Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests

Y 0 flashcards y 30 preguntas más en el documento.

Texto del documento

APUNTES FÍSICA EBAU Cantabria AprenAI 2026-2027 Los 31 temas de Física de la EBAU de Cantabria: gravitación, electromagnetismo, ondas, óptica y física moderna. Con esquemas, tests y formulario.

APREN.AI Índice Bloque A: Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas 7 Ley de gravitación universal en forma vectorial 8 Intensidad del campo gravitatorio de una masa puntual 9 Principio de superposición 10 Campo gravitatorio terrestre: peso, g0 y altura 11 2 Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo 14 Fuerzas conservativas 14 Energía potencial gravitatoria 15 Potencial gravitatorio 16 Trabajo del campo y su signo 17 Conservación de la energía mecánica 17 3 Momento angular, fuerzas centrales y leyes de Kepler 19 Momento angular de una partícula 20 Fuerzas centrales y conservación de L 20 Las tres leyes de Kepler 21 Deducción de la 3.ª ley (órbita circular) 22 4 Satélites, órbitas y velocidad de escape 23 Velocidad orbital y periodo de una órbita circular 24 Energías de un satélite en órbita circular 25 Tipos de trayectoria según la energía mecánica 26 Puesta en órbita y cambios de órbita 26 Velocidad de escape 27 Satélites geoestacionarios 28 5 Introducción a la cosmología y la astrofísica 29 La gravedad y la vida de las estrellas 30 Agujeros negros: el caso límite de la velocidad de escape 31 Cosmología: un universo en expansión 31 Repercusión de la investigación espacial 32 Bloque B: Campo electromagnético 6 Ley de Coulomb y campo eléctrico de cargas puntuales 33 Ley de Coulomb 34 Intensidad del campo eléctrico 35 Líneas de campo 35 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 1 Superposición: campo de varias cargas 36 Punto de campo nulo en el eje 37 Campo eléctrico y campo gravitatorio 38 7 Potencial, energía potencial electrostática y trabajo 40 Potencial eléctrico de cargas puntuales 40 Pozos y montañas de potencial 42 Energía potencial electrostática 44 Energía de configuración de un sistema de cargas 44 Trabajo para desplazar cargas 45 Relación entre campo y potencial.

Superficies equipotenciales 46 8 Flujo eléctrico y distribuciones continuas (teorema de Gauss) 47 Flujo del campo eléctrico 47 Teorema de Gauss 48 Esfera cargada 49 Plano infinito y condensador plano 50 Hilo infinito cargado 50 Resumen de resultados 50 9 Cargas libres en campos eléctricos uniformes 51 El campo uniforme del condensador plano 51 Movimiento paralelo al campo: aceleración por ΔV 52 Movimiento perpendicular al campo: trayectoria parabólica 52 Aplicaciones 54 10 Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas en campos magnéticos 54 Imanes y comportamiento magnético de la materia 55 La fuerza de Lorentz 56 Movimiento en un campo uniforme: radio y periodo 57 Aplicaciones tecnológicas 59 Fenómenos naturales: auroras y cinturones de Van Allen 60 11 Campos magnéticos creados por corrientes y fuerzas entre corrientes 62 1.

Fuerza sobre un conductor con corriente 62 2. Campo creado por cargas y corrientes 62 3. Hilo rectilíneo indefinido 63 4. Espira, solenoide y toroide 64 5. Ley de Ampère y carácter no conservativo 64 6. Fuerza entre hilos paralelos y amperio 65 7.

Líneas de campo eléctrico y magnético 65 12 Inducción electromagnética: leyes de Faraday y Lenz 67 Las experiencias de Faraday y Henry 67 El flujo magnético 68 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 2 Ley de Faraday-Lenz 70 Fem de movimiento: la varilla deslizante 72 13 Generadores, motores y transformadores 73 Generadores: dinamos y alternadores 74 Motor eléctrico: el proceso inverso 76 El transformador 76 Producción y transporte de la electricidad 77 Ondas mecánicas 14 Movimiento armónico simple 79 Ecuación del movimiento 80 Velocidad y aceleración 81 Cómo calcular la fase inicial 81 Dinámica: muelle y péndulo 82 Energía del oscilador 83 15 Ondas armónicas y ecuación de onda 84 Qué es una onda y cómo se clasifica 84 Magnitudes de una onda armónica 85 La ecuación de onda 86 Gráficas y–x y y–t 87 Diferencia de fase 87 Velocidad y aceleración transversal 88 16 Fenómenos ondulatorios 91 Principio de Huygens 91 Reflexión y refracción 91 Difracción 93 Interferencias 93 Ondas estacionarias 94 Armónicos en cuerdas y tubos 95 Fenómenos en la naturaleza y aplicaciones 96 17 El sonido: cualidades, intensidad y nivel de intensidad 97 Naturaleza del sonido y velocidad de propagación 98 Cualidades del sonido 98 Energía, potencia e intensidad de una onda 99 Atenuación y absorción 100 Nivel de intensidad sonora (decibelios) 100 Varias fuentes y cambios de potencia 101 18 Efecto Doppler 102 Explicación cualitativa: frentes de onda 102 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 3 Fórmula y criterio de signos 103 Aplicaciones 104 Óptica 19 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 106 La controversia: ¿partículas u ondas?

107 Young, Fresnel y Maxwell: triunfa la onda 108 La onda electromagnética 108 Velocidad de la luz y su medida 109 El espectro electromagnético 110 La naturaleza dual de la luz 111 20 Reflexión, refracción y reflexión total de la luz 113 Índice de refracción 113 Leyes de la reflexión y de la refracción 114 Ángulo límite y reflexión total 115 Lámina de caras planas y paralelas 117 Dispersión de la luz y prisma 118 21 Óptica geométrica: conceptos, dioptrio y espejos 119 Conceptos básicos: objeto, imagen y aproximación paraxial 120 Normas DIN de signos 121 El dioptrio: esférico y plano 121 Espejo plano 122 Espejos esféricos 123 22 Lentes delgadas 126 Qué es una lente y qué tipos hay 126 Ecuación de las lentes y aumento lateral 127 Potencia y ecuación del constructor 128 Trazado de los tres rayos notables 129 Naturaleza de la imagen según la posición del objeto 129 Problema tipo: dónde poner el objeto para un aumento dado 131 23 Instrumentos ópticos y el ojo humano 132 El ojo como sistema óptico 132 Defectos visuales y su corrección 133 La lupa 134 Microscopio y telescopio 135 Otras aplicaciones de espejos y lentes 135 Bloque D: Física relativista,cuántica,nuclear y de partículas 24 Relatividad especial 137 Los límites de la física clásica y el éter 138 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 4 Los postulados de Einstein (1905) 138 El factor de Lorentz γ 139 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud 139 Masa, momento y energía relativistas 140 Equivalencia masa-energía y sus aplicaciones 141 25 Cuantización de la energía y efecto fotoeléctrico 143 La radiación del cuerpo negro 144 El experimento fotoeléctrico y sus hechos 145 La explicación de Einstein 146 Umbral, potencial de frenado y gráfica – 147 Aplicaciones 148 26 Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre 150 La hipótesis de De Broglie 150 Dos escalas: electrón y esquiador 151 Comprobación experimental 151 Principio de incertidumbre de Heisenberg 152 Consecuencias 153 27 Modelo estándar y aceleradores de partículas 154 Las partículas fundamentales 154 Hadrones: bariones y mesones 154 Las cuatro interacciones y sus mediadores 156 Aceleradores de partículas 157 28 Núcleo atómico, estabilidad y energía de enlace 158 Composición y notación del núcleo 159 Tamaño del núcleo y fuerza nuclear fuerte 160 Defecto de masa y energía de enlace 160 Energía de enlace por nucleón y estabilidad 161 29 Radiactividad natural: tipos de emisión 162 Descubrimiento de la radiactividad 163 Los tres tipos de emisión 163 Desintegración alfa 163 Desintegración beta 164 Emisión gamma 164 Leyes de Soddy-Fajans y series radiactivas 164 30 Ley de desintegración radiactiva 166 Un proceso aleatorio con una ley exacta 166 Las tres constantes: λ, T1/2 y τ 167 Actividad radiactiva 168 De masa a número de núcleos 168 E c,max f Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 5 Problemas con porcentajes y tiempos 169 31 Reacciones nucleares y aplicaciones 170 Reacciones nucleares y energía Q 171 Por qué se libera energía: la curva B/A 171 Fisión nuclear y reacción en cadena 171 Fusión nuclear 172 Datación con carbono-14 173 Aplicaciones por ámbito 174 Riesgos, residuos y protección 174 32 Formulario 175 Bloque A: Campo gravitatorio 175 Bloque B: Campo electromagnético 176 Ondas mecánicas 177 Óptica 178 Bloque D: Física moderna y nuclear 178 Valores y constantes 179 Errores típicos 179 Soluciones de las preguntas de repaso 180 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 6 11 % de los puntos del examen 1 Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas AL ACABAR SABRÁS Calcular el vector campo gravitatorio creado por varias masas puntuales en un punto del plano.

