Movimiento Armónico Simple (MAS)

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Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 TEMA 6. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) 1. Movimientos periódicos, oscilatorios, vibratorios y vibratorios armónicos simples 2. Magnitudes características de un MAS 3. Descripción matemática del MAS 3.1 Ecuación del movimiento, elongación o posición 3.2 Velocidad de vibración 3.3 Aceleración de vibración 4. Definición cinemática y de definición dinámica de un MAS 5. Oscilaciones en un muelle 6. Energía del oscilador armónico 142 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 1.

MOVIMIENTOS PERIÓDICOS, OSCILATORIOS, VIBRATORIOS Y VIBRATORIOS ARMÓNICOS SIMPLES Un movimiento es periódico si se repite a intervalos regulares de tiempo, es decir, cuando los valores de las variables cinemáticas de la partícula (posición, velocidad y aceleración) se repiten a intervalos regulares de tiempo. Son movimientos periódicos: el MCU, cualquier movimiento de rotación de los planetas alrededor del sol y de los satélites alrededor de sus planetas, las oscilaciones de un péndulo, el movimiento de un cuerpo unido a un muelle, el movimiento de los electrones en ca, el pistón del motor de un coche, el niño columpiándose, …

Un movimiento periódico es oscilatorio cuando la trayectoria se recorre en los dos sentidos. Son movimientos oscilatorios las oscilaciones de un péndulo, el movimiento de un cuerpo unido a un muelle, el movimiento de los electrones en c. a., el pistón del motor de un coche, el niño columpiándose. Los movimientos oscilatorios pueden ser amortiguados y no amortiguados o libre. Un movimiento oscilatorio es no amortiguado o libre si permanece igual a lo largo del tiempo, y es amortiguado si desaparece al cabo de un cierto tiempo.

En la mayoría de los casos los movimientos oscilatorios son amortiguados (pensemos en un niño columpiándose), pero, podemos mantener el movimiento indefinidamente si lo forzamos, proporcionándole energía continuamente. Nosotros estudiaremos un tipo de movimiento oscilatorio no amortiguado. Un movimiento oscilatorio es vibratorio cuando la trayectoria que se recorre en los dos sentidos es recta y el punto de equilibrio se encuentra en el centro de la trayectoria. Son movimientos vibratorios el movimiento de un cuerpo unido a un muelle, el movimiento de los electrones en ca, el pistón del motor de un coche, el niño columpiándose.

El movimiento de un péndulo realmente no es vibratorio, salvo que la longitud del hilo sea muy larga y las oscilaciones muy pequeñas, y, entonces, la trayectoria del cuerpo que hay unido al hilo se podría aproximar a una rectilínea. El movimiento vibratorio mas sencillo es el movimiento armónico simple (MAS), que es aquel movimiento vibratorio en el que la posición, velocidad y aceleración se pueden describir mediante las funciones seno y/o coseno. 143 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 2.

MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) En el movimiento armónico simple se definen las siguientes magnitudes físicas:  Elongación (x o y): es la posición de la partícula respecto a la posición de equilibrio, es decir, respecto al centro de la trayectoria. Se mide en m en el SI de unidades, y la representamos por la letra x si el movimiento se realiza en la horizontal, o por la letra y si se realiza en la vertical. La elongación será positiva cuando la partícula se encuentre en la parte positiva de la trayectoria, y negativa cuando esté en la parte negativa de la trayectoria. La elongación o posición será una función del tiempo x(t) o y(t).

 Amplitud (A): es la elongación máxima, es decir, la máxima separación de la posición de equilibrio, o sea, la distancia que hay del extremo de la trayectoria a su centro. La representamos por la letra A y se mide también en m. y=A x<0 x = -A x>0 x=0 y>0 x=A y=0 y<0 y = -A   Periodo (T): es el valor del intervalo de tiempo que emplea la partícula en volver a repetir su estado de movimiento, es decir, en dar una oscilación completa. Se expresa en segundos (s) en el SI. Frecuencia (f): es el número de veces que la partícula repite un mismo estado de movimiento por unidad de tiempo, es decir, el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Se expresa en hercios (Hz) en el SI.

Ambas magnitudes están relacionadas por medio de la expresión: f=  [6.1] Frcuencia angular ó pulsación (ω): es la rapidez con que cambia el estado de movimiento de la partícula. Se expresa en rad·s-1 en el SI. La relación con el periodo y la frecuencia del MAS es: ω= = 2πf [6.2] 144 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 3.

