Guia d'Estudi de Matemàtiques Aplicades a les Ciències…

Apuntes per a l'estudi de les matemàtiques aplicades a les ciències socials II per a batxillerat, amb exercicis i problemes resolts.

1. Sistemes d'equacions lineals

Flashcards

Què és un sistema d'equacions compatible determinat?: Un sistema que té una única solució.
Què és un sistema d'equacions incompatible?: Un sistema que no té cap solució.
Què és el mètode de Gauss?: Un mètode per resoldre sistemes d'equacions transformant la matriu en una matriu esglaonada.
Què és un sistema d'equacions compatible indeterminat?: Un sistema que té infinites solucions.

Preguntes tipus test

Quin mètode s'utilitza per resoldre sistemes d'equacions lineals mitjançant la transformació de la matriu del sistema en una matriu esglaonada?
- a) Mètode de Cramer
- b) Mètode de Gauss
- c) Mètode de Ruffini
- d) Mètode de Newton
Resposta: b) Mètode de Gauss. El mètode de Gauss és un algorisme per resoldre sistemes d'equacions lineals transformant la matriu del sistema en una matriu esglaonada mitjançant operacions elementals.
Què indica que un sistema d'equacions és incompatible?
- a) Té una única solució
- b) Té infinites solucions
- c) No té solució
- d) Totes les incògnites valen zero
Resposta: c) No té solució. Un sistema incompatible no té solució, és a dir, no existeixen valors per a les incògnites que satisfacin totes les equacions simultàniament.
En resoldre un sistema d'equacions dependent d'un paràmetre 'm', quan es diu que el sistema és incompatible?
- a) Quan el valor de 'm' és zero
- b) Quan el valor de 'm' fa que una solució no sigui un nombre real
- c) Quan el valor de 'm' és un nombre enter
- d) Quan el valor de 'm' és infinit
Resposta: b) Quan el valor de 'm' fa que una solució no sigui un nombre real. Un sistema dependent d'un paràmetre 'm' és incompatible quan un valor específic de 'm' fa que alguna de les solucions del sistema no sigui un nombre real, sinó una expressió indefinida o imaginària.

2. Matrius

Flashcards

Què és una matriu?: Un conjunt de nombres ordenats en files i columnes de forma rectangular.
Què és la matriu trasposta d'una matriu A?: La matriu que resulta de canviar les files per les columnes de A, denotada per Aᵀ.
Quan una matriu A és simètrica?: Quan A és igual a la seva trasposta, és a dir, A = Aᵀ.
Què és una matriu diagonal?: Una matriu quadrada on tots els elements fora de la diagonal principal són zero.

Preguntes tipus test

Quina és la condició necessària perquè un sistema d'equacions sigui compatible determinat?
- a) Que tingui més equacions que incògnites.
- b) Que tingui menys equacions que incògnites.
- c) Que el nombre d'equacions sigui igual al nombre d'incògnites.
- d) Que totes les equacions siguin redundants.
Resposta: c) Que el nombre d'equacions sigui igual al nombre d'incògnites.. Perquè un sistema d'equacions sigui compatible determinat, és necessari que hi hagi el mateix nombre d'equacions que d'incògnites. Si hi ha més equacions que incògnites, algunes equacions seran redundants.
Què representa el rang d'una matriu?
- a) El nombre total de files i columnes de la matriu.
- b) El nombre de files que són combinació lineal d'altres.
- c) El nombre de files diferents de zero després d'aplicar el mètode de Gauss.
- d) El determinant de la matriu.
Resposta: c) El nombre de files diferents de zero després d'aplicar el mètode de Gauss.. El rang d'una matriu és el nombre de files no nul·les (diferents de zero) que queden després d'aplicar el mètode de Gauss a la matriu. Aquestes files són linealment independents.
Quina operació matricial s'utilitza per resoldre un sistema d'equacions expressat matricialment com AX = B?
- a) Sumar la matriu A a ambdós costats de l'equació.
- b) Multiplicar ambdós costats de l'equació per la matriu inversa de A (A⁻¹).
- c) Dividir ambdós costats de l'equació per la matriu A.
- d) Restar la matriu B a ambdós costats de l'equació.
Resposta: b) Multiplicar ambdós costats de l'equació per la matriu inversa de A (A⁻¹).. Per resoldre l'equació matricial AX = B, es multiplica ambdós costats per la inversa de A (A⁻¹), de manera que A⁻¹AX = A⁻¹B, simplificant a X = A⁻¹B.

3. Programació lineal

Flashcards

Defineix la funció objectiu.: És la funció que es vol maximitzar o minimitzar en un problema de programació lineal.
Què són les restriccions?: Són les limitacions o condicions que han de complir les variables en un problema de programació lineal.
Defineix la regió factible.: És el conjunt de punts que satisfan totes les restriccions del problema de programació lineal.
Què són els punts extrems?: Són els vèrtexs de la regió factible, on es troben les solucions òptimes.

Preguntes tipus test

Què és la funció objectiu en la programació lineal?
- a) Una equació que defineix les restriccions del problema.
- b) Una funció que volem maximitzar o minimitzar.
- c) Un conjunt de punts que compleixen les restriccions.
- d) Un algorisme per resoldre sistemes d'equacions.
Resposta: b) Una funció que volem maximitzar o minimitzar.. La funció objectiu és l'expressió matemàtica que representa el que volem optimitzar (maximitzar o minimitzar) en un problema de programació lineal, com ara beneficis, costos, etc.
Què representen les restriccions en un problema de programació lineal?
- a) Els possibles valors de la funció objectiu.
- b) Les limitacions o condicions que han de complir les variables.
- c) Els punts extrems de la regió factible.
- d) La representació gràfica de la funció objectiu.
Resposta: b) Les limitacions o condicions que han de complir les variables.. Les restriccions són inequacions que limiten els valors que poden prendre les variables en un problema de programació lineal, assegurant que la solució sigui factible.
Què és la regió factible en programació lineal?
- a) L'àrea on la funció objectiu és màxima.
- b) El conjunt de punts que satisfan totes les restriccions del problema.
- c) Una línia recta que representa la funció objectiu.
- d) Un punt específic que dóna la solució òptima.
Resposta: b) El conjunt de punts que satisfan totes les restriccions del problema.. La regió factible és el conjunt de tots els punts que compleixen simultàniament totes les restriccions del problema, representant les possibles solucions.

4. Límits i continuïtat

Flashcards

Defineix el concepte de límit d'una funció en un punt.: El límit d'una funció en un punt és el valor al qual s'aproximen els valors de la funció quan la variable independent s'acosta a aquest punt.
Què són els límits laterals?: Els límits laterals són els límits quan la variable s'aproxima al punt per la dreta (límit lateral dret) i per l'esquerra (límit lateral esquerre).
Quan diem que una funció és contínua en un punt?: Una funció és contínua en un punt si existeix el límit en aquest punt, la funció està definida en aquest punt, i el límit coincideix amb el valor de la funció en aquest punt.
Què és una discontinuïtat evitable?: Una discontinuïtat evitable és aquella en què existeix el límit de la funció en el punt, però no coincideix amb el valor de la funció en aquest punt, o la funció no està definida en aquest punt.

Preguntes tipus test

Què implica que una funció tingui un límit en un punt?
- a) Que la funció està definida en aquest punt.
- b) Que els valors de la funció s'aproximen a un nombre concret quan la variable s'acosta a aquest punt.
- c) Que la funció és discontínua en aquest punt.
- d) Que la funció té un valor màxim en aquest punt.
Resposta: b) Que els valors de la funció s'aproximen a un nombre concret quan la variable s'acosta a aquest punt.. El concepte de límit implica que els valors de la funció s'aproximen a un nombre concret quan la variable independent s'acosta a un punt determinat, sense necessàriament estar definida en aquest punt.
Quina és la condició necessària perquè existeixi el límit d'una funció en un punt?
- a) Que els límits laterals en aquest punt siguin diferents.
- b) Que la funció estigui definida en aquest punt.
- c) Que els límits laterals en aquest punt existeixin i siguin iguals.
- d) Que la funció sigui contínua en aquest punt.
Resposta: c) Que els límits laterals en aquest punt existeixin i siguin iguals.. Perquè el límit d'una funció existeixi en un punt, és imprescindible que els límits laterals (per la dreta i per l'esquerra) existeixin i tinguin el mateix valor.
Què indica que el \(\lim_{x \to a} f(x) = \infty\)?
- a) Que la funció té una asímptota horitzontal en \(x = a\).
- b) Que la funció té una asímptota vertical en \(x = a\).
- c) Que la funció té un màxim en \(x = a\).
- d) Que la funció no està definida en \(x = a\).
Resposta: b) Que la funció té una asímptota vertical en \(x = a\).. Un límit infinit en un punt indica la presència d'una asímptota vertical, on la funció creix o decreix sense límit a mesura que s'acosta a aquest punt.

5. Derivades

Flashcards

Què és la derivada d'una funció en un punt?: És el pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt.
Quina és la derivada d'una constant?: Zero.
Quina és la regla de la potència per a derivades?: Si f(x) = x^n, llavors f'(x) = nx^(n-1).
Quina és la derivada de sen(x)?: cos(x).

Preguntes tipus test

Quina és la interpretació geomètrica de la derivada d'una funció en un punt?
- a) L'àrea sota la corba de la funció.
- b) El pendent de la recta tangent a la funció en aquest punt.
- c) La integral de la funció en aquest punt.
- d) El valor de la funció en el punt.
Resposta: b) El pendent de la recta tangent a la funció en aquest punt.. La derivada d'una funció en un punt representa el pendent de la recta tangent a la corba de la funció en aquest punt. Aquest pendent indica la taxa de canvi instantània de la funció en aquest punt.
Quina és la derivada de la funció f(x) = k, on k és una constant?
- a) k
- b) 1
- c) 0
- d) kx
Resposta: c) 0. La derivada d'una funció constant és sempre zero, ja que una constant no canvia el seu valor. Per tant, el pendent de la recta tangent és 0.
Quina és la derivada de la funció f(x) = x³?
- a) x²
- b) 3
- c) 3x
- d) 3x²
Resposta: d) 3x². Utilitzant la regla de la potència, la derivada de x³ és 3x^(3-1) = 3x². Aquesta regla estableix que la derivada de x^n és nx^(n-1).

