Trigonometría: Ángulos, Triángulos y Funciones…

Apuntes de trigonometría para 1º de Bachillerato que cubren unidades de medida de ángulos, resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, identidades trigonométricas y representación de funciones trigonométricas.

1. Unidades de Medidas de Ángulos

Flashcards

¿Qué son los grados?: Unidad de medida de ángulos, donde un círculo completo tiene 360 grados.
¿Qué son los radianes?: Unidad de medida de ángulos, basada en la longitud del arco de un círculo.
¿Cuál es la fórmula para convertir grados a radianes?: Radianes = Grados * (\(\pi\) / 180)
¿Cuál es la fórmula para convertir radianes a grados?: Grados = Radianes * (180 / \(\pi\))

Preguntas tipo test

¿A cuántos grados equivale \frac{7\pi}{6} radianes?
- a) 180 grados
- b) 210 grados
- c) 270 grados
- d) 360 grados
Respuesta: b) 210 grados. Para convertir radianes a grados, se multiplica el valor en radianes por \frac{180}{\pi}. En este caso, \frac{7\pi}{6} * \frac{180}{\pi} = 210 grados.
¿Cuál de las siguientes opciones NO es una unidad de medida de ángulos?
- a) Grados
- b) Radianes
- c) Metros
- d) Grados centesimales
Respuesta: c) Metros. Los grados y los radianes son unidades comunes para medir ángulos. Los metros son una unidad de longitud, no de medida angular.
Si \(\alpha\) es un ángulo en el primer cuadrante y \(\tan(\alpha) = \frac{1}{3}\), ¿cuál es el valor de \(\tan(180^\circ + \alpha)\)?
- a) -\frac{1}{3}
- b) \frac{1}{3}
- c) -3
- d) 3
Respuesta: b) \frac{1}{3}. \(\tan(180^\circ + \alpha) = \tan(\alpha)\) porque la función tangente tiene un período de 180 grados. Por lo tanto, si \(\tan(\alpha) = \frac{1}{3}\), entonces \(\tan(180^\circ + \alpha) = \frac{1}{3}\).

2. Ángulos de Medidas Cualesquiera

3. Resolución de Triángulos Rectángulos

4. Resolución de Triángulos Cualesquiera

5. Demostrar Igualdades Trigonométricas

6. Resolución de Ecuaciones Trigonométricas

7. Representación de Funciones Trigonométricas

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Texto del documento

Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 1 TEMAS 4 Y 5 – TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1 a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70 rad 5 3, y rad 6 7 : ángulos los grados a Pasa b) Solución: rad 6 7 rad 180 210 210 a) rad 18 7 rad 180 70 70 210 180 6 7 rad 6 7 b) " 7 ' 32 200 180 5 3 rad 5 3 , , EJERCICIO 2 : Completa la tabla: Solución: rad 18 13 rad 180 130 130 240 180 3 4 rad 3 4 rad 6 11 rad 180 330 330 " 37 ' 56 85 180 5 1 rad 5 1 , , Por tanto: ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA EJERCICIO 3 : : ) hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un es y 3 1 Si α α α tg α tg α tg α tg α tg 360 d) 360 c) 180 b) 180 a) Solución: 3 1 180 a) tg tg 3 1 180 tg b) tg 3 1 360 c) tg tg 3 1 360 d) tg tg EJERCICIO 4 : Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular : α cos α sen 180 b) 180 a) Solución: 35 0 180 a) , sen sen cos cos 180 b) Necesitamos saber cuánto vale cos : 1 35 0 1 2 2 2 2 cos , cos sen 8775 0 1 1225 0 2 2 , cos cos , ) 90 0 pues positivo, (es 94 , 0 cos 94 0 180 : tanto Por , cos cos Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 2 EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora : 310 d) 230 c) 310 b) 130 a) sen cos tg cos Solución: 64 , 0 50 150 180 130 a) cos cos cos 19 , 1 50 50 360 310 b) tg tg tg 64 , 0 50 50 180 230 c) cos cos cos 77 , 0 50 50 360 310 d) sen sen sen RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIO 6 : En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm.

Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto: cm 9 b 81 144 225 b 225 b 144 15 b 12 c b a 2 2 2 2 2 2 2 2 Hallamos los ángulos: " 12 ' 52 36 6 0 15 9 B̂ , B̂ sen c b B̂ sen 48" ' 7 53 90 B̂ Â Por tanto: 90 Ĉ cm; 15 c ; " 12 ' 52 36 B̂ cm; 9 b ; 48" ' 7 53 Â cm; 12 a EJERCICIO 7 : Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado 10 metros de cable. Halla la altura del mástil y la distancia entre los puntos A y B.

Solución: h sen z h sen z z h sen z h sen 35 10 60 10 35 60 35 35 10 60 35 10 60 sen z sen sen z sen z sen z 35 10 35 60 35 10 35 60 sen sen sen z sen sen z sen z m 98 3 35 60 35 10 , sen sen sen z m 45 3 35 60 60 35 10 60 , sen sen sen sen sen z h La altura del mástil es de 3,45 m Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar x e y: m 99 1 60 45 3 60 60 , tg , tg h y y h tg m 93 4 35 45 3 35 35 , tg , tg h x x h tg Por tanto, la distancia entre A y B es de x y 4,93 1,99 6,92 m. Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 3 EJERCICIO 8 : Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55 . Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40 .

¿Cuál es la altura de la antena? Solución: h tg x h tg x x h tg x h tg 40 7 55 7 40 55 40 7 40 55 40 7 55 tg tg x tg x tg x tg x 40 7 40 55 40 7 40 55 tg tg tg x tg tg x tg x m 97 9 40 55 40 7 , tg tg tg x m 24 14 40 55 55 40 7 55 , tg tg tg tg tg x h La altura de la antena es de 14,24 metros. EJERCICIO 9 : Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.

Solución: Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: cm 6 8 74 5 7 2 2 2 2 , l l l Hallamos los ángulos: " 44 ' 27 54 90 " 16 ' 32 35 7 5 Â B̂ Â Â tg Los ángulos del rombo miden: " 29 ' 55 108 ˆ 2 " 31 ' 4 71 ˆ 2 B A RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA EJERCICIO 10 : En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80 . ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

Solución : B̂ ángulo el Hallamos 35 180 Ĉ Â B̂ Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos: km 79 35 65 50 35 50 65 sen sen a sen sen a km 85 85 35 80 50 35 50 80 , sen sen c sen sen c Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A.

Los metros de valla necesarios serían: m 49 , 55 49 , 20 15 20 c b a Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 4 EJERCICIO 11 : Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos: Solución: Hallamos el lado c con el teorema del coseno: 85 48 16 25 90 50 4 5 9 2 4 5 9 2 2 2 2 2 2 2 2 , , c cos , , c Ĉ cos ab b a c cm 58 7 4 57 2 , c , c Como conocemos los tres lados, la solución es única.

: ˆ ángulo el Hallamos A 58 7 50 5 9 50 58 7 5 9 , sen , Â sen sen , Â sen , Ĉ sen c Â sen a " 24 ' 45 73 96 0 Â , Â sen " 36 ' 14 56 180 Ĉ Â B̂ Por tanto: 50 Ĉ cm; 58 , 7 c ; " 36 ' 14 56 B̂ cm; 4 b ; " 24 ' 45 73 Â cm; 5 , 9 a EJERCICIO 12 : Halla los lados y los ángulos de este triángulo: Solución: : senos los de teorema el con ángulo el Hallamos B̂ B̂ sen sen B̂ sen b Â sen a 8 108 15 46" ' 28 30 507 0 15 108 8 B̂ , sen B̂ sen relación).

una hay solo agudos, ser de han ˆ y ˆ obtuso, es ˆ (Como C B A : ˆ ángulo el Hallamos C " 14 ' 31 41 180 B̂ Â Ĉ Calculamos el lado c: m 46 10 108 15 " 14 ' 31 41 , c sen sen c Â sen a Ĉ sen c Por tanto: " 14 ' 31 41 Ĉ m; 46 , 10 c ; " 46 ' 28 30 B̂ m; 8 b ; 108 Â m; 15 a EJERCICIO 13 : Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo: Solución: Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos , existe solución única.

