Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests

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APUNTES FÍSICA EBAU Canarias AprenAI 2026-2027 Gravitación, campos eléctrico y magnético, inducción, ondas, óptica y física moderna: 37 temas con esquema, test en cada uno y formulario final.

APREN.AI Índice Bloque 1: Interacción gravitatoria 1 Ley de Gravitación Universal 8 La ley en forma escalar: el módulo de la fuerza 9 La ley en forma vectorial: vector unitario y signo menos 9 Principio de superposición: varias masas 10 2 Campo gravitatorio 13 Qué es un campo gravitatorio 13 Intensidad del campo gravitatorio 13 Intensidad de campo y aceleración de la gravedad 14 Campo en la superficie y relación g R² = GM 14 Variación de g con la altura 14 Peso en una órbita 15 Superposición: campo de varias masas 15 3 Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial 19 Fuerza central y fuerza conservativa 19 Trabajo gravitatorio y energía potencial 19 Signo del trabajo: ¿quién lo hace?

20 Relación con mgh 21 Energía potencial de un sistema de tres masas 21 4 Potencial gravitatorio, líneas de campo y equipotenciales 23 Potencial gravitatorio: energía por cada kilogramo 23 Superposición: una suma de números 23 Trabajo y diferencia de potencial 24 Relación entre campo y potencial 24 Líneas de campo y superficies equipotenciales 25 5 Energía mecánica y balances energéticos 26 La segunda ley de Newton en un campo gravitatorio 26 Conservación de la energía mecánica 27 Caso 1: un objeto que cae desde gran altura 27 Caso 2: lanzamiento vertical y altura máxima 28 Signo de la energía mecánica y tipo de movimiento 28 6 Leyes de Kepler 30 Primera ley: las órbitas son elipses 30 Segunda ley: áreas iguales en tiempos iguales 30 Tercera ley: periodo y tamaño de la órbita 31 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 1 Cálculo de la masa y la densidad del astro central 32 7 Satélites en órbita circular 34 Velocidad orbital: de dónde sale 34 Periodo orbital y altura de la órbita 35 Energías de un satélite en órbita 36 Energía para cambiar de órbita 36 Satélite geoestacionario 37 8 Velocidad de lanzamiento y velocidad de escape 38 Velocidad de lanzamiento para satelizar un cuerpo 38 Energía necesaria para poner en órbita un satélite 39 Velocidad de escape 40 Problemas de proporciones entre planetas 40 Comparación de las tres velocidades 40 Bloque 2: Campo eléctrico 9 Ley de Coulomb y campo eléctrico 42 Ley de Coulomb 43 Intensidad de campo eléctrico 44 Principio de superposición del campo 45 10 Energía potencial, potencial y trabajo 48 El campo electrostático es conservativo 48 Energía potencial electrostática 49 Potencial eléctrico 50 Diferencia de potencial y trabajo 51 Caso tipo: obtener r y q a partir de V y E 52 11 Líneas de campo, equipotenciales y analogía con el campo gravitatorio 53 Líneas de campo eléctrico: qué son y cómo se dibujan 53 Superficies equipotenciales 54 Los tres casos que hay que saber representar 54 Analogías y diferencias con el campo gravitatorio 55 12 Cargas en campos eléctricos uniformes 57 El campo uniforme entre dos placas 57 Aceleración por una diferencia de potencial 58 Carga que entra perpendicular al campo 58 Equilibrio de una partícula cargada 59 Bloque 2: Campo magnético 13 Campo magnético y fuerza de Lorentz 61 Imanes y líneas de campo 62 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 2 Fuerza de Lorentz magnética 62 Producto vectorial y regla de la mano derecha 63 14 Movimiento de cargas en campos magnéticos; espectrómetro y ciclotrón 64 Por qué la trayectoria es una circunferencia 65 La fuerza magnética no realiza trabajo 65 Radio, periodo y velocidad angular 65 Procedimiento completo: acelerar con ΔV y luego curvar con B 66 Espectrómetro de masas 67 Ciclotrón 67 15 Campos eléctrico y magnético combinados: selector de velocidades 69 La fuerza de Lorentz completa 69 Ejemplo vectorial: ¿qué campo E evita la desviación?

70 El selector de velocidades 70 16 Campo creado por corrientes: hilo, espira y solenoide 72 La experiencia de Oersted 72 Campo de un hilo rectilíneo indefinido 72 Dos hilos paralelos: superposición y campo nulo 73 Espira circular y solenoide (solo cualitativo) 74 17 Fuerza entre conductores paralelos 76 Fuerza sobre un conductor rectilíneo en un campo magnético 76 Fuerza entre dos conductores paralelos 77 Atracción o repulsión: el sentido de las corrientes 77 Cálculo inverso: hallar la distancia 79 Definición del amperio 79 Bloque 2: Inducción electromagnética 18 Flujo magnético y leyes de Faraday-Lenz 81 Flujo magnético 82 Experiencias de Faraday y de Henry 83 Ley de Faraday-Lenz y ley de Ohm 83 Cálculo de la fem en los tres casos 84 Sentido de la corriente: ley de Lenz 85 19 Alternador, generadores, motores y transformadores 86 El alternador: de una espira que gira a una corriente alterna 87 Generadores y motores 88 El transformador 88 Bloque 3: Vibraciones 20 Movimiento armónico simple: cinemática 90 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 3 Definición del MAS y sus parámetros 91 El MAS como proyección de un movimiento circular 92 Velocidad y aceleración 92 Fase inicial a partir de las condiciones iniciales 93 Gráficas del MAS 94 21 Dinámica y energía del MAS: masa-muelle y péndulo 96 Dinámica del sistema masa-muelle 96 El péndulo simple 97 Energía en el MAS 98 Bloque 3: Ondas 22 El fenómeno ondulatorio y los tipos de ondas 100 Qué es el fenómeno ondulatorio 101 Clasificación de las ondas 102 Fenómenos característicos de las ondas 103 23 La onda armónica: ecuación y magnitudes 104 De la vibración de un punto a la onda armónica 104 Las magnitudes de la onda 105 Cómo obtener la fase inicial 106 Velocidad y aceleración de vibración 106 Diferencia de fase 107 Las dos gráficas de una onda 108 24 Energía, intensidad y nivel de intensidad sonora 110 Energía que transporta una onda 110 Intensidad de una onda 110 Atenuación con la distancia 111 Nivel de intensidad sonora: el decibelio 112 25 Efecto Doppler 114 Qué es el efecto Doppler 114 Explicación con frentes de onda 115 Fórmula general y convenio de signos 115 Ejemplo: la ambulancia 116 Aplicaciones 117 26 Principio de Huygens, interferencia y difracción 118 El principio de Huygens: cómo avanza un frente de onda 118 Reflexión y refracción explicadas con Huygens 119 Interferencia constructiva y destructiva 120 Difracción 121 La doble rendija de Young 121 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 4 Bloque 3: Óptica 27 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 123 Evolución histórica de las teorías sobre la luz 124 La luz como onda electromagnética 125 Espectro electromagnético 126 Energía de la radiación: E = h·f 126 28 Reflexión, refracción y reflexión total 127 Índice de refracción: cuánto frena un medio a la luz 128 Qué cambia y qué no al pasar de un medio a otro 128 Leyes de la reflexión y de la refracción 129 Ángulo límite y reflexión total 129 Fibra óptica 130 Varias capas: agua y aceite 130 29 Lentes delgadas: ecuaciones y trazado de rayos 131 Qué es una lente delgada y qué tipos hay 131 Convenio de signos (normas DIN) 132 Ecuación de las lentes, potencia y aumento 132 Trazado de rayos 133 Problemas tipo 135 30 Aplicaciones: el ojo, sus defectos e instrumentos ópticos 136 El ojo como sistema óptico 136 Miopía e hipermetropía 137 La lupa 138 El microscopio 139 Bloque 4: Física relativista 31 Principios de la relatividad especial, dilatación del tiempo y contracción de la longitud 141 Relatividad de Galileo y sistemas inerciales 142 La crisis: el éter y Michelson-Morley 142 Los postulados de Einstein (1905) 142 Transformaciones de Lorentz y factor γ 143 Tiempo propio y longitud propia 143 Dilatación del tiempo 143 Contracción de la longitud 144 32 Masa y energía relativistas 146 Masa relativista 146 Equivalencia masa-energía 146 Energía cinética relativista 147 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 5 Casos resueltos 147 Bloque 4: Física cuántica 33 Crisis de la física clásica y efecto fotoeléctrico 149 La crisis de la física clásica y la hipótesis de Planck 150 El efecto fotoeléctrico: qué se observa 151 La explicación de Einstein 151 Intensidad frente a frecuencia 152 Potencial de frenado 152 Casos resueltos 153 34 Hipótesis de De Broglie y dualidad onda-partícula 154 La hipótesis de De Broglie 155 λ a partir de la energía cinética o de una ddp 155 Igual λ, distinta masa; el fotoelectrón 156 ¿Por qué no vemos ondas en objetos cotidianos?