6. Aplicacions de les derivades

Flashcards

Què és la derivada d'una funció en un punt?: El pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt.
Què indica una derivada positiva?: Que la funció és creixent.
Què és un punt singular?: Un punt on la derivada és zero o no existeix.
Quin és l'objectiu de l'optimització de funcions?: Trobar el valor màxim o mínim d'una funció.

Preguntes tipus test

Què indica la funció derivada d'una funció en un punt?
- a) El valor de la funció en aquell punt.
- b) El pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt.
- c) L'àrea sota la corba de la funció fins a aquell punt.
- d) La integral de la funció en aquell punt.
Resposta: b) El pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt.. La funció derivada representa el pendent de la recta tangent a la corba de la funció en un punt específic.
Si la derivada d'una funció és positiva en un interval, què podem dir sobre la funció en aquest interval?
- a) La funció és decreixent.
- b) La funció és constant.
- c) La funció és creixent.
- d) La funció té un màxim o mínim.
Resposta: c) La funció és creixent.. Una derivada positiva indica que la funció està augmentant en valor a mesura que augmenta la variable independent.
Què representa un punt singular d'una funció?
- a) Un punt on la funció no està definida.
- b) Un punt on la derivada de la funció és zero o no existeix.
- c) Un punt d'inflexió de la funció.
- d) Un punt on la funció creix més ràpidament.
Resposta: b) Un punt on la derivada de la funció és zero o no existeix.. Un punt singular és aquell on la funció té un pendent horitzontal (derivada zero) o on la derivada no està definida, cosa que pot indicar un màxim, un mínim o un punt de sella.

7. Representació de funcions

Flashcards

Què és el domini d'una funció?: El conjunt de tots els valors per als quals la funció està definida.
Com es determina si una funció és parell?: Si f(-x) = f(x) per a tot x en el domini.
Què són els punts de tall amb els eixos?: Els punts on la gràfica de la funció creua l'eix X (arrels) i l'eix Y.
Què indica la monotonía d'una funció?: Els intervals on la funció és creixent o decreixent.

Preguntes tipus test

Quin és el primer pas recomanat en l'esquema per a la representació de funcions?
- a) Calcular la curvatura de la funció
- b) Estudiar les simetries de la funció
- c) Determinar el domini de la funció
- d) Trobar els punts de tall amb els eixos
Resposta: c) Determinar el domini de la funció. El primer pas en l'esquema per a la representació de funcions és determinar el domini de la funció, ja que això estableix els valors per als quals la funció està definida.
Què implica que una funció sigui simètrica respecte de l'eix OY?
- a) f(x) = -f(x)
- b) f(-x) = -f(x)
- c) f(x) = f(x)
- d) f(-x) = f(x)
Resposta: d) f(-x) = f(x). Una funció és simètrica respecte de l'eix OY si f(-x) = f(x), el que significa que la funció té el mateix valor per a x i -x.
Com es determinen els punts de tall d'una funció amb l'eix OX?
- a) Resolvent f(x) = 0
- b) Calculant f(0)
- c) Derivant la funció
- d) Integrant la funció
Resposta: a) Resolvent f(x) = 0. Els punts de tall amb l'eix OX es troben resolvent l'equació f(x) = 0, ja que aquests punts són les arrels de la funció.

8. Iniciació a les integrals

Flashcards

Què és una primitiva d'una funció?: És una funció la derivada de la qual és la funció original.
Què són les integrals immediates?: Són integrals que es poden resoldre directament sense necessitat de transformacions.
Propietat bàsica de la integral indefinida?: La integral d'una suma és la suma de les integrals.
Com s'anomena el mètode per integrar productes de funcions?: Integració per parts.

Preguntes tipus test

Què és una primitiva d'una funció?
- a) Una funció que dona l'àrea sota la corba de la funció original.
- b) Una funció la derivada de la qual és la funció original.
- c) Una funció que representa la pendent de la funció original.
- d) Una funció que descriu el comportament asimptòtic de la funció original.
Resposta: b) Una funció la derivada de la qual és la funció original.. Una primitiva d'una funció f(x) és una funció F(x) la derivada de la qual és f(x), és a dir, F'(x) = f(x).
Quina és la integral immediata de ∫ k dx, on k és una constant?
- a) k + C
- b) kx + C
- c) x + C
- d) 0
Resposta: b) kx + C. La integral de una constant k respecte a x és kx + C, on C és la constant d'integració.
Quina és la integral immediata de ∫ sen(x) dx?
- a) cos(x) + C
- b) -cos(x) + C
- c) sec(x) + C
- d) -sec(x) + C
Resposta: b) -cos(x) + C. La integral de sen(x) és -cos(x) + C, ja que la derivada de -cos(x) és sen(x).

9. Càlcul de probabilitats

Flashcards

Què és un succés elemental?: Cadascun dels resultats possibles d'un experiment aleatori.
Defineix espai mostral.: El conjunt de tots els successos possibles d'un experiment aleatori.
Què és el succés impossible?: Un succés que mai no pot ocórrer.
Què és la unió de successos?: Una operació que combina successos, incloent tots els elements dels successos units.

Preguntes tipus test

Quina de les següents operacions amb successos representa la unió de dos successos A i B?
- a) A ∩ B
- b) A ∪ B
- c) A - B
- d) A'
Resposta: b) A ∪ B. La unió de dos successos A i B, representada com A ∪ B, és el conjunt de tots els elements que pertanyen a A, a B o a ambdós.
Quina de les següents opcions defineix millor la intersecció de dos successos A i B?
- a) Els elements que pertanyen a A o a B.
- b) Els elements que pertanyen a A i a B.
- c) Els elements que pertanyen a A però no a B.
- d) Tots els elements possibles.
Resposta: b) Els elements que pertanyen a A i a B.. La intersecció de dos successos A i B, denotada com A ∩ B, conté només els elements que són comuns a A i a B.
Quina és la probabilitat de l'espai mostral E en qualsevol experiment aleatori?
- a) 0
- b) 0.5
- c) 1
- d) Depèn de l'experiment
Resposta: c) 1. La probabilitat de l'espai mostral E, que inclou tots els resultats possibles d'un experiment, sempre és 1, ja que és segur que un d'aquests resultats ocorrerà.

10. Distribució normal. Inferencia estadística

Flashcards

Què és la distribució normal?: Una distribució de probabilitat contínua amb forma de campana, simètrica respecte a la mitjana.
Quins són els paràmetres de la distribució normal?: La mitjana (μ) i la desviació típica (σ).
Com s'interpreta la mitjana en una distribució normal?: Com el centre de la distribució, on es concentren la majoria de les dades.
Què indica la desviació típica en una distribució normal?: La dispersió de les dades al voltant de la mitjana.

Preguntes tipus test

Què representa la mitjana en un conjunt de dades?
- a) La dispersió de les dades
- b) La tendència central de les dades
- c) El valor màxim de les dades
- d) El valor mínim de les dades
Resposta: b) La tendència central de les dades. La mitjana és una mesura de tendència central que indica el valor al voltant del qual es concentren les dades.
Quina és la principal utilitat de la taula de la distribució normal N(0, 1)?
- a) Calcular la mitjana d'una distribució
- b) Calcular probabilitats per a variables normals tipificades
- c) Calcular la variància d'una distribució
- d) Calcular la desviació típica d'una distribució
Resposta: b) Calcular probabilitats per a variables normals tipificades. La taula N(0, 1) permet trobar probabilitats associades a una variable normal amb mitjana 0 i desviació estàndard 1, facilitant el càlcul en problemes d'inferència estadística.
Si la variable X segueix una distribució N(μ, σ), com es tipifica la variable per utilitzar la taula N(0, 1)?
- a) Z = (X + μ) / σ
- b) Z = (X - σ) / μ
- c) Z = (X - μ) / σ
- d) Z = (μ - X) / σ
Resposta: c) Z = (X - μ) / σ. Tipificar una variable implica transformar-la en una variable amb mitjana 0 i desviació estàndard 1, permetent utilitzar la taula N(0, 1) per calcular probabilitats.

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José A. Martínez Martínez, Ana Roldán López, Santiago Vidal Martínez Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Manual práctico para Bachillerato José Antonio Martínez Martínez, Ana Roldán López y Santiago Vidal Martínez Los autores de esta obra son profesores de Matemáticas en Educa- ción Secundaria. Han desarrollado su carrera docente en varios cen- tros, en uno de los cuales coincidieron y gestaron la idea de elaborar una serie de unidades didácticas que, finalmente ha propiciado la materialización de este necesario manual, dirigido tanto a docentes como al alumnado.

Publicaciones recientes de la Consejería de Educación, Formación y Empleo www.educarm.es/publicaciones Manual interactivo de seguridad y manejo de maqui- naria en jardinería [CD] / Blas Martín López y Fer- nando Sánchez Sánchez. Cahier d´activities Sciences de la Nature/ José Qui- ñonero Méndez. Respuestas flexibles en contextos educativos diver- sos: actas del I Congreso Nacional de Dificultades Específicas de Aprendizaje y el VII Congreso Nacio- nal de Tecnología Educativa y Atención a la Diversi- dad / Juan Navarro, Mª Teresa Fernández, Fco.

