedad clave: las líneas de campo cortan perpendicularmente a las equipotenciales. Se demuestra así: ΔE p V V = = m E p (J/kg) r GM V ( ) = 0 ΔV = V B V = A GM ( r B 1 r A 1 ) W = A B m ΔV = m(V A V ) B g E p V r V r El trabajo elemental del campo es . 1 dW = m g d = r m dV Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 27 Corolario: el trabajo para mover una masa sobre una equipotencial es nulo. Ejemplo: un satélite en órbita circular está siempre a la misma distancia; la gravedad no le hace trabajo y su rapidez no cambia.

La relación matemática entre campo y potencial es el gradiente: El gradiente de es un vector perpendicular a las equipotenciales que señala hacia donde el potencial crece más rápido. El signo menos indica que apunta hacia donde disminuye, es decir, hacia la masa. Comprobación: , que es el módulo de con sentido hacia el centro. PROCESO Del campo al potencial y al trabajo COMPRUEBA 25 Si las equipotenciales están muy juntas en una zona, ¿qué dice eso del campo allí? La aproximación E_p = mgh y su validez Cerca de la superficie terrestre se usa . Sale de la fórmula general con y : Si , el término es despreciable frente a . Como , queda . Si nos movemos sobre la equipotencial, , luego .

2 dV = 0 g d = r 0 Como , es perpendicular a cualquier desplazamiento dentro de la superficie. 3 = g 0 g Las líneas de campo son tangentes a ; por tanto, son perpendiculares a la superficie.

4 g = g V , en radial: = g dr dV ur V g V = dr d ( r GM ) r2 GM g Fuerza conservativa El trabajo no depende del camino seguido 1 Energía potencial Ep = GMm/r con cero en el infinito 2 Potencial V = Ep/m = GM/r, en J/kg 3 Equipotenciales Esferas concéntricas, perpendiculares a las líneas de campo 4 Trabajo W = mΔV; nulo sobre una equipotencial 5 ΔE = p mgh r = A R T r = B R + T h ΔE = p GMm = ( R T 1 R + h T 1 ) R + R h T 2 T GMm h h R T R h T R T 2 g = R T 2 GM ΔE p mgh Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 28 ¿Hasta qué altura vale? Imponiendo un error relativo del 1 % se obtiene . Con km, el límite es unos 63,7 km de altura. Para satélites, nunca se usa .

Validez Cualquier distancia (fuera de la masa) Alturas pequeñas, g constante Referencia Infinito Punto elegido como h = 0 (suelo) Signo de E_p Siempre negativa Puede ser positiva Con campo constante hay una analogía con el campo eléctrico uniforme, (véase «Potencial, energía y trabajo»). Balances energéticos entre posiciones Si solo actúa la gravedad, se iguala la energía mecánica en los dos puntos: EJEMPLO: METEORITO QUE CAE Un meteorito parte del reposo a una distancia del centro de la Tierra. ¿Con qué velocidad llega al suelo, sin contar el aire? Datos: , con y m. 1. Energía inicial: solo potencial, . 2. Energía final: . 3. Igualamos y la masa m se simplifica: . 4. .

Con y saldría , un valor mayor y erróneo: g no es constante en ese recorrido. Para un objeto lanzado de A a B se procede igual: la velocidad en B sale de la de A y de la diferencia de potencial. Si A y B están a la misma distancia del centro (misma equipotencial), la rapidez es la misma en ambos.

h 100 R T R = T 6370 mgh r GMm mgh ΔE = p qEd mv 2 1 A 2 = r A GMm mv 2 1 B 2 r B GMm r = A 2R T g R = 0 T 2 GM g = 0 9,8 m/s2 R = T 6,37 106 2R T GMm mv 2 1 2 R T GMm v = 2 = R T GM g R 0 T v = 9,8 6,37 106 7,9 10 m/s 3 mgh h = R T v = 2g R 0 T Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 29 EBAU · 2025, EXTRAORDINARIA C.1) Razone si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Las líneas del campo gravitatorio son tangentes en cada punto a las superficies equipotenciales» [1 punto] Resolución La afirmación es falsa: las líneas de campo son perpendiculares a las equipotenciales.

