Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests

Índice · 32

Bloque A: Campo gravitatorio

01Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas 02Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo 03Momento angular, fuerzas centrales y leyes de Kepler 04Satélites, órbitas y velocidad de escape 05Introducción a la cosmología y la astrofísica

Bloque B: Campo electromagnético

06Ley de Coulomb y campo eléctrico de cargas puntuales 07Potencial, energía potencial electrostática y trabajo 08Flujo eléctrico y distribuciones continuas (teorema de Gauss)09Cargas libres en campos eléctricos uniformes 10Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas en campos magnéticos 11Campos magnéticos creados por corrientes y fuerzas entre corrientes 12Inducción electromagnética: leyes de Faraday y Lenz 13Generadores, motores y transformadores

Ondas mecánicas

14Movimiento armónico simple 15Ondas armónicas y ecuación de onda 16Fenómenos ondulatorios 17El sonido: cualidades, intensidad y nivel de intensidad 18Efecto Doppler

Óptica

19Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 20Reflexión, refracción y reflexión total de la luz 21Óptica geométrica: conceptos, dioptrio y espejos 22Lentes delgadas 23Instrumentos ópticos y el ojo humano

Bloque D: Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas

24Relatividad especial 25Cuantización de la energía y efecto fotoeléctrico 26Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre 27Modelo estándar y aceleradores de partículas 28Núcleo atómico, estabilidad y energía de enlace 29Radiactividad natural: tipos de emisión 30Ley de desintegración radiactiva 31Reacciones nucleares y aplicaciones 32Formulario

Bloque A

Campo gravitatorio

5 apartados

01Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas

Al acabar sabrás 11 % de los puntos del examen

Calcular el vector campo gravitatorio creado por varias masas puntuales en un punto del plano.
Determinar la fuerza y la aceleración que sufre una masa en un campo gravitatorio.
Deducir g₀ y calcular el valor de g a una altura dada sobre la Tierra.
Representar gráficamente los campos individuales y la resultante.

Piénsalo antes de leer

Si estás exactamente en el punto medio entre dos planetas idénticos, ¿hacia dónde te atrae la gravedad?

Ver la respuesta

Hacia ninguno: los dos campos tienen igual módulo y sentidos opuestos, y al sumarlos como vectores se anulan.

La gravitación es la interacción entre cuerpos por el hecho de tener masa. En esta sección aprenderás a calcular la fuerza entre masas, el campo gravitatorio que crean y su valor cerca de la Tierra. Todo se hace con vectores.

Esquema

Campo gravitatorio de masas puntuales

🍎Ley de gravitaciónFuerza vectorial entre dos masas

🧲Campo gFuerza por unidad de masa

➕SuperposiciónSuma vectorial de campos

🌍g terrestre y alturag₀, peso y g(h)

⚡Energía y potencialEp, V y trabajo del campo

🪐Kepler y momento angularFuerzas centrales y órbitas

🛰️Satélites y escapeVelocidad orbital y de escape

🌌CosmologíaEstrellas, universo, materia oscura

Ley de gravitación universal en forma vectorial

Newton comprendió que la fuerza que hace caer los objetos hacia el centro de la Tierra es la misma que gobierna el movimiento de los astros. Su ley dice que dos masas puntuales se atraen con una fuerza proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

\vec F_{12} = -G\frac{m_1 m_2}{r^2}\,\vec u_r

Aquí $\vec u_r$ es el vector unitario (módulo 1) que va desde la masa que atrae hacia la masa atraída. El signo menos indica que la fuerza apunta al revés: hacia la masa que atrae. La constante es G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg², la constante de gravitación universal. Su valor tan pequeño explica que solo notemos la gravedad cuando una de las masas es enorme, como un planeta.

Características de la fuerza gravitatoria:

Dirección: la recta que une las dos partículas.
Siempre atractiva: no existen masas negativas.
Va por pares (tercera ley de Newton): $\vec F_{12} = -\vec F_{21}$ ; mismo módulo y dirección, sentidos opuestos.
Acción a distancia: no necesita ningún medio material entre las masas.