Ja- vier Soto y Francisco Tortosa (coords.) Familia y Educación: guía práctica para escuelas de Padres y Madres eficaces / Mª Elena de Jorge Mar- tínez, Isabel Ruiz García, Pilar Sánchez Álvarez. XXV Certamen Jóvenes Investigadores 2012. Pre- mios Región de Murcia Ajedrez para la Enseñanza Primaria / Sergio A. Vicente Martínez. Publicaciones accesibles sólo en línea: Construyendo: VII Jornadas Regionales de Educa- ción Infantil / Jornadas Regionales de Educación In- fantil (6ª, 2012, Águilas). El patrimonio como recurso didáctico en la Educa- ción Secundaria y Bachillerato / Carlos Iluminado Sánchez Hidalgo. Guía GESCALI.

Gestión de Calidad para Centros Educativos/ Sara García García Programa Educativo "Rutas tecnológicas"/ Alejandro Pérez Pastor, dir; María Dolores Gómez López, co- José Antonio Martínez Martínez, Ana Roldán López, Santiago Vidal Martínez Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Manual práctico para Bachillerato Edita: © Región de Murcia Consejería de Educación, Formación y Empleo Secretaría General. Servicio de Publicaciones y Estadística www.educarm.es/publicaciones Creative Commons License Deed La obra está bajo una licencia Creative Commons License Deed. Reconocimiento No comercial 3.0 España.

Se permite la libertad de copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra bajo las condiciones de reconocimiento de autores, no usándola con fines comerciales. Al reutilizarla o distribuirla han de quedar bien claros los términos de esta licencia. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor. Nada en esta licencia menoscaba o restringe los derechos morales del autor. © Autores: José Antonio Martínez Martínez/ Ana Roldán López/ Santiago Vidal Mar tínez © Cubierta: Soh Kc I.S.B.N.: 978 84 659 7371 6 1a Edición, junio 2013 Las matemáticas son una gimnasia del espı́ritu y una preparación para la filosofı́a.

Isócrates Agradecimientos Queremos agradecer la elaboración de este libro a Maite Ayala por su incansable ayuda, a Francisco Javier Botella Soler por su colaboración desinteresada, a Aitana, a Josefa y Santiago, a Verónica, Julia y Álvaro, que dan sentido a nuestra vida y fuerzas para seguir luchando todos los dı́as. Prólogo Todos los profesores de Bachillerato estamos de acuerdo en que las Pruebas de Ac- ceso a la Universidad (PAU), se convierten en una gran experiencia para el alumnado, coincidiendo además con uno de los periodos más importantes y crı́ticos del desarrollo personal: adolescencia y juventud.

Como profesores de matemáticas, somos conscientes de la dura prueba a la que se someten, con la particularidad de que esta asignatura provo- ca un estado de ansiedad, que a menudo puede ocasionar malos resultados. Preocupados por ello, decidimos poner en práctica cómo crear un libro de texto de fácil entendimiento, con el contenido básico de segundo de bachillerato, pero que permita que durante todo el curso los alumnos se familiaricen continuamente con las PAU y se les permita una visión positiva de lo aprendido.

Evaluamos nuestra experiencia y vimos lo difı́cil que resultaba proporcionar los contenidos de la materia y su preparación para la prueba selectiva, pues la mayorı́a de las veces la preparación para selectividad se convertı́a en "clases particulares voluntarias" para resolver exámenes de otros años. Por regla general "no hay tiempo" para acabar con los contenidos mı́nimos en las sesiones para este curso. El hecho de acabar el curso antes, endurece la tarea a la hora de ayudar al alumno a preparar la prueba en condiciones óptimas.

Como resultado de todas estas inquietudes y uniendo esfuerzo e ilusión nace este MANUAL, con el que se pretende unir curso-prueba selectiva, de una forma diferente y práctica, ofreciendo tanto al profesor como al alumnado, los conceptos básicos, unidos con los ejercicios de las pruebas selectivas de los últimos años en varias comunidades autónomas.

Hemos unido conceptos, procedimientos y actitudes mediante un método aclaratorio del concepto matemático en todo su fundamento, tal y como lo explicamos en clase, de forma que se convierta para el alumno en un manual útil de preparación para las pruebas, ofreciendo ejercicios selectivos resueltos, ejercicios de práctica de todas las unidades y por supuesto ejercicios propuestos con las soluciones para que el alumnado pueda comprobar lo aprendido.

Pretendemos con este manual, que este último curso de bachillerato de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, aporte al alumno una visión positiva de las matemáticas, potencie sus cualidades ante la asignatura y anime a la nueva etapa de sus vidas, que comenzará después de la prueba selectiva: la llegada a la Universidad o bien su debut en el mundo laboral. Esperamos, con ilusión, que nuestro esfuerzo aporte un grano de arena a la difı́cil tarea de la enseñanza de las Matemáticas y suavice la labor de nuestros compañeros. 4 Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 8 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.

Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Soluciones de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Sistemas dependientes de un parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2. Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.

Matrices 29 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Definición de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2. Producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1. Pasos a seguir para hallar A 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 2.5. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Expresión matricial de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3. Programación lineal 47 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4. Región factible. Puntos extremos . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4. Lı́mites y continuidad 72 4.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2. Concepto de lı́mite. Caracterización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.1. Lı́mites laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 ÍNDICE GENERAL 6 4.3. Lı́mites infinitos y lı́mites en el infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3.1. Lı́mites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 74 4.3.2. Lı́mites en el infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4. Cálculo de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.1. Lı́mites sin indeterminación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.2. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.5.1. Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5. Derivadas 86 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2. Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.3. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3.1. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.4. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6. Aplicaciones de las derivadas 99 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2. Función derivada. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3.

Monotonı́a de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.5. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6. Optimización de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7. Representación de funciones 114 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2.

Esquema para la representación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2.1. Dominio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2.2. Simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2.3. Puntos de corte con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.4. Monotonı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.6. Ası́ntotas y ramas de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.2.7. Esbozo de la gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.3. Ejercicios . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.3.1. Ejercicios resueltos PAU 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.3.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8. Iniciación a las integrales 135 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.2. Primitiva de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.3. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.4. Integrales Semi inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.5. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 137 ÍNDICE GENERAL 7 8.6. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.7. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.8. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.8.1. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.9. Cálculo de áreas de recintos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.10. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.11. Ejercicios resueltos .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9. Cálculo de probabilidades 159 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.2. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3. Definición de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.4. Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.5. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes . . . .

. . . . . . . . . 163 9.6. Tablas de contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.7. Probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.8. Diagramas de árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.9. Fórmula de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.Distribución normal. Inferencia estadı́stica 182 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 182 10.2. Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10.2.1. Parámetros estadı́sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10.2.2. Cálculo de probabilidades en una distribución normal N(0, 1) . . . 184 10.2.3. Variable tipificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.3. Inferencia estadı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3.1. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3.2. Contraste de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 10.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 199 10.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Capı́tulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Introducción Los sistemas de ecuaciones componen la herramienta básica para el estudio de las posiciones relativas en el plano y en el espacio. Aunque, si bien es cierto, dentro de las Ciencias Sociales, deberı́amos prestar más atención a su tratamiento algebraico más que geométrico. Tengamos en cuenta que los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana, que tiene que ver con las Ciencias Sociales.

Dicho lo cual, nos centraremos en la propia resolución de sistemas, dejando, un tanto al margen, su implicación geométrica. Comenzaremos resolviendo sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, mediante el método de reducción, lo que nos llevará al método de Gauss por generalización a más incógnitas. Es decir, el método de Gauss, no es más que el método de reducción, que estudiamos en 3o de ESO, para los sistemas de ecuaciones. Recordemos pues cómo se resolvı́a un sistema de ecuaciones de con dos incógnitas, por el método de reducción. 1.2. Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss El siguiente es un problema para resolver con dos incógnitas. Ejemplo 1.

Dos amigos quedan para ir al cine, y como no saben si tendrán dinero suficiente, ponen todo el dinero que llevan encima de la mesa. Al observar el dinero, uno de los amigos le dice al otro: "¿te has dado cuenta que si me das un euro tendré el doble que tú, y que si yo te lo doy a ti, tendremos la misma cantidad?" ¿Cuánto dinero pone cada uno encima de la mesa? Solución: Llamemos Amigo1 al amigo que habla, y Amigo2 al otro. Sea x el dinero que pone Amigo1 e y lo que pone el Amigo2. Traduzcamos en ecuaciones lo que le dice el Amigo1 al Amigo2. 8 1.2 Sistemas de Ecuaciones.

Método de Gauss 9 Amigo1 x Amigo2 y = x + 1 = 2(y 1) x 1 = y + 1 = x 2y = 3 x y = 2 Si llamamos E1 a la primera ecuación y E2 a la segunda, y realizamos E2 E1, llegaremos a (x y = 2) (x 2y = 3) = y = 5 Sustituyendo en E1 obtenemos el valor de x: x = 2 + y = 2 + 5 = 7 La solución es x = 7 e y = 5. En los sistemas con más incógnitas, procederemos de una forma parecida, es lo que llamaremos método de Gauss. Veamos un ejemplo de lo que queremos decir. Ejemplo 2. Resuelve el sistema de ecuaciones: x + y + z = 3 x 2y + 2z = 1 2x + y + 3z = 6 Solución: Si nos fijamos en el coeficiente de la x en la ecuación 1, nos damos cuenta de que, podemos realizar las operaciones E2 E1 y E3 2E1.

El sistema pasa a ser x + y + z = 3 x 2y + 2z = 1 2x + y + 3z = 6 E2 E1 E3 2E1 x + y + z = 3 3y + z = 2 y + z = 0 3E3+E2 x + y + z = 3 3y + z = 2 2z = 2 Para pasar del segundo sistema al tercero, hemos realizado la operación 3E3 + E2, ya que de esta manera, conseguimos reducir la y de la tercera ecuación. De esta forma, conseguimos un sistema equivalente (mismas soluciones) al primero. En este último sis- tema: de E3 = 2z = 2 = z = 2 2 = z = 1 de E2 = 3y + 1 = 2 = 3y = 3 = y = 3 3 = y = 1 de E1 = x + 1 + 1 = 3 = x = 1 La solución del sistema es x = 1, y = 1 y z = 1. En la resolución del sistema, sólo hemos hecho uso del los coeficientes de las incógni- tas.