156 Aplicaciones: difracción de electrones y microscopio electrónico 156 Bloque 4: Física nuclear 35 El núcleo atómico: defecto de masa y energía de enlace 158 Parámetros nucleares y notación 159 Defecto de masa y energía de enlace 159 Energía de enlace por nucleón y estabilidad 160 Fisión y fusión 160 36 Radiactividad y ley de desintegración 162 Las tres radiaciones naturales 162 Ley de desintegración radiactiva 163 Periodo de semidesintegración y vida media 163 Datación con carbono-14 y otras aplicaciones 164 37 Bloque 4: Física de partículas — Interacciones fundamentales y modelo estándar 165 Las cuatro interacciones fundamentales 166 Comparación entre gravedad y fuerza eléctrica 166 El modelo estándar 167 Aceleradores de partículas 168 38 Formulario 169 Bloque 1: Interacción gravitatoria 169 Bloque 2: Campo eléctrico 170 Bloque 2: Campo magnético 170 Bloque 2: Inducción electromagnética 170 Bloque 3: Vibraciones y ondas 171 Bloque 3: Óptica 171 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 6 Bloque 4: Relatividad, cuántica, nuclear y partículas 172 Valores y constantes 172 Errores típicos 172 Soluciones de las preguntas de repaso 173 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 7 23 % de los puntos del examen 1 Ley de Gravitación Universal AL ACABAR SABRÁS Escribir la ley de Gravitación Universal en forma escalar y vectorial justificando el signo menos Determinar el vector unitario radial entre dos masas dadas sus coordenadas Calcular la fuerza gravitatoria total sobre una masa debida a dos o tres masas en el plano PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si dos masas te atraen con la misma fuerza desde direcciones perpendiculares, ¿la fuerza total es el doble?

Dos masas cualesquiera se atraen siempre. La ley de Gravitación Universal de Newton dice cuánto vale esa atracción y hacia dónde apunta. Es el punto de partida de todo el tema: campo, energía, Kepler y satélites salen de ella.

BLOQUE 1 Interacción gravitatoria 1 Ley de Gravitación Universal 2 Campo gravitatorio 3 Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial 4 Potencial gravitatorio, líneas de campo y equipotenciales 5 Energía mecánica y balances energéticos 6 Leyes de Kepler 7 Satélites en órbita circular 8 Velocidad de lanzamiento y velocidad de escape Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 8 ESQUEMA Interacción gravitatoria La ley en forma escalar: el módulo de la fuerza Si solo interesa el tamaño de la fuerza, basta con la forma escalar: Aquí y son las masas (en kg) y es la distancia entre sus centros (en m). La fuerza sale en newtons.

Es proporcional a cada masa: si duplicas una masa, la fuerza se duplica. Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: si la distancia se duplica, la fuerza baja a la cuarta parte. Las dos masas sufren fuerzas del mismo módulo y sentido contrario (tercera ley de Newton). DEFINICIÓN La constante de gravitación universal vale G = 6,67·10 ¹¹ N·m²/kg². Es la misma en todo el universo. Su valor tan pequeño explica que la atracción entre objetos cotidianos no se note: solo es apreciable cuando al menos una masa es enorme, como un planeta. Las unidades de G se deducen despejando: , que da . La ley en forma vectorial: vector unitario y signo menos La fuerza es un vector.

Para dar también su dirección y sentido se escribe: Ley de Gravitación Fuerza entre dos masas Campo gravitatorio Fuerza por unidad de masa Potencial gravitatorio Líneas de campo y equipotenciales Energía potencial Fuerza conservativa y central Energía mecánica Balances entre dos posiciones Leyes de Kepler Órbitas de los planetas Satélites en órbita Velocidad, periodo y energía orbital Lanzamiento y escape Satelizar o escapar del planeta F = G r2 M m M m r G = Fr /(Mm) 2 N m /kg 2 2 = F G r2 M m ur Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 9 El vector unitario radial es un vector de módulo 1. Está sobre la recta que une las masas y va de la masa que crea a la que sufre la fuerza.

Solo indica dirección; el tamaño lo pone el resto de la fórmula. ¿Por qué el signo menos? apunta alejándose de M. Pero la gravedad atrae: la fuerza sobre m apunta hacia M. El signo menos invierte el unitario. Así expresa el carácter atractivo de la gravedad. Para calcular el unitario se divide el vector posición relativo entre su módulo: si va de M a m, entonces . EJEMPLO Una masa M = 2 kg está en el origen y m = 1 kg en el punto (3, 4) m. El vector de M a m es , de módulo . El unitario es . Módulo: . Vector: . Ambas componentes son negativas: la fuerza apunta hacia el origen, donde está M.

COMPRUEBA 2 Si en el ejemplo anterior calculas la fuerza que m ejerce sobre M, ¿cómo cambia el unitario y el resultado? Principio de superposición: varias masas Si una masa m está rodeada de varias masas, cada una la atrae como si las demás no existieran. La fuerza total es la suma vectorial de todas: La clave es sumar vectores, no módulos. Dos fuerzas de 3 N en sentidos opuestos dan 0 N, no 6 N. Procedimiento para dos o tres masas en el plano: ur ur r = ur / r r = r 3 + i 4 j r = = 9 + 16 5 m = ur 0,6 + i 0,8 j F = 6,67 10 11 2 1/25 = 5,34 10 N 12 = F 5,34 10 (0,6 + 12 i 0,8 ) = j ( 3,20 i 4,27 ) j 10 N 12 = Ftotal + F1 + F2 + Fn Dibuja las masas y la masa problema.

Dibuja cada fuerza apuntando hacia la masa que la crea. 1 Haz una tabla con la distancia de cada masa y el ángulo α que forma cada fuerza con la horizontal. 2 Calcula el módulo de cada fuerza con . 3 F = i GM m/r i i 2 Descompón: . Si la fuerza va hacia , cambia el signo del coseno; si va hacia , el del seno. 4 = Fi F (± cos α ± i i sin α ) j i j Suma por separado todas las componentes x y todas las y. 5 Da el resultado en forma vectorial y, si lo piden, su módulo . 6 F = F + F x 2 y 2 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 10 EJEMPLO m = 1 kg en el origen. M = 4 kg en (2, 0) m y M = 9 kg en (0, 3) m.

Masa Distancia Sentido de la fuerza sobre m α M = 4 kg 2 m 0° M = 9 kg 3 m 90° Módulos: y . Suma: . Módulo: . Sumando módulos habríamos obtenido 13,34·10 ¹¹ N, que es falso. PROCESO Fuerza total por superposición COMPRUEBA 3 Una masa está justo en el punto medio entre dos masas iguales. ¿Cuánto vale la fuerza total sobre ella y por qué?