Esquema de las fuerzas iguales y opuestas entre dos masas

El módulo es $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ , en newtons (N). La ley tiene muchas aplicaciones: poner satélites en órbita alrededor de la Tierra o de otros planetas, lanzar naves fuera del campo terrestre o calcular la gravedad a distintas alturas.

Comprueba

Si duplicas la distancia entre dos masas, ¿qué pasa con la fuerza?

Intensidad del campo gravitatorio de una masa puntual

Que una fuerza aparezca de golpe entre dos masas lejanas resulta extraño. Para evitar esa idea de acción a distancia se introduce el campo: una masa modifica el espacio que la rodea, y cualquier otra masa colocada allí nota una fuerza.

Definición

La intensidad del campo gravitatorio $\vec g$ en un punto es la fuerza por unidad de masa que sufriría una masa de prueba colocada allí: $\vec g = \vec F / m$ .

Para una masa puntual $M$ , a distancia $r$ :

\vec g = -G\frac{M}{r^2}\,\vec u_r = -G\frac{M}{r^3}\,\vec r

Propiedad	Valor
Módulo	$g = GM/r^2$
Dirección	Radial: la recta que une $M$ con el punto
Sentido	Hacia la masa que crea el campo
Unidades	N/kg, que equivalen a m/s²

La segunda forma usa $\vec u_r = \vec r / r$ , por eso aparece $r^3$ . El campo existe aunque no haya ninguna masa de prueba. Si colocamos una masa $m$ , la fuerza que recibe es $\vec F = m\vec g$ .

Efecto sobre el movimiento. Por la segunda ley de Newton, $m\vec a = m\vec g$ , así que $\vec a = \vec g$ . Un cuerpo sometido solo a la gravedad acelera con el valor del campo en ese punto, sea cual sea su masa. La fuerza sí depende de la masa; la aceleración no. Por eso las unidades N/kg y m/s² son la misma cosa.

Líneas de campo. Se dibujan tangentes a $\vec g$ en cada punto. Para una masa puntual son rectas radiales que acaban en la masa: nacen en el infinito y mueren en ella. Nunca se cortan, porque en cada punto el campo tiene un único valor. Donde están más juntas, el campo es más intenso.

Comprueba

Dejas caer a la vez una piedra de 1 kg y otra de 5 kg desde la misma altura (sin aire). ¿Cuál recibe más fuerza y cuál acelera más?

Principio de superposición

Si hay varias masas, cada una crea su campo como si las demás no existieran. El campo total en un punto es la suma vectorial de los campos individuales:

\vec g_{total} = \sum_{i=1}^{n} \vec g_i \qquad \vec F_{total} = m\,\vec g_{total} = \sum_{i=1}^{n} \vec F_i

Procedimiento para cada masa $M_i$ situada en $P_i$ y el punto de cálculo $Q$ :

Vector posición: $\vec r_i = Q - P_i$ (de la masa al punto, siempre en este orden).
Distancia: $r_i = |\vec r_i|$ , con Pitágoras.
Vector unitario: $\vec u_i = \vec r_i / r_i$ .
Campo: $\vec g_i = -G\frac{M_i}{r_i^2}\vec u_i$ . Comprueba que apunta hacia $M_i$ .
Suma por componentes: suma todas las $x$ por un lado y todas las $y$ por otro.
Si piden el módulo, calcúlalo al final con el vector resultante.

Ejemplo

Una masa $M_1 = 4\cdot10^{12}$ kg está en $(0{,}0)$ m y otra $M_2 = 2\cdot10^{12}$ kg en $(6{,}0)$ m. Calcula $\vec g$ en $Q(0{,}8)$ m.

Masa 1. $\vec r_1 = (0{,}8)$ , $r_1 = 8$ m, $\vec u_1 = (0{,}1)$ . Módulo: $g_1 = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 4\cdot10^{12}/64 \approx 4{,}17$ N/kg. Entonces $\vec g_1 = (0,\,-4{,}17)$ N/kg: apunta hacia abajo, hacia $M_1$ .