Es decir, las operaciones entre ecuaciones, se trasladan a operaciones entre coeficientes y no entre incógnitas. Por ello, y para facilitar el proceso de resolución, introduciremos una herramienta, llamada matriz, que estudiaremos con más detalle en el siguiente tema, pero que podemos introducir ahora. 1.3 Soluciones de un sistema 10 Definición 1. Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas de forma rectangular. Ejemplo 3. La matriz 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 3 6 es una matriz 3 × 4 ya que tiene 3 filas y 4 columnas. La matriz anterior es la matriz del sistema x + y + z = 3 x 2y + 2z = 1 2x + y + 3z = 6 .

En lo sucesivo, a la hora de realizar operaciones entre ecuaciones, trasladaremos éstas a la matriz del sistema. El siguiente ejemplo ilustrará lo dicho. Ejemplo 4. Hallar las soluciones del siguiente sistema: x + y z = 3 3x + 4y z = 5 x + 2y + 3z = 1 Solución: La matriz del sistema es 1 1 1 . . . 3 3 4 1 . . . 5 1 2 3 . . . 1 Podemos realizar las operaciones directamente sobre las filas de la matriz. 1 1 1 . . . 3 3 4 1 . . . 5 1 2 3 . . . 1 F2 3F1 F3 F1 1 1 1 . . . 3 0 1 2 . . . 4 0 1 4 . . . 4 F3 F2 1 1 1 . . . 3 0 1 2 . . . 4 0 0 2 . . . 0 F3 = 2z = 0 = z = 0 2 = z = 0 F2 = y + 2z = 4 = y + 2 · 0 = 4 = y = 4 F1 = x + ( 4) 0 = 3 = x = 7 1.3.

Soluciones de un sistema La matriz asociada a un sistema, siempre puede transformarse en una matriz escalon- ada. Ahora bien, puede ocurrir que, una vez escalonada, presente una de estas formas: 1.3 Soluciones de un sistema 11 1 2 3 . . . 1 0 3 2 . . . 2 0 0 2 . . . 2 Sistema con solución única (compatible de- terminado). Basta con despejar en la F3, z = 1 y sustituir en F2 y después en F1 . 1 2 3 . . . 1 0 3 2 . . . 2 0 0 0 . . . 2 Sistema sin solución (incompatible). De F3 obtenemos que 0z = 2 = 0 = 2. Ésto último representa una contradicción . 1 2 3 . . . 1 0 3 2 . . . 2 0 0 0 . . . 0 o 1 2 3 . . . 1 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 En el primer caso, de F3 podemos deducir que 0 = 0.

Esta afirmación, aunque verdadera, no proporciona nada. Sin embargo, de F2, deducimos que 3y 2z = 2, y puesto que no conocemos el valor de z, debemos asignarle uno arbitrario. Sea z = λ, de F2 sacamos que 3y = 2 + 2z = 3y = 2 + 2λ = y = 2+2λ 3 . De F1 llegamos que x = 1 + 2y 3z = x = 1 + 2 · 2 + 2λ 3 3λ = y = 7 5λ 3 Para la segunda matriz, asignaremos valores y = λ y z = µ.

En ambos casos, diremos que estamos ante un sistema compatible indeterminado Una vez comprendidos los ejemplos anteriores, podemos establecer la clasificación siguiente: Sistema Compatible Determinado (Solución única) Indeterminado (Infinitas soluciones) Incompatible (Sin solución) 1.4 Sistemas dependientes de un parámetro 12 Para que un sistema de ecuaciones sea compatible determinado, es necesario (que aunque no suficiente) que, haya el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Si en un sistema de ecuaciones, hay más ecuaciones que incógnitas, quiere decir que, de entre las ecuaciones hay una o varias redundantes.

Dichas ecuaciones, operando por filas o columnas, desaparecerán Ejercicio 1. Resuelve los sistemas: a) x + y + z = 6 x y z = 4 3x + y + z = 8 b) 3x 2y + z = 1 x + y z = 2 6x + y 2z = 10 Solución: a) Operamos sobre matriz del sistema: 1 1 1 . . . 6 1 1 1 . . . 4 3 1 1 . . . 8 F2 F1 F3 3F1 1 1 1 . . . 6 0 2 2 . . . 10 0 2 2 . . . 10 F3 F2 1 1 1 . . . 6 0 2 2 . . . 10 0 0 0 . . . 0 Estamos ante un sistema compatible indeterminado, pues la última fila es de ceros, y luego, no podemos obtener un valor de z que nos determine una solución única. Ası́ pues, z = λ con λ R. La solución será x = 1, y = 5 λ y z = λ con λ R. b) De nuevo, tomando la matriz del sistema: 3 2 1 . . . 1 1 1 1 . . .

2 6 1 2 . . . 10 3F2 F1 F3 2F1 3 2 1 . . . 1 0 5 4 . . . 5 0 5 4 . . . 7 F3 F2 3 2 1 . . . 1 0 5 4 . . . 5 0 0 0 . . . 2 De F3 sacamos que 0z = 2 = 0 = 2, lo que supone una contradicción. El sistema es incompatible. 1.4. Sistemas dependientes de un parámetro Comencemos resolviendo un sistema, en el que no todos los coeficientes son conoci- dos. Introduciremos un parámetro, m, que representará un número real, que a priori, no conocemos. Ejemplo 5. Resuelve el sistema siguiente: 1.4 Sistemas dependientes de un parámetro 13 x + y + z = 3 2x y + 3z = 2 x + 4y + mz = 2 siendo m R Solución: 1 1 1 . . . 3 2 1 3 . . . 2 1 4 m . . . 2 F2 2F1 F3 F1 1 1 1 . . . 3 0 3 1 . . . 4 0 3 m 1 . . .

1 F3+F2 1 1 1 . . . 3 0 3 1 . . . 4 0 0 m . . . 5 De F3 tenemos que mz = 5, luego z = 5 m . En apariencia, no hay diferencia entre este sistema y otro compatible determinado de los que hayamos visto hasta ahora. Podemos dar la solución z = 5 m , subir a F2 y después a F1 y obtener la solución del sistema, que sabemos es, única. Tendrı́amos pues, una solución dependiendo de m, y dependiendo del valor que tome, habrá una solución u otra. Ahora bien , ¿puede tomar m cualquier valor? Si nos fijamos bien, la expresión 5 m no será un número real cuando m = 0, ya que, m 0 = / R.

Discutir un sistema de ecuaciones, dependiente de un parámetro, es identificar para qué valores del mismo es compatible o no. Distinguiendo si además es compatible determinado o indeterminado. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 6. Discute, y resuelve cuando se pueda, el siguiente sistema según los valores del parámetro m: x + y + 2z = 0 2x y z = 1 x + 3y + mz = 2 Solución: 1 1 2 . . . 0 2 1 1 . . . 1 1 3 m . . . 2 F2 2F1 F3 F1 1 1 1 . . . 3 0 3 5 . . . 1 0 2 m 2 . . . 2 3F3+2F2 1 1 1 . . . 3 0 3 5 . . . 1 0 0 3m 16 . . . 8 De F3 deducimos que (3m 16)z = 8: Si 3m 16 = 0, entonces z = 8 3m 16 no tiene sentido, pues 8 3m 16 = 8 0 / R.

Ası́ pues, si 3m = 16 = m = 16 3 , el sistema es incompatible. 1.4 Sistemas dependientes de un parámetro 14 Si m 6= 16 3 , entonces z = 8 3m 16 R. Es sistema es compatible determinado. De F2 : 3y 5z = 1 y = 1 5z 3 = y = 1 5 · 8 3m 16 3 = 3m+16 40 3m 16 3 = 3m 24 3(3m 16) = m+8 3m 16 De F1: x = y 2z = m + 8 3m 16 2 · 8 3m 16 = m + 8 16 3m 16 = m 16 3m 16 Ejemplo 7. Discute el siguiente sistema según los valores de m: x my + z = 1 x + y + z = m + 2 mx + y + z = 4 Solucion: Hasta el momento, no nos ha hecho falta operar con columnas.

Ahora bien, para este sistema, nos va a interesar permutar la columna 1 por la 3, de esta manera, pasamos el parámetro m a la última columna, lo que nos facilitará los cálculos. Debemos tener en cuanta que, al permutar la columna 1 por la 3, la incógnita x se cambia por la z. 1 m 1 . . . 1 1 1 1 . . . m + 2 1 1 m . . . 4 F2 F1 F3 F1 1 m 1 . . . 1 0 1 + m 0 . . . 1 + m 0 1 + m m 1 . . . 3 F3 F2 1 m 1 . . . 1 0 1 + m 0 . . . 1 + m 0 0 m 1 . . . 2 m De F3: x = 2 m m 1 (recordemos que hemos permutado columnas) Si m 1 = 0, el sistema es incompatible pues z / R. Si m 6= 1, z = 2 m m 1 R De F2: y = 1+m 1+m = 1 si m + 1 6= 0.

El valor de x no influye en el valor de y, pero tenemos una nueva condición para m y es que, si m 6= 1 entonces y = 1 y el sistema es compatible determinado, debido a que, podemos hallar el valor de z sin más que sustituir en F1. Si m 6= ±1 el sistema es compatible determinado. 1.4 Sistemas dependientes de un parámetro 15 Si m = 1 y sustituimos en la matriz: 1 1 1 . . . 1 0 0 0 . . . 0 0 0 2 . . . 3 El sistema es compatible indeterminado. De F3, x = 3 2 . De F1 z + y + x = 1 y sólo tenemos el valor de x, debemos asignar un valor a y o a z. Sea pues z = λ con λ R, y = 1 λ + 3 2 = 5 2λ 2 Para m = 1, el sistema tiene por solución x = 3 2 , y = 5 2λ 2 y z = λ, con λ R. Ejemplo 8.