+i j F = 1 6,67 10 11 4/4 = 6,67 10 N 11 F = 2 6,67 10 11 9/9 = 6,67 10 N 11 = F (6,67 i 6,67 ) j 10 N 11 F = 6,67 10 = 11 2 9,43 10 N 11 Dibujar fuerzas Cada flecha apunta hacia la masa que atrae 1 Tabla de datos Distancia y ángulo con la horizontal de cada fuerza 2 Calcular módulos F = G·M·m/r² para cada masa 3 Descomponer Componentes con cos α y sen α y su signo 4 Sumar componentes Todas las x juntas y todas las y juntas 5 Resultado vectorial Vector con i, j, unidades y módulo final 6 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 11 ERROR FRECUENTE Unitario al revés: si tomas de la masa que sufre hacia la que crea y además pones el signo menos, la fuerza sale repulsiva.

Comprueba siempre que la fuerza apunta hacia la masa que atrae. Sumar módulos: solo vale si todas las fuerzas van en la misma dirección y sentido. Descompón siempre. Olvidar la notación vectorial: en la PAU de Canarias se resta 0,1 p por omitir el carácter vectorial. También por faltar unidades, por errores de prefijos y por no redondear a dos decimales. PARA RECORDARLO «Menos, porque atrae»: el unitario sale de la masa que crea y el signo menos lo devuelve hacia ella. IDEAS CLAVE El módulo de la atracción gravitatoria es , con G = 6,67·10 ¹¹ N·m²/kg². En forma vectorial , con el unitario dirigido de la masa que crea a la que sufre la fuerza.

El signo menos expresa que la gravedad siempre es atractiva. Con varias masas, la fuerza total es la suma vectorial de las fuerzas individuales (superposición). Se suman componentes x e y por separado; nunca se suman módulos de fuerzas no alineadas. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. Si la distancia entre dos masas se triplica, ¿qué le pasa a la fuerza? 5. ¿Qué indica el vector unitario en la ley vectorial? 6. ¿Cuándo es correcto sumar directamente los módulos de dos fuerzas gravitatorias?

ur F = GMm/r2 = F GMm/r 2 ur ur Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 12 23 % de los puntos del examen BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 2 Campo gravitatorio AL ACABAR SABRÁS Distinguir campo gravitatorio y fuerza gravitatoria, y peso y masa Calcular g a una altura dada usando g = GM/r² o g R² = GM Hallar la altura a la que g toma una fracción de g Calcular el campo total de hasta tres masas sumando componentes PIÉNSALO ANTES DE LEER 7 Un astronauta en la estación espacial flota. ¿Significa eso que allí no hay gravedad? Qué es un campo gravitatorio Una masa no necesita tocar a otra para atraerla.

La física explica esta acción a distancia con la idea de campo: una región del espacio en la que cada punto tiene asignada una propiedad física medible. DEFINICIÓN Existe un campo gravitatorio en una región si cualquier masa colocada en un punto de ella sufre una fuerza gravitatoria. Lo crea la masa fuente , y lo detectamos con una masa testigo . La clave es esta: el campo existe aunque no haya masa testigo. Es una propiedad del espacio que rodea a . La fuerza, en cambio, solo aparece cuando ponemos una segunda masa en ese espacio. La fuerza depende de las dos masas; el campo, solo de la fuente y de la posición.

Aspecto Fuerza gravitatoria Campo gravitatorio Qué necesita Dos masas, y Solo la masa fuente Expresión Unidad N N/kg = m/s² Qué describe Una interacción concreta Cómo es el espacio en cada punto Intensidad del campo gravitatorio Para medir el campo en un punto dividimos la fuerza sobre la masa testigo entre esa masa. Así eliminamos la dependencia de .

Se llama intensidad del campo gravitatorio a la fuerza por unidad de masa: M m M M m M = F G r2 Mm ur = g G r2 M ur m = g = m F G r2 M ur Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 13 Aquí es la constante de gravitación, la distancia desde el centro de la masa fuente y el vector unitario radial, que apunta desde la fuente hacia el punto (ambos vistos en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal»). El signo menos indica que el campo apunta hacia la masa que lo crea: la gravedad siempre atrae. Si conocemos en un punto, la fuerza sobre cualquier masa es inmediata: . Esta es justo la expresión del peso.

Intensidad de campo y aceleración de la gravedad Según la segunda ley de Newton, . Si la única fuerza es la gravitatoria, , y la masa se simplifica. Por tanto, la intensidad del campo es la aceleración de caída libre. Por eso sus unidades coinciden: 1 N/kg = 1 m/s². Consecuencia importante: todos los cuerpos caen con la misma aceleración en un mismo punto, sea cual sea su masa (sin rozamiento del aire). ERROR FRECUENTE Confundir peso y masa. La masa (kg) es propia del cuerpo y no cambia. El peso es la fuerza (N) y cambia con el lugar, porque cambia. Un cuerpo de 10 kg tiene 10 kg en la Tierra, en la Luna y en una nave; su peso no.

COMPRUEBA 8 Si en un punto colocas una masa el doble de grande, ¿qué pasa con la fuerza y con el campo? Campo en la superficie y relación g R² = GM En la superficie de un planeta de masa y radio , la distancia al centro es . El módulo del campo vale: Esta igualdad es muy útil. Permite sustituir el producto por cuando el problema no da la masa del planeta ni , pero sí y el radio. Para la Tierra, m/s² y m. EJEMPLO Comprobamos con kg: Variación de g con la altura A una altura sobre la superficie, la distancia al centro es .

Usando : G r ur g = F m g = F ma m = g ma P = mg g M R r = R g = 0 G R2 M g R = 0 2 GM GM g R 0 2 G g 0 g = 0 9,8 R = T 6,37 106 g 0 M = T 5,97 1024 g = 0 = (6,37 10 ) 6 2 6,67 10 5,97 10 11 24 4,06 1013 3,98 1014 9,8 m/s 2 h r = R + h GM = g R 0 2 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 14 El campo disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia al centro. Si se duplica, se divide entre 4; si se triplica, entre 9. Para alturas pequeñas frente al radio (unos metros o kilómetros), casi no cambia y se toma . ERROR FRECUENTE Poner en lugar de en la fórmula. En siempre va la distancia al centro: . Otro fallo habitual: dejar en km y en m. Pasa todo a metros antes de sumar.

EJEMPLO: ¿A QUÉ DISTANCIA G VALE LA CUARTA PARTE DE G ? Fíjate: la respuesta de distancia al centro y la de altura son distintas. Lee bien qué pide el enunciado. Peso en una órbita Un astronauta en la estación espacial parece no pesar nada. Sin embargo, a unos centenares de kilómetros de altura sigue siendo casi el 90 % de (lo comprobarás en el ejercicio de examen). Su peso no es nulo. Lo que ocurre es que la nave y el astronauta caen juntos hacia la Tierra con la misma aceleración . El peso actúa como fuerza centrípeta que curva la trayectoria, y el suelo no empuja al astronauta. Esa sensación se llama ingravidez aparente: no falta el peso, falta la fuerza del apoyo.

El movimiento orbital se estudia en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Satélites en órbita circular». COMPRUEBA 9 ¿A qué altura, en radios terrestres, el campo vale la novena parte de g ? Superposición: campo de varias masas Si hay varias masas fuente, el campo total en un punto es la suma vectorial de los campos que crea cada una por separado, igual que con las fuerzas (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal»): Los módulos no se suman directamente: hay que sumar componentes. Para cada masa, se calcula el módulo y se descompone según el ángulo que forma con el eje x: , . El signo lo decide hacia dónde apunta cada campo: siempre hacia la masa que lo crea.

g = G = (R + h)2 M g 0 (R + h)2 R2 r g g g g 0 h r GM/r2 r = R + h h R Planteamos la condición: . 1 g = g /4 0 Sustituimos: . Se simplifica . 2 g = 0 r2 R2 4 g 0 g 0 Despejamos: . 3 r = 2 4R 2 r = 2R Interpretamos: a m del centro, es decir, a una altura m. 4 r = 2R = T 1,274 107 h = R = T 6,37 106 g g 0 mg g = g + g1 + g2 + gn g = i GM /r i i 2 α g = x g cos α g = y g sin α Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 15 EJEMPLO: TRES MASAS Tres masas de 100 kg están en A(2, 0), B( 2, 0) y C(0, 2), en metros. Calculamos el campo en el origen O.