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DEL MAS 3.1 Ecuación del movimiento, elongación o posición La ecuación de la elongación o ecuación de la posición o ecuación del movimiento (x ó y) de una partícula que describe un MAS, viene dada por: x (t) ó y(t) = A·sen (ω·t + ϕ0) [6.3] donde  A es la amplitud del movimiento es decir, el máximo desplazamiento de la partícula de su posición de equilibrio. Se expresa en metros (m) en el SI.  ω es la frecuencia angular del movimiento. Se expresa en rad·s-1 en el SI. A la expresión (ω·t + ϕ0) se conoce como FASE del movimiento, y es un ángulo medido en radianes en el SI. A ϕ0 se le denomina FASE INICIAL, y es el valor de la fase en el instante t = 0.

El valor de la fase inicial depende de las condiciones iniciales del movimiento, es decir, de la posición y de la velocidad de la partícula en el instante inicial.

Así: o Si x (t = 0) = 0, es decir, si en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, la ecuación del movimiento será una de estas dos: x (t) = A·sen (ω·t) ó x (t) = A·sen (ω·t + π) La primera ecuación indicaría que la partícula se encuentra inicialmente en la posición de equilibrio y moviéndose hacia la parte positiva de la trayectoria (velocidad inicial positiva), y la segunda que se mueve hacia la parte negativa de la trayectoria (velocidad inicial negativa) o Si x (t = 0) = A, es decir, si en el instante inicial la partícula se encuentra en el extremo positivo de la trayectoria, la ecuación será: x (t) = A·sen (ω·t + π/2) = A·cos (ω·t) o Si x (t = 0) = -A, es decir, si en el instante inicial la partícula se encuentra en el extremo negativo de la trayectoria, la ecuación será: x (t) = A·sen (ω·t + 3π/2) = -A·cos (ω·t) Observaciones a la ecuación de la posición La ecuación [6.3] también se puede expresar con la función coseno, pero, la fase inicial de la función seno es diferente de la de la función coseno para describir la misma situación inicial.

 3.2 Velocidad de vibración La ecuación de la velocidad se determina derivando la posición con respecto al tiempo. Tomando para ésta la ecuación [6.3] resulta: v(t) =  = [A · sen (ω · t + φ)] ⇨ Observaciones a la ecuación de la velocidad 145 v(t) = A·ω·cos (ω·t + ϕ0) [6.4] Apuntes de Física 2º Bachillerato - Curso 2013-14 El valor máximo de la velocidad es A·ω, y se alcanza en aquellos instantes de tiempo para los que cos (ω·t + ϕ0) = ±1. La velocidad alcanza su valor máximo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, x = 0. 3.3 Aceleración de vibración La ecuación de la aceleración se determina derivando la velocidad con respecto al tiempo.

Tomando para ésta la ecuación [2.4] resulta: a(t) =  = [A.ω.cos (ω·t + ϕ0)] ⇨ a(t) = - A·ω2·sen (ω·t + ϕ0) = - ω2·x(t) [6.5] Observaciones a la ecuación de la aceleración - El valor máximo de la aceleración es A·ω2, y se alcanza en aquellos instantes de tiempo para los que sen (ω·t + ϕ0) = ±1. - La aceleración máxima se alcanza en los extremos de la trayectoria.

- Se puede comprobar fácilmente que la aceleración de un MAS es directamente proporcional a la posición pero de signo contrario: a(t) = - ω2·x(t) [6.6] Gráficas de la elongación (x), velocidad (v) y aceleración (a) Podemos construir una tabla de valores y representar gráficamente la posición, velocidad y aceleración para una partícula con MAS. Se ha considerado el caso en el que el oscilador inicia el movimiento en la posición de equilibrio con velocidad positiva, es decir ϕ0 = 0. t (s) 0 T/4 T/2 3T/4 T  .t  2 .t ( r a d ) T 0 2 T  .  T 4 2 2 T .   T 2 2  3T 3 .  T 4 2 2 T .  2 T 2 sen(ω·t) cos(ω·t) x(t) = A·sen (ω·t) (m) v(t) = A.

ω ·cos (ω·t) (m/s) a(t) =- A· ω .sen (ω·t) 2 (m/s ) 0 1 0 Aω 0 1 0 A 0 -A ω 0 -1 0 -Aω 0 -1 0 -A 0 Aω 0 1 0 Aω o x = -A x<0 v=0 v (+ ó -) a = Aω2 a > 0 x=0 x>0 x=A v = ± Aω a=0 v (+ ó -) a<0 v=0 a = -Aω2 146 2 2 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 Ejemplo 1º Un cuerpo realiza un MAS de 8 cm de amplitud y 20 Hz de frecuencia. Considerando nula la fase inicial, escribe las ecuaciones instantáneas de la elongación, velocidad y aceleración. Dibuja las gráficas x–t, v–t y a–t. Ejemplo 2º La ecuación de un MAS es x(t) = 0,1.sen(0,4πt + π/2) en unidades SI. a) Calcula las magnitudes características del movimiento. b) Dibuja las gráficas x–t, v–t y a–t.