Determinar la fuerza y la aceleración que sufre una masa en un campo gravitatorio. Deducir g y calcular el valor de g a una altura dada sobre la Tierra. Representar gráficamente los campos individuales y la resultante. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si estás exactamente en el punto medio entre dos planetas idénticos, ¿hacia dónde te atrae la gravedad? La gravitación es la interacción entre cuerpos por el hecho de tener masa. En esta sección aprenderás a calcular la fuerza entre masas, el campo gravitatorio que crean y su valor cerca de la Tierra. Todo se hace con vectores.

BLOQUE A Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas 2 Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo 3 Momento angular, fuerzas centrales y leyes de Kepler 4 Satélites, órbitas y velocidad de escape 5 Introducción a la cosmología y la astrofísica Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 7 ESQUEMA Campo gravitatorio de masas puntuales Ley de gravitación universal en forma vectorial Newton comprendió que la fuerza que hace caer los objetos hacia el centro de la Tierra es la misma que gobierna el movimiento de los astros.

Su ley dice que dos masas puntuales se atraen con una fuerza proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Aquí es el vector unitario (módulo 1) que va desde la masa que atrae hacia la masa atraída. El signo menos indica que la fuerza apunta al revés: hacia la masa que atrae. La constante es G = 6,67·10 ¹¹ N·m²/kg², la constante de gravitación universal. Su valor tan pequeño explica que solo notemos la gravedad cuando una de las masas es enorme, como un planeta. Características de la fuerza gravitatoria: Dirección: la recta que une las dos partículas. Siempre atractiva: no existen masas negativas.

Va por pares (tercera ley de Newton): ; mismo módulo y dirección, sentidos opuestos. Acción a distancia: no necesita ningún medio material entre las masas. Ley de gravitación Fuerza vectorial entre dos masas Campo g Fuerza por unidad de masa Superposición Suma vectorial de campos g terrestre y altura g , peso y g(h) Energía y potencial Ep, V y trabajo del campo Kepler y momento angular Fuerzas centrales y órbitas Satélites y escape Velocidad orbital y de escape Cosmología Estrellas, universo, materia oscura = F12 G r2 m m 1 2 ur ur = F12 F21 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 8 Esquema de las fuerzas iguales y opuestas entre dos masas El módulo es , en newtons (N).

La ley tiene muchas aplicaciones: poner satélites en órbita alrededor de la Tierra o de otros planetas, lanzar naves fuera del campo terrestre o calcular la gravedad a distintas alturas. COMPRUEBA 2 Si duplicas la distancia entre dos masas, ¿qué pasa con la fuerza? Intensidad del campo gravitatorio de una masa puntual Que una fuerza aparezca de golpe entre dos masas lejanas resulta extraño. Para evitar esa idea de acción a distancia se introduce el campo: una masa modifica el espacio que la rodea, y cualquier otra masa colocada allí nota una fuerza. DEFINICIÓN La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa que sufriría una masa de prueba colocada allí: .

Para una masa puntual , a distancia : Propiedad Valor Módulo Dirección Radial: la recta que une con el punto Sentido Hacia la masa que crea el campo Unidades N/kg, que equivalen a m/s² La segunda forma usa , por eso aparece . El campo existe aunque no haya ninguna masa de prueba. Si colocamos una masa , la fuerza que recibe es . F = G r2 m m 1 2 g = g /m F M r = g G = r2 M ur G r3 M r g = GM/r2 M = ur /r r r3 m = F m g Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 9 Efecto sobre el movimiento. Por la segunda ley de Newton, , así que . Un cuerpo sometido solo a la gravedad acelera con el valor del campo en ese punto, sea cual sea su masa.

La fuerza sí depende de la masa; la aceleración no. Por eso las unidades N/kg y m/s² son la misma cosa. Líneas de campo. Se dibujan tangentes a en cada punto. Para una masa puntual son rectas radiales que acaban en la masa: nacen en el infinito y mueren en ella. Nunca se cortan, porque en cada punto el campo tiene un único valor. Donde están más juntas, el campo es más intenso. COMPRUEBA 3 Dejas caer a la vez una piedra de 1 kg y otra de 5 kg desde la misma altura (sin aire). ¿Cuál recibe más fuerza y cuál acelera más? Principio de superposición Si hay varias masas, cada una crea su campo como si las demás no existieran.

El campo total en un punto es la suma vectorial de los campos individuales: Procedimiento para cada masa situada en y el punto de cálculo : EJEMPLO Una masa kg está en m y otra kg en m. Calcula en m. Masa 1. , m, . Módulo: N/kg. Entonces N/kg: apunta hacia abajo, hacia . Masa 2. , m, . Módulo: N/kg. Entonces N/kg: hacia la derecha y abajo, hacia . Suma. N/kg. Módulo: N/kg. m = a m g = a g g = gtotal = i=1 n gi Ftotal m = gtotal i=1 n Fi M i P i Q Vector posición: (de la masa al punto, siempre en este orden). 1 = ri Q P i Distancia: , con Pitágoras. 2 r = i ri Vector unitario: . 3 = ui /r ri i Campo: . Comprueba que apunta hacia .

4 = gi G r i 2 M i ui M i Suma por componentes: suma todas las por un lado y todas las por otro. 5 x y Si piden el módulo, calcúlalo al final con el vector resultante. 6 M = 1 4 1012 (0,0) M = 2 2 1012 (6,0) g Q(0,8) = r1 (0,8) r = 1 8 = u1 (0,1) g = 1 6,67 10 11 4 10 /64 12 4,17 = g1 (0, 4,17) M 1 = r2 (0 6, 8 0) = ( 6,8) r = 2 = 36 + 64 10 = u2 ( 0,6; 0,8) g = 2 6,67 10 11 2 10 /100 12 1,33 = g2 1,33 ( 0,6; 0,8) = (0,80; 1,07) M 2 = g (0,80; 5,24) 0,80 + 5,24 2 2 5,30 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 10 ERROR FRECUENTE Sumar módulos: N/kg es incorrecto; el resultado real es 5,30 N/kg. Los campos solo se suman componente a componente.

Otro fallo típico es el sentido: si tomas del punto a la masa, el signo menos te da un campo que se aleja de la masa. Comprueba siempre en el dibujo que cada apunta hacia su masa. COMPRUEBA 4 Dos masas iguales están a la misma distancia de un punto, en sentidos opuestos sobre la misma recta. ¿Cuánto vale el campo en ese punto? Campo gravitatorio terrestre: peso, g0 y altura Una esfera homogénea crea fuera de ella el mismo campo que una masa puntual situada en su centro. Por eso, para un objeto en la superficie terrestre, la distancia no es cero sino el radio .

