Problemes i qüestions resolts de càlcul numèric i anàlisi d'errors

Exercici 1.1. Operacions amb arrodoniment a dos dígits

Efectueu els càlculs següents emprant aritmètica d'arrodoniment amb dos dígits significatius a cada pas:

Exercici 1.1. Operacions amb arrodoniment a dos dígits

Efectueu els càlculs següents emprant aritmètica d'arrodoniment amb dos dígits significatius a cada pas:

$$(0.56 \cdot 0.65) \cdot 0.54, \quad 0.56 \cdot (0.65 \cdot 0.54)$$

a)

b)

Exercici 1.2. Avaluació amb arrodoniment a tres dígits

Calculeu el resultat de l'expressió $\frac{5}{7} - \frac{2}{3}$ treballant amb tres dígits significatius i arrodonint en cada operació elemental.

Exercici 1.3. Nombres en coma flotant i fites d'error

Quins són els nombres reals la representació dels quals en coma flotant amb tres dígits significatius per arrodoniment és $0.257 \cdot 10^{-2}$? Doneu una fita de l'error absolut i de l'error relatiu per a qualsevol d'aquests nombres reals.

a)

b)

c)

d)

Exercici 1.1. Operacions amb arrodoniment a dos dígits

Efectueu els càlculs següents emprant aritmètica d'arrodoniment amb dos dígits significatius a cada pas:

Exercici 1.5. Error relatiu en arrodoniment i truncament

Calculeu (i) exactament, (ii) usant tres dígits significatius i tallant (truncament), i (iii) usant tres dígits significatius i arrodonint. Compareu els errors relatius dels apartats (ii) i (iii):

a.

$\frac{4}{5} + \frac{1}{3}$

b.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}$

c.

$(\frac{1}{3} - \frac{3}{11}) + \frac{3}{20}$

d.

$(\frac{1}{3} + \frac{3}{11}) - \frac{3}{20}$

Exercici 1.6. Pèrdua de precisió en resta de nombres propers

Es vol calcular el valor de $100 - \sqrt{9999}$ efectuant els càlculs amb 4 dígits arrodonits. Quin inconvenient apareix durant el procés? Com es pot resoldre de forma numèricament estable?

Exercici 1.7. Sensibilitat de les arrels respecte al paràmetre

Considereu l'equació:

$$\frac{a}{x} = 0.2 - \frac{x}{100}$$

on $a = 1.000 \pm 0.001$. Resoleu l'equació i analitzeu la repercussió de la incertesa de $a$ sobre les solucions.

Exercici 1.8. Càlcul d'errors en funcions elementals

Donats els valors $a = 2.21 \pm 0.001$, $b = 3.01 \pm 0.001$, $c = 2.05 \pm 0.01$ i $d = 0.452 \pm 0.002$, determineu l'error absolut comès en el càlcul de:

Exercici 1.9. Error en fracció de dissociació química

La fracció de dissociació del $\mathrm{N_2O_4}$ a $45\text{ }^\circ\mathrm{C}$ es calcula a partir de la pressió $P$ (en atm) i de la constant d'equilibri $K_p$ mitjançant l'expressió:

$$\alpha = \sqrt{\frac{K_p}{4P + K_p}}$$

Amb quina exactitud es pot calcular $\alpha$ si $K_p = 0.664 \pm 10^{-3}$ i $P = 10 \pm 10^{-2}\text{ atm}$?

Exercici 1.10. Propagació d'error en càlcul d'àrea

A partir de les dades aproximades $\pi = 3.14 \pm 2\cdot 10^{-3}$, $a = 0.65 \pm 10^{-2}$ i $b = 1.10 \pm 10^{-2}$, s'obté l'àrea $A = \pi^2(b^2 - a^2)$ com $A = 7.764435 \pm \epsilon$ mitjançant la fórmula lineal de propagació d'errors. Trobeu el valor de $\epsilon$.

Exercici 1.11. Estabilitat numèrica en expressions equivalents

Es vol avaluar la quantitat $A = (\sqrt{10} - 3)^4$ coneixent únicament una aproximació $x \approx \sqrt{10}$ amb un nombre finit de decimals. Quina de les fórmules matemàticament equivalents és millor des del punt de vista numèric?

Exercici 1.12. Formes equivalents i cancel·lació catastròfica

Les expressions següents són matemàticament idèntiques:

$$(\sqrt{5} - 2)^2 = \frac{1}{(\sqrt{5} + 2)^2} = (9 - 4\sqrt{5}) = \frac{1}{9 + 4\sqrt{5}}$$

No obstant això, no tenen el mateix comportament numèric. Si només disposem d'un valor aproximat de $\sqrt{5}$, quina és la forma més convenient per dur a terme el càlcul?

Qüestions 1. Preguntes 1-11. Test d'errors i coma flotant

Trieu la resposta correcta per a cadascuna de les qüestions següents relatives al Capítol 1:

a.

Volem calcular $x = (\sqrt{26} - 5)^4$ coneixent $\sqrt{26}$ amb pocs dígits. Quina de les expressions equivalents és la millor?

b.

Volem calcular $A = (\sqrt{17} - 4)^4$ i coneixem $x \approx \sqrt{17}$. Quina fórmula és millor numèricament?

c.

Si 1.142, 2.765 i -4.980 són arrodoniments amb 4 xifres, les cotes dels errors absolut i relatiu en sumar els seus dobles són:

e.

Repetició de la qüestió sobre la suma dels dobles de 1.142, 2.765 i -4.980.

f.

Segons la llei d'Ohm $R = V/I$. Cota de l'error absolut propagat de $R$ si $V = 12 \pm 0.02\text{ V}$ i $I = 0.5 \pm 10^{-3}\text{ A}$:

g.

Sigui $x = 234.\overline{12}$. L'exponent corresponent a l'expressió de $\text{fl}_5(x)$ és:

h.