(Murcia 2005) Discute el siguiente sistema según los los valores de m: 2x y = 4 x + 1 2 y = 2 x + my = 2 Resuélvelo en caso de compatibilidad. Solución: Se trata de un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas. Operando por filas, desaparecerá o una varias de las mismas. 2 1 4 1 1 2 2 1 m 2 2F2 F1 2 1 4 0 0 0 1 m 2 2 1 4 1 m 2 2F2 F1 2 1 4 o 2m + 1 0 De F2 : (2m + 1)z = 0 Si 2m + 1 = 0, es decir, m = 1 2 , la matriz será se convierte en 2 1 4 0 0 0 , lo que nos deja un sistema compatible indeterminado. Sea y = λ con λ R. De F1 deducimos que 2x y = 4 = 2x = 4 + y = x = 4+λ 2 con λ R. Si m 6= 1 2 , entonces y = 0 2m+1 = 0 .

Por tanto, x = 4 + 0 2 = 2 y el sistema será compatible determinado. Ejercicio 2. Discute los siguientes sistemas según los valores de m: 1.5 Resolución de problemas 16 a) 4x + 2y = m x + y z = 2 mx + y + z = 1 Sol. Si m = 3 sistema compatible indeterminado Si m 6= 3 sistema compatible determinado b) 4x + 2y = m x + y z = 2 mx + y + z = 0 Sol. Si m = 3 sistema incompatible Si m 6= 3 sistema compatible determinado c) (m + 1)x + y + z = 3 x + 2y + mz = 4 x + my + 2z = 2 Sol. Si m = ±2 sistema incompatible Si m 6= ±2 sistema compatible determinado 1.5. Resolución de problemas 1.5.1.

Introducción La resolución de problemas, dentro del temas de los sistemas de ecuaciones, pretende que, a partir de un enunciado, demos respuesta a una serie de cuestiones que se nos plantean. El primer paso para resolver un problema, aplicando la resolución de sistemas, es reconocer las incógnitas. Normalmente estaremos ante una situación en la que debamos hallar tres datos. Se trata pues de resolver sistemas de ecuaciones, que en su mayorı́a, serán de tres ecuaciones con tres incógnitas. 1.5.2. Pasos Identificar las incógnitas Como hemos dicho anteriormente, el primer paso será identificar las incógnitas.

Nor- malmente, el enunciado de un problema suele acabar en una pregunta o comenzar con la palabra "halla" . Ya sea mediante pregunta, o de forma directa, del enunciado debemos identificar las incógnitas. Es lo primero que debemos hacer. Ejemplo 9. (Problema propuesto en Cantabria 2005) En una tienda por comprar 2 chaquetas y una blusa nos cobran 200 euros. Si volvemos a la tienda y compramos una chaqueta, un pantalón y devolvemos la blusa, nos cobran 100. Si hacemos una tercera visita a la tienda y compramos 5 chaquetas, un pantalón y una blusa, ¿cuánto nos cobrarán? Para dar respuesta a la pregunta final, podemos preguntarnos por el precio de 5 chaquetas, un pantalón y una blusa.

Fijémonos en que no nos piden el precio de cada uno de los artı́culos, nos piden el precio de 5 chaquetas, un pantalón y una blusa. Nos puede llevar a error, el considerar que nos están pidiendo el precio de cada uno de los artı́culos, ya que en realidad el problema se resuelve de forma inmediata si consideramos los 7 artı́culos a la vez, que por separado. Tendremos pues que: x precio de una chaqueta y precio de una blusa z precio de un pantalón 1.6 Ejercicios resueltos 17 Ejemplo 10. ( Cataluña 2005) Una marca comercial utiliza tres ingredientes A, B y C en la elaboración de tres tipos de pizzas P1, P2 y P3.

La pizza P1 se elabora con 1 una unidad de A, 2 de B y 2 de C; la P2 su elaboración es de 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C; y la P3 se elabora con 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C. El precio de venta al público es de 4, 80 e por la P1, 4, 10 e por la P2 y 4, 90 e por la P3. Sabiendo que el margen comercial (beneficio) es de 1, 60 e en cada una, encontrar cuánto le cuesta cada unidad de A, de B y C a la marca comercial. Está claro que, debemos identificar las incógnitas con el precio por unidad de los tipos de pizzas A, B y C.

Haremos pues, x coste de una unidad de A y coste de una unidad de B z coste de una unidad de C Plantear el sistema Una vez que conocemos las incógnitas, debemos traducir el enunciado al lenguaje algebraico de las ecuaciones lineales. Para ello, en primer lugar, debemos volver a leer el enunciado, de manera que, en una segunda lectura, identifiquemos las incógnitas en las distintas partes del enunciado. En el ejemplo de las pizzas, en una segunda lectura, mentalmente, identificamos: 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C 2x + y + z Una vez que hemos traducido, una tercera o cuarta lectura nos servirá para comprobar que las ecuaciones son coherentes con el enunciado.

Resolver los sistemas En muchos casos aplicaremos Gauss en la resolución de los sistemas que se traducen del enunciado. En otros no será necesario. El problema del primer ejemplo, se resuelve sin necesidad de aplicar Gauss. Sin embargo, en el segundo ejemplo, sı́ que aplicamos Gauss en la resolución del sistema que nos aparece. Comprobar la solución Cuando tengamos la solución, comprobaremos que es coherente con la situación del enunciado. Por ejemplo, si del segundo problema deducimos que el precio de por unidad de A es de 5 e, está claro que hemos cometido un error.

En dicho caso, no sólo nos quedaremos en un repaso de los pasos que damos en las transformaciones, sino que es posible que el error lo hayamos cometido en la traducción. 1.6. Ejercicios resueltos 1. (Murcia, junio de 2009) Estudiar el siguiente sistema para los distintos valores de λ y resolverlo para el valor λ = 1. 1.6 Ejercicios resueltos 18 x + y z = λ x y + 2z = 1 2x + y + λz = 0 Solución: Operamos sobre la matriz del sistema: 1 1 1 . . . λ 1 1 2 . . . 1 2 1 λ . . . 0 F2 F1 F3 2F1 1 1 1 . . . λ 0 2 3 . . . 1 λ 0 1 λ + 2 . . . 2λ F2 2F3 1 1 1 . . . λ 0 0 2λ 1 . . . 1 3λ 0 1 λ + 2 . . . 2λ Si 2λ 1 = 0 = 2λ = 1 = λ = 1 2 En este caso, la matriz queda: 1 1 1 . . . λ 0 0 0 . . .

7 2 0 1 3 2 . . . 1 Lo que nos da un sistema incompatible pues 0 = 7/2 es falso. Para λ 6= 1/2 el sistema es compatible determinado. Y para λ = 1 queda: 1 1 1 . . . 1 0 0 3 . . . 2 0 1 3 . . . 2 De F2 sacamos que z = 2/3 y pasando por F3, y = 5. Por otro lado, juntado y y z en F1, obtenemos x = 7/3. 2. (Murcia, septiembre de 2009) Un señor acertó cinco números en la loterı́a prim- itiva, dos de los cuales eran el 23 y el 30. Propuso a sus hijos que si averiguan los otros tres, se podrı́an quedar con el premio. La suma del primero con el segundo excedı́a en dos unidades al tercero; el segundo menos el doble del primero era diez unidades menor que el tercero y la suma de los tres era 24.

¿Cuáles son los tres números que faltan? Solución: Sean x, y y z los tres números que buscamos; el primero, el segundo y el tercero, y por ese orden. El sistema que formamos es el siguientes: x + y = z + 2 y 2x + 10 = z x + y + z = 2y = x + y z = 2 2x + y z = 10 x + y + z = 24 1.6 Ejercicios resueltos 19 Pasamos el sistema a matriz y aplicamos Gauss: 1 1 1 . . . 2 2 1 1 . . . 10 1 1 1 . . . 24 F2+2F1 F3 F1 1 1 1 . . . 2 0 3 3 . . . 6 0 0 2 . . . 22 1/3F2 1/2F3 1 1 1 . . . 2 0 1 1 . . . 2 0 0 1 . . . 11 De F3 obtenemos que z = 11. De F2 sacaremos que y = 9. Para finalizar, susti- tuyendo los valores de y y z en F1: x = 4. 3.

(Andalucı́a 2009) a) En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 0, 90 m, 1, 50 m y 2, 40 m, cuyos precios respectivos son de 4 e, 6 ey 10 e. Un cliente ha comprado 19 listones, con una longitud total de 30 metros, que le han costado 126 een total. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado este cliente. b) Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones y resuélvalo, si es posible: 3x y z = 0 2x 2y + z = 18 x 3z = 0 Solución: a) Sea x el número de listones de 0, 9 m, y el de 1, 5 m y z el de 2, 4 m.

Podemos plantear en una tabla los distintos datos del problema: Longitud Precio x 0, 9 m 4 e y 1, 5 m 6 e z 2, 4 m 10 e 19 30 m 126 e Observando las columnas de las distintas magnitudes, podemos plantear el sis- tema: x + y + z = 19 0, 9x + 1, 5y + 2, 4z = 36 4x + 6y + 10z = 126 1.6 Ejercicios resueltos 20 b) Para clasificar el sistema, pasamos a la matriz del mismo: 3 1 1 . . . 0 2 2 1 . . . 18 1 0 3 . . . 0 F1 F3 1 0 3 . . . 0 2 2 1 . . . 18 3 1 1 . . . 0 F2 2F1 F3 3F1 1 0 3 . . . 0 0 2 7 . . . 18 0 1 8 . . . 0 ( 2)F3+F2 1 0 3 . . . 0 0 2 7 . . . 18 0 0 9 . . . 18 El sistema es compatible determinado: de F3 9z = 18 = z = 2. De F2 obtenemos que 2y + 7z = 18 = y = 16.

