Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario

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APUNTES FÍSICA EBAU Principado de Asturias AprenAI 2026-2027 Física de 2.º de Bachillerato en 37 temas: gravitación, electromagnetismo, ondas, óptica y física moderna. Esquemas, 144 preguntas de test y formulario. APREN.AI Índice Bloque A: Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta 8 1. Ley de Gravitación Universal 9 2. Intensidad de campo gravitatorio 10 3. Variación de g con la altura 12 4. Peso en otros planetas 12 5. Caída libre en otros campos 13 2 Superposición, potencial, líneas de campo y gráficas g(r) y V(r) 15 1. Principio de superposición: suma de vectores 16 2. Punto de campo nulo entre dos masas 17 3.

Potencial gravitatorio: suma de escalares 17 4. Líneas de campo y superficies equipotenciales 18 5. Gráficas g(r) y V(r) fuera del cuerpo 20 3 Energía potencial, trabajo y conservación de la energía 21 Fuerzas conservativas y energía potencial 21 Energía potencial gravitatoria: referencia en el infinito 22 Trabajo del campo y trabajo contra el campo 22 Conservación de la energía mecánica 23 ¿Cuándo vale Ep = mgh?

24 4 Leyes de Kepler y momento angular 25 Las tres leyes de Kepler 25 Momento de una fuerza y momento angular 26 Fuerza central y conservación de L 27 Velocidad areolar: deducción de la 2.ª ley 28 Afelio y perihelio 28 5 Movimiento de satélites y planetas en órbitas circulares 30 La gravedad como fuerza centrípeta 30 Velocidad orbital, velocidad angular y periodo 31 Deducción de la tercera ley de Kepler 31 Cálculo de la masa del astro central 32 Órbita geoestacionaria y otros tipos de satélites 33 6 Energía de satélites, puesta en órbita y velocidad de escape 35 Energía mecánica de un satélite en órbita circular 36 Poner un satélite en órbita desde la superficie 36 Cambiar de órbita 37 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 1 Velocidad de escape 38 Tipo de trayectoria según la energía mecánica 39 7 Cosmología, astrofísica y su repercusión tecnológica 41 De la Tierra en el centro al Big Bang 41 El telescopio de Galileo 42 Estrellas, agujeros negros y materia oscura 43 Repercusión tecnológica y social 44 Bloque B: Campo eléctrico 8 Ley de Coulomb, intensidad de campo y líneas de fuerza 45 Ley de Coulomb 46 Intensidad de campo eléctrico 47 Superposición: varias cargas 48 Punto de campo nulo 48 Líneas de fuerza 49 9 Potencial, energía potencial y trabajo 50 Energía potencial eléctrica 50 Potencial eléctrico y superposición 51 Trabajo en el campo eléctrico 53 Energía de una distribución de cargas y conservación 54 10 Flujo eléctrico, teorema de Gauss y distribuciones continuas 55 Flujo del campo eléctrico 55 Teorema de Gauss 56 Campos de esfera, hilo y plano 57 Conductores en equilibrio y jaula de Faraday 58 11 Movimiento de cargas en campos uniformes y analogía con el campo gravitatorio 59 El campo uniforme entre dos placas: E = ΔV/d 60 Caso 1: carga que entra con velocidad paralela al campo 61 El electronvoltio (eV) 61 Caso 2: carga que entra con velocidad perpendicular al campo 62 Analogías y diferencias con el campo gravitatorio 63 Bloque B: Campo magnético 12 Fuerza de Lorentz y movimiento de cargas 66 El campo magnético B 67 La fuerza de Lorentz 68 Movimiento circular de una carga 69 Sentido de giro y signo de la carga 70 Trayectoria helicoidal 71 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 2 13 Selector de velocidades, espectrómetro de masas y ciclotrón 72 La fuerza de Lorentz generalizada 73 Selector de velocidades 73 Espectrómetro de masas 74 Ciclotrón 74 Fenómenos naturales: cinturones de Van Allen y auroras 75 14 Campos creados por corrientes: hilo, espira, solenoide y toro 76 La experiencia de Oersted: la corriente crea magnetismo 76 Hilo rectilíneo infinito 77 Espira, bobina, solenoide y toro 78 Ley de Ampère 79 Superposición: campo de dos hilos paralelos 79 15 Fuerzas sobre conductores y entre corrientes paralelas 81 Fuerza sobre un conductor rectilíneo 81 Fuerza de un hilo sobre una carga móvil cercana 83 Fuerza entre dos corrientes paralelas 83 Varios hilos: suma vectorial y definición del amperio 84 Momento sobre una espira: el motor eléctrico 85 Bloque B: Inducción electromagnética 16 Flujo magnético y leyes de Faraday y Lenz 87 Flujo magnético: cuántas líneas de campo atraviesan una superficie 87 Las experiencias de Faraday y Henry 88 Ley de Faraday: cuánta fem se induce 89 Ley de Lenz: el sentido de la corriente 90 Gráficas de flujo y fem 91 La barra deslizante 91 17 Generadores de alterna, motores y transformadores 92 El alternador: una espira que gira dentro de un campo 93 Motor frente a generador 94 El transformador 95 Transporte de energía a alta tensión 96 Bloque C: Vibraciones y ondas 18 Movimiento armónico simple 97 Qué es un movimiento armónico simple 98 Ecuación de la posición 99 Cómo obtener la fase inicial 100 Velocidad y aceleración 101 Energía del oscilador armónico 101 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 3 19 Concepto de onda y clasificación 103 Qué es una onda 103 Clasificación de las ondas 104 Principio de Huygens 106 Velocidad de propagación y velocidad de oscilación 106 20 Ecuación de la onda armónica y doble periodicidad 108 De la oscilación de un punto a la onda 108 Magnitudes de una onda armónica 108 La ecuación y el sentido de propagación 109 Obtener la fase inicial 110 Doble periodicidad 111 Velocidad y aceleración de oscilación 112 Diferencia de fase 112 21 El sonido: intensidad y nivel de intensidad sonora 115 Rango audible y cualidades del sonido 116 Intensidad de un foco puntual 117 Nivel de intensidad sonora: el decibelio 118 Varias fuentes y efecto de la distancia 119 Contaminación acústica 120 22 Interferencias y ondas estacionarias 121 Principio de superposición e interferencia 121 Ondas estacionarias 123 Cuerdas y tubos: armónicos 124 Difracción y resonancia 125 23 Efecto Doppler 126 Qué es el efecto Doppler 126 Por qué cambia la frecuencia: dos casos distintos 127 La fórmula y el convenio de signos 127 El eco: el obstáculo actúa dos veces 128 Ondas de choque 128 Aplicaciones 129 Bloque C: Óptica 24 Naturaleza de la luz y espectro electromagnético 130 El debate: corpúsculos frente a ondas 131 Los experimentos que decidieron el debate 132 La luz como onda electromagnética 133 El espectro electromagnético 134 25 Refracción, índice de refracción y reflexión total 135 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 4 Reflexión y refracción: qué ocurre en una superficie de separación 135 Índice de refracción y ley de Snell 136 Refracciones sucesivas 137 Ángulo límite y reflexión total 138 26 Óptica geométrica: convenio de signos y espejos 140 Sistema óptico, objeto e imagen 141 Convenio de signos (normas DIN 1335) 141 Espejo plano 142 Espejos esféricos: foco y ecuación 142 Trazado de rayos 143 Casos del espejo cóncavo y del convexo 144 27 Lentes delgadas 145 Qué es una lente y qué tipos hay 146 Ecuación de Gauss, aumento y potencia 146 Rayos notables y casos según la posición del objeto 147 Planteamiento inverso: deducir la lente o el objeto 149 28 El ojo humano, sus defectos e instrumentos ópticos 151 El ojo como sistema óptico 151 Defectos de la visión 152 Cálculo de la lente correctora 153 Instrumentos ópticos 154 Bloque D: Física moderna 29 Relatividad especial: postulados, dilatación del tiempo y contracción de longitudes 156 De Galileo a la crisis de la física clásica 157 Los dos postulados de Einstein 157 Relatividad de la simultaneidad 158 Dilatación del tiempo: el reloj de luz 158 Contracción de la longitud 159 Evidencias experimentales 159 30 Masa, energía y momento relativistas 160 Momento lineal relativista y el límite de velocidad c 161 Energía total, energía en reposo y energía cinética 161 Relación entre energía y momento 162 Equivalencia masa-energía: creación y aniquilación de pares 163 Velocidad a partir de la energía 163 31 Cuantización y efecto fotoeléctrico 164 La hipótesis de Planck: la energía va en paquetes 165 El efecto fotoeléctrico y sus hechos experimentales 167 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 5 La explicación de Einstein: fotones 168 El electronvoltio y la conversión de unidades 169 Gráficas Ec máx–f y V0–f 170 32 Dualidad onda-corpúsculo de De Broglie y principio de incertidumbre 171 La hipótesis de De Broglie 171 Longitud de onda de partículas aceleradas 173 Por qué no vemos difractarse una pelota 174 El microscopio electrónico 174 Principio de incertidumbre de Heisenberg 174 33 Modelo estándar de partículas y aceleradores 176 Fermiones y bosones 177 Hadrones: bariones y mesones 178 Las cuatro interacciones 178 Aceleradores y detección 179 34 El núcleo atómico: composición, energía de enlace y estabilidad 180 Composición del núcleo 181 La interacción nuclear fuerte 182 Defecto de masa y energía de enlace 182 Energía de enlace por nucleón y estabilidad 183 La línea de estabilidad N–Z 185 35 Radiactividad y reacciones nucleares: fisión, fusión y aplicaciones 186 Radiactividad natural y reacciones provocadas 186 Emisiones α, β y γ 187 Reacciones nucleares: conservación y energía 188 Fisión nuclear 188 Fusión nuclear 189 Aplicaciones, efectos biológicos y protección 190 36 Ley de desintegración radiactiva 191 Una desintegración imprevisible, un conjunto previsible 191 La ley exponencial 192 Actividad 192 Periodo de semidesintegración y vida media 193 Cómo despejar el tiempo 194 37 Formulario 196 Bloque A: Campo gravitatorio 196 Bloque B: Campo eléctrico 196 Bloque B: Campo magnético 197 Bloque B: Inducción electromagnética 197 Bloque C: MAS y ondas 198 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 6 Bloque C: Óptica 198 Bloque D: Física moderna 199 Valores y constantes 200 Errores típicos 200 Soluciones de las preguntas de repaso 201 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 7 15 % de los puntos del examen 1 Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta AL ACABAR SABRÁS Escribir la ley de gravitación universal en forma vectorial y explicar su carácter atractivo y central Calcular la intensidad de campo gravitatorio de un planeta en su superficie y a una altura h Calcular el peso de un cuerpo en un planeta definido por su masa y radio relativos a la Tierra Razonar cómo cambian la velocidad y el tiempo de caída libre en otro planeta PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 Si un planeta tuviera el doble de masa que la Tierra, ¿pesarías necesariamente el doble allí?