El $\text{pH}$ és $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$. Si $\text{pH} = 7.0$ amb cota d'error de $0.1$, la cota de l'error de la concentració $[\text{H}^+]$ és:

i.

En moviment uniforme $x = v \cdot t$. Si $t = 1.5\text{ h}$ i $v = 100 \pm 3\text{ km/h}$, l'espai recorregut és:

j.

Sigui $f(x, y) = x + \cos(y)$. Volem calcular $f(a,b)$ amb $a = 0 \pm 2\delta$ i $b = \frac{\pi}{2} \pm \delta$. L'error absolut és aproximadament:

k.

Exponent en coma flotant de $x = 234.\overline{12}$:

Qüestions 1. Preguntes 1-11. Test d'errors i coma flotant

Trieu la resposta correcta per a cadascuna de les qüestions següents relatives al Capítol 1:

d.

Si $x = 2 \pm 0.2$, $y = 1 \pm 0.1$ i $z = 1 \pm 0.2$, l'expressió $x - \frac{y}{z}$ pertany a l'interval:

Exercici 2.1. Substitució regressiva amb tres dígits

Resoleu mitjançant substitució endarrere el sistema triangular següent:

Exercici 2.1. Substitució regressiva amb tres dígits

Resoleu mitjançant substitució endarrere el sistema triangular següent:

$$\begin{pmatrix} 0.114 & 10.2 \\ 0 & 0.318 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11.5 \\ 0.358 \end{pmatrix}$$

Quin valor s'obté per a $x$ si s'arrodoneix cada operació a tres dígits significatius?

Exercici 2.2. Eliminació de Gauss amb i sense pivotatge

Resoleu pel mètode de Gauss treballant amb 4 dígits significatius el sistema lineal:

$$(A|b) = \begin{pmatrix} 0.15 & 2.11 & 30.75 & -26.38 \\ 0.64 & 1.21 & 2.05 & 1.01 \\ 3.21 & 1.53 & 1.04 & 5.23 \end{pmatrix}$$

Compareu el comportament sense pivotatge i amb pivotatge màxim per columnes respecte a la solució teòrica exacta $(1, 2, -1)$.

a)

b)

c)

Exercici 2.3. Matriu triangular per eliminació gaussiana

Apliqueu l'eliminació gaussiana amb pivotatge maximal per columnes a la matriu:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 6 & -3 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Descriviu les operacions elementals o indiqueu la matriu triangular superior final resultant:

Exercici 1.1. Operacions amb arrodoniment a dos dígits

Efectueu els càlculs següents emprant aritmètica d'arrodoniment amb dos dígits significatius a cada pas:

Exercici 1.4. Propagació d'incerteses per intervals i fórmula

Calculeu mitjançant aritmètica d'intervals i compareu amb les estimacions obtingudes mitjançant la fórmula clàssica de propagació d'errors per a les expressions següents:

a.

$$\frac{(20 \pm 0.01)(3 \pm 0.1)}{(2 \pm 0.02)^2}$$

Aritmètica d'intervals:

Fórmula clàssica de propagació d'errors:

b.

$$\sqrt{5.1 \pm 0.6} + \sin(1.5 \pm 0.2)$$

Aritmètica d'intervals:

Fórmula clàssica de propagació d'errors:

Exercici 2.1. Substitució regressiva amb tres dígits

Resoleu mitjançant substitució endarrere el sistema triangular següent:

Exercici 2.4. Recta de regressió lineal per mínims quadrats

Ajusteu les dades de la taula següent mitjançant una funció del tipus $y = a + bx$ emprant el mètode dels mínims quadrats:

$x_i$ · -2 · -1 · 1

$y_i$ · 3 · 1 · 2

Exercici 2.5. Model parabòlic $ax + bx^2$ per mínims quadrats

Ajusteu la taula següent a un model del tipus $y = ax + bx^2$ (sense terme independent):

$x_i$ · -2 · -1 · 1

$y_i$ · 3 · 1 · 2

Exercici 2.6. Ajust de funció racional $ax + b/x$

Tenim la taula de valors següent:

$x$ · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

$y$ · 4.9 · 5.5 · 6.9 · 8.7 · 10.6

Volem aproximar aquestes dades per una funció del tipus $y = ax + \frac{b}{x}$. Determineu els valors de $a$ i $b$ per mínims quadrats.

Exercici 2.7. Ajust de polinomi quadràtic $y = x^2 + ax + b$

Donada la taula de valors:

$x$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

$y$ · 1 · 2 · 4 · 7 · 13

Calculeu la seva aproximació per mínims quadrats de la forma $y = x^2 + ax + b$.

Exercici 2.8. Recta de regressió lineal

Donada la taula:

$x$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

$y$ · 4 · 3.5 · 3 · 2 · 1 · 0.5 · 0

Calculeu la seva recta de regressió (polinomi d'aproximació de grau 1 per mínims quadrats, $y = a + bx$).

Exercici 2.9. Comparació de diferents models de regressió

Ajusteu la taula següent als quatre models donats i indiqueu raonadament quin d'ells sembla més adequat:

$x$ · 0.25 · 0.50 · 0.75 · 1.00 · 1.25 · 1.50 · 1.75

$y$ · 0.40 · 0.50 · 0.90 · 1.28 · 1.60 · 1.66 · 2.02

Raoneu quin model s'ajusta millor (lineal, parabòlic, potencial o exponencial):

Exercici 2.10. Modelització cinètica de descomposició d'H2O2

La descomposició catalitzada del peròxid d'hidrogen $2\mathrm{H_2O_2(aq)} \to 2\mathrm{H_2O(l)} + \mathrm{O_2(g)}$ proporciona les dades de velocitat inicial següents:

$x$ (mol/L) · 0.1 · 0.2 · 0.3 · 0.4

$y$ (µmol/(L s)) · 4.2 · 8.5 · 12.7 · 16.8

Treballant sempre amb tres xifres significatives:

a)

Trobeu els paràmetres òptims dels models (i) $y = a + bx$ i (ii) $y = bx^a$.

b)

Calculeu el vector d'errors residuals per al model lineal (i):

c)

Decidiu quin dels dos models s'ajusta millor a les observacions i justifiqueu-ho:

24. Qüestions 2. Preguntes 1-14. Test d'àlgebra lineal numèrica i ajustos

Seleccioneu l'opció correcta per a les 14 qüestions del Capítol 2:

c.