Hallamos los ángulos A y B con el teorema del coseno: Â cos bc c b a 2 2 2 2 Â cos , , 42 36 25 12 84 51 84 51 36 25 12 42 , , A cos 59 3 42 , Â cos " 12 ' 54 94 85 0 0 Â , Â cos B̂ cos , , , B̂ cos ac c a b 4 86 36 84 51 25 12 2 2 2 875 0 25 12 36 84 51 4 86 , B̂ cos , , B̂ cos , " 7 ' 58 28 ˆ B " 41 ' 7 56 ˆ ˆ 180 ˆ B A C Por tanto: " 41 ' 7 56 Ĉ cm; 6 c ; " 7 ' 58 28 B̂ cm; 5 , 3 b ; " 12 ' 54 94 Â cm; 2 , 7 a EJERCICIO 14 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110 . Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto.

En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro? Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 5 Solución: Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno: 38 209 1 704 2 156 1 110 52 34 2 52 34 2 2 2 2 , x cos x km 20 71 38 5069 2 , x , x Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km. EJERCICIO 15 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50 , y el ángulo en A es de 75 . ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?

Solución: : ángulo el Hallamos Ĉ 55 180 B̂ Â Ĉ Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos: m 92 117 55 75 100 55 100 75 , sen sen a sen sen a m 52 93 55 50 100 55 100 50 , sen sen b sen sen b Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m. EJERCICIO 16 : Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos: Solución: : senos los de teorema el con ángulo el Hallamos B̂ B̂ sen sen B̂ sen b Â sen a 6 105 10 " 9 ' 25 35 58 0 10 105 6 B̂ , sen B̂ sen solución).

una hay solo agudos; ser de han y obtuso, es (Como Ĉ B̂ Â : de ángulo el Hallamos Ĉ " 51 ' 34 39 180 B̂ Â Ĉ Calculamos el lado c: m 6 6 105 10 " 51 ' 34 39 , c sen sen c Â sen a Ĉ sen c Por tanto: " 51 ' 34 39 Ĉ m; 6 , 6 c ; " 9 ' 25 35 B̂ m; 6 b ; 105 Â m; 10 a EJERCICIO 17 : Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140 .

¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo? Solución: : será ángulo El Ĉ 15 140 25 180 Ĉ Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y: m 35 248 15 140 100 15 100 140 , sen sen x sen sen x m 29 163 15 25 100 15 100 25 , sen sen y sen sen y Por tanto: Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m.

Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 6 DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 18 : Demuestra que: a) x sen x cos x cos x cos x sen x sen x cos 2 2 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 2 2 2 x cos x cos c) y sen x sen y x sen y x sen 2 2 d) x sen x sen x cos x cos x cos x sen 2 1 2 e) x cos x cos x sen x 2 tg x sen 2 2 Solución: a) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 x cos x sen x cos x sen x cos x cos x sen x cos x sen x cos x cos x sen x sen x sen x cos x cos x sen x sen x cos x sen x os c x os c 2 2 1 2 1 b) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 x cos x cos x cos x cos x cos x cos c) 2 2 y sen x cos y cos x sen y sen x cos y cos x sen y sen x cos y cos x sen y x sen y x sen y sen x sen x sen y sen x cos y sen x sen y xsen cos y cos x sen 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y sen x sen y sen x sen y sen y sen x sen x sen y sen x sen 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 d) x sen x cos x sen x cos x cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x cos x cos x sen 2 2 x cos x cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x cos x cos x sen 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x sen x cos x sen x cos x sen x cos x sen 2 1 2 1 2 2 2 e) x cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen x tg x sen 2 2 2 2 2 2 2 x cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x cos x cos x cos x cos x sen x sen x cos x cos x sen x cos x sen x cos 2 2 2 2 2 2 2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 19 : Resuelve: a) 1 45 45 x sen x sen b) sen 2x cos x 0 c) cos x sen 2x sen x 0 d) x sen x cos x cos x cos 3 3 3 e) x cos x cos 3 1 2 4 f) x sen x cos x cos x sen 2 2 1 2 2 Solución: a) 1 45 45 x sen x sen 1 45 45 45 45 sen x cos cos x sen sen x cos cos x sen 1 45 2 cos x sen 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 x sen x sen x sen k x k k x 360 135 donde 360 45 Z b) 0 1 2 0 2 0 2 x sen x cos x cos x cos x sen x cos x sen Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 7 donde 360 330 360 210 2 1 0 1 2 360 270 360 90 0 Z k k x k x x sen x sen k x k x x cos c) 0 1 x cos 2 x sen 0 x sen x cos x sen 2 x cos 0 x sen x 2 sen x cos 2 2 2 2 1 2 1 0 1 2 360 180 360 0 0 2 2 x cos x cos x cos k x k x x sen k x k x x cos k x k x x cos 360 225 360 135 2 2 360 315 360 45 2 2 Por tanto, las soluciones son: .

donde 360 225 360 315 360 180 360 135 360 45 360 0 Z k k x k x k x k x k x k x d) x sen x cos x cos x cos 3 3 3 0 3 3 3 x sen x cos x cos x cos 0 3 3 2 x sen x cos x cos 0 3 3 1 2 x sen x sen x cos 0 2 3 2 x sen x sen x cos 0 2 3 2 x sen x sen x cos 0 2 3 360 270 360 90 0 2 x sen x sen k x k x x cos vale) (no 2 1 2 1 3 2 1 3 2 8 9 3 x sen k x x sen 360 270 1 Por tanto las soluciones son: Z siendo 360 270 360 90 k k x k x e) x cos 3 1 x sen x cos 4 x cos 3 1 x 2 cos 4 2 2 x cos 3 1 x sen 4 x cos 4 2 2 x cos 3 1 x cos 1 4 x cos 4 2 2 0 5 x cos 3 x cos 8 x cos 3 1 x cos 4 4 x cos 4 2 2 2 1 8 5 16 13 3 16 169 3 16 160 9 3 x cos k x x cos k k x k x x cos 360 180 1 siendo 360 " 56 ' 40 308 360 " 4 ' 19 51 8 5 Z f) x sen x cos x cos x sen 2 2 1 2 2 x sen x cos x sen x cos x cos x sen 2 2 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 2 x sen x cos x sen x cos x cos x sen 0 1 2 2 2 x cos x sen x cos x cos x sen 0 1 1 2 x cos x cos x sen 0 2 x cos x cos x sen 0 1 2 x sen x cos k x k x x x k k x k x x 360 150 360 30 2 1 sen 0 1 sen 2 siendo 360 270 360 90 0 cos Z REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20 a Representa la siguiente función trigonométrica: 2 x cos y b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente: Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato 8 Solución: a Hacemos una tabla de valores: La gráfica sería: b La gráfica corresponde a la función y cos x.

EJERCICIO 21 a Escribe la ecuación de la función correspondiente a esta gráfica: b Representa la siguiente función: y cos x Solución: a La gráfica corresponde a la función y sen x. b Hacemos una tabla de valores: La gráfica sería:

Trigonometría: Ángulos, Triángulos y Funciones Trigonométricas

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