Justificación: véase la demostración en «Superficies equipotenciales y gradiente» de esta misma sección: es perpendicular a las equipotenciales y las líneas de campo, tangentes a , también. Otra forma: , y el gradiente siempre es perpendicular a las superficies de V constante. Para una masa puntual se ve claro: equipotenciales esféricas y líneas de campo radiales. AHORA TÚ Razona si es verdadera o falsa: «Para trasladar una masa entre dos puntos de una misma superficie equipotencial hay que realizar un trabajo positivo». Primeros pasos: el trabajo del campo es . Al estar en la misma equipotencial, . Te toca: calcular el trabajo, concluir y añadir si importa el camino seguido.

Solución: 26 IDEAS CLAVE El campo gravitatorio es conservativo: el trabajo solo depende de los puntos inicial y final, y vale . Con referencia en el infinito, : siempre negativa y crece hacia cero al alejarse. El potencial (J/kg) es la energía potencial por unidad de masa. Las equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo porque ; moverse sobre ellas no cuesta trabajo. solo vale para h pequeña frente al radio terrestre (unos 64 km con error del 1 %). Si solo actúa la gravedad, la energía mecánica se conserva y permite relacionar velocidades y posiciones. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria es negativa con referencia en el infinito? 28.

¿Qué relación hay entre y ? 29. ¿Por qué no se puede usar mgh para calcular la energía de un satélite?

g g = g V W = A B m(V B V ) A V = A V B W = A B E p,A E p,B E = p r GMm V = r GM = g V ΔE = p mgh Ep V Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 30 21 % de los puntos del examen BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento orbital: velocidad y periodo AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital y la tercera ley de Kepler igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta Calcular la masa y la densidad de un astro a partir del periodo y el radio de un satélite Calcular el radio y la altura de la órbita geoestacionaria y explicar sus condiciones Evitar los errores de unidades y de radio (r = R + h) en problemas de órbitas PIÉNSALO ANTES DE LEER 30 ¿Cómo se puede saber la masa del Sol sin pesarlo?

De la segunda ley de Newton a la velocidad orbital Un satélite en órbita circular no está «flotando»: está cayendo continuamente hacia el astro central. Lo que ocurre es que avanza tan deprisa que nunca llega a chocar. Para describirlo aplicamos la ley fundamental de la dinámica ( ) a una órbita circular de radio . En un movimiento circular uniforme, la aceleración apunta al centro y se llama aceleración centrípeta: . La única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y ley de gravitación universal»). Por tanto, esa fuerza es la que hace de fuerza centrípeta: Aquí es la masa del cuerpo central y la del satélite.

La masa aparece a los dos lados y se simplifica. Despejando: Esta es la velocidad orbital: la velocidad que necesita un cuerpo para mantenerse en una órbita circular de radio . Tiene dos consecuencias muy útiles: No depende de la masa del satélite. Una estación espacial y un tornillo a la misma altura van igual de rápido. Cuanto menor es el radio, mayor es la velocidad. Los satélites bajos van más rápido que los altos. Recuerda que se mide desde el centro del astro. Si el dato es la altura sobre la superficie, hay que sumar el radio del planeta: .

F = ma r a = c v /r 2 G = r2 Mm m r v2 M m m v = r GM r r h r = R + h Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 31 EJEMPLO Velocidad de un satélite a 600 km de altura sobre la Tierra. Unos 7,6 km/s, valor típico de una órbita baja. Si conoces y no ni , usa la igualdad , que sale de la intensidad de campo en la superficie (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Intensidad del campo gravitatorio»). Queda . COMPRUEBA 31 Si un satélite pasa a una órbita de radio cuatro veces mayor, ¿qué le ocurre a su velocidad orbital? Periodo de revolución y tercera ley de Kepler El periodo es el tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta completa.

En una vuelta recorre la longitud de la circunferencia, , a velocidad constante. Por eso: Igualamos esta expresión con la de la velocidad orbital y elevamos al cuadrado: Acabamos de deducir la tercera ley de Kepler, que Kepler había obtenido observando los planetas (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Herramientas comunes: vectores, dimensiones y gráficas» y «Bloque 1: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y ley de gravitación universal»). Esta proporcionalidad permite comparar dos órbitas sin conocer ni : EJEMPLO Marte está a unas 1,52 veces la distancia Tierra-Sol. ¿Cuánto dura su año?