Cada masa está a 2 m, así que todos los módulos son iguales: Masa Hacia dónde apunta en O (N/kg) (N/kg) A +x 0 B x 0 C +y 0 Total 0 Resultado: N/kg. Los campos de A y B se anulan por simetría; solo queda el de C. COMPRUEBA 10 En el ejemplo, si la masa de A fuese 200 kg, ¿cuál sería la componente x total? Dibuja las masas y el punto P. Traza en P cada vector apuntando hacia su masa. 1 Calcula cada distancia y cada módulo . 2 r i g i Descompón en x e y, con su signo. 3 Suma componentes y halla el módulo: .

4 g = g + g x 2 y 2 g = i = 22 6,67 10 100 11 1,67 10 N/kg 9 g x g y +1,67 10 9 1,67 10 9 +1,67 10 9 1,67 10 9 = g 1,67 10 9 j Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 16 EBAU · 2025, JUNIO ¿Cuál es el módulo de la aceleración de un objeto situado a una altura de 400 km por encima de la superficie terrestre? (1 punto) Datos: ; ; . Resolución Si solo actúa la gravedad, la aceleración del objeto es la intensidad del campo en ese punto. Hay que usar la distancia al centro, no la altura. 1) Distancia al centro, con todo en metros: 2) Módulo del campo: Resultado: m/s² (= 8,70 N/kg), algo menos que en la superficie.

AHORA TÚ Calcula el módulo de la aceleración de la gravedad a 1000 km de altura sobre la Tierra usando solo m/s² y m. Primeros pasos: como no tenemos ni , usamos . La distancia al centro es m. Te toca: calcular el cociente y multiplicarlo por .

Solución: 11 G = 6,67 10 N 11 m /kg 2 2 M = T 5,98 10 kg 24 R = T 6,37 10 m 6 r = R + T h = 6,37 10 + 6 0,40 10 = 6 6,77 10 m 6 g = G = r2 M T = (6,77 10 ) 6 2 6,67 10 5,98 10 11 24 4,58 1013 3,99 1014 8,70 m/s2 g 8,70 g = 0 9,8 R = T 6,37 106 M T G g = g R /r 0 2 2 r = 6,37 10 + 6 1,00 10 = 6 7,37 106 (R/r)2 g 0 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 17 PROCESO Campo de varias masas en un punto IDEAS CLAVE El campo gravitatorio es una propiedad del espacio creada por la masa fuente; la fuerza solo aparece al colocar una masa testigo. La intensidad de campo es fuerza por unidad de masa, , y coincide con la aceleración de caída libre.

En la superficie se cumple , útil para sustituir GM. El campo disminuye con el cuadrado de la distancia al centro: . El campo de varias masas es la suma vectorial de cada campo, sumando componentes. En órbita el peso no es nulo: la ingravidez es aparente porque todo cae a la vez. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Por qué N/kg y m/s² son la misma unidad? 13. ¿A qué altura sobre la Tierra g vale g /4? 14. ¿Cuál es el peso de un astronauta de 70 kg en un punto donde g = 8,7 m/s²?

Dibujar vectores Cada campo apunta hacia la masa que lo crea 1 Calcular módulos g = GM/r² para cada masa, con r al punto 2 Descomponer Componentes x e y con cos α y sen α, con signo 3 Sumar componentes Total en x y total en y por separado 4 Módulo final g = (gx² + gy²) 5 = g GM/r 2 ur g R = 0 2 GM g = g R /(R + 0 2 h)2 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 18 23 % de los puntos del examen BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 3 Fuerzas centrales,conservativas y energía potencial AL ACABAR SABRÁS Justificar por qué la fuerza gravitatoria es conservativa Calcular el trabajo del campo entre dos puntos con W = ΔEp e interpretar su signo Distinguir cuándo usar GMm/r y cuándo mgh Calcular la energía potencial de un sistema de tres masas PIÉNSALO ANTES DE LEER 15 Si subes un libro a un estante por la escalera o en ascensor, ¿hace la gravedad el mismo trabajo?

Fuerza central y fuerza conservativa Una fuerza central es la que, en cada punto, apunta hacia un punto fijo (o en sentido contrario) y cuyo módulo solo depende de la distancia a ese punto. La gravitatoria lo es: la masa atrae a a lo largo de la recta que las une, con un módulo que solo depende de (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal»). DEFINICIÓN Una fuerza es conservativa si su trabajo entre dos puntos no depende del camino seguido, solo de los puntos inicial y final. Es equivalente decir que su trabajo en una trayectoria cerrada es nulo. Son conservativas la fuerza gravitatoria y la eléctrica. ¿Por qué una fuerza central es conservativa?

Cualquier camino de A a B puede descomponerse en trocitos. Unos van en dirección radial, acercándose o alejándose de . Otros van por un arco a radio constante. En los arcos la fuerza es perpendicular al desplazamiento, así que no hace trabajo. Solo cuentan los tramos radiales. Su suma depende únicamente de cuánto ha cambiado , de a . Por eso el trabajo solo depende de los radios inicial y final. COMPRUEBA 16 Un satélite da una vuelta completa a la Tierra en una órbita elíptica. ¿Cuánto trabajo ha hecho la gravedad en la vuelta entera?

Trabajo gravitatorio y energía potencial Si sumamos los tramos radiales (con cálculo integral) se obtiene el trabajo que hace el campo al llevar de A a B: r M m r M r r A r B m W = A B G r B Mm G r A Mm Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 19 Como el resultado solo depende de cada posición, podemos asignar a cada punto una función, la energía potencial , tal que el trabajo del campo sea lo que esa función disminuye: Comparando ambas expresiones, la energía potencial gravitatoria es: Se mide en julios (J). Al calcularla elegimos un origen: la energía potencial es nula en el infinito, donde la atracción desaparece.

Con este convenio, es el trabajo que hace la fuerza gravitatoria al llevar la masa desde ese punto hasta el infinito. Como ese trabajo es negativo (la gravedad se opone a alejarse), siempre es negativa y aumenta (se acerca a 0) al alejarse. En función del potencial (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Potencial gravitatorio, líneas de campo y equipotenciales»): . Signo del trabajo: ¿quién lo hace?

Caso Signo de W del campo Interpretación La masa se acerca a M ( ) Positivo Lo realiza el propio campo; disminuye La masa se aleja de M ( ) Negativo Hay que hacer trabajo contra el campo: un agente externo lo aporta Se mueve a constante Nulo Sin cambio de EJEMPLO Una sonda de 100 kg se eleva desde la superficie terrestre ( ) hasta . Datos: , m. COMPRUEBA 17 Si un meteorito cae hacia la Tierra desde muy lejos, ¿su energía potencial sube o baja? ¿Quién hace el trabajo? E p W = A B ΔE = p (E p,B E ) p,A E = p G r Mm E p E p V = GM/r W = A B m(V B V ) A r < B r A E p r > B r A r E p r = A R T r = B 2R T GM T 4,0 10 m /s 14 3 2 R T 6,4 106 Energía inicial: J.