Resolució amb 4 dígits i pivotatge per columnes del sistema $\begin{pmatrix} 3.842 \cdot 10^{-5} & 0.01233 \\ 0.01233 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.009692 \\ 4.547 \end{pmatrix}$. El valor de $y$ és:

()

f.

Matriu triangular obtinguda per pivotatge maximal per columnes de $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 4 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

()

g.

Resolució amb 3 dígits i pivotatge de $\begin{pmatrix} 0.0000417 & -5.56 \\ 3.27 & 7.84 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.458 \\ 4.21 \end{pmatrix}$.

()

i.

Aritmètica de 4 dígits sense pivotatge per a $\begin{pmatrix} 1.001 & 1.5 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$. Resolució del sistema associat:

()

24. Qüestions 2. Preguntes 1-14. Test d'àlgebra lineal numèrica i ajustos

Seleccioneu l'opció correcta per a les 14 qüestions del Capítol 2:

a.

Recta de mínims quadrats per a:

$x$ · 1 · 2 · 3 · 4

$y$ · 1.10 · 2.90 · 5.05 · 6.95

()

b.

Ajust de dades de tensió-deformació pel model $\varepsilon = b\sigma + c\sigma^2$:

$\sigma$ · 0.06 · 0.25 · 0.47 · 0.70

$\varepsilon$ · 0.08 · 0.20 · 0.25 · 0.29

()

d.

Ajust per mínims quadrats de $a\ln(x) = y^b$ a la taula:

$x$ · 1.1 · 1.2 · 1.7

$y$ · 0.33 · 0.51 · 1

()

e.

Recta de mínims quadrats de $e^x$ sobre $\{-1, -0.5, 0, 0.5, 1\}$:

()

h.

Ajust de la taula pel model $y = A + B\sin x$:

$x$ · 0.00 · 3.00 · 6.00

$y$ · 1.01 · 1.16 · 0.71

()

j.

Ajust lineal $y = a + bx$ sobre consum final:

Any · 1999 · 2000 · 2001 · 2002

$x$ · 486.5 · 520.2 · 553.3 · 590.0

$y$ · 331.0 · 355.0 · 377.1 · 400.4

()

k.

Ajust de la taula pel model $y = A / x^B$:

$x$ · 1.00 · 1.50 · 2.00

$y$ · 0.97 · 0.45 · 0.24

()

l.

Energia d'activació $E_a$ segons la llei d'Arrhenius a partir de:

$T\text{ (K)}$ · 282.3 · 313.6 · 343.8 · 371.7

$k\text{ (cm}^3\text{mol}^{-1}\text{s}^{-1}\text{)}$ · 0.0249 · 0.921 · 19.4 · 212

()

m.

Ajust de paràmetres a la taula per al model $y(x) = \frac{1}{1 + ab^x}$:

$x$ · 0.0 · 0.3 · 0.5

$y$ · 0.28 · 0.20 · 0.18

()

n.

Desintegració radioactiva de dos components $y = Ce^{-t} + De^{-2t}$ per a:

$t$ · 0 · 0.1 · 0.2 · 0.3 · 0.4

$y$ · 2 · 1.7 · 1.5 · 1.3 · 1.1

()

Exercici 3.1. Aproximació d'e i e^(-1) amb Taylor

Fent ós del desenvolupament de Taylor de la funció exponencial, calculeu els nombres $e$ i $e^{-1}$ assegurant un error estrictament inferior a $10^{-4}$.

a)

b)

Exercici 3.2. Polinomi de Taylor de grau 2 per e^x cos(x)

Considereu la funció $f(x) = e^x \cos x$.

a)

$p_2(x) =$

b)

Empreu $p_2(0.5)$ per aproximar $f(0.5)$. Fiteu l'error comès usant la fórmula del residu i compareu-lo amb l'error real.

c)

d)

Exercici 3.3. Demostració de fites mitjançant Taylor

Proveu les desigualtats següents per a tot $x > 0$ mitjançant desenvolupaments de Taylor adients:

a)

Demostreu que: $$1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} \leq \sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2}$$

b)

Demostreu que: $$x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x$$

Exercici 3.4. Desenvolupament en sèrie de potències

Trobeu la sèrie de potències centrada a $x = 0$ i determineu l'interval de validesa per a cadascuna de les funcions següents:

a)

$f(x) = \frac{x}{1-x^2}$

b)

$f(x) = e^{x^3 - 1}$

c)

$f(x) = x^2 \sin x$

Exercici 3.5. Sèrie de Taylor per arctan(x) i aproximació de pi

Considereu la funció $f(x) = \arctan x$.

a)

Calculeu la sèrie de potències de $\arctan x$ utilitzant que $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

b)

Sabent que $\arctan(1) = \pi/4$, trobeu una sèrie numèrica per aproximar el valor de $\pi$.

c)

Quina expressió s'obté en avaluar a $\arctan(1/\sqrt{3}) = \pi/6$?

Exercici 3.6. Límit clàssic no relativista de l'energia cinètica

A la teoria de la relativitat especial, la massa d'un cos en moviment a velocitat $v$ és $m = \frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$, on $m_0$ és la massa en repòs i $c$ la velocitat de la llum. L'energia cinètica es defineix com $K = mc^2 - m_0 c^2$. Demostreu mitjançant un desenvolupament de Taylor que per a velocitats petites ($|v| \ll c$) es recupera la fórmula clàssica $K \approx \frac{1}{2}m_0 v^2$.