Al trabajar con cocientes, las unidades pueden ser cualesquiera, siempre que sean las mismas en las dos órbitas. Pasamos a metros y sumamos el radio terrestre: . 1 r = 6,37 10 + 6 6,0 10 = 5 6,97 10 m 6 Calculamos . 2 GM = T 6,67 10 11 5,97 10 24 3,98 10 N m /kg 14 2 Aplicamos la fórmula: . 3 v = 3,98 10 /6,97 10 14 6 7,56 10 m/s 3 g 0 G M GM = g R 0 2 v = g R /r 0 2 T 2πr v = T 2πr = T2 4π r 2 2 r GM T = 2 r GM 4π2 3 G M = r 1 3 T 1 2 r 2 3 T 2 2 Tomamos la Tierra como referencia: año, . 1 T = T 1 r = T 1 Aplicamos la proporción: . 2 T = M 2 T (r /r ) = T 2 M T 3 1,52 3 3,51 Raíz cuadrada: años.

3 T M 1,87 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 32 La ley vale también para órbitas elípticas si se sustituye por el semieje mayor de la elipse. COMPRUEBA 32 Dos satélites giran alrededor de la Tierra a la misma altura; uno tiene el doble de masa. ¿Cuál tarda más en dar la vuelta? PROCESO Deducción de la tercera ley de Kepler Cómo «pesar» un astro: masa y densidad La tercera ley relaciona tres magnitudes: el periodo, el radio de la órbita y la masa del cuerpo central. Si conocemos dos, obtenemos la tercera. La aplicación más llamativa es calcular la masa de un astro que nunca podremos pesar.

Basta con observar algo que gire a su alrededor y despejar: Así se calcula la masa del Sol a partir de la órbita de la Tierra, o la de Júpiter a partir de una de sus lunas. EJEMPLO Masa del Sol con la órbita terrestre: m y año. Fíjate en que la masa calculada es la del astro central, nunca la del satélite: la del satélite se simplificó al principio. r Fuerza centrípeta La gravedad es la fuerza centrípeta: GMm/r² = mv²/r 1 Velocidad orbital Se cancela m y queda v = (GM/r) 2 Periodo Una vuelta completa: v = 2πr/T 3 Tercera ley Igualando y elevando al cuadrado: T² = 4π²r³/GM 4 Masa central Despejando: M = 4π²r³/(GT²) 5 M = GT2 4π r 2 3 r 1,50 1011 T = 1 Pasamos el periodo a segundos: s.

1 T = 365 24 3600 3,15 107 Calculamos y . 2 r 3 3,38 10 m 33 3 T 2 9,92 10 s 14 2 Sustituimos: kg. 3 M = 6,67 10 9,92 10 11 14 4π 3,38 10 2 33 2,0 1030 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 33 A veces el enunciado da la masa de forma indirecta, mediante la densidad (masa por unidad de volumen) y el radio del planeta. Suponiendo que el planeta es una esfera: Aquí es el radio del planeta, no el de la órbita. Para obtener la densidad, primero se calcula con la tercera ley y después se divide entre el volumen. Satélites geoestacionarios y tipos de órbitas Un satélite geoestacionario es el que se ve siempre en el mismo punto del cielo desde la Tierra.

Para ello debe cumplir tres condiciones: Órbita circular y en el plano del ecuador. Girar en el mismo sentido que la Tierra. Tener el mismo periodo que la rotación terrestre: h (con más precisión, el día sidéreo, 23 h 56 min). Como el periodo está fijado, la tercera ley fija también el radio. Todos los geoestacionarios están a la misma distancia, en el llamado cinturón de Clarke. EJEMPLO Su velocidad es km/s. Estos satélites son ideales para comunicaciones y meteorología, porque una antena fija apunta siempre hacia ellos. Como inconvenientes, su lanzamiento es caro y cubren mal las zonas de latitud alta.

Según su altura, los satélites artificiales se clasifican así: Tipo Altura aproximada Velocidad Usos y rasgos Órbita baja (LEO) 250-1000 km unos 7 km/s Estación Espacial Internacional (unos 380 km), telescopio Hubble (unos 600 km), observación terrestre. Fácil de alcanzar; sufren rozamiento atmosférico; se necesitan muchos para cubrir todo el planeta. Órbita media (MEO) 10 000-30 000 km unos 3-7 km/s Navegación: GPS, Glonass, Galileo. Atraviesan los cinturones de radiación de Van Allen. Geoestacionaria (GEO) unos 36 000 km unos 3 km/s Comunicaciones y meteorología; órbita ecuatorial de 24 h. ρ ρ = , V = V M πR 3 4 3 R M T = 24 Periodo en segundos: s.