La gravedad es la interacción que mantiene a los planetas en órbita y nos pega al suelo. En esta sección se estudia la fuerza entre dos masas y cómo describirla con un campo, la intensidad de campo gravitatorio, que permite comparar el peso de un objeto en distintos planetas.

BLOQUE A Campo gravitatorio 1 Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta 2 Superposición, potencial, líneas de campo y gráficas g(r) y V(r) 3 Energía potencial, trabajo y conservación de la energía 4 Leyes de Kepler y momento angular 5 Movimiento de satélites y planetas en órbitas circulares 6 Energía de satélites, puesta en órbita y velocidad de escape 7 Cosmología, astrofísica y su repercusión tecnológica Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 8 ESQUEMA Planetas y satélites: gravedad y órbitas 1. Ley de Gravitación Universal Newton propuso que dos cuerpos cualesquiera con masa se atraen.

La intensidad de esa atracción crece con el producto de las masas y disminuye con el cuadrado de la distancia entre ellas. En forma vectorial, la fuerza que una masa ejerce sobre otra masa es: es la constante de gravitación universal: . Es la misma en todo el universo. es la distancia entre los centros de las dos masas, en metros. es un vector unitario (de módulo 1). Sale de la masa que crea la fuerza y apunta hacia la masa que la sufre. Se suele llamar a la masa que «crea» y a la «afectada». Es solo una etiqueta: la fuerza es mutua. El signo menos indica que la fuerza va al revés que , es decir, hacia la masa que atrae. Por eso la gravedad es siempre atractiva.

Sus características son estas: Característica Qué significa Dirección La recta que une los centros de las dos masas. Sentido Siempre hacia la otra masa: nunca hay repulsión.

Ley de gravitación Fuerza entre masas y campo g Campo y potencial Superposición, líneas y gráficas Energía potencial Trabajo y conservación de la energía Kepler y momento angular Leyes de las órbitas Órbitas circulares Velocidad y periodo orbital Energía de satélites Puesta en órbita y escape Cosmología Modelos del universo y tecnología M m = F G r2 M m ur G G = 6,67 10 N m /kg 11 2 2 r ur M m ur Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 9 Característica Qué significa Central Apunta siempre hacia un centro fijo y su valor solo depende de la distancia a él (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y momento angular»).

Acción y reacción Las dos fuerzas tienen igual módulo y dirección, y sentidos opuestos. A distancia Actúa sin contacto, incluso en el vacío. Muy débil Por lo pequeño que es , solo se nota si al menos una masa es enorme (un planeta, una estrella). Si hay más de dos masas, la fuerza total se obtiene sumando vectorialmente las fuerzas de cada una (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Superposición, potencial, líneas de campo y gráficas g(r) y V(r)»). EJEMPLO Dos personas de 70 kg separadas 1 m se atraen con: Es una fuerza ridícula, imposible de notar. En cambio, la Tierra atrae a cada una con unos 686 N, porque su masa es gigantesca.

COMPRUEBA 2 Si la distancia entre dos masas se triplica, ¿qué le pasa a la fuerza entre ellas? 2. Intensidad de campo gravitatorio Un campo es una perturbación del espacio: una masa modifica el espacio que la rodea, y cualquier otra masa que llegue allí nota una fuerza. Así no hace falta pensar en las dos masas a la vez. Basta con saber qué «prepara» en cada punto. DEFINICIÓN La intensidad de campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa que sufriría una masa colocada en ese punto: . Se mide en N/kg, que equivale a m/s². Si dividimos la ley de Newton entre , desaparece la masa afectada: El campo solo depende de quien lo crea ( ) y de la distancia ( ).

Es radial, apunta hacia y disminuye con el cuadrado de la distancia. Al ser vectorial se representa con líneas de campo que convergen en la masa. G F = 6,67 10 11 12 70 70 3,3 10 N 7 M g = g /m F m = g G r2 M ur g = r2 GM M r M Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 10 Como , cuando solo actúa la gravedad la aceleración del cuerpo es . Por eso es también la aceleración de caída libre, la misma para una pluma que para un martillo (sin aire). Campo de un planeta Un planeta no es puntual, pero si es esférico y su masa está bien repartida, fuera de él actúa como si toda la masa estuviera en su centro.

Por eso la fórmula vale para , siendo el radio del planeta y la distancia al centro. Esquema de las líneas del campo gravitatorio terrestre, dirigidas al centro. En la superficie, : Esta igualdad, , es muy útil: si no te dan la masa del planeta pero sí y el radio, puedes sustituir directamente. EJEMPLO Con kg y m: ERROR FRECUENTE Confundir h y r. es la altura sobre la superficie; es la distancia al centro. En la fórmula va siempre . Dejar los km. está en unidades del SI: pasa radios y alturas a metros (6370 km = m) antes de operar. Confundir masa y peso. La masa (kg) es la misma en cualquier planeta; el peso (N) cambia con .