Y de F1 se deduce que x 3( 2) = 0 = x = 6. La solución es ( 6, 16, 2). 4. (Andalucı́a 2009) Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fab- ricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1, 8 y 3, 3 euros, respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35, 6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado. a) Plantee el sistema de ecuaciones que resolverı́a el problema anterior. b) Resuelva el problema.

Solución: a) La siguiente tabla representa los datos del problema: Fábrica A B C Total Peso 250 g 500 g 1 kg 10 kg Precio 1e 1, 8e 3, 3e 35, 6 e La tabla nos permite traducir el problema al lenguaje algebraico de los sistemas: x + y + z = 20 0, 25x + 0, 5y + z = 10 x + 1, 8y + 3, 3z = 35, 6 siendo x, y y z el número de latas de los fabricantes A, B y C, respectivamente. b) Pasamos a matrices: 1 1 1 . . . 20 0, 25 0, 5 1 . . . 10 1 1, 8 3, 3 . . . 35, 6 F2 0,25F1 F3 F1 1 1 1 . . . 20 0 0, 25 0, 75 . . . 5 0 0, 8 2, 3 . . . 15, 6 4F2 1.6 Ejercicios resueltos 21 1 1 1 . . . 20 0 1 3 . . . 20 0 0, 8 2, 3 . . . 15, 6 F1 F2 F3 0,2F2 1 1 1 . . . 20 0 1 3 . . . 20 0 0 0, 1 . . . 0, 4 10F3 1 1 1 .

. . 20 0 1 3 . . . 20 0 0 1 . . . 4 F2 3F3 F1+2F3 1 1 1 . . . 8 0 1 0 . . . 8 0 0 1 . . . 4 Esta matriz deja poco lugar a dudas. x = 8, y = 8 y z = 4. Solución: Hemos comprado 8 latas que provienen de la fábrica A, 8 que provienen de la B y 4 de la C. 5. (Comunidad Valenciana, junio de 2009) Resuelve el sistema: x + y z = 2 2x + z = 3 x + 5y 7z = 4 Si (x, y, 0) es una solución del sistema anterior, ¿cuáles son los valores de x e y? Solución: Pasamos a lenguaje matricial: 1 1 1 . . . 2 2 0 1 . . . 3 1 5 7 . . . 4 F1+F2 F3+7F2 3 1 0 . . . 5 2 0 1 . . . 3 15 5 0 . . . 25 1/5F3 3 1 0 . . . 5 2 0 1 . . . 3 3 1 0 . . . 5 F3 F1 3 1 0 . . . 5 2 0 1 . . . 3 0 0 0 . . .

0 Esta última matriz nos dice que estamos ante un sistema compatible indeterminado. Si x = λ: De F2: 2x + z = 3 = 2λ + z = 3 = z = 3 2λ De F1: 3x + y = 5 = y = 5 3x = y = 5 3λ. La solución es (λ, 5 3λ, 3 2λ) λ R. Si z = 0 entonces λ = 3/2. Lo solución para este valor de λ es (3/2, 1/2, 0). 6. (Comunidad Valenciana, septiembre de 2009) En un sondeo se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma de los que están en contra y los que no opinan.

El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la 1.6 Ejercicios resueltos 22 diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada normativa. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no opinaron. Solución: Sea x el número de entrevistados que están a favor, y el número de los que están en contra y z los que no opinaron. Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: x + y + z = 360 x = 2(y + z) x + y z = 2(x y) = x + y + z = 360 x + 2y + 2z = 0 x 3y + z = 0 Pasamos a matrices: 1 1 1 . . .

360 1 2 2 . . . 0 1 3 1 . . . 0 F3 F1 F2+F1 1 1 1 . . . 360 0 3 3 . . . 360 0 4 0 . . . 360 1/3F2 1/4F3 1 1 1 . . . 360 0 1 1 . . . 120 0 1 0 . . . 90 F1 F2 1 0 0 . . . 240 0 1 1 . . . 120 0 1 0 . . . 90 F2 F3 1 0 0 . . . 240 0 0 1 . . . 30 0 1 0 . . . 90 Solución: 240 están a favor, 90 en contra y 30 no opinan. 7. (Madrid, junio de 2009) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, depen- diente de un parámetro real k: x + y + kz = 4 2x y + 2z = 5 x + 3y z = 0 a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro k. b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 0.

Solución: a) Pasamos el sistema a matrices: 1 1 k . . . 4 2 1 2 . . . 5 1 3 1 . . . 0 F3+F1 F2 2F1 1 1 k . . . 4 0 3 2 2k . . . 3 0 4 k 1 . . . 4 F2+F3 1.6 Ejercicios resueltos 23 1 1 k . . . 4 0 1 1 k . . . 1 0 4 k 1 . . . 4 F3 4F2 1 1 k . . . 4 0 1 1 k . . . 1 0 0 5 + 5k . . . 0 Si 5 + 5k = 0 = k = 1 (SCI). Si k 6= 1 (SCD). b) Un sistema tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado. Ası́ pues, nos piden que resolvamos el sistema para k = 1 1 1 1 . . . 4 0 1 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 F1 F2 1 0 1 . . . 3 0 1 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 Sea z = λ. De F2: y = 1 y de F1 : x = λ + 3, λ R. La solución es ( λ + 3, 1, λ) con λ R c) Si k = 0 la matriz del sistema es 1 1 0 . . . 4 0 1 1 .

. . 1 0 0 5 . . . 0 De F3 : 5z = 0 = z = 0. De F2 : y + z = 1 = y = 1. Y de F1: x + 1 = 4 = x = 3. La solución es (3, 1, 0). 8. (Madrid, septiembre de 2009) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente de un parámetro real k: x + y + z = 3 x + ky + z = 3 kx 3z = 6 a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = 3. Solución: 1.6 Ejercicios resueltos 24 a) Trabajemos sobre la matriz del sistema: 1 1 1 . . . 3 1 k 1 . . . 3 k 0 3 . . . 6 F2 F1 1 1 1 . . . 3 0 k 1 0 . . . 0 k 0 3 . . . 6 Podemos discutir el sistema a partir de F2.

Si k 1 = 0, luego k = 1, tenemos un SCI. Mientras que para k 6= 1 tenemos un SCD ya que (k 1)y = 0 = y = 0. Para x y z basta con sustituir y = 0 y resolver el sistema que queda. b) Si k = 1 hemos dicho que el sistema es compatible indeterminado porque tenemos una fila de ceros: 1 1 1 . . . 3 0 0 0 . . . 0 1 0 3 . . . 6 Añadimos z = λ y como de F3 tenemos que: x 3z = 6 = x 3λ = 6 = x = 6 + 3λ. De F1 obtenemos que x+y+z = 3 de donde 6+3λ+y+λ = 3 = y = 4λ 3. La solución es (6 + 3λ, 4λ 3, λ) λ R. c) Si k = 3: 1 0 1 . . . 3 0 1 0 . . . 0 3 0 3 . . . 6 1/3F3 1 0 1 . . . 3 0 1 0 . . . 0 1 0 1 . . . 2 F3 F1 1 0 1 . . . 3 0 1 0 . . . 0 0 0 2 . . .

1 De F2 obtenemos que y = 0, de F3 podemos deducir que 2z = 1 = z = 1/2 y de F1 sacamos que x + z = 3 = x + 1 2 = 3 = x = 5 2 . La solución es 5 2 , 0, 1 2 9. (Castilla-La Mancha, junio de 2009) Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es 2, 80 euros. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de 20 céntimos y el número de las de 10 céntimos coincidirı́a. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase? Solución: Sea x el número de monedas de 50 céntimos, y las de 20 y z las de 10.

Traducimos el enunciado al lenguaje algebraico de los sistemas: x + y + z = 12 0, 50x + 0, 20y + 0, 10z = 2, 80 y + 1 = z = x + y + z = 12 5x + 2y + z = 28 y z = 1 1.6 Ejercicios resueltos 25 Pasamos a matrices y aplicamos Gauss: 1 1 1 . . . 12 5 2 1 . . . 28 0 1 1 . . . 1 F1 2F2 F3 F2 1 1 0 . . . 11 5 3 0 . . . 27 0 1 1 . . . 1 F2 5F1 1 2 0 . . . 11 0 7 0 . . . 28 0 1 1 . . . 1 1/7F2 1 2 0 . . . 11 0 1 0 . . . 4 0 1 1 . . . 1 F1 2F2 F3 F2 1 0 0 . . . 3 0 1 0 . . . 4 0 0 1 . . . 3 = x = 3 y = 4 z = 5 Solución: Tenemos 3 monedas de 50 céntimos, 4 de 20 céntimos y 5 de 10 céntimos. 10. (Castilla-La Mancha, septiembre de 2009) En una caja hay monedas de 1, de 2 y de 5 céntimos de euro.

El número de monedas de 2 céntimos excede en cuatro unidades a la suma del número de las de 2 céntimos y del número de las de 5 céntimos. El número de monedas de 2 céntimos excede en una unidad al 40 % del número de monedas de 1 céntimo. Sabiendo que si tuviéramos una moneda más de 1 céntimo, el valor de todas ellas serı́a de 50 céntimos, calcula el número de monedas que hay de cada clase. Solución: Sea x el número de monedas de 1 céntimo, y el de 2 céntimos y z el de 5 céntimos. Traduciendo se obtiene: y + z = x + 4 y = 0, 4x + 1 x + 1 + 2y + 5z = 50 = x + y + z = 4 2x + 5y = 5 x + 2y + 5z = 49 Pasamos a la matriz del sistema: 1 1 1 . . . 4 2 5 0 . . . 5 1 2 5 . . .