Exercici 3.7. Integració per sèrie de potències

Trobeu una expressió en forma de sèrie numèrica per calcular el valor de la integral definida $\int_0^1 \sin(x^2)\,dx$. Donau la suma dels dos primers termes no nuls de la sèrie resultant (en fracció irreducible o expressió numèrica).

a)

b)

Exercici 3.8. Sèrie per a la integral de Gauss

Donau una sèrie de potències per a la funció definida mitjançant la integral $\int_0^x e^{-t^2}\,dt$. Escriviu els tres primers termes no nuls del desenvolupament en potències de $x$.

a)

b)

c)

Exercici 3.9. Taylor per a problema de valors inicials

Calculeu el polinomi de Taylor d'ordre 4 en el punt $x_0 = 0$ de la solució $y(x)$ del problema de valors inicials següent:$$\begin{cases} y' = (x+1)y \\ y(0) = 2 \end{cases}$$

34. Qüestions 3. Preguntes 1-9. Test de polinomis de Taylor i sèries

Responeu a les qüestions següents relatives al Capítol 3:

a. Si $y(x) = \sum_{n\ge 0} a_n(x+1)^n$ i $y^{(k)}(-1) = \frac{1}{2^k}$, l'afirmació certa és:

b. El polinomi de Taylor de grau 5 de $f(x) = \sin(x^2) + \cos(x^2)$ centrat a 0 és:

c. Si les derivades compleixen $|f^{(k)}(x)| \le 3^{-k}k$, l'error en aproximar $f$ a $[-0.5, 0.5]$ pel seu polinomi d'ordre 5 és com a molt:

d. Radi de convergència $R$ de $f(x) = \frac{x}{1+2x} + \exp(x+1)$:

e. Si $|f^{(k)}(x)| \le (k-1)!$, el valor més petit de $n$ perquè $|f(x) - T_n(x)| < 10^{-2}$ a $[-1, 1]$ és:

f. A partir de la taula:

$x$

$f$

$f'$

$f''$

$f'''$

0

2

-1

4

-3

g. Expressió en sèrie per calcular $\int_0^{1/2} \ln(1+x^2)\,dx$:

h. Terme de grau 2 del polinomi de Taylor de $f(x) = \exp(\sqrt{2}x) - 0.9x^2$:

i. Coeficient de grau 3 de $f(x) = \cos(x)\ln(1+x)$ entorn de 0:

Exercici 4.2. Interpolació de Newton amb incorporació de nous punts

A partir de la taula:

$x_k$ · $-1$ · $1$ · $2$ · $2.5$

$f_k$ · $-10$ · $4$ · $0.5$ · $-1.25$

Exercici 4.1. Polinomi d'interpolació de grau 3 per Lagrange i Newton

Trobeu el polinomi de grau 3 que interpola els valors de la taula següent emprant tant la fórmula de Lagrange com el mètode de les diferències dividides de Newton:

$x$ · 0 · 1 · 2 · 4

$f(x)$ · 1 · 5 · 10 · 24

Exercici 4.2. Interpolació de Newton amb incorporació de nous punts

A partir de la taula:

$x_k$ · -1 · 1 · 2 · 2.5

$f_k$ · -10 · 4 · 0.5 · -1.25

a)

b)

c)

Exercici 4.3. Interpolació quadràtica i avaluació en un punt

Sigui $p(x)$ el polinomi d'interpolació de la taula:

$x_i$ · -1 · 1 · 2

$y_i$ · 3 · 1 · 3

Exercici 4.4. Polinomi interpolador a partir de tres punts

Sigui $p(x)$ el polinomi d'interpolació de la taula:

$x_i$ · -1 · 0 · 2

$y_i$ · 6 · 1 · 3

Exercici 4.5. Estimació d'un valor mitjançant interpolador cúbic

D'una funció $f$ es coneixen els valors reflectits a la taula:

$x$ · 3 · 5 · 8 · 9

$y$ · 2 · 3 · 6 · 5

Exercici 4.6. Interpolació de dades de temperatura horària

S'ha mesurat la temperatura en diversos moments d'un matí obtenint:

hora · 8 · 10 · 12 · 14

temperatura (°C) · 5 · 7 · 10 · 15

Exercici 4.7. Polinomi interpolador amb nodes equiespaiats

Calculeu el polinomi d'interpolació $p(x)$ d'una funció $f(x)$ sobre els nodes $a - h$, $a$ i $a + 2h$.

Exercici 4.8. Fita de l'error en interpolació quadràtica

Sigui $f(x) = 3x e^x - e^{2x}$. Aproximeu el valor de $f(1.03)$ mitjançant el polinomi d'interpolació de grau 2 en els nodes $x_0 = 1$, $x_1 = 1.5$ i $x_2 = 1.7$. Compareu l'error exacte amb la fita teòrica obtinguda a partir de la fórmula de l'error.

Exercici 4.9. Comparació de graus en interpolació d'arrel

Donada la taula de la funció $f(x) = \sqrt{x}$:

$x_k$ · 1 · 4 · 9 · 16

$f_k$ · 1 · 2 · 3 · 4

Trobeu els valors aproximats de $f(8)$ per interpolació lineal, quadràtica i cúbica agafant els punts més propers a 8.

Exercici 4.10. Càlcul d'arrels per interpolació inversa

Donada la taula següent d'una funció $f(x)$:

$x$ · 0.1 · 0.2 · 0.3 · 0.4 · 0.5

$f(x)$ · 0.70010 · 0.40160 · 0.10810 · -0.17440 · -0.43750

Exercici 4.2. Interpolació de Newton amb incorporació de nous punts

A partir de la taula:

$x_k$ · $-1$ · $1$ · $2$ · $2.5$

$f_k$ · $-10$ · $4$ · $0.5$ · $-1.25$

Exercici 4.11. Comparació entre Taylor i interpolació de Lagrange per 1/x

Considereu la funció $f(x) = 1/x$.

a.