1 E = p,A 6,4 106 4,0 10 100 14 6,25 109 Energía final: al doble de distancia, la mitad: J. 2 E p,B 3,13 109 Trabajo del campo: J. 3 W = (E p,B E ) p,A 3,1 109 Interpretación: es negativo, luego un agente externo (el motor) debe aportar al menos esa energía. 4 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 20 Relación con mgh La fórmula es un caso particular. Si el cuerpo sube una altura desde la superficie: Si , entonces y, como , queda . Tomando el origen en la superficie, . ERROR FRECUENTE Usar para satélites o alturas de cientos de kilómetros. Solo vale si h es mucho menor que el radio terrestre.

Además, ambas tienen orígenes distintos: es 0 en el suelo y positiva; es 0 en el infinito y negativa. No mezcles las dos en un mismo balance. Energía potencial de un sistema de tres masas La energía potencial no pertenece a una masa sola, sino a cada pareja que interacciona. Para varias masas se suma la de cada par una sola vez. Con tres masas hay tres pares: Es una suma de escalares: no hay que descomponer en ejes. Representa el trabajo necesario (cambiado de signo) para reunir las masas trayéndolas desde el infinito. EJEMPLO Tres masas de 2 kg en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Los tres pares son iguales: J (con N·m²/kg²). PARA RECORDARLO N masas: pares.

Con tres, tres términos; nunca seis. E = p mgh h ΔE = p GM m = T ( R T 1 R + h T 1 ) R (R + h) T T GM m h T h R T R (R + T T h) R T 2 g = 0 GM /R T T 2 ΔE p mg h 0 E = p mgh mgh mgh GMm/r E = p G + + ( r 12 m m 1 2 r 13 m m 1 3 r 23 m m 2 3 ) E = p 3G = 1 2 2 12G 8,0 10 10 G = 6,67 10 11 N(N 1)/2 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 21 PROCESO De fuerza central a energía potencial IDEAS CLAVE Una fuerza central de módulo dependiente solo de r es conservativa: su trabajo depende solo de los radios inicial y final. El trabajo de una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es nulo y cumple . , con origen en el infinito; siempre es negativa.

Trabajo del campo positivo: lo hace el campo; negativo: lo aporta un agente externo. solo es válida cerca de la superficie ( ). La energía potencial de varias masas se obtiene sumando la de cada par una vez. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 18. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria es negativa? 19. ¿Qué aproximación lleva de a ?

Fuerza central Radial y dependiente solo de la distancia r 1 Arcos sin trabajo A radio constante la fuerza es perpendicular al desplazamiento 2 Trabajo según radios Solo importan r inicial y r final 3 Fuerza conservativa Trabajo nulo en trayectoria cerrada 4 Ep = GMm/r W = ΔEp, con Ep nula en el infinito 5 W = ΔE p E = p GMm/r mgh h R T GMm/r mgh Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 22 23 % de los puntos del examen BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 4 Potencial gravitatorio,líneas de campo y equipotenciales AL ACABAR SABRÁS Calcular el potencial gravitatorio creado por dos o tres masas mediante suma escalar Calcular el trabajo del campo entre dos puntos con W = m·ΔV e interpretar su signo Relacionar campo y potencial mediante g = dV/dr Dibujar líneas de campo y equipotenciales de una masa puntual y justificar su perpendicularidad PIÉNSALO ANTES DE LEER 20 En el punto medio entre dos planetas iguales la gravedad total es cero.

¿Significa eso que allí no hay energía potencial? Potencial gravitatorio: energía por cada kilogramo La energía potencial de un cuerpo depende de su masa y de su posición. Para describir solo la posición, dividimos entre la masa. Así obtenemos una magnitud propia del campo, que existe aunque no haya ningún cuerpo colocado allí. DEFINICIÓN El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial por unidad de masa que tendría un cuerpo situado en ese punto. Se mide en J/kg. Aquí M es la masa que crea el campo y r la distancia a su centro.

La energía potencial y su origen en el infinito se explican en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial». Del signo se deducen tres ideas: V es siempre negativo y vale 0 en el infinito. Al acercarnos a la masa, V se hace más negativo: el potencial disminuye. Si conocemos V, la energía potencial de cualquier masa m es . Superposición: una suma de números Si hay varias masas, cada una crea su propio potencial en el punto. El potencial total es la suma de todos. A diferencia del campo, el potencial es un escalar: solo tiene valor y signo, no dirección. Por eso basta sumar números, sin dibujar vectores.

V = = m E p r GM E = p mV V = P V + 1 V + 2 V = 3 G + + ( r 1 M 1 r 2 M 2 r 3 M 3 ) Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 23 EJEMPLO Dos masas de 100 kg están en los puntos (0, 0) m y (6, 0) m. Calculamos el potencial en P = (3, 4) m. ERROR FRECUENTE Restar potenciales porque las masas están a lados opuestos del punto. Eso solo ocurre con vectores. Todos los potenciales gravitatorios son negativos y siempre se suman con su signo menos. Tampoco se pone vector unitario en V. COMPRUEBA 21 En el punto medio entre dos masas iguales, ¿el campo total es nulo? ¿Y el potencial?

Trabajo y diferencia de potencial El trabajo del campo para llevar una masa m de A a B es igual a menos la variación de energía potencial. La relación general se trata en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial». Con potenciales se escribe así: Si la masa va hacia potenciales menores ( ), W es positivo: el trabajo lo hace el campo. Si va hacia potenciales mayores, W es negativo: hay que hacer trabajo contra el campo. En una trayectoria cerrada, y el trabajo es nulo. Relación entre campo y potencial El campo y el potencial describen la misma realidad. El campo nos dice hacia dónde caen los cuerpos y con qué aceleración.

El potencial nos dice cuánta energía hay en cada punto. Se relacionan mediante una derivada: Comprobación: si , entonces . Así obtenemos . El signo menos indica que g apunta hacia el centro. La intensidad de campo se define en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Campo gravitatorio». Distancias: de la masa 1 a P, m. Por simetría, m. 1 r = 1 = 3 + 4 2 2 5 r = 2 5 Potencial de cada masa: J/kg. 2 V = 1 V = 2 = 5 6,67 10 100 11 1,33 10 9 Suma escalar: J/kg. No hay que descomponer en ejes. 3 V = P 2,67 10 9 Una tercera masa añadiría un tercer término negativo, calculado igual.

4 W = A B ΔE = p m (V B V ) A V < B V A V = B VA g = dr dV V = GM/r dV /dr = GM/r2 g = GM/r2 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 24 PARA RECORDARLO El campo apunta hacia potenciales decrecientes, como una bola que rueda cuesta abajo. Donde V cambia deprisa con r, el campo es intenso. COMPRUEBA 22 Una masa se suelta en reposo. ¿Se mueve hacia potenciales mayores o menores? ¿Qué signo tiene el trabajo del campo? Líneas de campo y superficies equipotenciales Las líneas de campo son líneas tangentes en cada punto al vector g. Para una masa puntual son rectas radiales que entran en la masa. Se juntan cerca de ella, donde el campo es más intenso.

Nunca se cortan, porque en cada punto g tiene una sola dirección. Las superficies equipotenciales unen los puntos con el mismo potencial. Como V solo depende de r, son esferas concéntricas con la masa. En un dibujo plano aparecen como circunferencias. Las líneas de campo y las equipotenciales son siempre perpendiculares. Si g tuviera una componente a lo largo de la superficie, V cambiaría al moverse sobre ella. Eso contradice la definición de equipotencial. Moverse sobre una equipotencial no cuesta trabajo. Como , resulta . También se ve con fuerzas: la fuerza gravitatoria es radial, y el desplazamiento es perpendicular a ella.

EJEMPLO Un satélite en órbita circular está siempre a la misma distancia del centro de la Tierra. Por tanto, recorre una equipotencial y la gravedad no realiza trabajo sobre él.