Esquema de una masa sobre la superficie terrestre, a distancia R Con M = 5,97·10² kg y R = 6,37·10 m: La fuerza con que la Tierra atrae un objeto es su peso: . De la definición de sale una relación muy útil cuando el enunciado no da : . A una altura sobre la superficie, la distancia al centro es : 4,17 + 1,33 = 5,50 ri gi R g = 0 G = R2 M 6,67 10 11 (6,37 10 ) 6 2 5,97 1024 9,8 m/s2 P = mg 0 g 0 M GM = g R 0 2 h R + h Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 11 Esquema de un punto a altura h sobre la Tierra El campo disminuye con la altura y tiende a cero cuando . A alturas pequeñas frente a el cambio es casi inapreciable.

EJEMPLO ¿A qué altura el campo vale la cuarta parte de ? Planteamos . Se simplifica : . Raíz cuadrada (solo la positiva tiene sentido físico): , así que m. En general, para reducirlo veces: . PARA RECORDARLO En se mide desde el centro: usa , nunca solo . Si te dan la distancia al centro, ya es . El campo también puede describirse con una magnitud escalar, el potencial; se estudia en «Bloque A: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo», igual que el trabajo del campo.

g(h) = = (R + h)2 GM g 0 (R + h)2 R2 r R g 0 g R /(R + 0 2 h) = 2 g /4 0 g 0 (R + h) = 2 4R2 R + h = 2R h = R = 6,37 106 n h = R( n 1) g(h) R + h h r Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 12 EBAU · 2026, ORDINARIA Pregunta 2. [2.5 PUNTOS] Dos masas puntuales idénticas de valor se encuentran situadas en los puntos m y m respectivamente del plano . a) [1 PUNTO] Calcular y representar gráficamente el vector campo gravitatorio debido a las masas y en el punto . b) [1 PUNTO] Calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por y para transportar una masa puntual desde el punto al punto .

c) [0.5 PUNTOS] Razonar brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). Resolución a) Superposición. Masa 1: , m, . Módulo: N/kg. Así N/kg. Masa 2: , misma distancia, , luego N/kg. Suma: las componentes se anulan por simetría. N/kg. Dibujo: ejes con las masas en y . En , apunta hacia y hacia , con igual longitud y a 45° por debajo y por encima de la horizontal. La resultante es horizontal hacia la izquierda ( ). b) El trabajo del campo es , con (véase la sección de energía potencial y potencial). En : J/kg. En , ambas masas están a 5 m: J/kg. J.

c) El trabajo es positivo: lo hace el propio campo, de forma espontánea, porque la fuerza gravitatoria tiene el sentido del desplazamiento (hacia la izquierda, hacia las masas). La masa pasa a un punto de menor potencial ( ) y la energía potencial del sistema disminuye: . AHORA TÚ Dos masas de 20 kg están en m y m. Calcula el vector campo gravitatorio en m. Primeros pasos: , m, . , m, . Te toca: calcular el módulo de cada campo, escribir cada vector con su signo y sumarlos por componentes.

Solución: 5 m = 1 m = 2 10 kg P (0,0) 1 P (0,10) 2 xy m 1 m 2 (5,5) m m 1 m 2 m = 3 1 kg (5,5) m (0,5) m = r1 (5,5) r = 1 50 7,071 = u1 (1,1)/ 2 g = 1 G 10/50 = 1,334 10 11 = g1 (1,1) 50 G ( 9,43; 9,43) 10 12 = r2 (5, 5) = u2 (1, 1)/ 2 g2 ( 9,43; +9,43) 10 12 y = g 50 2G i 1,89 10 11 i (0,0) (0,10) (5,5) g1 P 1 g2 P 2 i W = A B m (V 3 A V ) B V = G m /d i i A(5,5) V = A G(10/ + 50 10/ ) 50 2,828 G B(0,5) V = B G(2 + 2) = 4G W = 1 ( 2,828G + 4G) = 1,172 G 7,82 10 11 V < B V A ΔE = p W < 0 P (0,0) 1 P (8,0) 2 Q(4,3) = r1 (4,3) r = 1 5 = u1 (0,8; 0,6) = r2 ( 4,3) r = 2 5 = u2 ( 0,8; 0,6) Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 13 11 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE La fuerza gravitatoria es siempre atractiva, va por la recta que une las masas y su módulo es .

El campo es la fuerza por unidad de masa; apunta hacia la masa y se mide en N/kg = m/s². Un cuerpo sometido solo a la gravedad acelera con , independientemente de su masa. Con varias masas los campos se suman como vectores, componente a componente, nunca sumando módulos. En la superficie terrestre m/s² y a una altura h, . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 6. ¿Por qué el vector posición se toma desde la masa hacia el punto? 7. ¿Cuánto vale g a una altura igual a 2R sobre la superficie?

BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 2 Energía potencial,potencial gravitatorio y trabajo AL ACABAR SABRÁS Deducir la expresión Ep = GMm/r con origen en el infinito Calcular el potencial gravitatorio creado por varias masas como suma escalar Calcular el trabajo del campo y el externo entre dos puntos e interpretar su signo Aplicar la conservación de la energía mecánica entre dos posiciones PIÉNSALO ANTES DE LEER 8 Si el cero de energía potencial está en el infinito, ¿qué signo tendrá la energía potencial de la Luna? Fuerzas conservativas Una fuerza conservativa es aquella cuyo trabajo entre dos puntos A y B solo depende de los puntos inicial y final, no del camino recorrido.

Da igual subir por una rampa o por una escalera: el trabajo es el mismo. Como el trabajo solo depende de las posiciones, podemos asociar a cada punto un número: la energía potencial . El trabajo de la fuerza es entonces la diferencia entre el valor inicial y el final: F = Gm m /r 1 2 2 = g GM/r 2 ur = a g g = 0 GM/R 2 9,8 g = g R /(R + 0 2 h)2 E p W = A B A B F d = r E (A) p E (B) = p ΔE p Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 14 Consecuencia directa: en un camino cerrado (salir de A y volver a A) el trabajo total es nulo, . El peso cerca del suelo Esquema de un cuerpo con su peso dirigido hacia abajo. Cerca de la superficie el peso vale .

Si un cuerpo pasa de la altura a , el trabajo del peso es: Por eso . La constante c no cambia ningún trabajo, porque se cancela al restar. Solo sirve para elegir dónde ponemos el cero de energía potencial (el suelo, una mesa...). Lo que tiene sentido físico son las diferencias de energía potencial. COMPRUEBA 9 Subes una caja por una rampa larga y la bajas en vertical al mismo punto. ¿Cuánto trabajo total hace el peso? Energía potencial gravitatoria Lejos de la superficie, ya no sirve, porque g cambia con la altura (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas»). Usamos la fuerza de la ley de gravitación universal.

El trabajo que hace el campo de una masa M sobre una masa m que va de a es: Comparando con se identifica la energía potencial gravitatoria: Aquí se ha tomado el origen en el infinito: cuando , donde la fuerza ya no actúa. Así, la energía potencial de m en un punto es el trabajo que haría el campo para llevarla desde ese punto hasta el infinito. ¿Por qué sale negativa? Porque la gravedad es atractiva. Para alejar m hasta el infinito (donde vale 0) hay que aportar energía. Por tanto, cualquier punto a distancia finita tiene Ep negativa. Cuanto más cerca de M, más negativa: más "atrapada" está la masa.

F d = r 0 = P mg j h A h B W = mg dy = A B mg(h A h ) = B E (A) p E (B) p E = p mgh + c mgh r A r B W = A B A B F d = r + r A GMm r B GMm W = E (A) p E (B) p E = p r GMm E = p 0 r Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 15 ERROR FRECUENTE Olvidar el signo menos de , o tomar para un satélite. Con el signo mal, la energía mecánica de un satélite sale positiva y todo el balance falla. Comprueba siempre: a distancia finita, ; y r se mide desde el centro del planeta, . COMPRUEBA 10 Si un objeto pasa de r = 2R a r = 4R respecto al centro de la Tierra, ¿su Ep aumenta o disminuye? Potencial gravitatorio La Ep depende de la masa que colocamos.