Masa 2. $\vec r_2 = (0-6,\,8-0) = (-6{,}8)$ , $r_2 = \sqrt{36+64} = 10$ m, $\vec u_2 = (-0{,}6;\,0{,}8)$ . Módulo: $g_2 = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 2\cdot10^{12}/100 \approx 1{,}33$ N/kg. Entonces $\vec g_2 = -1{,}33\,(-0{,}6;\,0{,}8) = (0{,}80;\,-1{,}07)$ N/kg: hacia la derecha y abajo, hacia $M_2$ .

Suma. $\vec g = (0{,}80;\,-5{,}24)$ N/kg. Módulo: $\sqrt{0{,}80^2 + 5{,}24^2} \approx 5{,}30$ N/kg.

Error frecuente

Sumar módulos: $4{,}17 + 1{,}33 = 5{,}50$ N/kg es incorrecto; el resultado real es 5,30 N/kg. Los campos solo se suman componente a componente. Otro fallo típico es el sentido: si tomas $\vec r_i$ del punto a la masa, el signo menos te da un campo que se aleja de la masa. Comprueba siempre en el dibujo que cada $\vec g_i$ apunta hacia su masa.

Comprueba

Dos masas iguales están a la misma distancia de un punto, en sentidos opuestos sobre la misma recta. ¿Cuánto vale el campo en ese punto?

Campo gravitatorio terrestre: peso, g0 y altura

Una esfera homogénea crea fuera de ella el mismo campo que una masa puntual situada en su centro. Por eso, para un objeto en la superficie terrestre, la distancia no es cero sino el radio $R$ .

Esquema de una masa sobre la superficie terrestre, a distancia R

Con M = 5,97·10²⁴ kg y R = 6,37·10⁶ m:

g_0 = G\frac{M}{R^2} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2} \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2

La fuerza con que la Tierra atrae un objeto es su peso: $P = m g_0$ . De la definición de $g_0$ sale una relación muy útil cuando el enunciado no da $M$ : $GM = g_0 R^2$ .

A una altura $h$ sobre la superficie, la distancia al centro es $R+h$ :

Esquema de un punto a altura h sobre la Tierra

g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2} = g_0\frac{R^2}{(R+h)^2}

El campo disminuye con la altura y tiende a cero cuando $r \to \infty$ . A alturas pequeñas frente a $R$ el cambio es casi inapreciable.

Ejemplo

¿A qué altura el campo vale la cuarta parte de $g_0$ ? Planteamos $g_0 R^2/(R+h)^2 = g_0/4$ . Se simplifica $g_0$ : $(R+h)^2 = 4R^2$ . Raíz cuadrada (solo la positiva tiene sentido físico): $R+h = 2R$ , así que $h = R = 6{,}37\cdot10^{6}$ m. En general, para reducirlo $n$ veces: $h = R(\sqrt n - 1)$ .

Para recordarlo

En $g(h)$ se mide desde el centro: usa $R+h$ , nunca solo $h$ . Si te dan la distancia al centro, ya es $r$ .

El campo también puede describirse con una magnitud escalar, el potencial; se estudia en «Bloque A: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo», igual que el trabajo del campo.

EBAU · 2026, Ordinaria

Pregunta 2. [2.5 PUNTOS] Dos masas puntuales idénticas de valor $m_1 = m_2 = 10\text{ kg}$ se encuentran situadas en los puntos $P_1(0{,}0)$ m y $P_2(0{,}10)$ m respectivamente del plano $xy$ .

a) [1 PUNTO] Calcular y representar gráficamente el vector campo gravitatorio debido a las masas $m_1$ y $m_2$ en el punto $(5{,}5)\text{ m}$ .

b) [1 PUNTO] Calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por $m_1$ y $m_2$ para transportar una masa puntual $m_3 = 1\text{ kg}$ desde el punto $(5{,}5)\text{ m}$ al punto $(0{,}5)\text{ m}$ .

c) [0.5 PUNTOS] Razonar brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b).