ESQUEMA Representación del campo de una masa V = B V A W = m 0 = 0 Líneas de campo Radiales, entrantes hacia la masa Tangentes a g Más juntas donde g es mayor No se cortan g tiene una sola dirección Equipotenciales Esferas concéntricas, V constante Perpendiculares a líneas Sin componente de g tangente Trabajo nulo VB = VA implica W = 0 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 25 23 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE El potencial es energía potencial por unidad de masa: , en J/kg, nulo en el infinito. Con varias masas, los potenciales se suman como números negativos, sin vectores. : el campo hace trabajo positivo al bajar de potencial.

: el campo apunta hacia potenciales decrecientes. Líneas de campo radiales entrantes y equipotenciales esféricas son perpendiculares; sobre una equipotencial el trabajo es nulo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 23. ¿Qué unidades tiene el potencial gravitatorio y por qué es negativo? 24. ¿Cuánto trabajo hace la gravedad al llevar 2 kg entre dos puntos con el mismo potencial?

BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 5 Energía mecánica y balances energéticos AL ACABAR SABRÁS Plantear la segunda ley de Newton para un cuerpo en un campo gravitatorio Aplicar la conservación de la energía mecánica entre dos posiciones con Ep = GMm/r Calcular la velocidad de llegada en una caída desde gran altura y la altura máxima de un lanzamiento vertical Deducir si un cuerpo queda ligado o escapa según el signo de su energía mecánica PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 Si sueltas un objeto desde muy alto, ¿llega al suelo más rápido de lo que predice mgh o más despacio?

La segunda ley de Newton en un campo gravitatorio Un cuerpo de masa situado a una distancia del centro de un astro de masa solo siente, si no hay otras fuerzas, la atracción gravitatoria (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal»). Si aplicamos la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración: La masa se simplifica. Por eso la aceleración del cuerpo es el campo g local, sea cual sea su masa. Una pluma y un martillo caen igual en la Luna. Como cambia con la distancia (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Campo gravitatorio»), la aceleración no es constante en un viaje largo.

Las V = GM/r W = A B m(V B V ) A g = dV /dr m r M G = r2 Mm m a a = G = r2 M g(r) m g Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 26 ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado dejan de servir. La herramienta adecuada es la energía. COMPRUEBA 26 ¿Por qué no podemos usar las fórmulas del MRUA para un objeto que cae desde 2000 km de altura? Conservación de la energía mecánica La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la potencial: . La cinética depende de la velocidad, .

La potencial gravitatoria depende de la posición: Su origen está en el infinito, donde vale cero (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial»). La fuerza gravitatoria es conservativa. Por tanto se cumple el principio: si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se mantiene constante. Entre dos posiciones 1 y 2: Lo que pierde una forma de energía lo gana la otra. Al caer, disminuye, se hace más negativa y la velocidad crece. El trabajo del campo entre ambos puntos es . Si es positivo lo hace el campo; si es negativo, hay que hacerlo contra el campo.

Si hay rozamiento (por ejemplo, el aire), la energía mecánica no se conserva y el balance debe incluir su trabajo. PARA RECORDARLO Método en tres pasos: 1) identifica los puntos 1 y 2 con su medido desde el centro del astro; 2) escribe ; 3) despeja la incógnita. Caso 1: un objeto que cae desde gran altura EJEMPLO Un fragmento de basura espacial queda en reposo a una altura sobre la superficie. ¿Con qué velocidad llega al suelo, sin rozamiento? Datos: , . Llega a unos 7,9 km/s. Con habríamos obtenido km/s, un resultado muy exagerado.

E = m E + c E p E = c mv 2 1 2 E = p G r Mm mv 2 1 1 2 G = r 1 Mm mv 2 1 2 2 G r 2 Mm r E p W = 1 2 ΔE = p ΔE c r E + c1 E = p1 E + c2 E p2 h = R T GM T 4,0 10 N m /kg 14 2 R T 6,4 10 m 6 Posiciones: , ; , incógnita. 1 r = 1 2R T v = 1 0 r = 2 R T v 2 Balance: . 2 0 = 2RT GM m T mv 2 1 2 2 R T GM m T La masa se simplifica: . 3 v = 2 2 2GM = T (R T 1 2R T 1 ) R T GM T Números: . 4 v = 2 = 4,0 10 /6,4 10 14 6 6,25 107 7,9 10 m/s 3 mgh 2gR T 11,2 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 27 ERROR FRECUENTE Usar a grandes alturas (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial»). Otro fallo típico: poner en la altura en vez de .

COMPRUEBA 27 En el ejemplo, ¿cambiaría la velocidad final si el fragmento tuviera el doble de masa? Caso 2: lanzamiento vertical y altura máxima Si lanzamos una sonda hacia arriba, sube perdiendo energía cinética y ganando potencial. En la altura máxima su velocidad es cero. El balance queda . EJEMPLO Desde la superficie terrestre se lanza verticalmente una sonda de 100 kg con . ¿Qué altura alcanza? (mismos datos). Signo de la energía mecánica y tipo de movimiento Como es negativa y tiende a cero en el infinito, el signo de indica si el cuerpo puede alejarse indefinidamente. Para llegar al infinito hace falta que allí , es decir, .

Energía mecánica Estado Qué ocurre Ligado No escapa: cae de vuelta u orbita (órbita cerrada). Límite Llega al infinito con velocidad cero; es la condición de escape. Libre Escapa y en el infinito conserva energía cinética. El caso define la velocidad de escape, que no depende de la masa del objeto (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Velocidad de lanzamiento y velocidad de escape»). La energía de un satélite en órbita se estudia en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Satélites en órbita circular». E = p mgh r R + T h E c1 = R GMm r max GMm E = c1 3,0 10 J 9 Energía potencial inicial: . 1 E = p1 = 6,4 106 4,0 10 100 14 6,25 10 J 9 Energía mecánica: . Es negativa: la sonda volverá.

2 E = m 3,0 10 9 6,25 10 = 9 3,25 10 J 9 Arriba solo hay potencial: . 3 = r max GMm 3,25 10 9 r = max 3,25 109 4,0 1016 1,23 10 m 7 Altura sobre la superficie: , casi un radio terrestre. 4 h = r max R T 5,9 10 m 6 E p E m E c 0 E m 0 E < m 0 E = m 0 E > m 0 E = m 0 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 28 ESQUEMA Movimiento según la energía mecánica COMPRUEBA 28 Una nave tiene E_c = 5·10 J y E_p = 4·10 J. ¿Escapará de la Tierra? IDEAS CLAVE Por la segunda ley de Newton, un cuerpo sometido solo a la gravedad tiene una aceleración igual al campo g local, independiente de su masa. Si solo actúa la gravedad, la energía mecánica se conserva: con .

La distancia r se mide desde el centro del astro: . La fórmula solo sirve para alturas pequeñas frente al radio del astro. Si el cuerpo está ligado; si escapa justo; si escapa con velocidad sobrante. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 29. ¿Qué velocidad tiene una sonda lanzada verticalmente en su altura máxima y cómo se usa en el balance? 30. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria es siempre negativa? 31. ¿Qué signo tiene el trabajo del campo cuando un objeto cae?

Em < 0: ligado Cae de vuelta u orbita Em = 0: límite Llega al infinito con v = 0 Em > 0: libre Escapa con energía cinética sobrante E + c1 E = p1 E + c2 E p2 E = p GMm/r r = R + h mgh E < m 0 E = m 0 E > m 0 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 29 23 % de los puntos del examen BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 6 Leyes de Kepler AL ACABAR SABRÁS Enunciar las tres leyes de Kepler e identificar perihelio, afelio y focos en una elipse Justificar la segunda ley con la conservación del momento angular y calcular velocidades en perihelio y afelio Deducir la tercera ley a partir de la gravitación en una órbita circular Calcular la masa y la densidad de un planeta a partir del periodo y el radio orbital de un satélite PIÉNSALO ANTES DE LEER 32 ¿Se puede «pesar» Júpiter sin ir hasta él?