Para describir el campo por sí mismo se usa el potencial gravitatorio V: la energía potencial por unidad de masa. Equivale al trabajo que hace el campo para llevar 1 kg desde el punto hasta el infinito. El campo queda así descrito con dos magnitudes: una vectorial, la intensidad (en N/kg), y otra escalar, el potencial V (en J/kg). Varias masas: suma escalar Con varias masas, el potencial total es la suma de los potenciales de cada una: . A diferencia del campo , que se suma como vectores, el potencial se suma como números con signo: no hay componentes ni ángulos. EJEMPLO Una masa kg está en (0, 0) y otra kg en (6, 0), en metros. Calculamos V en P = (3, 4).

Superficies equipotenciales Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos con el mismo V. Para una masa puntual, V solo depende de r, así que son esferas concéntricas con la masa. Propiedades: Mover una masa sobre ella no cuesta trabajo: . Las líneas de campo las cortan perpendicularmente. El campo apunta hacia potenciales decrecientes (más negativos), es decir, hacia la masa. E = p GMm/r E = p mgh E < p 0 r = R + h V = = m E p (J/kg) r GM g V = V = i i G i r i M i g M = 1 2 1012 M = 2 4 1012 Distancias: m y m. 1 r = 1 = 3 + 4 2 2 5 r = 2 = 3 + 4 2 2 5 Potencial de cada masa: J/kg y J/kg. 2 V = 1 6,67 10 11 = 5 2 1012 26,68 V = 2 6,67 10 11 = 5 4 1012 53,36 Suma escalar: J/kg.

Solo se suman los dos números. 3 V = P V + 1 V = 2 80,04 V = A V B W = 0 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 16 Trabajo del campo y su signo Uniendo lo anterior, el trabajo del campo al mover m de A a B es: Un agente externo (un motor, una persona) que mueva la masa lentamente, sin cambiar su energía cinética, hace el trabajo opuesto: W_ext = ΔEp.

Caso W del campo W externo Interpretación m se acerca a M (Ep disminuye) Positivo Negativo Espontáneo: el campo lo hace solo m se aleja de M (Ep aumenta) Negativo Positivo No espontáneo: hay que aportar energía Sobre una equipotencial Cero Cero Sin cambio de Ep ERROR FRECUENTE Confundir el trabajo del campo con el trabajo externo. Si el enunciado pregunta "qué trabajo hay que realizar" para subir un objeto, pide el externo: . Si pregunta "qué trabajo realiza el campo", es el mismo valor con signo contrario. Indica siempre quién hace el trabajo. COMPRUEBA 11 Un cuerpo de 2 kg pasa de un punto con V = 50 J/kg a otro con V = 20 J/kg. ¿Qué trabajo hace el campo? ¿Es espontáneo?

Conservación de la energía mecánica Si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se mantiene constante. Lo que gana la energía cinética lo pierde la potencial, y al revés: Si además actúa un agente externo, su trabajo cambia la energía mecánica: . Este balance se usa para poner satélites en órbita o cambiarlos de órbita (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Satélites, órbitas y velocidad de escape»).

W = A B ΔE = p E (A) p E (B) = p m(V A V ) B W = ext E (B) p E (A) > p 0 E = M E + c E p E (A) + c E (A) = p E (B) + c E (B) p E + M,A W = ext E M,B Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 17 EJEMPLO Un objeto de 300 kg está a una altura y se aleja radialmente a 200 m/s. Datos: kg, m. PROCESO De la fuerza al balance energético IDEAS CLAVE Una fuerza es conservativa si su trabajo solo depende de los puntos inicial y final; en un camino cerrado es nulo. Con origen en el infinito, : siempre negativa a distancia finita y medida desde el centro de la masa. El potencial (J/kg) es la Ep por unidad de masa y se suma como escalar.

El trabajo del campo es ; el del agente externo es el opuesto. Si el trabajo del campo es positivo el proceso es espontáneo; si es negativo hay que aportar energía. Solo con fuerzas conservativas la energía mecánica se conserva. h = 2R T M = T 5,97 1024 R = T 6,37 106 Energía cinética: J. 1 E = c 2 1 300 200 = 2 6 106 Distancia al centro: . 2 r = R + T 2R = T 3R T Energía potencial: J. 3 E = p 3 6,37 106 6,67 10 5,97 10 300 11 24 6,25 109 Energía mecánica: J. Es negativa: el objeto sigue ligado a la Tierra y no escapará.

4 E M 6 10 6 6,25 10 9 6,24 109 Fuerza conservativa Trabajo independiente del camino 1 Energía potencial Ep = GMm/r, cero en el infinito 2 Potencial V = Ep/m = GM/r, se suma como escalar 3 Trabajo del campo W = m(VA VB); externo es el opuesto 4 Conservación Ec + Ep constante si solo hay fuerzas conservativas 5 E = p GMm/r V = GM/r W = ΔE = p m(V A V ) B E + c E p Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 18 11 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria es negativa? 13. ¿En qué se diferencia sumar potenciales de sumar campos de varias masas? 14.

¿Cuánto trabajo hace el campo al mover una masa por una superficie equipotencial? BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 3 Momento angular,fuerzas centrales y leyes de Kepler AL ACABAR SABRÁS Calcular el momento angular de un cuerpo en órbita e indicar sus unidades y dirección. Justificar por qué una fuerza central conserva L y hace la órbita plana. Relacionar las velocidades en perihelio y afelio con . Deducir la 3.ª ley de Kepler para una órbita circular y aplicarla comparando dos cuerpos. PIÉNSALO ANTES DE LEER 15 ¿Por qué la Tierra va más rápido en enero, cuando está más cerca del Sol, que en julio?

Para describir un planeta que gira alrededor del Sol necesitamos una magnitud que mida «cuánto gira» un cuerpo: el momento angular. Su conservación explica por qué las órbitas son planas y por qué un planeta va más rápido cuando está cerca del Sol. A partir de ahí se entienden las tres leyes de Kepler.

PROCESO Satélites y movimiento orbital r v = p p r v a a Momento angular Se conserva bajo fuerzas centrales; órbitas planas 1 Leyes de Kepler Elipses, ley de las áreas y ley de los periodos 2 Velocidad orbital Gravedad como fuerza centrípeta en órbitas circulares 3 Energía orbital Energía mecánica y energía de satelización 4 Velocidad de escape Velocidad mínima para escapar del campo gravitatorio 5 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 19 Momento angular de una partícula DEFINICIÓN El momento angular de una partícula respecto a un punto O es el producto vectorial de su vector de posición por su momento lineal: .

Sus características son: Módulo: , donde es el ángulo entre y . Dirección: perpendicular al plano que forman y . Sentido: regla de la mano derecha (o del sacacorchos), girando de hacia . Unidades SI: kg·m²/s. EJEMPLO Un satélite de 500 kg gira en órbita circular de radio m a 7500 m/s. En una circunferencia, y son perpendiculares, así que : Fuerzas centrales y conservación de L Una fuerza central es la que siempre apunta hacia un punto fijo (el centro de fuerzas), o en sentido contrario. La gravedad que el Sol ejerce sobre un planeta es central: apunta siempre hacia el Sol (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas»).

Veamos por qué se conserva L. Derivamos respecto al tiempo: Que sea constante tiene dos consecuencias: Dirección constante: y están siempre en el plano perpendicular a . La órbita es plana. Módulo constante: de aquí sale la ley de las áreas (2.ª ley de Kepler). COMPRUEBA 16 Si una fuerza no fuera central, ¿tendría que ser plana la trayectoria? = L × r mv L = r m v sin θ θ r v r v r v 7 106 r v sin 90 = 1 L = rmv = 7 10 6 500 7500 = 2,6 10 kg m /s 13 2 = dt dL × v m + v × r = F × r = F M El primer término es cero: el producto vectorial de dos vectores paralelos se anula. 1 El segundo es el momento de la fuerza . 2 M Si la fuerza es central, es paralela a , luego .