Trobeu els polinomis de Taylor $p_2(x)$, $p_3(x)$ i $p_4(x)$ entorn de $x_0 = 1$.

b.

Calculeu el polinomi interpolador de Lagrange $q(x)$ associat als nodes $x_0 = 2$, $x_1 = 2.5$ i $x_2 = 4$.

c.

Avalueu la funció i els polinomis als punts $0.5, 1, 2, 2.25, 2.75, 3, 3.5, 4$ i $5$. Comenteu breument el comportament i rang de validesa dels polinomis de Taylor davant del polinomi de Lagrange.

d.

Determineu les fites teòriques d'error per als polinomis de Taylor i d'interpolació.

Exercici 4.2. Interpolació de Newton amb incorporació de nous punts

A partir de la taula:

$x_k$ · $-1$ · $1$ · $2$ · $2.5$

$f_k$ · $-10$ · $4$ · $0.5$ · $-1.25$

Exercici 4.12. Estimació de mínims amb interpolació

A partir de la taula de valors següent:

$x$

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

$y$

5

3

-1

-2

3

5

4

-1

-4

a)

Calculeu el polinomi interpolador de grau menor o igual a 3 associat a les abscisses 0, 1, 2 i 3. Quant val si s'avalua a $x = -1$?

b)

Feu interpolació quadràtica als nodes $-2, -1, 0$ per estimar la posició del mínim local que s'observa a prop de $x = -1$.

Exercici 4.13. Determinació d'extrems d'un polinomi interpolador cúbic

Es disposa de la taula de valors:

$x$

-2

-1

0

1

2

3

$f(x)$

-1

1

3

2

4

7

S'observa l'existència d'un màxim a prop de $x = 0$ i d'un mínim a prop de $x = 1$. Construïu el polinomi interpolador de grau 3 en els punts $x = -1, 0, 1, 2$ i calculeu els extrems relatius de la cúbica resultant $(x_{\max}, f_{\max})$ i $(x_{\min}, f_{\min})$.

•

$x_{\max} =$

$f_{\max} =$

•

$x_{\min} =$

$f_{\min} =$

Exercici 4.14. Interpolació cúbica i fita de l'error màxim

D'una funció $f(x)$ es coneixen els valors següents:

$x_i$

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

$f(x_i)$

4.0

1.0

-0.5

-0.2

0.6

2.2

6.0

a)

Calculeu el valor en el punt $x = -0.15$ del polinomi de grau menor o igual que 3 que interpola la funció en les 4 primeres abscisses ($-0.3, -0.2, -0.1, 0.0$) mitjançant diferències dividides.

b)

Doneu una fita de l'error absolut comès sabent que $\max_{z \in [-0.3, 0.3]} |f^{(4)}(z)| \le 5 \cdot 10^4$.

Exercici 11. Taules de valors i cotes d'error d'interpolació

Considerant les dades i els polinomis interpoladors d'ordre 2, 3 i 4, així com la funció racional $q(x)$ determinats prèviament per a la funció $f(x) = 1/x$ en el conjunt de punts corresponents:

a.

Completeu i avalueu la taula de valors aproximats de $f(x)$ mitjançant $p_2(x)$, $p_3(x)$, $p_4(x)$ i $q(x)$ per a $x \in \{0.50, 1.00, 2.00, 2.25, 2.75, 3.00, 3.50, 4.00, 5.00\}$.

b.

Calculeu els errors absoluts associats $E_2(x)$, $E_3(x)$, $E_4(x)$ i $E_q(x)$ per a cadascun dels punts de l'apartat anterior.

50. Qüestions 4. Interpolació polinomial (Preguntes 1-8)

Responeu a la següent bateria de qüestions d'opció múltiple sobre teoria i pràctica d'interpolació polinomial:

a.

Sigui $f$ tal que les cotes de les seves derivades compleixen $M_k = 2^{-k} k!$. Per interpolar a $[-1, 1]$ amb nodes equiespaiats de manera que l'error de truncament sigui $\le 10^{-10}$, el grau més adequat és:

b.

Sigui $f: [-1,1] \to \mathbb{R}$ i els nodes equiespaiats $x_0 = -1, x_1 = -1/3, x_2 = 1/3, x_3 = 1$. Sigui $P_3(x)$ el polinomi interpolador. Si $|f^{(k)}(x)| \le k^2$ per a $k \ge 1$, la millor cota de l'error per aproximar $f(0)$ és:

c.

El polinomi interpolador de les dades ${(0,3), (1,-1), (2,2)}$ s'expressa com $p(x) = a(x - 1)(x - 2) + bx(x - 2) + cx(x - 1)$. Quant val $c$?

d.

Calculem $f(2.5)$ per a $f(x) = \ln(x)$ interpolant cúbicament en els nodes $1, 2, 3$ i $4$. Una cota de l'error és:

e.

A partir de la taula de dades

$x$

1

2

4

$y$

$-1.5$

$0.0$

$12.9$

($x = 1, y = -1.5$; $x = 2, y = 0.0$; $x = 4, y = 12.9$), si aproximem $y(0)$ amb 3 xifres significatives i arrodoniment obtenim:

f.

Mesurem la posició d'un mòbil segons la taula

$t$

0

1

2

3

$x(t)$

$1.5$

$3.5$

$4.5$

$2.5$

($t = 0 \to 1.5$, $t = 1 \to 3.5$, $t = 2 \to 4.5$, $t = 3 \to 2.5$). La posició a $t = 1.5$ és:

g.

Sigui $f$ amb $|f'(x)| \le 2$, $|f''(x)| \le 3$ i en general $|f^{(k)}(x)| \le k + 1$. Aproximant $f(x)$ a $[0,1]$ per interpolació amb 6 nodes equiespaiats, la millor cota d'error a tot el domini és:

h.