= F m a = a g g r R R r r = R g = 0 R2 GM GM = g R 0 2 GM = g R 0 2 g 0 GM M = T 5,97 1024 R = T 6,37 106 g = 0 (6,37 10 ) 6 2 6,67 10 5,97 10 11 24 9,8 m/s2 h r = R + h r G 6,37 106 P = mg g Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 11 COMPRUEBA 3 ¿Depende la intensidad de campo de la masa del objeto que cae? ¿Por qué? 3. Variación de g con la altura Si nos alejamos de la superficie, aumenta y disminuye. Dividiendo entre , se va: Si (alturas pequeñas frente al radio), . Por eso en la vida diaria usamos 9,8 m/s² sin problema. EJEMPLO: ¿A QUÉ ALTURA G VALE LA CUARTA PARTE? Otro ejemplo: a 400 km de altura, m/s².

Allí la gravedad sigue siendo grande; los astronautas «flotan» porque caen continuamente en su órbita, no porque falte gravedad. 4. Peso en otros planetas A menudo un problema describe un planeta por comparación con la Tierra: masa y radio . Sustituyendo: El peso de un cuerpo cambia en la misma proporción: . Un planeta más masivo aumenta ; uno más grande, a igual masa, la reduce, porque estamos más lejos del centro. Planeta hipotético (m/s²) Peso de 60 kg Tierra ( ) 1 9,8 588 N 2 19,6 1176 N 1/4 2,45 147 N 2 19,6 1176 N 2 19,6 1176 N La masa (60 kg) no cambia en ninguna fila: solo cambia el peso. r g g = GM/r2 g = 0 GM/R2 GM g = g = 0 r2 R2 g 0 (R + h)2 R2 h R g g 0 Planteamos .

1 g /4 = 0 g R /r 0 2 2 Simplificamos : , luego . 2 g 0 r = 2 4R2 r = 2R La altura es = 6370 km. Ojo: la respuesta no es , eso es la distancia al centro. 3 h = r R = R 2R g = 9,8 (6370/6770) 2 8,7 M = x M T R = y R T g = P = y R 2 T 2 G xM T g y2 x 0 P = P P y2 x T g x/y2 g x = 1, y = 1 x = 2, y = 1 x = 1, y = 2 x = 8, y = 2 x = 0,5, y = 0,5 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 12 COMPRUEBA 4 Un planeta tiene 9 veces la masa de la Tierra y triple radio. ¿Cuánto pesará allí alguien que en la Tierra pesa 700 N? 5. Caída libre en otros campos Cerca de la superficie, es casi constante y la caída es un movimiento uniformemente acelerado.

Partiendo del reposo desde una altura : Si se multiplica por un factor , la velocidad final se multiplica por y el tiempo se divide entre . Campo mayor: llega antes y más rápido. EJEMPLO Un objeto cae 20 m. En la Tierra: s y m/s. En un planeta con : el tiempo se duplica (unos 4,0 s) y la velocidad se reduce a la mitad (unos 9,9 m/s). ERROR FRECUENTE Pensar que si es 4 veces menor el tiempo es 4 veces mayor. No: como está dentro de una raíz, el tiempo solo se multiplica por .

g h v = t = 2gh g 2h g k k k t = 40/9,8 2,0 v = 2 9,8 20 19,8 g = g /4 0 g g = 4 2 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 13 EBAU · 2026, ORDINARIA Nos encontramos en la superficie del planeta Júpiter y al medir el peso de un melón que en la superficie de la Tierra era de 150 N, obtenemos un valor de 380 N. Calcule: a. El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter. [1 punto] b. La masa de Júpiter. [1 punto] (Dato necesario para b: radio de Júpiter m.) Resolución a) La clave es que la masa del melón no cambia. La sacamos del peso en la Tierra y con ella calculamos en Júpiter. Atajo: m/s².

b) Despejamos la masa de : Es unas 320 veces la masa terrestre, un valor razonable para Júpiter. AHORA TÚ Un astronauta pesa 784 N en la Tierra y 132 N en la superficie de la Luna, cuyo radio es m. Calcula la gravedad lunar y la masa de la Luna. Primeros pasos: masa del astronauta kg. Te toca: obtener y luego . Solución: 5 R = J 7,15 107 g Gravedad terrestre: . 1 g = T GM /R = T T 2 6,67 10 11 5,97 10 /(6,37 24 10 ) 6 2 9,8 m/s2 Masa del melón: . 2 m = P /g = T T 150/9,8 15,3 kg Gravedad en Júpiter: .

3 g = J P /m = J 380/15,31 24,8 m/s2 g = J g P /P = T J T 9,8 380/150 24,8 g = J GM /R J J 2 M = J = G g R J J 2 6,67 10 11 24,8 (7,15 10 ) 7 2 1,9 10 kg 27 1,74 106 m = 784/9,8 = 80 g = L P /m L M = L g R /G L L 2 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 14 6 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE La fuerza gravitatoria es siempre atractiva, central y va según la recta que une las masas: . La intensidad de campo es la fuerza por unidad de masa y fuera de un planeta vale , con medido desde el centro. En la superficie , de donde , y a una altura h: . Un planeta con y tiene ; la masa del cuerpo no cambia, el peso sí.

En caída libre y : un campo mayor da más velocidad y menos tiempo, según la raíz. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 6. ¿Qué representa físicamente el signo menos de la ley de gravitación vectorial? 7. ¿Por qué se puede escribir ? 8. Si en un planeta es el doble que en la Tierra, ¿cómo cambia el tiempo de caída desde la misma altura? BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 2 Superposición,potencial,líneas de campo y gráficas g(r) y V(r) AL ACABAR SABRÁS Calcular el campo gravitatorio total de varias masas puntuales en un plano por componentes. Localizar el punto de campo nulo entre dos masas y hallar una masa a partir de un campo dado. Calcular el potencial de un sistema de masas como suma algebraica.

Dibujar líneas de campo y equipotenciales, y leer datos en las gráficas g(r) y V(r). PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 Entre la Tierra y la Luna hay un punto donde una nave no siente atracción neta. ¿Está a mitad de camino? Cuando hay varias masas, cada una crea su propio campo como si las demás no existieran. El campo total en un punto es la suma de todos ellos. Esta sección explica cómo hacer esa suma con vectores (para el campo ) y con números (para el potencial ), y cómo dibujar y leer el campo.

= F GMm/r 2 ur g = GM/r2 r g = 0 GM/R2 GM = g R 0 2 g = g R /(R + 0 2 h)2 M = xM T R = yR T g = (x/y )g 2 0 v = 2gh t = 2h/g GM = g R 0 2 g g V Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 15 ESQUEMA Campo gravitatorio de masas puntuales 1. Principio de superposición: suma de vectores La intensidad de campo de una masa puntual ya se vio en «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta»: . El principio de superposición dice que el campo total es la suma vectorial de los campos de cada masa. Lo mismo vale para la fuerza sobre una masa de prueba: . Como son vectores, no basta con sumar módulos. Dos campos iguales y opuestos se cancelan.

Intensidad de campo g Vector; se suma por componentes Superposición Campo total de varias masas Campo nulo Entre las masas, cerca de la menor Potencial V Escalar, V = GM/r Equipotenciales Perpendiculares a las líneas Energía y trabajo Ep = mV; W = ΔEp Gráficas g(r), V(r) 1/r² y 1/r = g G r2 M ur = F m gtotal Esquema. Dibuja las masas y el punto P con unos ejes. Sin dibujo, los signos fallan. 1 Distancias. Calcula la distancia de cada masa a P (Pitágoras si hace falta). 2 r i Vector unitario. Cada campo apunta desde P hacia la masa que lo crea (la gravedad atrae). El unitario es . 3 = u rP M rP M Módulo. . 4 g = i G r i 2 M i Componentes. , con sus componentes x e y. 5 = gi g i ui Suma.