Resolución

a) Superposición. Masa 1: $\vec r_1 = (5{,}5)$ , $r_1 = \sqrt{50} \approx 7{,}071$ m, $\vec u_1 = (1{,}1)/\sqrt2$ . Módulo: $g_1 = G\cdot10/50 = 1{,}334\cdot10^{-11}$ N/kg. Así $\vec g_1 = -\frac{G}{\sqrt{50}}(1{,}1) \approx (-9{,}43;\,-9{,}43)\cdot10^{-12}$ N/kg.

Masa 2: $\vec r_2 = (5,-5)$ , misma distancia, $\vec u_2 = (1,-1)/\sqrt2$ , luego $\vec g_2 \approx (-9{,}43;\,+9{,}43)\cdot10^{-12}$ N/kg.

Suma: las componentes $y$ se anulan por simetría. $\vec g = -\frac{2G}{\sqrt{50}}\vec i \approx -1{,}89\cdot10^{-11}\,\vec i$ N/kg.

Dibujo: ejes con las masas en $(0{,}0)$ y $(0{,}10)$ . En $(5{,}5)$ , $\vec g_1$ apunta hacia $P_1$ y $\vec g_2$ hacia $P_2$ , con igual longitud y a 45° por debajo y por encima de la horizontal. La resultante es horizontal hacia la izquierda ( $-\vec i$ ).

b) El trabajo del campo es $W_{A\to B} = m_3(V_A - V_B)$ , con $V = -G\sum m_i/d_i$ (véase la sección de energía potencial y potencial). En $A(5{,}5)$ : $V_A = -G(10/\sqrt{50} + 10/\sqrt{50}) \approx -2{,}828\,G$ J/kg. En $B(0{,}5)$ , ambas masas están a 5 m: $V_B = -G(2+2) = -4G$ J/kg.

$W = 1\cdot(-2{,}828G + 4G) = 1{,}172\,G \approx 7{,}82\cdot10^{-11}$ J.

c) El trabajo es positivo: lo hace el propio campo, de forma espontánea, porque la fuerza gravitatoria tiene el sentido del desplazamiento (hacia la izquierda, hacia las masas). La masa pasa a un punto de menor potencial ( $V_B < V_A$ ) y la energía potencial del sistema disminuye: $\Delta E_p = -W < 0$ .

Ahora tú

Dos masas de 20 kg están en $P_1(0{,}0)$ m y $P_2(8{,}0)$ m. Calcula el vector campo gravitatorio en $Q(4{,}3)$ m.

Primeros pasos: $\vec r_1 = (4{,}3)$ , $r_1 = 5$ m, $\vec u_1 = (0{,}8;\,0{,}6)$ . $\vec r_2 = (-4{,}3)$ , $r_2 = 5$ m, $\vec u_2 = (-0{,}8;\,0{,}6)$ .

Te toca: calcular el módulo de cada campo, escribir cada vector con su signo y sumarlos por componentes.

Ideas clave

La fuerza gravitatoria es siempre atractiva, va por la recta que une las masas y su módulo es $F = Gm_1m_2/r^2$ .
El campo $\vec g = -GM/r^2\,\vec u_r$ es la fuerza por unidad de masa; apunta hacia la masa y se mide en N/kg = m/s².
Un cuerpo sometido solo a la gravedad acelera con $\vec a = \vec g$ , independientemente de su masa.
Con varias masas los campos se suman como vectores, componente a componente, nunca sumando módulos.
En la superficie terrestre $g_0 = GM/R^2 \approx 9{,}8$ m/s² y a una altura h, $g = g_0R^2/(R+h)^2$ .

Comprueba lo que has aprendido

¿Por qué el vector posición se toma desde la masa hacia el punto?

Porque así

\vec u_r

apunta hacia fuera y el signo menos de

\vec g = -GM/r^2\,\vec u_r

hace que el campo apunte hacia la masa.

¿Cuánto vale g a una altura igual a 2R sobre la superficie?

La distancia al centro es 3R, así que

g = g_0/9 \approx 1{,}09

m/s².

Repaso rápido

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¿En qué sentido apunta el campo gravitatorio de una masa puntual?

Estos apuntes pueden contener errores u omisiones. Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Más información