Sigui $f: [-1,1] \to \mathbb{R}$ i nodes $-1, -1/3, 1/3, 1$. Si $|f^{(k)}(x)| \le 10.8k$ per a $k \ge 1$, la millor cota de l'error per aproximar $f(0)$ mitjançant $P_3(0)$ és:

A partir de la taula de valors d'una funció $f(x)$:

$x_i$ · $-0.3$ · $-0.2$ · $-0.1$ · $0.0$ · $0.1$ · $0.2$ · $0.3$

$f(x_i)$ · $-0.5$ · $0.9$ · $2.5$ · $2.1$ · $1.1$ · $-0.8$ · $-2.1$

Exercici 5.1. Fórmules en diferències finites per a tan(x)

Avalueu numèricament la derivada de $f(x) = \tan(x)$ en el punt $a = 1$ mitjançant les tres fórmules següents:

a. Diferències progressives:

$$f'(a) \simeq \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

b. Diferències regressives:

$$f'(a) \simeq \frac{f(a) - f(a-h)}{h}$$

c. Diferències centrades:

$$f'(a) \simeq \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$$

Empreu els passos $h = 0.1$, $h = 0.05$ i $h = 0.02$. Calculeu l'error comès en cada cas respecte del valor teòric exacte.

5.1.a

5.1.b

5.1.c

Exercici 5.2. Terme d'error de fórmula de derivada centrada

Es considera la fórmula d'aproximació de la primera derivada:

$$D(h) = \frac{1}{12h} (f(a+2h) + 4f(a+h) - 4f(a-h) - f(a-2h)) \approx f'(a)$$

Determineu raonadament quin és el primer terme de l'error en el desenvolupament de Taylor en potències de $h$.

5.2

Exercici 5.3. Coeficients d'ordre òptim per a f'(a)

Es vol construir una fórmula d'aproximació de la derivada de la forma:

$$f'(a) \approx \frac{Af(a) + Bf(a+h) + Cf(a+3h)}{h}$$

Trobeu els valors dels coeficients $A$, $B$ i $C$ que proporcionen la màxima precisió possible quan $|h|$ és petit.

5.3

Exercici 5.4. Càlcul de l'acceleració d'un mòbil

Es deixa caure un objecte cap a la Terra i es mesuren les distàncies recorregudes a diferents temps:

t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

r(t)

2

1.969

1.872

1.704

1.448

1.068

5.4.a

Deduïu una fórmula per a l'acceleració $r''(a)$ mitjançant la segona derivada del polinomi interpolador en els nodes $a$, $a+h/2$, $a+h$ i apliqueu-la per a $a = 1.5$ amb $h = 1$.

5.4.b

Una fórmula alternativa de segona derivada és:

$$r''(a) = \frac{r(a+h) - 2r(a) + r(a-h)}{h^2} - \frac{r^{(4)}(\xi)}{12}h^2$$

Calculeu l'acceleració per a $a = 1.5$ i $h = 1$ emprant aquesta segona fórmula.

Exercici 5.5. Integració numèrica d'1/ln(x)

Avalueu aproximadament la integral $\int_2^3 \frac{\mathrm{d}x}{\ln x}$ substituint la funció integrant pel seu polinomi interpolador de segon grau en els punts $x = 2$, $x = 2.5$ i $x = 3$.

Exercici 5.6. Nombre de subintervals en la regla del trapezi

Es desitja aproximar $\int_1^{1.4} f(x)\,\mathrm{d}x$ mitjançant la fórmula dels trapezis composta amb un error estrictament inferior a $10^{-5}$. Suposant que per a tot $x \in [1, 1.4]$ es té $|f''(x)| < 12$, quin és el nombre mínim de subintervals $n$ que cal emprar?

Exercici 5.7. Integració numèrica a partir de dades discretes

A partir de la taula de valors d'una funció $f(x)$:

$x_i$ · $-0.3$ · $-0.2$ · $-0.1$ · $0.0$ · $0.1$ · $0.2$ · $0.3$

$f(x_i)$ · $-0.5$ · $0.9$ · $2.5$ · $2.1$ · $1.1$ · $-0.8$ · $-2.1$

Calculeu aproximadament $\int_{-0.2}^{0.2} f(x)\,\mathrm{d}x$:

a)

Amb la fórmula dels trapezis utilitzant passos $h = 0.4$, $h = 0.2$ i $h = 0.1$:

b)

Mitjançant la regla de Simpson amb pas $h = 0.2$:

A partir de la taula de valors d'una funció $f(x)$:

$x_i$ · $-0.3$ · $-0.2$ · $-0.1$ · $0.0$ · $0.1$ · $0.2$ · $0.3$

$f(x_i)$ · $-0.5$ · $0.9$ · $2.5$ · $2.1$ · $1.1$ · $-0.8$ · $-2.1$

a)

Demostreu que l'ordre de la fórmula de derivació següent és $3$ (és a dir, l'error és $Ch^3 + O(h^4)$):

$$f'(a) \approx \frac{-2f(a-h) - 3f(a) + 6f(a+h) - f(a+2h)}{6h}$$

b)

Avalueu aproximadament $f'(-0.1)$ emprant la fórmula anterior amb passos $h = 0.2$ i $h = 0.1$.

A partir de la taula de valors d'una funció $f(x)$:

$x_i$ · $-0.3$ · $-0.2$ · $-0.1$ · $0.0$ · $0.1$ · $0.2$ · $0.3$

$f(x_i)$ · $-0.5$ · $0.9$ · $2.5$ · $2.1$ · $1.1$ · $-0.8$ · $-2.1$

c)

Calculeu aproximadament $\int_{-0.2}^{0.2} f(x)\,dx$ mitjançant la fórmula de Simpson amb pas $h = 0.2$.