Suma por separado las componentes x y las componentes y. El módulo final es . 6 g = g + g x 2 y 2 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 16 EJEMPLO Dos masas de 10 kg están en (0, 0) y (4 m, 0). Buscamos en P(2 m, 2 m). Distancias: a cada masa, así que . Módulo de cada campo: . Unitarios desde P hacia cada masa: hacia (0,0), . Hacia (4,0), . Suma: las componentes x se anulan por simetría. Las y se suman: . Resultado: , hacia el punto medio de las masas. COMPRUEBA 10 En el ejemplo, ¿por qué no sale el doble del módulo de un campo, sino algo menor? 2.

Punto de campo nulo entre dos masas Con dos masas, el campo total solo puede anularse donde los dos campos tengan igual módulo y sentidos opuestos. Eso ocurre siempre entre ellas y más cerca de la menor. Fuera del segmento, los dos campos apuntan hacia el mismo lado y nunca se cancelan. Y para igualar módulos, hay que estar más cerca de la masa pequeña, porque su campo es más débil. Método: coloca en el origen y en . En un punto x entre ellas, iguala módulos: Al hacer la raíz, toma solo la solución positiva: la negativa da un punto fuera del segmento, donde los campos no se oponen. EJEMPLO La Tierra tiene unas 81 veces la masa de la Luna.

¿Dónde se anula el campo entre ambas, si están a una distancia d? Con : . Despejando, . El punto está al 90 % del camino desde la Tierra, cerca de la Luna, como se esperaba. El mismo planteamiento sirve al revés: si se conoce el campo que debe haber en un punto, se despeja la masa que lo produce. Por ejemplo, de se obtiene . Con varias masas, se escribe la suma de campos igual al valor pedido y se despeja la masa desconocida. 3. Potencial gravitatorio: suma de escalares DEFINICIÓN El potencial gravitatorio en un punto es la energía potencial por unidad de masa en ese punto. Equivale al trabajo que hace el campo al llevar 1 kg desde ese punto hasta el infinito. Se mide en J/kg.

g r = = 2 + 2 2 2 2 m 2 r = 2 8 m2 g = i 6,67 10 11 = 8 10 8,34 10 N/kg 11 = u1 = 2 2 ( 2, 2) ( 0,707; 0,707) = u2 (0,707; 0,707) g = y 2 8,34 10 11 0,707 = 1,18 10 N/kg 10 = g 1,18 10 N/kg 10 j M 1 M 2 x = d G = x2 M 1 G (d x)2 M 2 = x d x M 1 M 2 M = 1 81M 2 = x d x = 81 1 9 1 9(d x) = x x = 0,9 d g = G r2 M M = G g r2 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 17 Para una masa puntual, tomando : Es siempre negativo: para llevar la masa al infinito hay que vencer la atracción. La energía potencial asociada se trata en «Bloque A: Campo gravitatorio — Energía potencial, trabajo y conservación de la energía»; aquí basta con .

La gran ventaja es que es un escalar: un número sin dirección. Con varias masas, V total = suma algebraica de los potenciales: No hay vectores unitarios ni componentes. Todos los sumandos son negativos, así que nunca se cancelan. También se usa la diferencia de potencial entre dos puntos: . El campo y el potencial están relacionados: . El campo apunta hacia donde el potencial disminuye más rápido. EJEMPLO En el punto P del ejemplo del apartado 1 (a m de dos masas de 10 kg): . Dos líneas, frente a los seis pasos del campo. ERROR FRECUENTE Pensar que en el punto de campo nulo también se anula el potencial.

Es falso: el potencial nunca se anula a distancia finita, porque es suma de términos negativos. Donde , sigue siendo negativo. El error contrario también cuesta puntos: sumar potenciales con vectores o poner a dirección y sentido. COMPRUEBA 11 Si duplicas la distancia a una masa, ¿qué les pasa a g y a V? 4. Líneas de campo y superficies equipotenciales Las líneas de campo (o de fuerza) son curvas tangentes en cada punto al vector . Su sentido es el de la fuerza sobre una masa colocada allí. Donde están más juntas, el campo es más intenso. Las líneas de campo gravitatorio nunca se cortan y terminan en las masas. Las superficies equipotenciales unen los puntos con el mismo potencial.

Son siempre perpendiculares a las líneas de campo. Mover una masa por una de ellas no cuesta trabajo: . Las líneas de campo apuntan hacia potenciales decrecientes. Una masa puntual. Las líneas son radiales y entran en la masa. Las equipotenciales son esferas concéntricas centradas en ella, porque V solo depende de r. V ( ) = 0 V = G r M E = p m V V V = P G + + … ( r 1 M 1 r 2 M 2 ) ΔV = V B V = A GM (rB 1 r A 1 ) = g V 2 2 V = P 2 6,67 10 11 = 2,83 10 4,71 10 J/kg 10 = g 0 V V g W = m(V 1 V ) = 2 0 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 18 Esquema de líneas de campo radiales hacia una masa puntual.

Esquema de equipotenciales esféricas perpendiculares a las líneas de campo. Dos masas iguales. Las líneas se curvan hacia cada masa. Hay simetría respecto al plano mediador. En el punto medio el campo se anula: ninguna línea pasa por él. Las equipotenciales cercanas rodean cada masa por separado. Las lejanas envuelven a las dos, con forma de óvalo; entre ambas zonas hay una superficie en forma de ocho. Esquema de líneas de campo de dos masas puntuales iguales. Dos masas distintas. La masa mayor recibe más líneas. Se pierde la simetría: el punto de campo nulo se desplaza hacia la masa menor. Las equipotenciales alrededor de la menor son más pequeñas.

Muy lejos, el sistema se ve como una sola masa , con equipotenciales casi esféricas. M + 1 M 2 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 19 5. Gráficas g(r) y V(r) fuera del cuerpo Para un planeta esférico de radio R, fuera de él ( ) se comporta como una masa puntual en su centro. Magnitud Forma En r = R Si r g(r) , positiva, decrece rápido máximo, tiende a 0 V(r) , negativa, crece hacia 0 mínimo, tiende a 0 por debajo Lectura de datos: si la gráfica da un valor de g a una distancia r, se obtiene . Si da V a una distancia r, . Un truco útil: , lo que permite hallar r sin conocer M. Cuidado con las unidades de los ejes (km o m).

PARA RECORDARLO g cae con el cuadrado (curva que baja deprisa por encima del eje); V cae con la distancia (curva que sube despacio por debajo del eje, sin tocarlo). AHORA TÚ Con el melón (2 kg) en el origen y la sandía (3 kg) en (1 m, 0), ¿en qué punto del eje OX entre ellas se quedaría en reposo la naranja? ¿Cuánto vale el potencial gravitatorio en ese punto? Primeros pasos: el campo nulo exige , es decir, . Te toca despejar x, comprobar que queda más cerca del melón y calcular V sumando los dos potenciales. Solución: 12 IDEAS CLAVE El campo total de varias masas es la suma vectorial de los campos de cada una: hay que trabajar por componentes.

El punto de campo nulo entre dos masas está siempre entre ellas y más cerca de la menor. El potencial es un escalar siempre negativo; el de un sistema es la suma algebraica. Las equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo, y moverse por ellas no cuesta trabajo. Fuera de un planeta, y ; ambos tienden a 0 en el infinito. Donde el campo se anula, el potencial sigue siendo negativo. r R g 1/r2 g = 0 GM/R2 V 1/r GM/R M = G g r2 M = G V r = g V r = x2 2 (1 x)2 3 = x 1 x = 1,5 1,225 V = GM/r g 1/r2 V 1/r Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 20 6 % de los puntos del examen COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 13.

¿Por qué no puede anularse el campo gravitatorio fuera del segmento que une dos masas? 14. ¿Qué forma tienen las equipotenciales de una masa puntual y por qué? 15. A una distancia r de un planeta, y . ¿Cuánto vale r?

BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 3 Energía potencial,trabajo y conservación de la energía AL ACABAR SABRÁS Deducir y aplicar Ep = GMm/r con referencia en el infinito Calcular el trabajo del campo y del agente externo y decidir si un movimiento es espontáneo Resolver caídas y lanzamientos verticales con la conservación de la energía mecánica Justificar cuándo puede usarse Ep = mgh PIÉNSALO ANTES DE LEER 16 Si la energía potencial siempre se dice que 'aumenta con la altura', ¿cómo puede ser siempre negativa la de un satélite? Fuerzas conservativas y energía potencial Una fuerza es conservativa cuando su trabajo solo depende de las posiciones inicial y final.

No importa el camino que siga la partícula entre ellas. El campo gravitatorio es conservativo. Esquema de dos caminos distintos entre los puntos A y B En la figura, ir de A a B por el camino 1 o por el camino 2 supone el mismo trabajo gravitatorio. De ahí sale una consecuencia directa: en una trayectoria cerrada, que vuelve al punto de partida, el trabajo del campo es nulo. Como el trabajo solo depende de los extremos, podemos asociar a cada punto un número, la energía potencial . Es una magnitud escalar. Representa la energía almacenada al hacer trabajo contra la fuerza conservativa. Su expresión cambia según la fuerza: hay energía potencial gravitatoria, elástica, eléctrica…

Pueden coexistir varias a la vez. g = 2 N/kg V = 2 10 J/kg 7 E p Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 21 El origen de es arbitrario. Solo tienen sentido físico las diferencias de energía potencial. Por eso hay que elegir un punto de referencia donde valga cero. Energía potencial gravitatoria: referencia en el infinito Para una masa a distancia del centro de una masa (fuerza de la Ley de Gravitación Universal, vista en «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta»), la integral del trabajo da: La constante depende de dónde pongamos el cero. Se toma , así que : Se mide en julios.

La intuición del signo es esta: la gravedad atrae, así que el propio campo trae la masa desde el infinito y hace trabajo positivo. La masa pierde energía potencial por el camino y llega con un valor menor que cero. Por eso la energía potencial gravitatoria siempre es negativa, y crece (se acerca a cero) al alejarse. Con esta referencia, en un punto tiene dos lecturas equivalentes: Es el trabajo que hace el campo al llevar la masa desde ese punto hasta el infinito. Es el trabajo externo necesario para traer la masa desde el infinito hasta ese punto.

Dividiendo por se obtiene el potencial (J/kg), estudiado en «Bloque A: Campo gravitatorio — Superposición, potencial, líneas de campo y gráficas g(r) y V(r)». Si hay varias masas, las se suman por superposición, tomándolas de dos en dos. COMPRUEBA 17 Una sonda pasa de estar a 2R del centro de un planeta a estar a 4R. ¿Su energía potencial aumenta o disminuye? Trabajo del campo y trabajo contra el campo El trabajo que hace el campo al llevar de A a B es: Desarrollado con la fórmula anterior queda . Hay que separar dos trabajos. El que hace la fuerza del campo y el que hace un agente externo (un motor, una mano) contra él. Si el desplazamiento es lento, sin ganar energía cinética, .

Situación ΔEp W del campo Tipo de movimiento La masa se acerca a M (piedra que cae) Negativa Positivo Espontáneo: lo hace el campo E p m r M E (r) = p + r GMm k k E ( ) = p 0 k = 0 E = p r GMm E p m V = GM/r E p m W = A B ΔE = p E pA E = pB m ΔV = m(V A V ) B ΔE = p GMm (r B 1 r A 1 ) W = ext W = campo ΔE p Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 22 Situación ΔEp W del campo Tipo de movimiento La masa se aleja de M (piedra lanzada hacia arriba) Positiva Negativo Forzado: hace falta energía externa Se mueve por una equipotencial o vuelve al inicio Cero Cero Sin intercambio de energía Regla: W del campo > 0 indica movimiento espontáneo.

El campo cede energía cinética a la partícula a costa de su energía potencial. Si W < 0, el trabajo se hace contra el campo y la partícula gana energía potencial a costa de cinética o de un agente externo. Es el mismo criterio de la termodinámica según la IUPAC: trabajo positivo es energía que gana el sistema (la partícula). ERROR FRECUENTE Escribir o para el trabajo del campo. El orden correcto es inicial menos final: . Comprueba siempre el signo: si la masa se acerca al planeta, el trabajo del campo debe salir positivo. Y di en la respuesta si das el trabajo del campo o el externo. Conservación de la energía mecánica La energía mecánica es .

El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo total sobre un cuerpo es igual a su variación de energía cinética: . Si la única fuerza es conservativa, también . Igualando: Es el principio de conservación: si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica es constante. Sin rozamiento, la energía cinética y la potencial solo se intercambian. EJEMPLO: LANZAMIENTO VERTICAL HASTA UNA ALTURA H Desde la superficie de una luna de radio R (como Io o Titán) se lanza un objeto hacia arriba con velocidad . ¿Qué altura alcanza? Arriba la velocidad es cero: Se despeja y se resta R. Ojo: el resultado es la distancia al centro; la altura es la diferencia.

W = ΔE p W = m(V B V ) A W = m(V A V ) B E = m E + c E p W = ΔE c W = ΔE p ΔE = c ΔE p Δ(E + c E ) = p 0 E + cA E = pA E + cB E pB Identifica el punto inicial A y el final B con sus distancias al centro (no a la superficie). 1 Escribe y en cada punto. 2 E c E = p GMm/r Iguala la energía mecánica de A y de B. La masa se simplifica. 3 m Despeja la incógnita (velocidad o distancia). 4 v 0 mv 2 1 0 2 = R GMm R + h GMm R + h Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 23 EJEMPLO: CAÍDA LIBRE DESDE GRAN ALTURA Un cuerpo se suelta en reposo a una altura h sobre un planeta, sin atmósfera. Con qué velocidad llega al suelo: Si conoces , puedes usar .

COMPRUEBA 18 ¿Por qué en estos problemas no hace falta conocer la masa del objeto lanzado? ¿Cuándo vale Ep = mgh? La fórmula de cursos anteriores es una aproximación. Mide la diferencia de energía potencial entre el suelo y una altura h. Toma el cero en la superficie, no en el infinito. Por eso con ella sí salen energías potenciales positivas. Se deduce así, con , y : El paso aproximado exige que h sea mucho menor que R, para despreciar Rh frente a . Equivale a suponer g constante en todo el recorrido. Si se exige un error menor del 1 %, sale ; para la Tierra ( km), unos 63,7 km. Por encima hay que usar . En satélites y lanzamientos a gran altura, nunca uses mgh.

Lo mismo ocurre en un campo eléctrico uniforme, donde es la expresión análoga.

PROCESO Resolver con conservación de la energía = R + h GMm mv 2 1 2 R GMm v = 2GM ( R 1 R + h 1 ) g 0 GM = g R 0 2 E = p mgh r = A R r = B R + h g = GM/R2 ΔE = p GMm = ( R 1 R + h 1 ) R + Rh 2 GMmh h = R2 GMm mgh R2 h R/100 R = 6370 GMm/r ΔE = p qEd Puntos A y B Distancias al centro del planeta, no a la superficie 1 Energías en A Ec = ½mv² y Ep = GMm/r 2 Energías en B Las mismas expresiones en el punto final 3 Igualar Em EcA + EpA = EcB + EpB; la masa m se simplifica 4 Despejar Velocidad o distancia; la altura es r R 5 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 24 15 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE Una fuerza conservativa hace un trabajo que solo depende de los puntos inicial y final; en un camino cerrado es nulo.

Con referencia en el infinito, , siempre negativa y creciente al alejarse. El trabajo del campo es ; si es positivo, el movimiento es espontáneo. Si solo actúa la gravedad, se conserva: se usa en caídas y lanzamientos verticales. solo vale para alturas muy pequeñas frente al radio del planeta. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Qué signo tiene el trabajo del campo al alejar un satélite de la Tierra? 20. ¿Qué aproximación lleva de a mgh?

BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 4 Leyes de Kepler y momento angular AL ACABAR SABRÁS Enunciar las tres leyes de Kepler Definir el momento angular como producto vectorial indicando módulo, dirección y sentido Demostrar que una fuerza central conserva L y deducir la velocidad areolar Calcular velocidades y comparar Ec, Ep y L en afelio y perihelio PIÉNSALO ANTES DE LEER 21 ¿Por qué un cometa pasa rapidísimo cerca del Sol y lentamente cuando está lejos? Las tres leyes de Kepler Kepler formuló sus leyes a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

Describen cómo se mueven los planetas, pero no por qué: eso lo explicó después Newton con la ley de gravitación (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta»). Valen también para cualquier cuerpo que orbite por gravedad alrededor de otro central, como la Luna o un satélite artificial. Ley Nombre Enunciado 1.ª De las órbitas Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en un foco. 2.ª De las áreas La recta Sol-planeta (el radio vector) barre áreas iguales en tiempos iguales.

E = p GMm/r W = ΔE = p m(V A V ) B E + c E p ΔE = p mgh GMm/r Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 25 Ley Nombre Enunciado 3.ª De los periodos El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. Esquema de órbita elíptica con el Sol en un foco El periodo T es el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta completa. La tercera ley se escribe así: Aquí M es la masa del cuerpo central y r el semieje mayor (en órbitas circulares, el radio). Su deducción está en «Bloque A: Campo gravitatorio — Movimiento de satélites y planetas en órbitas circulares».

Una consecuencia práctica: para varios cuerpos que giran alrededor del mismo astro, el cociente es el mismo. La segunda ley implica que el planeta no va a velocidad constante. Cerca del Sol el radio vector es corto, así que debe recorrer más arco para barrer la misma área: va más rápido. COMPRUEBA 22 Dos satélites giran alrededor de la Tierra; uno tiene el cuádruple de radio orbital. ¿Cuántas veces mayor es su periodo? Momento de una fuerza y momento angular Para justificar la segunda ley necesitamos dos magnitudes vectoriales. Ambas se calculan respecto a un punto O, y su valor depende del punto elegido.

DEFINICIÓN El momento de una fuerza respecto a O es , donde va de O al punto donde actúa la fuerza. Mide la capacidad de la fuerza para hacer girar. Su módulo es , con la distancia de O a la recta de acción de la fuerza (el brazo). El momento angular de una partícula respecto a O es . Su módulo es . Se mide en (equivale a J·s). T = 2 r GM 4π2 3 T /r 2 3 = MO × r F r M = rF sin θ = Fb b = r sin θ = L × r mv L = rmv sin θ kg m /s 2 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 26 Como todo producto vectorial, queda definido por tres cosas: Módulo: , siendo el ángulo entre y . Dirección: perpendicular al plano que forman y .

Sentido: el de avance de un tornillo (o regla de la mano derecha) que gira llevando hacia por el camino más corto. Esquema del momento de una fuerza y su brazo Si y son perpendiculares, y queda . Esto pasa siempre en una órbita circular. Si la fuerza se desliza a lo largo de su recta de acción, el brazo b no cambia y el momento tampoco. Fuerza central y conservación de L Una fuerza central es la que siempre apunta hacia un centro fijo (o desde él) y cuyo módulo depende solo de la distancia a ese centro. La gravitatoria del Sol sobre un planeta es central; también la elástica de un muelle. La variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la fuerza.

Es la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, análoga a la segunda ley de Newton: Tomamos O en el Sol. La fuerza gravitatoria apunta hacia O, así que es paralela a . Entonces y . Por tanto, con fuerza central, L es constante. Que el vector sea constante significa tres cosas: Que la órbita sea una elipse (en general, una cónica) no se demuestra en Bachillerato. COMPRUEBA 23 ¿Se conservaría L de un planeta si lo calculáramos respecto a un punto distinto del Sol? L rmv sin θ θ r v r v r v r v sin θ = 1 L = rmv = dt dL M F r sin θ = 0 = M × r = F 0 Dirección constante: y están siempre en el plano perpendicular a . La órbita es plana.

1 r v L Sentido constante: el planeta gira siempre en el mismo sentido. 2 Módulo constante: lleva directamente a la segunda ley, como vemos ahora. 3 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 27 Velocidad areolar: deducción de la 2.ª ley La velocidad areolar es el área que barre el radio vector por unidad de tiempo. En un instante dt el planeta avanza . El área barrida es un triángulo, la mitad del paralelogramo que forman y : Esquema del área barrida por el radio vector en dt Como L y m son constantes, es constante: eso es la segunda ley. En problemas, la velocidad areolar se calcula como área total entre periodo: en una circunferencia o en una elipse de semiejes a y b.

PROCESO De la fuerza central a la 2.ª ley Afelio y perihelio En la elipse, el perihelio es el punto más cercano al Sol y el afelio el más lejano. Para la Tierra se dice igualmente perihelio y afelio; perigeo y apogeo se usan para cuerpos que orbitan alrededor de la Tierra (Luna, satélites). Solo en estos dos extremos y son perpendiculares, así que .

dr r dr dA = × 2 1 r d r = dt dA × 2 1 r = v 2m L dA/dt = L/(2m) πr /T 2 πab/T Fuerza central La gravedad apunta siempre hacia el Sol 1 Momento nulo r y F paralelos, por tanto M = r × F = 0 2 L constante dL/dt = M = 0 3 Órbita plana Dirección de L fija 4 Áreas iguales dA/dt = L/2m constante 5 r v L = mrv Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 28 Igualando L en ambos y simplificando m: Magnitud Perihelio Afelio Motivo r Mínimo Máximo Geometría de la elipse v Máxima Mínima Ec Máxima Mínima Ep Mínima (más negativa) Máxima (menos negativa) L Igual Igual Fuerza central Em Igual Igual Fuerza conservativa La energía mecánica también se conserva porque la gravitatoria es conservativa (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Energía potencial, trabajo y conservación de la energía»).

Lo que gana en Ec al acercarse lo pierde en Ep. EJEMPLO Un cometa pasa por el perihelio a 30 km/s. Su distancia en el afelio es 3 veces la del perihelio. ¿Velocidad en el afelio y relación de Ec? ERROR FRECUENTE Aplicar en cualquier punto de la elipse. Solo vale en afelio y perihelio; en otro punto hay que usar . Tampoco digas que la velocidad es constante en la órbita elíptica: lo constante es la velocidad areolar. COMPRUEBA 24 ¿Por qué la Ep es mayor en el afelio si allí el planeta está más lejos y la fuerza es menor? r v = a a r v p p r v = a a r v p p E = c mv 2 1 2 E = p GMm/r Planteamos con . 1 r v = a a r v p p r = a 3r p Despejamos: km/s.

2 v = a v r /r = p p a 30/3 = 10 La Ec va con : . 3 v2 E /E = c,p c,a (30/10) = 2 9 L es el mismo en ambos puntos: relación 1. 4 Ep va con : ; en el perihelio es tres veces más negativa. 5 1/r E /E = p,p p,a r /r = a p 3 L = mrv L = mrv sin θ Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 29 15 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE Las órbitas son elipses con el Sol en un foco, el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales y . El momento angular es , perpendicular al plano de y . Una fuerza central tiene momento nulo respecto al centro, así que L se conserva y la órbita es plana. La velocidad areolar es constante: es la segunda ley de Kepler.

En afelio y perihelio se cumple ; L y Em se conservan, mientras Ec es máxima en el perihelio. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 25. ¿Qué propiedad de garantiza que la órbita sea plana? 26. Si , ¿qué relación hay entre y ? 27. ¿Por qué el momento de la fuerza gravitatoria del Sol es nulo respecto al Sol?

BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 5 Movimiento de satélites y planetas en órbitas circulares AL ACABAR SABRÁS Deducir la velocidad orbital y el periodo igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta Deducir la tercera ley de Kepler y aplicar T²/r³ constante a datos de un sistema Calcular la masa de un astro a partir del periodo y el radio orbital de un satélite Calcular el radio y la altura de la órbita geoestacionaria y comparar órbitas LEO, MEO y GEO PIÉNSALO ANTES DE LEER 28 ¿Por qué la Estación Espacial da una vuelta a la Tierra en hora y media y la Luna tarda casi un mes?

La gravedad como fuerza centrípeta Un satélite en órbita circular se mueve con movimiento circular uniforme: el módulo de su velocidad no cambia, pero su dirección sí. Para curvar la trayectoria hace falta una fuerza dirigida hacia el centro, la fuerza centrípeta, de módulo . En una órbita esa fuerza la aporta la atracción del astro central. Esta atracción se estudia en «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta».

Por tanto, la idea clave es la fuerza gravitatoria actúa como centrípeta: T = 2 (4π /GM)r 2 3 = L × r mv r v dA/dt = L/(2m) r v = a a r v p p L r = a 2r p v p v a F = c mv /r 2 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 30 Aquí es la masa del astro central, la del satélite y el radio de la órbita. Ese radio se mide desde el centro del astro. Velocidad orbital, velocidad angular y periodo En la igualdad anterior la masa aparece a los dos lados y se simplifica. También se va una . Queda la velocidad orbital, la velocidad que necesita un cuerpo para mantener una órbita circular de radio : De aquí salen tres consecuencias.

La primera es que la velocidad no depende de la masa del satélite. La segunda es que cuanto más lejos está la órbita, más despacio va el satélite. La tercera es que, si no conocemos ni , podemos usar , como se vio en la sección sobre la ley de gravitación. El periodo es el tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta completa. En una vuelta recorre la circunferencia , así que . La velocidad angular es el ángulo que barre por segundo: EJEMPLO Calculamos la velocidad de un satélite a 630 km de altura sobre la Tierra. COMPRUEBA 29 Si un satélite pasa a una órbita de radio cuatro veces mayor, ¿qué le ocurre a su velocidad?

Deducción de la tercera ley de Kepler Las leyes de Kepler se estudian en «Bloque A: Campo gravitatorio — Leyes de Kepler y momento angular». Aquí deducimos la tercera a partir de la gravitación, suponiendo órbitas circulares. G = r2 Mm m r v2 M m r m r r v = r GM G M GM = g R 0 2 T 2πr T = 2πr/v ω ω = = r v = T 2π r3 GM Pasamos la altura a radio: km, es decir, m. 1 r = R + T h = 6370 + 630 = 7000 7,0 106 Calculamos en unidades del SI (m³/s²). 2 GM = T 6,67 10 11 5,97 10 24 3,98 1014 Sustituimos: m/s. 3 v = 3,98 10 /7,0 10 14 6 7,54 103 Obtenemos el periodo: s, unos 97 minutos. 4 T = 2π 7,0 10 /7540 6 5,83 103 Partimos de dos expresiones para la velocidad: y .

1 v = GM/r v = 2πr/T Las igualamos y elevamos al cuadrado: . 2 GM/r = 4π r /T 2 2 2 Despejamos : 3 T2 T = 2 r GM 4π2 3 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 31 El cociente depende solo del astro central. Por eso T²/r³ es igual para todos sus satélites. Para todos los planetas del Sol toma un valor, y para las lunas de Júpiter toma otro distinto. La deducción se hace con círculos, pero el resultado vale para elipses si se cambia por el semieje mayor , que es la mitad del diámetro más largo de la elipse. Esquema de una órbita elíptica con el Sol en un foco. La figura muestra una órbita elíptica real con el Sol en un foco. En ella cambia a lo largo del recorrido.

Por eso en la tercera ley se usa el semieje mayor como distancia media. Uso con datos tabulados Si varios cuerpos giran alrededor del mismo astro, se cumple: Con tres datos se obtiene el cuarto, sin conocer ni . Basta con usar las mismas unidades en todos los cuerpos: años y unidades astronómicas (UA) sirven. La UA es la distancia media Tierra-Sol. EJEMPLO La Tierra tarda 1 año en dar la vuelta al Sol y está a 1 UA. Marte orbita a unas 1,52 UA. ¿Cuál es su periodo? Planteamos . Por tanto, años, que coincide con el dato real. COMPRUEBA 30 ¿Podrías aplicar la proporción T²/r³ entre la Luna y la Tierra (alrededor del Sol)?

Cálculo de la masa del astro central La tercera ley relaciona tres magnitudes: el periodo, el radio de la órbita y la masa central. Si conocemos dos, sale la tercera. Lo más útil es despejar la masa: Así se ha medido la masa de planetas que nadie puede pesar: basta observar un satélite suyo. La masa obtenida es siempre la del cuerpo central, nunca la del satélite. 4π /GM 2 r a r = r 1 3 T 1 2 = r 2 3 T 2 2 r 3 3 T 3 2 M G T = M 2 T (r /r ) = T 2 M T 3 1 2 1,52 3 3,51 T M 1,87 M = G T2 4π r 2 3 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 32 EJEMPLO La Luna gira alrededor de la Tierra a unos m con un periodo de unos 27,3 días. ¿Cuál es la masa de la Tierra?

Órbita geoestacionaria y otros tipos de satélites Un satélite geoestacionario está siempre sobre el mismo punto del ecuador. Para lograrlo debe cumplir tres condiciones. Su periodo debe ser de 24 h, igual que la rotación de la Tierra. Su órbita debe estar en el plano del ecuador. Además, debe girar en el mismo sentido que la Tierra. Su radio se obtiene despejando de la tercera ley: Los satélites se clasifican según su altura: Tipo Altura aproximada Velocidad Características y ejemplos Órbita baja (LEO, Low Earth Orbit) 250-1500 km 7 km/s Son fáciles de lanzar, pero sufren rozamiento con la atmósfera. Se ven poco tiempo desde un punto, así que para cubrir toda la Tierra hacen falta muchos.

Ejemplos: la Estación Espacial Internacional (ISS), a 380 km; el Hubble, a 600 km; los satélites NOAA, a 840 km; Globalstar, a 1400 km. Órbita media (MEO, Medium Earth Orbit) 10 000-30 000 km 3-7 km/s Atraviesan la radiación de los cinturones de Van Allen y se ponen en órbita en varias etapas. Se usan para navegación: GPS, Glonass y Galileo. Geoestacionaria (GEO) 35 800 km 3 km/s Su órbita es circular y ecuatorial, con T = 24 h; se llama cinturón de Clarke. El lanzamiento es caro y cubren mal las zonas de latitud alta. Se usan en comunicaciones y meteorología. Los LEO y MEO presentan efecto Doppler apreciable porque se mueven respecto al suelo, y el GEO casi no.

Las órbitas también se clasifican por su forma (circular o elíptica) y por la inclinación del plano respecto al ecuador. 3,84 108 Pasamos el periodo a segundos: s. 1 T = 27,3 86400 2,36 106 Sustituimos: . 2 M = 4π (3,84 2 10 ) /(6,67 8 3 10 11 (2,36 10 ) ) 6 2 El resultado es kg, muy cerca del valor tabulado de 5,97·10² kg. 3 M 6,0 1024 r Pasamos el periodo a segundos: s. 1 T = 24 3600 = 86400 Despejamos el radio: . 2 r = = 3 GM T /4π T 2 2 3 3,98 10 86400 /4π 14 2 2 Resulta m, unos 42 200 km. 3 r 4,22 107 Calculamos la altura sobre la superficie: km. 4 h = r R T 42200 6370 35800 Su velocidad es km/s.

5 v = 2πr/T 3,1 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 33 COMPRUEBA 31 ¿Podría haber un satélite geoestacionario siempre encima de Asturias? PROCESO De la gravitación a la órbita ERROR FRECUENTE Altura frente a radio y unidades: véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta». Aquí, además, pasa el periodo a segundos antes de usar ; la excepción son las proporciones entre cuerpos del mismo sistema, donde vale cualquier unidad si es la misma para todos. Masa del satélite: no interviene en , ni . Si te la dan, solo hace falta para fuerzas y energías.