3 F r = M 0 Por tanto : bajo fuerzas centrales L se conserva. 4 d /dt = L 0 L r v L Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 20 Las tres leyes de Kepler Johannes Kepler obtuvo estas leyes a partir de observaciones, unos 80 años antes de que Newton formulara la gravitación universal. Mejoraron el modelo heliocéntrico de Copérnico, que usaba órbitas circulares y necesitaba muchas complicaciones porque era incorrecto. Ley Enunciado Origen físico 1.ª (de las órbitas) Los planetas describen elipses con el Sol en uno de los focos. Fuerza que varía como 2.ª (de las áreas) La recta Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Conservación de L 3.ª (de los periodos) es proporcional a . Igualar fuerza gravitatoria y centrípeta En la elipse, el punto más cercano al Sol es el perihelio y el más lejano, el afelio. En órbitas alrededor de la Tierra se habla de perigeo y apogeo. Esquema de la ley de las áreas en una órbita elíptica. Ley de las áreas y velocidad areolar La velocidad areolar es el área que barre el radio vector por unidad de tiempo. En un tiempo el planeta avanza y barre un triángulo de área . Por tanto: Como L y m son constantes, la velocidad areolar es constante: esa es la 2.ª ley. Velocidades en perihelio y afelio En esos dos puntos y son perpendiculares, así que .

Igualando L en ambos: Como , resulta : el planeta va más rápido en el perihelio. 1/r2 T2 r3 dt dt v dA = × 2 1 r dt v = dt dA 2m L r v L = rmv r m v = p p r m v a a r v = p p r v a a r < p r a v > p v a Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 21 ERROR FRECUENTE Pensar que si L se conserva, la velocidad también. En una elipse L es constante pero v cambia: lo que se mantiene es el producto . Además, solo vale en perihelio y afelio, donde el ángulo es de 90°; en otros puntos hay que incluir el seno. COMPRUEBA 17 Un cometa está a 1 unidad de distancia en el perihelio y a 4 en el afelio. ¿Cuántas veces más rápido va en el perihelio?

Deducción de la 3.ª ley (órbita circular) Para una órbita circular, la gravedad hace de fuerza centrípeta. Basta igualarlas. Esquema de fuerzas gravitatoria y centrípeta en órbita circular. Aquí y M es la masa del cuerpo central. La constante no depende del cuerpo que orbita, solo de M. La ley vale para cualquier pareja de cuerpos con atracción gravitatoria: la Luna y la Tierra, un satélite artificial, etc. Para elipses, r se sustituye por el semieje mayor. EJEMPLO Marte tarda unos 1,88 años en dar la vuelta al Sol. ¿A qué distancia está, en función de la distancia Tierra-Sol?

Escribimos la ley para los dos planetas (mismo centro, el Sol) y dividimos; se simplifica: r v sin θ r v = p p r v a a Igualamos: , de donde . 1 G = r2 Mm m r v2 v = 2 r GM En una vuelta el cuerpo recorre en un periodo T: . 2 2πr v = T 2πr Sustituimos: . 3 = T2 4π r 2 2 r GM Despejamos: 4 T = 2 r GM 4π2 3 G = 6,67 10 N m /kg 11 2 2 T /r 2 3 4π /GM 2 = r T 3 r M 3 T T 2 T M 2 r = M r T 3 1,882 1,52 r T Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 22 11 % de los puntos del examen PARA RECORDARLO Dividir la 3.ª ley de dos cuerpos que giran alrededor del mismo centro elimina G y M. Ojo: r es la distancia entre centros, no el radio del planeta.

Comprueba siempre quién es el centro de fuerzas. IDEAS CLAVE El momento angular se mide en kg·m²/s y es perpendicular al plano del movimiento. Bajo una fuerza central el momento de la fuerza es nulo y L se conserva; por eso las órbitas son planas. La 2.ª ley de Kepler es la conservación de L: la velocidad areolar es constante. En perihelio y afelio se cumple : el planeta va más rápido cerca del Sol. Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta se obtiene , que solo depende de la masa central. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 18. ¿Por qué el momento de la fuerza gravitatoria del Sol sobre un planeta es nulo? 19. ¿De qué depende la constante de la 3.ª ley?

BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 4 Satélites,órbitas y velocidad de escape AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital y el periodo de un satélite igualando fuerza gravitatoria y centrípeta Calcular las energías cinética, potencial y mecánica de un satélite en órbita circular Calcular con balances de energía el trabajo para satelizar, cambiar de órbita o escapar Determinar la altura de un satélite geoestacionario y la masa de un planeta a partir de una órbita PIÉNSALO ANTES DE LEER 20 Para subir un satélite a una órbita más alta hay que gastar energía, pero allí irá más despacio. ¿Cómo puede ser?

= L × r mv /2m L r v = p p r v a a T = 2 4π r /(GM) 2 3 T /r 2 3 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 23 Velocidad orbital y periodo de una órbita circular Un satélite es un cuerpo que gira alrededor de otro más masivo atraído solo por su gravedad. Si la órbita es circular, la única fuerza que actúa es la gravitatoria (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas»). Esa fuerza apunta al centro y hace de fuerza centrípeta: la que curva la trayectoria. Igualamos las dos fuerzas.

Aquí es la masa del planeta, la del satélite y la distancia al centro del planeta: Dos consecuencias importantes: La masa del satélite se simplifica. La velocidad orbital no depende de m: un tornillo y una estación espacial a la misma altura van igual de rápido. Cuanto más lejos está el satélite, más lento va, porque . El periodo es el tiempo de una vuelta. En un movimiento circular uniforme la longitud de la circunferencia es .

Sustituyendo y elevando al cuadrado sale la tercera ley de Kepler (su deducción general está en «Bloque A: Campo gravitatorio — Momento angular, fuerzas centrales y leyes de Kepler»): EJEMPLO ¿A qué velocidad habría que lanzar horizontalmente una piedra, casi a ras del mar ( ), para que diera vueltas a la Tierra sin rozamiento? Cálculo de la masa de un planeta Si conocemos el radio y el periodo de la órbita de un satélite, despejamos de la tercera ley: Así se calcula la masa de cualquier planeta con lunas: basta medir la órbita de una luna. La masa del satélite no interviene, así que no se puede calcular con este método.

COMPRUEBA 21 Si un satélite pasa a una órbita con el cuádruple de radio, ¿qué le ocurre a su velocidad? M m r G = r2 Mm m r v2 v = , r = r GM R + h v 1/ r T 2πr = vT v T = v 2πr T = 2 GM 4π r 2 3 h 0 Radio: m (un metro de altura no cambia nada). 1 r R = 6,37 106 m/s. 2 v = 6,37 106 6,67 10 5,97 10 11 24 7,91 103 Comparamos con la rotación terrestre en el ecuador: m/s. 3 v = rot 24 3600 2πR 463 La órbita rasante exige unas 17 veces esa velocidad.

4 M M = GT2 4π r 2 3 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 24 Energías de un satélite en órbita circular Para cualquier trayectoria, la energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria (definida en «Bloque A: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo»): En una órbita circular la velocidad ya no es libre: vale . Al sustituir: De aquí salen relaciones muy útiles: E_m = E_p/2 = E_c, y también (relación conocida como teorema del virial). Si calculas una de las tres, tienes las otras dos. La energía mecánica es negativa.

Eso indica un sistema ligado: el satélite no tiene energía suficiente para alejarse al infinito, donde la energía potencial es cero. ERROR FRECUENTE Usar para un cuerpo que no está en órbita circular (un objeto lanzado, un proyectil que sube en vertical). Esa fórmula solo vale en órbita circular. En cualquier otro caso usa con la velocidad real. Otro clásico: poner en lugar de . Si te dan la altura, súmale siempre el radio del planeta y pasa todo a metros. EJEMPLO Un satélite de 100 kg está en órbita circular a , es decir, . Usamos con m/s². ¿Qué pasa si un satélite pierde velocidad, por ejemplo un 1 % por rozamiento con restos de atmósfera?