Exercici 5.9. Interpolació, derivació i integració de sin^2(x)

Es considera la funció $f(x) = \sin^2(x)$.

a)

Trobeu el polinomi interpolador $p(x)$ en els nodes $0, \pi/2, \pi$.

b)

Avalueu $f(2.1)$ aproximadament mitjançant $p(2.1)$.

c)

Donau una cota aproximada de l'error comès en avaluar $p(2.1)$.

d)

Trobeu una cota de l'error màxim en l'interval $[0, \pi]$.

e)

Doneu una aproximació de $f'(2.1)$ mitjançant $p'(2.1)$.

j)

Aproximau $\int_0^\pi f(x)\,dx$ integrant el polinomi $p(x)$ de l'apartat (a).

Exercici 5.9. Interpolació, derivació i integració de sin^2(x)

Es considera la funció $f(x) = \sin^2(x)$.

f)

Deduïu la fórmula de la primera derivada en $a$ mitjançant interpolació en els nodes $a - 2h, a - h, a, a + 2h$.

g)

Trobeu l'ordre de l'error d'aquesta darrera fórmula.

h)

Apliqueu la fórmula amb $h_1 = 10^{-2}$ i $h_2 = 10^{-2}/2$ per estimar $f'(2.1)$.

i)

Trobeu la fórmula per a la segona derivada $f''(a)$ en els mateixos nodes i determineu el seu ordre d'error.

Exercici 5.9. Interpolació, derivació i integració de sin^2(x)

Es considera la funció $f(x) = \sin^2(x)$.

k)

Calculeu $\int_0^\pi f(x)\,dx$ mitjançant la regla dels trapezis amb 4 subintervals i fiteu l'error.

l)

Calculeu la mateixa integral amb trapezis i passos $h_1 = \pi/4$ i $h_2 = \pi/8$.

m)

Quants subintervals calen per tenir un error inferior a $10^{-5}$ si s'empra la fórmula de Simpson?

A partir de la taula de valors d'una funció $f(x)$:

$x_i$ · $-0.3$ · $-0.2$ · $-0.1$ · $0.0$ · $0.1$ · $0.2$ · $0.3$

$f(x_i)$ · $-0.5$ · $0.9$ · $2.5$ · $2.1$ · $1.1$ · $-0.8$ · $-2.1$

Qüestions 5. Derivació numèrica (Preguntes 1-8)

Responeu a la bateria de qüestions sobre derivació numèrica:

a)

La posició d'un mòbil és $x(0) = 0$, $x(0.5) = 1$, $x(1) = 3$. Calculant el polinomi interpolador, la velocitat i acceleració a $t = 1$ són:

b)

D'una funció es coneix: $f(1.9) = 12.7032$, $f(2.0) = 14.7781$, $f(2.1) = 17.1490$. Emprant fórmules centrades, quines aproximacions s'obtenen per a $f'(2.0)$ i $f''(2.0)$?

c)

Per calcular $f'(a)$ quan $h$ és petita, quina fórmula és millor?

d)

Se sap que $f'(a) = \frac{1}{12h}(f(a - 2h) - 8f(a - h) + 8f(a + h) - f(a + 2h)) + \frac{h^4}{30}f^{(5)}(\eta)$. Si les derivades estan fitades per $10^n$ i l'error d'arrodoniment és $5 \cdot 10^{-5}$, quin pas $h$ minimitza l'error?

e)

L'ordre de l'error de la fórmula $f'(a) \approx \frac{-11f(a) + 18f(a+h) - 9f(a+2h) + 2f(a+3h)}{6h}$ és:

f)

El resultat d'aproximar $f'(1.70)$ amb derivació endarrere a partir de la taula ($x = 1.67$, $f = 0.955$; $x = 1.70$, $f = 0.127$) és:

g)

Aproximant $f'(4.5)$ a partir de $f(4.506) = 1.23378$ i $f(4.494) = 1.21227$ s'obté:

h)

El valor aproximat de la derivada de $f(x) = x^x$ a $a = 1.5$ amb diferències centrades i $h = 0.1$ és:

A partir de la taula de valors d'una funció $f(x)$:

$x_i$ · $-0.3$ · $-0.2$ · $-0.1$ · $0.0$ · $0.1$ · $0.2$ · $0.3$

$f(x_i)$ · $-0.5$ · $0.9$ · $2.5$ · $2.1$ · $1.1$ · $-0.8$ · $-2.1$

Responeu a la bateria de qüestions sobre integració numèrica:

.

Considerant l'equació $e^x = 3x$:

a)

Determineu quantes solucions té i trobeu, per a cadascuna d'elles, un interval d'amplada 0.25 que la contingui.

b)

Apliqueu el mètode de Newton per determinar les arrels amb almenys quatre xifres decimals exactes.

c)

Apliqueu el mètode de la secant per obtenir les mateixes arrels amb una precisió de quatre xifres decimals exactes.

Exercici 6.2. Zeros de l'equació x^2 = cos(x)

Considerant l'equació $x^2 = \cos(x)$:

a.

Determineu el nombre de solucions i trobeu per a cadascuna un interval d'amplada $0.25$ que la contingui.

b.

Apliqueu el mètode de Newton per determinar les arrels amb quatre xifres decimals exactes.

c.

Apliqueu el mètode de la secant per trobar les mateixes arrels amb quatre xifres decimals exactes.

Exercici 6.3. Mètode de Newton per a un polinomi cúbic

Es vol resoldre l'equació $3x^3 - 13x^2 + 15x - 3 = 0$ mitjançant el mètode de Newton amb valor inicial $x_0 = 1$. Determineu raonadament quant val l'iterat $x_{15}$.

Exercici 6.4. Anàlisi i mètodes iteratius per a exp(x)+exp(-x)-x-4=0

Considerant l'equació $e^x + e^{-x} - x - 4 = 0$:

a.

Determineu el nombre de solucions i trobeu per a cadascuna un interval d'amplada 0.25 que la contingui.

b.

Apliqueu el mètode de Newton per determinar les arrels amb quatre xifres decimals exactes.

c.

Apliqueu el mètode de la secant per calcular les arrels amb quatre xifres decimals.

d.