49 F3+F1 F2 2F1 1 1 1 . . . 4 0 3 2 . . . 13 0 3 6 . . . 45 F3 F2 1 1 1 . . . 4 0 3 2 . . . 13 0 0 8 . . . 32 De F3: 8z = 32 = z = 4. De F2 obtenemos que 3y 8 = 13 = y = 7. Y por último, de F1 podemos deducir que x+y+z = 4 = x+7+4 = 4 = x = 15. Solución: En la caja hay 15 monedas de 1 céntimo, 7 de 2 céntimos y 4 de 5 céntimos. 1.7 Ejercicios propuestos 26 1.7. Ejercicios propuestos 1. (Castilla-La Mancha, septiembre de 2008) En la XXI Olimpiada Nacional de Quı́mica se contrataron 5 autobuses de 55 plazas cada uno, incluida la del conductor, para el transporte de alumnos, profesores y acompañantes.

La suma del 10 % del número de profesores y del 20 % del número de acompañantes excede en una unidad al 10 % del número de alumnos. El número de alumnos duplicarı́a al de profesores en el caso de que hubiera asistido 5 profesores menores. Determina el número de alumnos, de profesores y de acompañantes. Solución: Asisten 150 alumnos, 80 profesores y 40 acompañantes. 2. (Castilla-La Mancha, septiembre de 2008) Un instituto compra 500 paquetes de folios a tres proveedores diferentes a 2, 75; 2, 70 y 2, 80 euros cada paquete, re- spectivamente. La factura total asciende a 1360 euros.

La diferencia entre el número de paquetes suministrados por el 2o y el 3o proveedor, es triple del número de pa- quetes suministrados por el 1o proveedor. ¿Cuántos paquetes suministra cada uno de los proveedores? Solución: El primer proveedor suministra 100 paquetes, el segundo 350 y el tercero 50. 3. (Castilla-La Mancha, septiembre de 2008) Los 147 alumnos de un Instituto participan en un taller de percusión organizado pr el Departamento de Música. Hay tres modalidades: Merengue, Tango y Samba. Si 15 alumnos de los que han elegido Merengue hubieran elegido Samba, entonces ambas modalidades hubieran tenido el mismo número de alumnos inscritos.

La suma del número de inscritos en Merengue y el doble del número de inscritos en Samba excede en 20 al doble del número de inscritos en Tango. Determina el número de alumnos inscritos en cada modalidad. Solución: Hay 62 inscritos en Merengue, 53 en Tango y 32 en Samba. 4. (Comunidad Valenciana, septiembre de 2008) Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo ı́ntegramente comprando un ordenador portátil, una cámara digital y haciendo un viaje. EL precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la suma de los precios de la cámara y del viaje.

Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la mitad del precio inicial, Antonio podrı́a invitar a su hermano al viaje en el caso de que no se comprara la cámara digital y todavı́a le quedarı́an 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje. Solución: El precio del portátil es de 756 e, el de la cámara 344 e y el del viaje 272 e. 5.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 1.7 Ejercicios propuestos 27 a) 2x + y + z = 1 4x + y = 2 2x + 2y + z = 7 Sol: x = 1, y = 2, z = 1 b) 3x 2y + z = 1 x + y z = 2 6x + y 2z = 7 Sol: Incompatible c) x y + 3z = 0 3x 2y 5z + 7w = 31 x + 2y z + 3w = 18 x 3y + z + 2w = 26 Sol: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0 d) x + 2y + 1 = 1 2x + 5y + 1 = 0 3x + 8y + z = 1 Sol: x = 5 3λ, y = 2 + λ, z = λ, λ R 6. (Murcia 2006) Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m.

Resuelve en caso de compatibilidad: a) x + y + z = m 1 2x + y + mz = m x + my + z = 1 Sol: Si m = 1 sistema incompatible Si m 6= 1 sistema compatible determinado b) x y + z = 1 2x y + z = m 3x + 2y mz = 0 Sol: Si m = 2 sistema incompatible Si m 6= 2 sistema compatible determinado c) mx + 3y = 0 mx + my + z = 0 3x + 3y + z = 0 Sol: Si m = 2 sistema compatible indeterminado Si m 6= 3 sistema compatible determinado d) mx + y + z = 1 x + my + z = 1 x + y + mz = 1 Sol: Si m = 1 sistema compatible indeterminado Si m 6= 1 y m = 2 sistema compatible indeterminado Si m 6= 1 y m 6= 2 sistema compatible determinado 7. Dos amigos invierten 20000 e cada uno.

El primero coloca una cantidad A al 4 % de interés, una cantidad B al 5 % y el resto al 6 %. El otro invierte la misma cantidad A al 5 %, la B al 6 % y el resto al 4 %. Determina las cantidades A, B y C sabiendo que el primero obtiene unos intereses de 1050 e y el segundo de 950 e. Solución: A = 5000; B = 5000 e C = 10000 e. 8. (Murcia 2003) En un estudio de mercado, se eligen tres productos, A, B y C y cuatro tiendas. En la primera, por una unidad de cada producto cobran, en total, 4, 25 euros. En la segunda, 2 unidades de A y 3 de C valen 8, 25 euros más que una unidad de B.

En la tercera, una unidad de A y 2 de C valen 4 euros más que 2 unidades de B y, en la cuarta, una unidad de B vale 1, 25 euros menos que una de C. ¿Tienen A, B y C el mismo precio en las cuatro tiendas o no? Si la respuesta es no, justifique por qué y si la respuesta es sı́, diga cuál es ese precio. Solución: No. El sistema en el que se traduce el enunciado es: 1.7 Ejercicios propuestos 28 x + y + z = 4, 25 2x + 3z = 8, 25 x + 2z = 2y + 4 y = z 1, 25 9. (Murcia 2004) Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea 80. Solución: A = 50, B = 40, C = 120. 10.

(Murcia 2006) La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente si se inter- cambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número. Solución: el número buscado es 123. Indicación: un número de tres cifras, como por ejemplo, 345, en nuestro sistema de numeración, se descompone como 3 · 100 + 4 · 10 + 5. Capı́tulo 2 Matrices 2.1. Introducción El estudio del objeto matemático matriz nos va a proporcionar una herramienta importante en la resolución de diversos problemas, que tienen que ver con situaciones de la vida cotidiana.

Sin ir más lejos, hemos visto, como el método de Gauss en la resolución de sistemas, se reduce a una serie de transformaciones, aplicadas a una matriz. La resolución de sistemas nos ayudaron a plantear problemas y hallar la solución de los mismos. Es decir, de partida, ya conocemos una de las muchas aplicaciones que tienen las matrices, no sólo en las Ciencias Sociales, sino en prácticamente todas las parcelas del conocimiento. Ejemplos de lo dicho, pueden ser, la aportación a la Economı́a, a la Fı́sica, a la Biologı́a, incluso a las propias Matemáticas. Comenzaremos con la definición propia de matriz, para posteriormente exponer los distintos tipos de matrices.

Las operaciones entre matrices nos ayudarán a entender que, las podemos tratar como si fueran números, con un cierto grado de comprensión. Es decir, podemos reducir el estudio de matrices, al estudio de letras del tipo A, B, X, sabiendo que forman parte de la ecuación A · X = B Uno de los puntos importantes de la unidad, será el cálculo de la matriz inversa. Recordemos que, el inverso de 2, 2 1 , es 1 2 , de manera que 2x = 3 = 2 1 · 2 · x = 2 1 · 3 = x = 1 2 · 3 = 3 2 . Si sabemos entonces, como hallar X 1 , la solución a la ecuación A · X = B, no es otra que X = A 1 · B. 2.2.

Definición de Matriz Recordemos que, para resolver el sistema x + 2y + z = 9 x y z = 10 2x y + z = 5 29 2.2 Definición de Matriz 30 utilizamos la matriz 1 2 1 . . . 9 1 1 1 . . . 10 2 1 1 . . . 5 . Diremos que esta matriz, es una matriz de dimensión 3 × 4 puesto que tiene 3 filas y 4 columnas. En general, se tiene: Definición 2. Una matriz A, de dimensión m × n, es un objeto matemático del tipo: a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a23 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · am1 am2 am3 · · · amn siendo aij R La entrada aij, es el número real que se encuentra en la fila i columna j.

En ocasiones, para denotar que A es una matriz, no utilizaremos la caja anterior, sino que, escribiremos A = (aij)m,n. De esta manera, estamos diciendo que, la matriz es de dimensión m × n y que las entradas de A son aij. Esto, nos puede ayudar a distinguir a la matriz A de la B, pues podemos escribir B = (bij)m,n, que es una matriz de la misma dimensión pero con distintas entradas. Ejemplo 11. En la matriz del sistema 1 2 1 . . . 9 1 1 1 . . . 10 2 1 1 . . . 5 , a11 = 1, a22 = 1 y a31 = 2. Veamos un ejemplo en el que una matriz nos ayudará a representar una situación de la vida cotidiana. Ejemplo 12.

La matriz A representa los consumos anuales de tres familias α, β, γ, de pan, carne y mantequilla: A = 430 157 8 545 210 1 120 80 3 Es una matriz 3 × 3. La entrada a11 = 430, nos informa que la familia α ha consumido 430 unidades de pan y la entrada a23 = 1, que la familia β ha consumido una unidad de mantequilla. Ejercicio 3. Interpreta el resto de entradas. En lo sucesivo, y conforme vayamos introduciendo nuevos conceptos, veremos distin- tas situaciones representadas por matrices. Pasemos a conocer los distintos tipos de matrices. Definición 3. 2.3 Operaciones con matrices 31 D1 Diremos que una matriz M es una matriz fila o columna cuando conste de una sola fila o una sola columna.

Ejemplo 13. A = (3 4 2, 3 7 ) es una matriz fila, mientras que B = 2 1 0 es una matriz columna. D2 Diremos que una matriz A, de dimensión m × n, es una matriz cuadrada cuando m = n. Diremos en este caso, que la matriz es cuadrada de orden n. La matriz del ejemplo anterior, es una matriz cuadrada de orden 3. D3 Llamaremos diagonal principal de una matriz cuadrada A, a las entradas aii. D4 Se llama matriz traspuesta de una matriz A, denotada por At , a la matriz que resulta de cambiar las filas por las columnas. Esta matriz, es de suma importancia en el cálculo de la matriz inversa (no en este curso).