Con menos velocidad ya no cumple en su radio actual. Su órbita circular correspondiente estaría más arriba, pero subir exige energía. Si no tiene motores, va perdiendo altura y cae hacia la Tierra en espiral. COMPRUEBA 22 Un satélite en órbita circular tiene J. ¿Cuánto valen su energía cinética y su energía mecánica? E = m E + c E = p mv 2 1 2 G r Mm v = 2 GM/r E = c , E = 2r GMm p , E = r GMm m 2r GMm E = p 2E c E = m GMm/(2r) E = m mv 2 1 2 GMm/r R r = R + h h = 15R r = 16R GM = g R 0 2 g = 0 9,81 J. 1 E = c = 2 16R GMm = 32 g Rm 0 32 9,81 6,37 10 100 6 1,95 108 J. 2 E = p 2E c 3,90 108 J.

3 E = m E c 1,95 108 v = GM/r E = p 8 109 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 25 Tipos de trayectoria según la energía mecánica El signo de la energía mecánica total de un cuerpo respecto al centro de fuerzas decide qué trayectoria describe: Energía mecánica ¿Ligado? Trayectoria Sí Circunferencia o elipse No (justo en el límite) Parábola No Hipérbola Ojo: la parábola de aquí es una órbita alrededor de un astro. No es el tiro parabólico de 1.º de Bachillerato, que se estudia con constante. ESQUEMA Trayectorias según la energía mecánica Puesta en órbita y cambios de órbita Estos problemas se resuelven con balances de energía.

El trabajo que deben aportar los motores es la diferencia de energía mecánica entre el estado final y el inicial (la variación de energía potencial, estudiada en «Bloque A: Campo gravitatorio — Energía potencial, potencial gravitatorio y trabajo», solo da el trabajo si el cuerpo se desplaza sin cambiar su energía cinética): Energía de satelización (desde la superficie) Es la energía necesaria para llevar un satélite desde el suelo hasta una órbita circular de radio .

Salvo que se diga otra cosa, el satélite en el suelo solo tiene energía potencial (ignoramos la rotación terrestre): E < m 0 E = m 0 E > m 0 g Ligada (Em < 0) No escapa del astro Circunferencia Caso particular, Em = GMm/2r Elipse Caso general ligado No ligada Llega al infinito Parábola (Em = 0) Llega al infinito con v = 0 Hipérbola (Em > 0) Llega al infinito con velocidad W = E m,final E m,inicial r = R + h W = 2(R + h) GMm = ( R GMm ) GMm 2R(R + h) R + 2h Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 26 Si el enunciado pide tener en cuenta la rotación, hay que sumar a la energía inicial la cinética . Esa velocidad es máxima en el ecuador (unos 463 m/s) y nula en los polos.

Por eso conviene lanzar cohetes desde latitudes bajas: el trabajo necesario es algo menor. Cambio entre dos órbitas circulares Para subir de la altura a : Sale positivo si : subir cuesta energía. La energía potencial es siempre negativa, pero aumenta (se acerca a cero) al alejarse del centro. Curiosamente, en la órbita más alta el satélite va más lento: gana energía potencial y pierde cinética, pero el balance total es una ganancia. EJEMPLO Satélite de 1000 kg que pasa de a en la Tierra. Con m³/s²: J. COMPRUEBA 23 ¿Por qué el trabajo para poner un satélite en órbita es mayor que el aumento de su energía potencial?

Velocidad de escape La velocidad de escape es la velocidad mínima para no volver nunca: el cuerpo llega al infinito con velocidad cero. La condición es . Lanzado desde una distancia del centro: Desde la superficie ( ) en la Tierra sale v_e 11,2 km/s. Tampoco depende de la masa del objeto. Comparada con la orbital a la misma distancia, . Escapar desde una órbita Un satélite en órbita ya tiene . Para escapar hay que llevar esa energía a cero, así que la energía que falta es . Es mucho menos que desde el suelo, donde hay que aportar . ERROR FRECUENTE Confundir la velocidad de escape desde la órbita con el aumento de velocidad necesario. A distancia el satélite debe alcanzar , pero ya lleva .

Lee si te piden la velocidad, el incremento o la energía, y no uses si el lanzamiento es desde la órbita. mv 2 1 rot 2 h 1 h 2 W = + 2(R + h ) 2 GMm = 2(R + h ) 1 GMm 2 GMm (R + h )(R + h ) 1 2 h h 2 1 h > 2 h 1 r = 1 2R r = 2 4R GM = 3,98 1014 W = = 2 GMm (2R 1 4R 1 ) = 8R GMm 8 6,37 106 3,98 10 1000 14 7,8 109 E = m 0 r mv 2 1 e 2 = r GMm 0 v = e r 2GM r = R v = e v 2 orb E = m GMm/(2r) ΔE = +GMm/(2r) GMm/R r 2GM/r GM/r R Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 27 Si un astro fuera tan compacto que su velocidad de escape igualara la de la luz, m/s, ni la luz saldría de él: sería un agujero negro.

Su radio de Schwarzschild y el caso de la Tierra se tratan en «Bloque A: Campo gravitatorio — Introducción a la cosmología y la astrofísica». Satélites geoestacionarios Un satélite geoestacionario está siempre sobre el mismo punto del ecuador. Se usan en telecomunicaciones, meteorología y fines científicos o militares. Necesita tres condiciones: órbita circular, en el plano ecuatorial y con el mismo periodo que la rotación terrestre, T = 24 h (con más precisión, un día sidéreo 23 h 56 min). Despejamos el radio de la tercera ley de Kepler: Es decir, km y km. Es un valor único: no se puede poner un geoestacionario a otra altura.

Los satélites más bajos dan la vuelta en menos de un día y adelantan a la superficie terrestre. Los más altos se quedan atrás.

Magnitud Fórmula (órbita circular) Velocidad orbital Periodo Energía cinética Energía potencial Energía mecánica Velocidad de escape Masa del planeta PROCESO Del suelo al escape: balance energético 1 En la su perficie Em = GMm/R, igno rando la rotación 2 Sateliza ción Se aporta W hasta Em = GMm/2r 3 Subir de órbita Se aporta la diferen cia de energías mecánicas 4 Escape Se aporta GMm/2r hasta Em = 0 c = 3 108 r = = 3 4π2 GMT2 3 4π2 6,67 10 5,97 10 (86 400) 11 24 2 4,22 10 m 7 r 42 200 h = r R 36 000 v = GM/r T = 2 4π r /(GM) 2 3 E = c GMm/(2r) E = p GMm/r E = m GMm/(2r) = E /2 = p E c v = e 2GM/r M = 4π r /(GT ) 2 3 2 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 28 11 % de los puntos del examen AHORA TÚ Un satélite gira en órbita circular a 1630 km de altura sobre la Tierra ( km, kg).

Calcula su velocidad, su periodo y el cociente . Primeros pasos: km m. Además m³/s². Te toca: aplicar , luego y el cociente de campos. Solución: 24 IDEAS CLAVE En órbita circular la gravedad hace de fuerza centrípeta: , con , independiente de la masa del satélite. En órbita circular ; la energía negativa indica sistema ligado. El signo de decide la trayectoria: negativa, elipse o circunferencia; nula, parábola; positiva, hipérbola. Satelizar o cambiar de órbita se resuelve con balances: . La velocidad de escape exige : , unos 11,2 km/s desde la superficie terrestre. Un geoestacionario tiene T = 24 h, órbita ecuatorial y radio único de unos 42 200 km (h 36 000 km).

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 25. ¿Qué energía hay que aportar a un satélite en órbita de radio para que escape? 26. ¿Por qué solo existe una altura posible para los satélites geoestacionarios? 27. ¿Qué datos necesitas para calcular la masa de un planeta con una luna?

BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 5 Introducción a la cosmología y la astrofísica AL ACABAR SABRÁS Explicar el papel de la gravedad en la formación y el final de las estrellas Calcular el radio de Schwarzschild de un cuerpo a partir de su masa o de g Explicar la ley de Hubble y su relación con el Big Bang Describir aplicaciones de la investigación espacial como el GPS R = T 6370 M = T 6 1024 g /g h 0 r = 6370 + 1630 = 8000 = 8 106 GM = T 6,67 10 11 6 10 = 24 4,0 1014 v = GM /r T T = 2πr/v v = GM/r r = R + h E = m GMm/(2r) = E /2 = p Ec E m W = E m,final E m,inicial E = m 0 v = e 2GM/r r Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 29 PIÉNSALO ANTES DE LEER 28 ¿De qué tamaño tendría que ser la Tierra, sin perder masa, para que ni la luz pudiera escapar de ella?

La gravedad y la vida de las estrellas Una estrella nace en una nebulosa, una nube enorme de gas (sobre todo hidrógeno) y polvo. La gravedad hace que la nube se contraiga. Al comprimirse, el centro se calienta. Cuando alcanza millones de grados, empieza la fusión nuclear del hidrógeno en helio (véase «Reacciones nucleares y aplicaciones»). Durante casi toda su vida, la estrella está en equilibrio: la gravedad empuja hacia dentro y la presión del gas caliente hacia fuera. Cuando se agota el combustible, la presión cae y la gravedad gana.

El final depende de la masa: Masa inicial Final Qué frena el colapso Pequeña o media (como el Sol) Enana blanca: núcleo del tamaño de la Tierra La presión de los electrones apretados Grande Supernova y estrella de neutrones: unos kilómetros de radio La presión de los neutrones Muy grande Supernova y agujero negro Nada: el colapso no se detiene PROCESO Evolución de una estrella masiva Nebulosa Nube de gas y polvo que se contrae por gravedad 1 Inicio de la fusión El núcleo caliente fusiona hidrógeno en helio 2 Equilibrio Presión del gas compensa la gravedad durante millones de años 3 Fin del combustible La presión cae y la gravedad comprime la estrella 4 Supernova Explosión de las capas externas 5 Neutrones o agujero negro Según la masa, queda estrella de neutrones o agujero negro 6 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 30 COMPRUEBA 29 ¿Por qué una estrella se contrae cuando agota su combustible?

Agujeros negros: el caso límite de la velocidad de escape La velocidad de escape desde la superficie es (véase «Satélites, órbitas y velocidad de escape»). En la Tierra vale unos 11,2 km/s. Si un cuerpo es muy compacto (mucha masa y radio pequeño), esa velocidad crece. Cuando llega a la velocidad de la luz, m/s, ni la luz puede salir: es un agujero negro. DEFINICIÓN El radio de Schwarzschild de un cuerpo es el radio que tendría que tener, con la misma masa, para que su velocidad de escape fuera . Igualando : EJEMPLO Radio de Schwarzschild de la Tierra, con m y m/s². Toda la masa de la Tierra cabría en una esfera de 9 mm de radio: la densidad sería enorme.

La superficie de radio se llama horizonte de sucesos. Lo que la cruza ya no puede volver a salir. Allí la deformación del espacio-tiempo es tan grande que la descripción habitual (tres dimensiones espaciales y una temporal) deja de valer. ERROR FRECUENTE Usar el radio real del cuerpo en lugar de , o olvidar el 2 de la fórmula. es un radio hipotético; la masa no cambia. Y va al cuadrado: elévalo antes de dividir. Cosmología: un universo en expansión En 1929 Edwin Hubble observó que la luz de las galaxias lejanas llega con corrimiento al rojo (véase «Efecto Doppler»): se alejan de nosotros. Además, cuanto más lejos está una galaxia, más rápido se aleja.

Es la ley de Hubble: , donde es la constante de Hubble. No es que las galaxias huyan de un centro: es el propio espacio el que se estira. Si hacemos retroceder la expansión, todo estuvo concentrado en un estado muy denso y caliente. Es el Big Bang, que ocurrió hace unos 13 800 millones de años. La apoyan la expansión y la radiación de fondo de microondas. v = e 2GM/R c = 3 108 c v = e c R = S c2 2GM R = 6,37 106 g = 0 9,81 Como , sustituimos . 1 g = 0 GM/R2 GM = g R 0 2 . 2 R = S = c2 2g R 0 2 (3 10 ) 8 2 2 9,81 (6,37 10 ) 6 2 Resultado: m, unos 9 mm.

3 R S 8,85 10 3 R S R S R S c v = H d 0 H 0 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 31 Materia oscura: no emite luz, pero se detecta por su gravedad. Las galaxias giran tan rápido que se desharían solo con la materia visible. Energía oscura: causa desconocida que acelera la expansión del universo. Entre ambas forman la mayor parte del contenido del universo. COMPRUEBA 30 Si una galaxia está al doble de distancia que otra, ¿a qué velocidad se aleja según Hubble? Repercusión de la investigación espacial GPS y navegación: satélites que permiten situarse con precisión; necesitan correcciones relativistas.

Comunicaciones: televisión, telefonía e internet por satélites geoestacionarios. Meteorología y medio ambiente: predicción del tiempo, seguimiento del clima, incendios y cosechas. Industria y materiales: materiales ligeros, miniaturización electrónica, sensores e imagen médica. Economía y sociedad: empleo cualificado, cooperación internacional; también el problema de la basura espacial. IDEAS CLAVE Una estrella vive en equilibrio entre la gravedad hacia dentro y la presión del gas hacia fuera. Según su masa, una estrella acaba como enana blanca, estrella de neutrones o agujero negro. El radio de Schwarzschild es el radio que haría la velocidad de escape igual a ; para la Tierra, unos 9 mm.

La ley de Hubble indica que las galaxias se alejan más rápido cuanto más lejos están: el universo se expande desde un Big Bang. La materia oscura se detecta por su gravedad y la energía oscura acelera la expansión. La investigación espacial ha dado el GPS, las comunicaciones por satélite y la predicción meteorológica. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 31. ¿Qué condición define a un agujero negro en términos de velocidad de escape? 32. ¿Qué observación apoya que el universo se expande?

R = S 2GM/c2 c Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 32 11 % de los puntos del examen 6 Ley de Coulomb y campo eléctrico de cargas puntuales AL ACABAR SABRÁS Calcular la fuerza de Coulomb y el campo eléctrico de una carga puntual en forma vectorial Obtener el campo total de dos o tres cargas en el plano por superposición Localizar razonadamente el punto de campo nulo en la recta que une dos cargas Comparar el campo eléctrico con el gravitatorio PIÉNSALO ANTES DE LEER 33 ¿Puede anularse el campo eléctrico en algún punto entre una carga positiva y una negativa?

La carga eléctrica es una propiedad de las partículas que forman la materia: los protones tienen carga positiva y los electrones, negativa. Un cuerpo neutro tiene tantas de unas como de otras. Si gana electrones queda cargado negativamente; si los pierde, positivamente. En el SI la carga se mide en culombios (C): 1 C es la carga que transporta en 1 s una corriente de 1 A, porque . En los problemas suelen salir submúltiplos: 1 μC = C y 1 nC = C.

BLOQUE B Campo electromagnético 6 Ley de Coulomb y campo eléctrico de cargas puntuales 7 Potencial, energía potencial electrostática y trabajo 8 Flujo eléctrico y distribuciones continuas (teorema de Gauss) 9 Cargas libres en campos eléctricos uniformes 10 Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas en campos magnéticos 11 Campos magnéticos creados por corrientes y fuerzas entre corrientes 12 Inducción electromagnética: leyes de Faraday y Lenz 13 Generadores, motores y transformadores I = Q/t 10 6 10 9 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 33 ESQUEMA Campo eléctrico de cargas puntuales Ley de Coulomb Dos cargas del mismo signo se repelen y dos de signo contrario se atraen.

En 1785 Coulomb midió cómo depende esa fuerza de las cargas y de la distancia. Su resultado es que la fuerza entre dos cargas puntuales es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. es la permitividad del vacío (constante dieléctrica). En otro medio se usa , donde es la permitividad relativa. Como , la fuerza en un medio material es menor que en el vacío. es un vector unitario. Va desde la carga que ejerce la fuerza hasta la que la sufre. Si , la fuerza va en el sentido de (repulsión). Si , va en sentido contrario (atracción).