Diámetro frente a radio: a veces el enunciado da el diámetro del planeta; divídelo entre dos. Fg = Fc GMm/r² = mv²/r; la masa del satélite se simplifica 1 Velocidad orbital v = (GM/r), menor cuanto mayor es r 2 Periodo y ω T = 2πr/v; ω = 2π/T 3 Tercera ley T² = (4π²/GM)·r³; T²/r³ constante 4 Masa central M = 4π²r³/(GT²) 5 Geoestacionario T = 24 h da r 42 200 km 6 G v T r Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 34 15 % de los puntos del examen IDEAS CLAVE En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta: . La velocidad orbital es : disminuye con el radio y no depende de la masa del satélite.

La tercera ley de Kepler, , hace que sea constante en cada sistema. Con el periodo y el radio de un satélite se calcula la masa del astro central: . Un satélite geoestacionario tiene T = 24 h, órbita ecuatorial y r 42 200 km (altura 35 800 km). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 32. ¿Por qué dos satélites de masas muy distintas en la misma órbita llevan igual velocidad? 33. ¿Qué tres magnitudes relaciona la tercera ley de Kepler y qué permite calcular? 34. ¿Qué ventajas e inconvenientes tiene un satélite LEO frente a uno GEO?

BLOQUE A: CAMPO GRAVITATORIO 6 Energía de satélites,puesta en órbita y velocidad de escape AL ACABAR SABRÁS Deducir Ec, Ep y Em de un satélite en órbita circular y relacionarlas. Calcular la energía y la velocidad de lanzamiento para poner un satélite en órbita o cambiarlo de órbita. Calcular la velocidad de escape desde la superficie y desde una órbita, distinguiendo la que hay que tener de la que hay que añadir. Predecir el tipo de trayectoria a partir del signo de la energía mecánica. PIÉNSALO ANTES DE LEER 35 Si los cohetes despegan mucho más despacio de 11,2 km/s, ¿cómo consiguen salir de la Tierra?

En esta sección se aplica la energía potencial gravitatoria, , y la conservación de la energía mecánica (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Energía potencial, trabajo y conservación de la energía») a satélites. También se usa la velocidad orbital (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Movimiento de satélites y planetas en órbitas circulares»). En todo lo que sigue es el radio de la órbita, medido desde el centro del planeta. Es decir, , con el radio del planeta y la altura.

GMm/r = 2 mv /r 2 v = GM/r T = 2 (4π /GM)r 2 3 T /r 2 3 M = 4π r /GT 2 3 2 E = p GMm/r v = GM/r r r = R + h R h Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 35 Energía mecánica de un satélite en órbita circular En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. De esa igualdad sale directamente la energía cinética: La energía potencial en ese punto es . Sumando las dos obtenemos la energía mecánica : Las tres energías quedan relacionadas de forma muy sencilla. Conviene memorizar . es siempre positiva y vale la mitad del valor absoluto de . es siempre negativa. Ese signo indica que el satélite está ligado al planeta: no puede alejarse indefinidamente.

Cuanto mayor es , menor es (el satélite va más despacio). En cambio, crece porque se hace menos negativa. En una órbita circular y son constantes. En una órbita elíptica ambas varían a lo largo del recorrido. Lo que se mantiene constante es , porque solo actúa una fuerza conservativa. La fórmula sirve también para la elipse si se sustituye por el semieje mayor . ERROR FRECUENTE Confundir la altura con el radio orbital y mezclar km con m son errores típicos (véase «Bloque A: Campo gravitatorio — Ley de gravitación e intensidad de campo de un planeta»). Antes de sustituir, escribe siempre en metros. COMPRUEBA 36 Un satélite pasa a una órbita más alta. ¿Aumenta o disminuye su energía mecánica?

¿Y su energía cinética? Poner un satélite en órbita desde la superficie La energía de satelización es la que hay que dar a un cuerpo en la superficie para colocarlo en una órbita de radio . Se calcula como la diferencia de energía mecánica entre el estado final y el inicial. Se desprecian el rozamiento con el aire y la rotación terrestre. Por tanto, el cuerpo parte del reposo y en la rampa solo tiene . Si toda esa energía se da de golpe como energía cinética inicial, .

De ahí sale la velocidad de lanzamiento necesaria: G = r2 Mm m r v2 mv = 2 r GMm E = c mv = 2 1 2 2r GMm E = p GMm/r E = m E + c E p E = m 2r GMm = r GMm 2r GMm E = m E /2 = p E c E c E p E m r E c E m E c E p E m E = m GMm/(2a) r a h r r r E = p GMm/R E = s E m, rbita o ˊ E = m, superficie 2r GMm = ( R GMm ) GMm ( R 1 2r 1 ) mv = 2 1 s 2 E s Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 36 Hay otro caso distinto: lanzar un cuerpo en vertical para que solo suba hasta una altura . Allí se detiene, con . Al igualar energías se obtiene: Este valor es menor que , porque el cuerpo llega arriba parado y no tiene la velocidad orbital.

EJEMPLO Queremos poner en órbita un satélite de 1000 kg a una altura igual al radio terrestre, es decir, con m. Usamos en unidades SI. En un lanzamiento real la Tierra gira y la superficie ya tiene algo de energía cinética. Por eso la energía necesaria depende del lugar y del sentido del lanzamiento. En un planeta que girase muy deprisa, podría bastar muy poca energía de satelización. COMPRUEBA 37 ¿Por qué la energía de satelización es mayor que la necesaria para subir el mismo cuerpo, en vertical, hasta la altura de la órbita? Cambiar de órbita Para pasar de una órbita circular a otra hay que aportar la diferencia de energías mecánicas. Al cambiar de órbita varía .

También varía , porque cambia la velocidad orbital estable: Si , y los motores deben aportar energía. Si se baja a una órbita menor, el satélite debe perder energía. EJEMPLO El satélite anterior sube de a m. Necesita J. v = s 2GM ( R 1 2r 1 ) h E = c 0 v = L 2GM ( R 1 R + h 1 ) v s r = 2R = T 1,274 107 GM = T 6,67 10 11 5,97 10 24 3,98 1014 Calculamos la energía en la superficie: J. 1 E = m,0 GMm/R = 3,98 10 /6,37 17 10 6 6,25 1010 Calculamos la energía en la órbita: J. 2 E = m GMm/2r 1,56 1010 Restamos ambas: J. 3 E = s 1,56 10 + 10 6,25 10 10 4,69 1010 Obtenemos la velocidad: m/s.

4 v = s = 2E /m s 9,38 107 9,7 103 r 1 r 2 E p E c ΔE = E m2 E = m1 2 GMm ( r 1 1 r 2 1 ) r > 2 r 1 ΔE > 0 r = 1 2R T r = 2 3R = T 1,911 107 ΔE = 1,99 10 (7,85 17 10 8 5,23 10 ) 8 5,2 109 Apuntes de Física EBAU Asturias: temario, test y formulario 37 Velocidad de escape La velocidad de escape es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo en un punto para salir del campo. Con ella llega al infinito con velocidad nula. En el infinito y , así que hace falta : Para la Tierra, , que da unos 11,2 km/s. No depende de la masa del cuerpo ni de la dirección del lanzamiento, porque la energía es un escalar. También se conoce como segunda velocidad cósmica.

Los cohetes no salen a 11,2 km/s, y eso no es una contradicción. La velocidad de escape es la que habría que tener al principio, sin ningún impulso posterior. Un cohete, en cambio, aporta energía con sus motores durante toda la subida. Escapar desde una órbita Desde una órbita de radio , la velocidad que hay que tener para escapar es . Pero el satélite ya se mueve a . Por eso solo hay que añadirle . La energía que falta es la que lleva hasta cero: Desde la superficie en reposo, la velocidad que hay que tener coincide con la que hay que añadir. Desde una órbita no coinciden.…