Si calculamos la traspuesta de la matriz A del ejemplo anterior, llegamos a que A = 430 157 8 545 210 1 120 80 3 = At = 430 545 120 157 210 80 8 1 3 D5 Una matriz A es simétrica si At = A. Ejercicio 4. Encuentra una matriz cuadrada de orden 2 que sea simétrica. D6 Una matriz A se llama triangular (superior o inferior), cuando todas las en- tradas, por debajo o por encima, de la diagonal principal son cero. Ejemplo 14. La matriz 7 1 5 0 0 4 0 1 0 0 1 3 0 0 0 6 es una matriz triangular (superior). D7 Diremos que dos matrices A = (aij)m,n y B = (bij)p,q son iguales, A = B, cuando m = p, n = q y aij = bij.

Una vez que hemos introducido las definiciones básicas, introduciremos las opera- ciones entre matrices. Comenzaremos con la suma de matrices, para continuar con el producto. 2.3. Operaciones con matrices 2.3.1. Suma de matrices Recordemos el ejemplo de las familias α, β y γ. Supongamos por un momento, que el consumo de artı́culos que representa la matriz A, se refiere al año 2004. Pongamos que la 2.3 Operaciones con matrices 32 matriz B = 435 200 5 570 198 3 115 82 5 , representa el consumo de dichas familias, pero esta vez en el año 2005.

Si quisiéramos averiguar el consumo de los artı́culos pan, carne y mantequilla, pero de los dos años, nada serı́a más natural que, realizar la suma, entrada por entrada, de las dos matrices. Luego, la matriz 430 + 435 157 + 200 8 + 5 545 + 570 210 + 198 1 + 3 120 + 115 80 + 82 3 + 5 representa el consumo de las tres familias citadas en los dos años, 2004 y 2005. Al hilo de lo dicho, demos la definición de suma de matrices. Definición 4. Sean dos matrices A y B del mismo orden m × n, A = (aij)m,n y B = (bij)m,n. Se define la suma de A y B, denotado por A + B, como la matriz A + B = (aij + bij)m,n . Es por tanto necesario que las matrices sean de la misma dimensión.

La matriz que representa el consumo en los años 2004 y 2005, es la matriz suma de A y B. 2.3.2. Producto de una matriz por un escalar Definición 5. Diremos que k es un escalar, cuando k R. Es decir, cuando k sea un número real. Sea A = (aij)m,n una matriz de dimensión m × n, y sea k R un escalar. Se define el producto de k por la matriz A, kA, como la matriz kA = (kaij)m,n Ejemplo 15. Sea la matriz A = 1 2 3 3 3 0 2 3 1 , y sea k = 1, entonces ( 1)A = 1 2 3 3 3 0 2 3 1 Es pues lógico, escribir ( 1)A = A. Es decir, A es la matriz que resulta de multiplicar todas las entradas de A por 1.

Si realizamos la suma A + ( 1)A, podemos comprobar que A + ( 1)A = A A = 03, siendo 03 la matriz cuadrada de orden tres cuyas entradas son todas cero. 2.3 Operaciones con matrices 33 Ejercicio 5. Comprueba que A A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ejercicio 6. Sean las matrices: A = 1 0 2 4 1 3 B = 1 0 1 4 1 3 C = 7 1 1 8 10 0 D = 3 1 5 6 2 4 Calcula 2A + 7B + 4C 3D Solución: Lo primero que debemos hacer es hallar las matrices 2A, 7B, 4C, 3D, ya que E = 2A + 7B + 4C 3D = ( 2A) + 7B + 4C + ( 3D) E = ( 2) 1 0 2 4 1 3 + 7 1 0 1 4 1 3 + 4 7 1 1 8 10 0 3 3 1 5 6 2 4 E = 2 0 4 8 2 6 + 7 0 7 28 7 21 + 28 4 4 32 40 0 + 9 3 15 18 6 12 Ahora se trata de sumar las cuatro matrices.

Ni que decir tiene, que para sumar cuatro matrices, debemos aplicar la asociatividad, de la misma manera que la aplicamos cuando sumamos cuatro números. Es decir, podemos sumar todas las entradas a la vez. Tenemos por tanto que: E = 2 7 + 28 + 9 0 + 0 + 4 3 4 + 7 4 15 8 28 + 32 18 2 + 7 40 6 6 + 21 + 0 12 = 28 1 8 22 41 15 Ahora se trata de sumar las cuatro matrices. Ni que decir tiene, que para sumar cuatro matrices, debemos aplicar la asociatividad, de la misma manera que la aplicamos cuando sumamos cuatro números. Es decir, podemos sumar todas las entradas a la vez. Tenemos por tanto que: 2.3.3.

Producto de matrices Para realizar el estudio del producto de matrices, primero debemos darle un sentido a dicha operación. La operación de suma, es bastante intuitiva, ya que al sumarse entrada a entrada, queda claro que lo que hacemos es sumar los datos de una matriz con los de la otra. La información que nos ofrece la suma es clara. Ahora bien, el producto de matrices no se realiza entrada por entrada. Realmente, si tomamos las matrices que nos da la información del consumo de las familias α, β, γ, poco sentido tiene hacer 430·435. Porque, ¿qué información nos ofrece el producto 430 · 435? En primer lugar, daremos la definición de producto de una fila por una columna.

2.3 Operaciones con matrices 34 Definición 6. Sea A = (a1, a2, . . . , an), y sea B = b1 b2 . . . bn . Se define el producto A · B, como (a1, a2, . . . , an) · b1 b2 . . . bn = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn Para definir ahora el producto de dos matrices, veremos que éstas, deben tener cierta conexión. Para empezar, si nos fijamos en el producto anterior, vemos que el números de columnas de la fila, ha de ser el mismo que el número de filas de la columna. Cuando multipliquemos dos matrices, el número de columnas de la primera matriz ha de ser igual al número de filas de la segunda. Definición 7. Sea A = (aij)m,n y B = (bij)n,p (igual número de filas de A que de columnas de B).

Se define el producto de A por B, A·B o AB, como la matriz C = (cij)m,p, siendo cij el número que resulta de multiplicar la fila i de A por la columna j de B. Es decir cij = (ai1, ai2, . . . , ain) · b1j b2j . . . bnj = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj Ejemplo 16. Si A = 2 3 5 7 2 4 y B = 1 6 7 2 0 5 . Si C = AB, siendo C = (cij)2,2, entonces c11 = (2 3 5) · 1 7 0 = 2 · 1 + 3 · 7 + 5 · 0 = 23 c12 = (2 3 5) · 6 2 5 = 2 · 6 + 3 · 2 + 5 · ( 5) = 7 c21 = (7 2 4) · 1 7 0 = 7 · 1 + 2 · 7 + 4 · 0 = 21 c22 = (7 2 4) · 6 2 5 = 7 · 6 + 2 · 2 + 4 · ( 5) = 26 Ejercicio 7.

Calcula, si es posible, el producto de los siguientes pares de matrices: A = 1 2 3 0 9 0 3 2 1 5 0 2 2.4 Inversa de una matriz 35 A = 1 2 6 3 B = 2 4 3 0 1 2 A = 0 2 3 1 0 9 0 3 6 B = 1 2 8 Ejercicio 8. Halla matriz, I3, de dimensión 3 × 3 que, multiplicada por cualquier matriz A de la misma dimensión, la deje igual. Es decir: A · I3 = I3 · A = A La matriz I3 se llama matriz unidad de orden 3. Cuando la tengas, sabrás obtener una matriz unidad de cualquier orden. Solución: Sea A = (aij)3,3, y sea I = (bjk)3,3. Queremos que AI3 = I3A = A, es decir, que cada vez que multipliquemos la fila i de A por la columna j de I3 nos dé aij.

Para aclararnos, Sea C = AI3, C = (cij)3,3, siendo cij el resultado de multiplicar la fila i de A con la columna j de I3. Y queremos que cij = aij. Ası́ que c11 = (a11, a12, a13) · b11 b12 . . . b13 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = a11 Como la matriz I3 la elegimos nosotros, es lo mismo que elegir las entradas bij, luego, podemos elegir b11, b21 y b31, de manera que a11b11 +a12b21 +a13b31 = a11. Ası́ que, tomando b11 = 1, b21 = 0 y b31 = 0, tenemos que a11 · 1 + a12 · 0 + a13 · 0 = a11. Podemos comprobar que I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2.4.

Inversa de una matriz Al principio del tema, se dijo, que un objetivo importante era, dada una matriz A, encontrar otra A 1 (inversa), que nos permitiera resolver AX = B, siendo X y B, matrices. Ahora bien, no siempre se puede hallar A 1 , ya que, a diferencia de los números reales (salvo el cero), no siempre se puede obtener la inversa de otra matriz. En primer lugar, para que a una matriz le podamos calcular la inversa, ésta tiene que ser cuadrada. Sin embargo, esto no es suficiente, nos encontraremos matrices, cuadradas, que no tienen matriz inversa. Demos las definiciones previas al cálculo de la matriz inversa. 2.4 Inversa de una matriz 36 Definición 8.

Sea A una matriz cuadrada de orden n, y sea In la matriz cuadrada del mismo orden, tal que A · In = In · A = A A esta matriz la llamaremos matriz unidad de orden n. Si recordamos el ejercicio 8; vimos que en dicho ejercicio, hallábamos una matriz I3, tal que A · I3 = I3 · A = A, y que I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Se puede comprobar que, en general In = 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 1 Definición 9. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A 1 es la matriz inversa de…

Guia d'Estudi de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II

Índex

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10. Distribució normal. Inferencia estadística

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