c) Calcula la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los 2 s. Ejemplo 3º Un cuerpo que realiza un MAS tarda 2 s en hacer 10 oscilaciones completas. Si en el instante inicial se encuentra en reposo en la posición x = 0,2 m, calcula: a) La ecuación de su movimiento. b) La velocidad y aceleración máximas. Ejemplo 4º La frecuencia de un MAS es de 0,5 Hz. Si en el instante inicial se encuentra en la posición de equilibrio con una velocidad de 22 m/s, calcula la ecuación de su movimiento. Ejemplo 5º La ecuación de un MAS es x(t) = 0,1.cos(0,4πt) en unidades SI. a) Calcula las magnitudes características del movimiento. b) Dibuja las gráficas x–t, v–t y a–t.

c) Calcula la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los 2 s. 147 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 4. DEFINICIÓN CINEMÁTICA Y DEFINICIÓN DINÁMICA DE UN MAS En la pregunta anterior hemos obtenido la relación que existe entre la aceleración de vibración y la elongación en un MAS: a = -ω2·x ó -ω2·y Esta ecuación nos sirve para definir cinemáticamente a un MAS, y es la siguiente: Siempre que en un movimiento la aceleración sea, en todo momento, directamente proporcional a la posición y de signo contrario, diremos que se trata de un MAS. La constante de proporcionalidad coincide con el cuadrado de la frecuencia angular o pulsación del MAS.

Si aplicamos el Principio Fundamental de la Dinámica ó Segunda Ley de Newton al MAS, obtenemos la siguiente relación entre la fuerza y la posición: F = m.a = m.(-ω2.x) = -m. ω2.x (ó -m. ω2.y) F = -m. ω2.x [6.7] La relación obtenida nos sirve para definir dinámicamente a un MAS, y es la siguiente: Siempre que en un movimiento la fuerza sea, en todo momento, directamente proporcional a la posición y de signo contrario, diremos que se trata de un MAS. La constante de proporcionalidad coincide con el producto de la masa por el cuadrado de la frecuencia angular o pulsación del MAS. Ejemplo 6º 2 Una partícula de masa m se mueve con una aceleración que cumple la relación a = -4π x.

Si en el instante inicial la partícula se encuentra a 40 cm de la posición de equilibrio y en reposo. a) Calcula las magnitudes características del movimiento. b) Calcula la ecuación del movimiento y las expresiones instantáneas de la velocidad y aceleración de vibración. c) Dibuja las gráficas x–t, v–t y a–t. d) Calcula la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los 2 s. Ejemplo 7º 2 La fuerza que actúa sobre una partícula de 200 g de masa cumple la siguiente relación F = -3,2π x. Si en el instante inicial la partícula tiene velocidad máxima: a) Calcula las magnitudes características del movimiento.

b) Calcula la ecuación del movimiento y las expresiones instantáneas de la velocidad y aceleración de vibración. c) Dibuja las gráficas x–t, v–t y a–t. d) Calcula la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los 5 s. 148 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 5. OSCILACIONES EN UN MUELLE Un caso particular corresponde a la fuerza recuperadora ejercida por un muelle.

Recordemos que cuando desplazamos a un cuerpo unido a un muelle de su posición de equilibrio, para soltarla a continuación, la fuerza que ejerce el muelle es una fuerza recuperadora que viene dada por la Ley de Hooke: F = - K·x Donde x representa la distancia a la posición de equilibrio, y K es la denominada constante elástica del muelle que se mide en N/m. Como vemos la fuerza recuperadora de un muelle es directamente proporcional a la posición y de signo contrario. Según la definición dinámica de un MAS se trata de un MAS.

Además la constante elástica del muelle coincide con el producto de la masa por el cuadrado de la pulsación: K = mω [6.8] De esta expresión podemos deducir la pulsación, el periodo y la frecuencia de las oscilaciones en un muelle: mω = K ⇨ ω= [6.9] T= ⇨ T = 2π [6.10] ⇨ f= [6.11] f= = Como vemos la frecuencia angular del oscilador, el periodo y la frecuencia sólo dependen de las características físicas del oscilador: la constante recuperadora del muelle (K) y la masa del oscilador (m). Ejemplo 8º La constante elástica de un muelle vale 50 N/m. a) Calcula el periodo, frecuencia y pulsación de las oscilaciones de un cuerpo de 0,5 Kg colgado de él.