Per trobar la solució positiva, quin dels esquemes iteratius següents és convenient? Quantes iteracions calen per assegurar quatre xifres decimals exactes?

Exercici 6.5. Arrel d'un polinomi cúbic i punt fix

El polinomi $f(x) = 50x^3 + 105x^2 + 13x - 0.2$ té una arrel situada a l'interval $[-0.2, -0.1]$.

a.

Trobeu-la amb 5 decimals correctes emprant el mètode de Newton.

b.

Si busquéssim aquesta mateixa arrel iterant la funció:

$$g(x) = -\frac{50x^3 + 105x^2 - 0.2}{13}$$

Hi hauria convergència del mètode iteratiu de punt fix?

Sí

No

Una barreja equimolecular de monòxid de carboni i oxigen assoleix l'equilibri a una temperatura $T = 300^\circ\text{K}$ i pressió de $5\text{ atm}$. L'equació d'equilibri químic que determina la fracció molar restant de CO, $x$, és:

$$K_p = \frac{(1-x)(3+x)^{1/2}}{x(x+1)^{1/2}P^{1/2}}, \quad 0 < x < 1$$

Sabent que $K_p = 3.06$ i $P = 5\text{ atm}$, determineu el valor de $x$ amb 6 xifres significatives.

$x =$

Qüestions 6. Zeros de funcions (Preguntes 1-8)

Responeu a la bateria de qüestions d'opció múltiple sobre zeros de funcions:

a.

Quin dels següents mètodes iteratius és millor per trobar l'arrel de $f(x) = 2\cos x - 3x^2 + 5x + 1$ més propera a $x = -0.5$?

b.

La funció $f(x) = e^{-3x} - 5x$ té una arrel entre $0.0$ i $0.2$. Si iterem amb la secant usant $x_0 = 0.0$ i $x_1 = 0.2$, $x_3$ val:

c.

Per calcular el zero de $f(x) = x^{12} - 2$ $(\sqrt[12]{2})$, quin mètode iteratiu és millor?

d.

En resoldre $\cos x - x^2 + 1 = 0$ amb Newton i $x_0 = 1$, quin iterat dóna un error de com a molt $0.001$?

e.

Volem calcular el zero de $f(x) = e^{-x^2} - x^2$ proper a $x_0 = 0.75$. Quina funció d'iteració és més adequada?

f.

En resoldre $\frac{3}{2}\cos(x/2) - 5\sin x = 0$ amb Newton i $x_0 = 1.0$, el primer iterat amb $|f(x_n)| < 10^{-3}$ és:

g.

La funció $f(x) = e^{-2x} - 4x$ té una arrel a $[0.0, 0.3]$. Amb la secant i $x_0 = 0.0, x_1 = 0.3$:

h.

Quin mètode és millor per trobar l'arrel de $\sin x - 2x^2 + 3$ més propera a $x = -1$?

Exercici 7.1. Mètode d'Euler per a x'=x^2+t

Sigui $x(t)$ la solució del problema de valor inicial:$$\begin{cases}\dot{x} = x^2 + t, \\ x(1) = 2.\end{cases}$$Estimeu el valor de $x(1.2)$ emprant el mètode d'Euler amb pas $h = 0.1$.

a)

b)

Exercici 7.2. Euler explícit i implícit per a x'=1+t+x^2 sin(x)

Donat el problema de valors inicials:$$\begin{cases}\dot{x} = 1 + t + x^2\sin(x), \\ x(0) = 1,\end{cases}$$utilitzeu els mètodes d'Euler i d'Euler implícit amb pas $h = 0.1$ per aproximar $x(1)$.

a)

b)

c)

Donat el problema de valor inicial:$$\begin{cases} \dot{x} = x^2 + \sin(t), \\ x(0) = 1, \end{cases}$$estimeu el valor de $x(0.2)$ emprant el mètode d'Euler amb pas $h = 0.1$.

Considereu l'equació diferencial de segon ordre:$$y'' = yy' + \sin(y); \quad y(\pi) = 1, \quad y'(\pi) = 0$$

a)

Reescriviu-la com un sistema d'equacions diferencials ordinàries de primer ordre equivalent definint $u_1 = y$ i $u_2 = y'$, i formuleu el mètode d'Euler associat.

b)

Calculeu els valors aproximats de $u_{1,1}$ i $u_{2,1}$ (és a dir, després del primer pas amb $h = \pi/4$):

Considereu el problema de valor inicial:$$y' = 2y - 1; \quad y(0) = 1$$

a)

Aïlleu $y_{n+1}$ en la fórmula d'Euler implícit $y_{n+1} = y_n + h(2y_{n+1} - 1)$ expressant-la en funció de $y_n$ i $h$:

b)

Calculeu el valor aproximat de $y(0.2)$ amb pas $h = 0.2$ (un sol pas) i amb pas $h = 0.1$ (dos passos):

Es llencen dos daus equilibrats i es consideren els esdeveniments:$$A = \{\text{el resultat del primer dau és } 1, 2 \text{ o } 3\}$$$$B = \{\text{el resultat del segon dau és } 3, 4 \text{ o } 5\}$$$$C = \{\text{la suma dels punts és } 9\}$$

a)

Són $A$ i $B$ independents?

Sí

No

b)

Són $A$ i $C$ independents? Calculeu $P(C|A)$:

Sí

No

c)

Són $B$ i $C$ independents? Calculeu $P(C|B)$:

Sí

No

Una família té 5 fills. Suposant que la probabilitat que neixi un noi és $1/2$ de manera independent per a cada fill, quina és la probabilitat que en aquesta família hi hagi com a mínim un noi?

Exercici 8.3. Nombre de tirs necessaris a una diana

Un projectil encerta a la diana amb una probabilitat de $0.3$ en cada intent independent. Quantes vegades cal disparar com a mínim per garantir una probabilitat d'almenys el $80\%$ d'encertar la diana com a mínim un cop?

vegades