Ley de Coulomb Fuerza entre dos cargas puntuales Intensidad de campo E = F/q, medido en N/C Superposición Suma vectorial de los campos Punto de campo nulo Zona razonada e igualdad de módulos 〰 Líneas de campo Salen de + y entran en Potencial y trabajo Magnitudes escalares del campo Comparación con gravedad Analogías y diferencias entre ambos campos = F K K = r2 q q 1 2 ur = 4πε 0 1 9 10 N m /C 9 2 2 ε = 0 8,85 10 C /(N m ) 12 2 2 ε = ε ε 0 r ε r ε > r 1 ur q q > 1 2 0 ur q q < 1 2 0 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 34 Esquema de dos cargas iguales que se repelen a distancia d La forma es la misma que la de la ley de gravitación (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas»).

La diferencia es que aquí el signo puede cambiar el sentido. Además, cuando actúan varias cargas, la fuerza total sobre una de ellas es la suma vectorial de las fuerzas que ejerce cada una: . COMPRUEBA 34 Si duplicas las dos cargas y también la distancia entre ellas, ¿cómo cambia la fuerza? Intensidad del campo eléctrico Una carga modifica el espacio que la rodea aunque no haya otra cerca. A esa perturbación la llamamos campo eléctrico. Se detecta cuando se coloca una segunda carga y aparece una fuerza sobre ella.

Se describe con una magnitud vectorial, la intensidad , y con una escalar, el potencial (véase «Bloque B: Campo electromagnético — Potencial, energía potencial electrostática y trabajo»). DEFINICIÓN La intensidad del campo eléctrico en un punto es la fuerza sobre la unidad de carga positiva situada en él: . Se mide en N/C, unidad equivalente a V/m. Para una carga puntual , a una distancia : Las dos expresiones son iguales, porque . La segunda es cómoda con coordenadas: es el vector desde la carga hasta el punto donde calculas el campo. Su módulo es . Una vez conocido , la fuerza sobre cualquier carga es . Si es negativa, la fuerza va en sentido opuesto al campo.

Líneas de campo Las líneas de campo son curvas tangentes a en cada punto. Donde están más juntas, el campo es más intenso. Tienen tres reglas: Salen de las cargas positivas y entran en las negativas. Por eso las positivas se llaman fuentes y las negativas, sumideros. = FT Fi E = E /q F q r = E K = r2 q ur K r3 q r = ur /r r r E = K q /r2 E = F q E q E Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 35 Nunca se cortan. En un punto de corte el campo tendría dos direcciones a la vez, y eso es imposible. El número de líneas es proporcional al valor de la carga. Esquema de las líneas de campo radiales de +Q y Q En una carga aislada las líneas son radiales.

Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas, perpendiculares a las líneas en todos sus puntos (se estudian en «Bloque B: Campo electromagnético — Potencial, energía potencial electrostática y trabajo»). Un dipolo es una pareja de cargas iguales y de signo contrario, y . Sus líneas salen de la positiva, se curvan y terminan todas en la negativa. Entre las dos cargas el campo es intenso y apunta de + a . Si las dos cargas son iguales y positivas, las líneas se repelen y hay una zona central vacía de líneas. En el punto medio el campo vale cero. COMPRUEBA 35 ¿Hacia dónde se mueve un electrón que se suelta en reposo en el campo de una carga positiva?

Superposición: campo de varias cargas El campo que crean cargas es la suma vectorial de cada campo: . El procedimiento es el mismo que en gravitación (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación y campo gravitatorio de un sistema de masas»): +q q n = Etotal i=1 n Ei Dibuja las cargas y el punto P. Para cada carga, calcula el vector que va de la carga a P y su módulo. 1 ri Calcula cada , con con su signo. Otra opción es usar el módulo y poner el sentido mirando el dibujo. 2 = Ei Kq /r iri i 3 q i K q /r i i 2 Suma por separado las componentes x y las componentes y. 3 Si te lo piden, da el módulo con .

4 E = E + E x 2 y 2 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 36 EJEMPLO Tenemos nC en (0,0) m y nC en (4,0) m. Calculamos el campo en P(0,3) m. 1) , con m. , con m. 2) N/C. N/C. Apunta hacia , como debe pasar con una carga negativa. 3) Sumamos: N/C. Su módulo es N/C. ERROR FRECUENTE Meter el signo de la carga dos veces. Hay dos métodos y no se pueden mezclar. (a) Usas con su signo en y el sentido sale solo. (b) Usas y pones el sentido a mano: alejándose de las positivas y acercándose a las negativas. Si pones el signo de y además das la vuelta al vector "porque es negativa", el campo sale al revés. Otro error es sumar los módulos en vez de sumar componentes.

Punto de campo nulo en el eje Busquemos dónde se anula en la recta de dos cargas y . En ese punto los dos campos deben tener sentidos opuestos y el mismo módulo. Primero se razona en qué zona puede estar: Cargas Zona posible Por qué Mismo signo Entre las dos, más cerca de la menor Fuera del segmento los dos campos apuntan igual Signo contrario Fuera del segmento, del lado de la de menor "q" Entre ellas los dos campos apuntan hacia la negativa Opuestas e iguales (dipolo) Ninguna a distancia finita Nunca hay módulos iguales con sentidos opuestos Después se iguala si el punto está entre las cargas, o con la distancia que corresponda si está fuera.

Se descarta la solución que cae en la zona equivocada. EJEMPLO Tenemos +4 μC en x = 0 y +1 μC en x = 3 m. Son del mismo signo, así que el punto está entre ellas. Igualamos: . Sacando raíz, , y queda x = 2 m. Está más cerca de la carga menor, como se esperaba. COMPRUEBA 36 Con +4 μC en x = 0 y -1 μC en x = 3 m, ¿en qué zona buscarías el punto de campo nulo?

q = 1 3 q = 2 4 = r1 (0,3) r = 1 3 = r2 ( 4,3) r = 2 5 = E1 9 10 9 3 10 (0,3)/27 = 9 (0; 3) = E2 9 10 9 ( 4 10 )( 4,3)/125 = 9 (1,15; 0,86) q 2 = E (1,15; 2,14) E 2,43 q Kq /r r 3 q q E q 1 q 2 K q /x = 1 2 K q /(d 2 x)2 4/x = 2 1/(3 x)2 2(3 x) = x Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 37 Campo eléctrico y campo gravitatorio Gravitatorio Eléctrico Lo crea La masa (siempre positiva) La carga (+ o ) Fuerza Siempre atractiva Atractiva o repulsiva Constante G = N m²/kg², universal K = N m²/C² en el vacío; depende del medio Intensidad (N/kg) (N/C) Líneas Siempre entran en la masa Salen de + y entran en En común Central, conservativo, de alcance infinito, ley de y superposición Entre dos protones, la fuerza eléctrica es enormemente mayor que la gravitatoria.

Aun así, la gravedad domina a gran escala porque la materia suele ser neutra. 6,67 10 11 9 109 = g GM /r ur 2 = E Kq /r ur 2 1/r2 Apuntes Física EBAU Cantabria: temario, formulario y tests 38 EBAU · 2026, ORDINARIA Pregunta 4. [2.5 PUNTOS] La figura muestra una configuración de tres cargas eléctricas de valores , y , situadas en las posiciones ( 1,0) cm, (0,3) cm y (2,0) cm respectivamente. Calcular: a) [1 PUNTO] El vector campo eléctrico en el punto (0,0) cm debido a las cargas y . b) [1 PUNTO] El potencial eléctrico en los puntos (0,0) cm y (3,3) cm.

c) [0.5 PUNTOS] El trabajo realizado por el campo eléctrico creado por , y para trasladar una carga de 1 μC desde el punto (0,0) cm hasta el punto (3,3) cm, interpretando el signo del…