¿Dependerían los resultados anteriores de la amplitud del movimiento? b) Calcula la ecuación del movimiento y las expresiones instantáneas de la velocidad y aceleración de vibración. c) Dibuja las gráficas x–t, v–t y a–t. d) Calcula la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los 5 s. 149 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 6. ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO La fuerza ejercida sobre un oscilador armónico y que cumple la ley de Hooke, es conservativa, de lo que se deduce que la energía mecánica (total) del oscilador se mantiene constante a lo largo de las distintas oscilaciones.

Esto quiere decir que en cada oscilación se produce una continua transformación de energía potencial elástica en energía cinética. Veamos las expresiones de dichas energías tanto en función del tiempo como en función de la posición. Un cuerpo que describe un MAS tiene energía cinética y energía potencial elástica Energía cinética La energía cinética de un oscilador armónico vale: Ec = m·v2 donde m es la masa del oscilador y v el valor de su velocidad instantánea. Tomando la ecuación [6.4] resulta: Ec = m·ω2·A2·cos2 (ω · t + ϕ0) ⇨ {K = m·ω2} ⇨ Ec = K·A2· cos2 (ω · t + ϕ0) [6.12] En los extremos de la trayectoria la energía cinética vale 0 puesto que allí la partícula tiene velocidad 0.

La energía cinética de la partícula es máxima cuando pasa por el centro de la trayectoria, puesto que en ese punto la velocidad es máxima, y vale: Ecmáx = m·ω2·A2 = K·A2 [6.13] Energía potencial elástica La energía potencial elástica de un oscilador armónico sujeto a un muelle de constante K tiene la expresión: Ep = K·x2 [6.14] donde x es la posición del oscilador con respecto a su posición de equilibrio. Tomando la ecuación [6.3] resulta: Ep = K·A2·sen2 (ω · t + ϕ0) [6.15] En el centro de la trayectoria la energía potencial es 0, puesto que en este punto la elongación es nula.

En los extremos de la trayectoria la energía potencial elástica de un oscilador armónico es máxima, puesto que en ellos la elongación es máxima, y vale: Ep. máx = K·A2 Que como vemos coincide con la energía cinética máxima. 150 [6.16] Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 Energía mecánica Si el movimiento es no amortiguado, es decir, ausencia de rozamiento, entonces no habría trabajo de fuerzas no conservativas y se cumpliría el PCEM, es decir, la energía mecánica de la partícula permanecería constante en cualquier punto de la trayectoria y en las sucesivas oscilaciones.

Esto quiere decir que en cada oscilación se produce una continua transformación o intercambio de energía potencial elástica en energía cinética y viceversa. Como la energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial elástica del oscilador. Así, al realizar dicha suma con las ecuaciones [6.12] y [6.15] resulta: Em = Ec + Ep = K·A2· cos2 (ω · t + ϕ0) + K·A2·sen2 (ω · t + ϕ0) = K·A2 Em = Ec + Ep = K·A2 [6.16] con la que se comprueba que la energía mecánica del oscilador es constante una vez fijados los valores de la constante recuperadora, K, y la amplitud, A.

Gráfica energética del oscilador armónico En esta gráfica se han representado las variaciones de energía cinética y potencial del oscilador armónico a lo largo de una oscilación en función de la posición x. En ella se observa cómo se produce una transformación continua de una forma de energía en otra, de forma que la energía mecánica se mantiene constante. Ec = Ep = x = -A v=0 x<0 x=0 v (+ ó -) v = ± Aω x>0 v (+ ó -) Ec = 0 Ec.máx. = mA2ω2 = KA2 2 Ep. máx. = KA Ep = 0 Em x=A v=0 Ec = 0 Ep. máx.

= KA2 Podemos destacar en la gráfica que hay dos puntos simétricos a un lado y otro de la posición de equilibrio, en los que la partícula tiene la misma energía cinética que potencial, y que podemos localizar del modo siguiente: Ec = Ep = Em ⇨ K·x2 = · K·A2 ⇨ x2 = x=± √ ·A A2 ⇨ x=± ·A ⇨ [6.17] que como observamos son puntos que se encuentran mas cerca de los extremos que del centro de la trayectoria. 151 Apuntes de Física 2º Bachillerato Curso 2013-14 Ejemplo 9º La ecuación de un oscilador armónico de 0,15 Kg de masa es x(t) = 0,2 sen(30t). Si las magnitudes están medidas en unidades del SI, calcula: a) La constante recuperadora del oscilador.

b) Los valores de sus energías cinética, potencial y total a los 0,6s. Ejemplo 10º Un bloque de 400 g unido a un muelle de constante elástica K = 80 N/m, oscila con una amplitud de 5 cm. Calcula las energías cinética, potencial y mecánica del bloque cuanto se encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio. 152