1 T = 24 3600 = 86 400 Despejamos el radio: m. 2 r = = 3 4π2 GM T T 2 3 4π2 3,98 10 (86 400) 14 2 4,22 107 Altura sobre la superficie: m, es decir, unos 35 800 km. 3 h = r R T 4,22 10 7 6,37 10 6 3,58 107 v = 2πr/T 3,1 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 34 COMPRUEBA 33 ¿Podría un satélite geoestacionario estar siempre encima de Valladolid? Errores típicos en los problemas de órbitas La física de esta sección es sencilla; los puntos se pierden en los datos. Repasa esta tabla antes de cada problema. Error Cómo evitarlo Usar kilómetros en lugar de metros Pasa todo a metros antes de sustituir: está en unidades del SI.

Usar la altura como radio El radio de la órbita es , medido desde el centro. Confundir diámetro y radio Si dan el diámetro, divídelo entre 2. Dejar el periodo en horas o días Multiplica: 1 h = 3600 s; 1 día = 86 400 s. Confundir qué masa se calcula La tercera ley da la masa del cuerpo central, nunca la del satélite. Usar el radio de la órbita en el volumen En va el radio del planeta. ERROR FRECUENTE Al pasar de a altura (o al revés) muchos alumnos suman o restan el radio terrestre en km mientras el resto está en m. Ejemplo: da un resultado absurdo. Convierte primero todo a metros y después opera. IDEAS CLAVE Igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta da la velocidad orbital .

La velocidad y el periodo orbitales no dependen de la masa del satélite, solo de y de la masa central. Con se deduce la tercera ley de Kepler: . Observando un satélite se calcula la masa del astro central, y con su volumen, su densidad. Un geoestacionario tiene órbita ecuatorial, h y m (unos 35 800 km de altura). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 34. ¿Por qué se simplifica la masa del satélite al deducir la velocidad orbital? 35. Con la órbita de una luna de Júpiter, ¿qué masa puedes calcular? 36. ¿Qué tres condiciones cumple un satélite geoestacionario?

G r = R + h V = πR 3 4 3 r 4,22 10 7 6370 v = GM/r r v = 2πr/T T = 2 r GM 4π2 3 T = 24 r 4,22 107 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 35 21 % de los puntos del examen BLOQUE 1: CAMPO GRAVITATORIO 6 Energía orbital,cambios de órbita y velocidad de escape AL ACABAR SABRÁS Deducir Ec, Ep y Em de un satélite en órbita circular y justificar sus signos Calcular la energía de satelización y la de un cambio de órbita Deducir la velocidad de escape y distinguirla de la velocidad que hay que añadir desde una órbita Clasificar una trayectoria según el signo de la energía mecánica PIÉNSALO ANTES DE LEER 37 ¿Por qué cuesta energía subir un satélite a una órbita más alta, si allí va más despacio?

Energías de un satélite en órbita circular Un satélite de masa m gira en una órbita circular de radio r alrededor de un astro de masa M. El radio de la órbita se mide desde el centro del astro: , donde h es la altura sobre la superficie. Queremos conocer tres energías: la cinética, la potencial y la mecánica (la suma de ambas). Para que la órbita sea circular y estable, la fuerza gravitatoria tiene que hacer de fuerza centrípeta. Igualamos ambas: No hace falta despejar la velocidad orbital (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Movimiento orbital: velocidad y periodo»).

Basta con multiplicar por 1/2 para obtener la energía cinética: La energía potencial gravitatoria, con el cero en el infinito, es (véase «Bloque 1: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial y carácter conservativo»). Sumando las dos: PARA RECORDARLO En órbita circular se cumple . La cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial. La mecánica es la mitad de la potencial, con su mismo signo negativo. Por qué cada energía tiene su signo Energía cinética: siempre positiva. Depende de y la masa es positiva, así que nunca puede ser negativa.

r = R + h G = r2 Mm m r v2 mv = 2 G r Mm E = c mv = 2 1 2 2r GMm E = p r GMm E = m E + c E = p 2r GMm = r GMm 2r GMm E = m = 2 E p E c v2 Apuntes de Física PAU Castilla y León: temario y formulario 36 Energía potencial: siempre negativa. Es una consecuencia de elegir el cero en el infinito. Al acercarse al astro, el campo hace trabajo positivo y la energía potencial baja por debajo de cero. Energía mecánica: negativa en cualquier órbita cerrada. Ese signo indica que el satélite está ligado al astro: no tiene energía suficiente para llegar al…