Primera ley: las órbitas son elipses Antes de Newton, Kepler resumió en tres leyes cómo se mueven los planetas. Las obtuvo a partir de observaciones astronómicas, sin conocer la causa. Más tarde, la ley de gravitación permitió explicarlas (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal»). DEFINICIÓN Primera ley de Kepler: los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos. Una elipse es una curva cerrada con dos puntos especiales, los focos. La suma de distancias desde cualquier punto de la curva a los dos focos es siempre la misma. El eje más largo es el eje mayor; su mitad es el semieje mayor, .

Como el Sol no está en el centro, la distancia planeta-Sol cambia a lo largo de la órbita: Perihelio: punto de la órbita más cercano al Sol (distancia ). Afelio: punto más alejado del Sol (distancia ). Se cumple . Si la órbita es un satélite alrededor de la Tierra, se habla de perigeo y apogeo. Una circunferencia es una elipse en la que los dos focos coinciden: entonces . Segunda ley: áreas iguales en tiempos iguales DEFINICIÓN Segunda ley de Kepler: el radio vector (el segmento que une el Sol con el planeta) barre áreas iguales en tiempos iguales. Consecuencia directa: el planeta va más rápido cerca del Sol y más lento lejos.

Para barrer la misma área con un radio corto, tiene que recorrer más arco en el mismo tiempo. a r p r a r + p r = a 2a r = p r = a r Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 30 La causa física es la conservación del momento angular. El momento angular de un planeta respecto al Sol es . Se conserva cuando el momento de la fuerza es nulo. La gravedad es una fuerza central (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial»): apunta siempre hacia el Sol, paralela a . Por eso: Que sea constante en dirección implica que la órbita está en un plano fijo. Que sea constante en módulo implica la ley de las áreas.

En el perihelio y en el afelio, y son perpendiculares, así que . Igualando ambos puntos y simplificando la masa: EJEMPLO Un cometa pasa por el perihelio a 1 UA del Sol con 40 km/s. Su afelio está a 20 UA. ¿Qué velocidad lleva allí? COMPRUEBA 33 ¿Por qué la relación r·v = constante solo vale tal cual en el perihelio y el afelio? Tercera ley: periodo y tamaño de la órbita Tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor. El periodo es el tiempo de una vuelta completa. Para dos planetas del mismo sistema: Deducción para una órbita circular La constante de proporcionalidad solo depende de la masa del astro central M, no de la del satélite.

Por eso todos los planetas del Sol comparten la misma constante. Las lunas de Júpiter tienen otra distinta. = L × r mv r = M × r = F 0 = L constante L r v L = mrv r p v = p r a v a Escribimos la conservación: . 1 r v = p p r v a a Despejamos: . 2 v = a = r a r v p p = 20 1 40 2 km/s Aquí no hace falta pasar a metros: es un cociente de distancias en la misma unidad. 3 T = a 1 3 T 1 2 a 2 3 T 2 2 En una órbita circular de radio , la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta: . 1 r G = r2 Mm m r v2 Simplificamos y un : . 2 m r v = 2 r GM El movimiento es uniforme, así que una vuelta ( ) dura : . 3 2πr T v = T 2πr Sustituimos: .

4 = T2 4π r 2 2 r GM Reordenamos y queda la tercera ley: 5 T = 2 G M 4π2 r3 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 31 COMPRUEBA 34 Si un satélite tiene una órbita de radio 4 veces mayor que otro alrededor del mismo planeta, ¿cuántas veces es mayor su periodo? Cálculo de la masa y la densidad del astro central Si conocemos el radio y el periodo de un satélite, despejamos la masa del astro alrededor del que gira: EJEMPLO: JÚPITER Y CALISTO Calisto gira alrededor de Júpiter en una órbita casi circular de radio 1,883·10 km, con un periodo de 16,69 días. El radio de Júpiter es unos 6,99·10 km. Dato: . ERROR FRECUENTE Meter el periodo en días u horas y el radio en km.

Con G en unidades del SI, va en segundos (1 día = 86400 s) y en metros. Además, en la densidad se usa el radio del planeta, no el de la órbita del satélite. Y el radio orbital se mide desde el centro del planeta: si te dan la altura, súmale el radio del planeta. M = GT2 4π r 2 3 G = 6,67 10 N m /kg 11 2 2 Unidades del SI: ; . 1 r = 1,883 10 m 9 T = 16,69 86400 1,442 10 s 6 Masa: . 2 M = 6,67 10 (1,442 10 ) 11 6 2 4π (1,883 10 ) 2 9 3 1,9 10 kg 27 Volumen del planeta (esfera): . 3 V = πR = 3 4 3 π(6,99 3 4 10 ) 7 3 1,43 10 m 24 3 Densidad: . Es una densidad baja, propia de un planeta gaseoso.

4 ρ = V M 1,3 10 kg/m 3 3 T r Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 32 PROCESO Deducción de la tercera ley IDEAS CLAVE Las órbitas planetarias son elipses con el Sol en uno de los focos; el perihelio es el punto más cercano y el afelio el más lejano. La gravedad es central, así que el momento angular se conserva: órbita plana y áreas iguales en tiempos iguales. En perihelio y afelio se cumple : el planeta va más rápido cerca del Sol. Igualando fuerza gravitatoria y centrípeta se obtiene , que solo depende de la masa central. Con el radio y el periodo de un satélite se calcula la masa del astro central, y con su radio, su densidad. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 35.

¿Por qué se conserva el momento angular de un planeta respecto al Sol? 36. ¿De qué masa depende la constante de la tercera ley de Kepler? 37. ¿Qué dos datos de un satélite bastan para calcular la masa del planeta?

Gravedad = centrípeta GMm/r² = mv²/r en órbita circular 1 Velocidad orbital Se simplifica: v² = GM/r 2 Movimiento uniforme v = 2πr/T en una vuelta completa 3 Tercera ley T² = (4π²/(GM))·r³ 4 Masa central Despejar M = 4π²r³/(GT²) 5 r v = p p r v a a T = 2 r GM 4π2 3 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 33 23 % de los puntos del examen BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 7 Satélites en órbita circular AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta Calcular el periodo, la aceleración centrípeta y la altura de una órbita circular Obtener las energías cinética, potencial y mecánica de un satélite y la energía para cambiarlo de órbita Caracterizar la órbita geoestacionaria y calcular su radio PIÉNSALO ANTES DE LEER 38 Si soltaras una piedra y un satélite pesado en la misma órbita, ¿cuál tendría que ir más rápido para no caer?

Velocidad orbital: de dónde sale Un satélite en órbita circular gira alrededor de un astro de masa M a una distancia fija r de su centro. La única fuerza que actúa sobre él es la atracción gravitatoria (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Ley de Gravitación Universal»). Esa fuerza no lo hace caer: lo obliga a curvar su trayectoria. Por eso hace el papel de fuerza centrípeta, la fuerza dirigida al centro que necesita todo movimiento circular. Si igualamos los módulos de las dos fuerzas: La masa del satélite m aparece en los dos lados y se simplifica. Despejando v: Esta es la velocidad orbital: la velocidad que debe llevar un cuerpo para mantenerse en una órbita circular de radio r.

Dos conclusiones salen directamente de la fórmula: La velocidad orbital no depende de la masa del satélite. Una estación espacial y un tornillo a la misma distancia van igual de rápido. Cuanto mayor es r, menor es v. Los satélites lejanos van más despacio. El radio r se mide siempre desde el centro del astro. Si el dato es la altura h sobre la superficie, hay que sumar el radio del planeta: . G = r2 Mm m r v2 v = r GM r = R + h Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 34 ERROR FRECUENTE Sustituir la altura h en lugar del radio orbital r. Si un satélite está a 600 km de altura, r no es 6,0·10 m, sino m. Pasa además los kilómetros a metros antes de sumar.

La aceleración centrípeta del satélite es . Coincide con la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Campo gravitatorio»). COMPRUEBA 39 Si duplicamos la masa de un satélite manteniendo su órbita, ¿qué le pasa a su velocidad orbital? ¿Y si cuadruplicamos el radio? Periodo orbital y altura de la órbita El periodo T es el tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta completa.

Como recorre la circunferencia con velocidad constante: Si sustituimos la velocidad orbital y elevamos al cuadrado, aparece la tercera ley de Kepler, cuya deducción se explica en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Leyes de Kepler»: Así, una órbita más alta tiene un periodo mayor y una velocidad menor. El satélite recorre más camino y además va más despacio. El problema inverso también es típico: conocemos T y buscamos la altura. Se despeja r y luego se resta el radio del planeta: EJEMPLO Satélite a h = 600 km sobre la Tierra. r = 6,37 10 + 6 6,0 10 = 5 6,97 106 a = c v /r = 2 GM/r2 2πr T = v 2πr T = 2 r GM 4π2 3 r = h = 3 4π2 GMT2 r R Radio orbital: m.

1 r = 6,37 10 + 6 0,60 10 = 6 6,97 106 Velocidad: m/s. 2 v = 6,97 106 6,67 10 5,97 10 11 24 7,56 103 Periodo: s, unos 97 minutos. 3 T = 7,56 103 2π 6,97 106 5,79 103 Aceleración centrípeta: m/s², algo menos que g = 9,8 m/s². 4 a = c v /r 2 8,2 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 35 COMPRUEBA 40 Un satélite A orbita a r y otro B a 9r del mismo planeta. ¿Cuántas veces mayor es el periodo de B? Energías de un satélite en órbita A partir de la velocidad orbital podemos calcular las tres energías del satélite. La energía cinética es ; al sustituir queda en función de r.

La energía potencial gravitatoria, con origen en el infinito, ya se estudió en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Fuerzas centrales, conservativas y energía potencial». La energía mecánica es la suma de ambas. Energía Expresión Signo Si r aumenta Cinética positivo disminuye Potencial negativo aumenta (menos negativa) Mecánica negativo aumenta (menos negativa) Fíjate en dos relaciones útiles: . Si conoces una de las tres energías, conoces las otras dos. El signo negativo de E_m indica que el satélite está ligado al planeta: no puede escapar sin recibir energía (véase «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Energía mecánica y balances energéticos»).

PARA RECORDARLO Órbita más alta: más lento, más periodo, menos energía cinética, pero más energía mecánica. Subir de órbita cuesta energía, aunque luego el satélite vaya más despacio. Energía para cambiar de órbita Para llevar un satélite de una órbita de radio r a otra de radio r mayor hay que aportarle energía. Esa energía es la diferencia de energía mecánica entre las dos órbitas: Si , el resultado es positivo: los motores deben aportar ese trabajo. Si el satélite baja, ΔE_m sale negativo y la energía se pierde (por rozamiento o frenado). EJEMPLO Satélite de 500 kg que pasa de r = 7,0·10 m a r = 1,4·10 m.

mv 2 1 2 v = 2 GM/r E = c 2r GMm E = p r GMm E = m 2r GMm E = m E = c 2 E p ΔE = m E m2 E = m1 2 GMm ( r 1 1 r 2 1 ) r > 2 r 1 Factor común: J·m. 1 = 2 GMm 2 6,67 10 5,97 10 500 11 24 9,96 1016 Paréntesis: m ¹. 2 7,0 106 1 1,4 107 1 7,14 10 8 Producto: J. Es positivo: hay que aportarlo. 3 ΔE m 7,1 109 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 36 ERROR FRECUENTE Calcular el cambio de órbita con la diferencia de energía potencial o de cinética. La energía que se aporta es la de la energía mecánica, que tiene en cuenta que el satélite sube y, a la vez, frena. COMPRUEBA 41 Al pasar a una órbita más alta, la energía cinética del satélite baja.

¿Por qué entonces hay que gastar energía? Satélite geoestacionario Un satélite geoestacionario es el que permanece siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre. Para lograrlo debe cumplir tres condiciones: Periodo igual al de rotación de la Tierra: T 24 h. Órbita en el plano ecuatorial, girando en el mismo sentido que la Tierra. Órbita circular. Con T = 24 h = 86 400 s, la tercera ley de Kepler fija el radio: m. Restando el radio terrestre sale una altura de unos 36 000 km. Por tanto, solo existe una órbita geoestacionaria posible. Se usan para comunicaciones y meteorología, porque una antena fija en tierra siempre apunta al satélite.

PROCESO Cómo resolver un satélite en órbita r = 3 4π2 GMT2 4,22 107 Calcular r = R + h Pasar la altura a metros y sumar el radio del planeta 1 Igualar fuerzas Gravitatoria igual a centrípeta: v = (GM/r) 2 Periodo T = 2πr/v, o tercera ley de Kepler 3 Energías Ec = GMm/2r, Ep = GMm/r, Em = GMm/2r 4 Cambio de órbita Energía aportada igual a Em final menos Em inicial 5 Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 37 23 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE La velocidad orbital sale de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta: . La velocidad orbital no depende de la masa del satélite, y r se mide desde el centro: . Al aumentar r, la velocidad baja y el periodo crece según .

En órbita circular . La energía para cambiar de órbita es la variación de energía mecánica entre ambas. El satélite geoestacionario tiene T 24 h, órbita ecuatorial y r 4,22·10 m. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 42. ¿Qué satélite tiene más energía mecánica, uno a 500 km o uno a 2000 km de altura (misma masa)? 43. Si la energía cinética de un satélite es 3·10 J, ¿cuánto valen su energía potencial y su energía mecánica?

BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 8 Velocidad de lanzamiento y velocidad de escape AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad de lanzamiento a una órbita circular mediante la conservación de la energía Calcular la energía necesaria para poner un satélite en órbita desde la superficie Deducir la velocidad de escape y justificar que no depende de la masa ni de la dirección Comparar velocidades de escape entre planetas usando proporciones PIÉNSALO ANTES DE LEER 44 ¿Hace falta más velocidad para lanzar un cohete hacia arriba que en horizontal si queremos que escape de la Tierra?

Velocidad de lanzamiento para satelizar un cuerpo Queremos lanzar un cuerpo de masa desde la superficie de un planeta (masa , radio ) para que quede en una órbita circular de radio . La pregunta es qué velocidad hay que darle en el suelo. La herramienta es la conservación de la energía mecánica, vista en «Bloque 1: Interacción gravitatoria — Energía mecánica y balances energéticos». La gravedad es conservativa, así que la energía mecánica inicial es igual a la final. Despreciamos el rozamiento con el aire y la rotación del planeta.

v = GM/r r = R + h T = 2 r GM 4π2 3 E = m E = c E /2 = p 2r GMm m M R r = R + h Física PAU Canarias: apuntes de los 4 bloques con tests 38 La masa del cuerpo desaparece: la velocidad de lanzamiento no depende de la masa del satélite. Sí depende del planeta y del radio de la órbita elegida. ERROR FRECUENTE Poner en el estado final solo la energía potencial , como si el satélite llegara parado. En órbita el satélite se mueve con su velocidad orbital, así que su energía final es . Y no confundas con : siempre . Energía necesaria para poner en órbita un satélite La energía de satelización es la energía que hay que comunicar al cuerpo para llevarlo desde el suelo (en reposo) a la órbita.

Es la diferencia entre la energía mecánica final y la inicial, con el cuerpo parado en la superficie: Coincide con la energía cinética de lanzamiento . Esta energía sí es proporcional a la masa: un satélite el doble de pesado cuesta el doble de energía, aunque necesite la misma velocidad. EJEMPLO Satélite de 1000 kg a una órbita de radio . Usamos . . . Velocidad: . COMPRUEBA 45 Si dos satélites de masas 500 kg y 2000 kg van a la misma órbita, ¿qué tienen igual y qué distinto? Estado inicial (superficie): el cuerpo tiene energía cinética y…