Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums

I 0 flashcards i 14 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS FÍSICA II Grau en Química Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts complets de Física II per a Química (UB): electrostàtica, circuits de CC, electromagnetisme, ones i òptica geomètrica amb formulari per a exàmens. APREN.AI Índex Electrostàtica 1 Càrrega elèctrica, Llei de Coulomb i Camp Elèctric 1. Naturalesa i propietats fonamentals de la càrrega elèctrica 2. Aproximació de càrrega puntual i Llei de Coulomb 3. Principi de superposició i càlcul de forces electrostàtiques 4. Camp elèctric creat per càrregues puntuals 5.

Línies de camp elèctric i interpretació gràfica 2 Distribucions contínues de càrrega, Flux i Teorema de Gauss Densitats de càrrega i integració contínua Flux del camp elèctric Teorema de Gauss i selecció de superfícies simètriques Aplicacions fonamentals de la llei de Gauss Circulació i caràcter conservatiu del camp electrostàtic 3 Potencial Elèctric — Treball, Potencial, Gradient i Dipol Elèctric Treball electrostàtic i energia potencial El potencial elèctric i sistemes de càrregues puntuals Superfícies equipotencials i moviment de càrregues Relació diferencial: el gradient de potencial El dipol elèctric i la seva interacció amb camps externs 4 Conductors i Condensadors — Equilibri electrostàtic, Influència i Capacitat Equilibri electrostàtic en conductors Cavitats conductores i apantallament electrostàtic Capacitat elèctrica i conductor esfèric Fenomen d'influència electrostàtica 5 Condensadors i Dielèctrics — Tipus, Associacions i Energia Emmagatzemada Fonaments i geometria del condensador pla Associacions de condensadors: paral·lel i sèrie Energia electrostàtica emmagatzemada Efecte dels materials dielèctrics: aïllament vs.

bateria connectada 6 Corrent Continu — Intensitat, Densitat de corrent i Llei d'Ohm Naturalesa del corrent elèctric i velocitat de deriva Vector densitat de corrent Llei d'Ohm puntual i macroscòpica Associació de resistències elèctriques Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 1 7 Circuits de Corrent Continu — Balanç de potència i Lleis de Kirchhoff Generadors, força electromotriu i balanç energètic Balanç de potència elèctrica en règim estacionari Associacions bàsiques de resistències Primera llei de Kirchhoff: regla dels nusos Segona llei de Kirchhoff: regla de les malles 8 Camp Magnètic — Interacció Magnètica, Llei de Biot-Savart i Teorema d'Ampère 1.

Fonaments de la interacció magnètica 2. Camp magnètic d'una càrrega mòbil i Llei de Biot-Savart 3. Flux magnètic i caràcter solenoidal 4.

Circulació i Teorema d'Ampère 9 Forces Magnètiques — Força de Lorentz i Acció sobre Corrents Acció d'un camp magnètic sobre càrregues puntuals mòbils Treball i tipus de trajectòries en camps uniformes Acció d'un camp magnètic sobre conductors amb corrent Interacció magnètica entre corrents rectilinis paral·lels 10 Inducció Electromagnètica — Llei de Faraday-Lenz i Camp Elèctric Induït El fenomen de la inducció electromagnètica La llei de Faraday-Lenz i el càlcul del corrent induït Naturalesa física de la fem: barra mòbil versus camp elèctric induït 11 Inducció — Autoinducció, Inducció Mútua i Energia Magnètica Autoinducció i coeficient d'autoinducció Força electromotriu d'autoinducció en transitoris Inducció mútua entre circuits acoblats Energia magnètica i densitat d'energia 12 Ones Electromagnètiques — Equacions de Maxwell i Radiació 1.

Les equacions fonamentals de Maxwell i el corrent de desplaçament 2. Ona electromagnètica plana i estructura transversal 3. Polarització lineal i llei de Malus 4. Balanç energètic, vector de Poynting i intensitat de radiació 5.

L'espectre electromagnètic Òptica Geomètrica 13 Reflexió, Refracció i Òptica de Miralls Model del raig lluminós i índex de refracció Principi de Fermat i lleis de la reflexió i de la refracció Reflexió total interna i angle crític Dispersió cromàtica i miratges Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 2 Òptica geomètrica de sistemes reflectants: Miralls plans Miralls esfèrics: Criteri de signes i equació paraxial Traçat de raigs i augment lateral 14 Dioptres, Lents Primes i Aberracions Criteri de signes en superfícies refractores Refracció en superfícies esfèriques: el dioptre esfèric El dioptre pla i la profunditat aparent Lents primes i l'equació del fabricant de lents Tipus de lents i potència diòptrica Traçat de raigs característics i formació d'imatges Aberracions òptiques: esfèrica i cromàtica 15 Formulari 1.

Electrostàtica i Llei de Gauss 2. Potencial Elèctric i Dipol 3. Conductors, Condensadors i Dielèctrics 4. Corrent Continu i Circuits de Kirchhoff 5. Magnetisme i Forces Magnètiques 6. Inducció Electromagnètica i Equacions de Maxwell 7. Òptica Geomètrica: Miralls, Dioptres i Lents Constants fonamentals i errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions. Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important.

Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 3 1 Càrrega elèctrica, Llei de Coulomb i Camp Elèctric EN ACABAR SABRÀS Formular i aplicar la Llei de Coulomb vectorial per determinar la interacció entre càrregues puntuals. Calcular la força resultant i el camp elèctric total mitjançant el principi de superposició vectorial. Interpretar i traçar diagrames de línies de camp elèctric deduïnt el signe i la magnitud relativa de les fonts. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si freguem una barra de vidre i adquireix una càrrega elèctrica positiva, s'ha creat càrrega de la nada o d'on prové? L'electrostàtica estudia les forces i els camps produïts per distribucions de càrrega elèctrica en repòs.

Per comprendre aquests fenòmens, cal analitzar les propietats fonamentals de la càrrega, la interacció mútua entre partícules i la pertorbació que aquestes generen en l'espai circumdant. ESQUEMA Estructura del tema d'Electrostàtica Electrostàtica 1 Càrrega elèctrica, Llei de Coulomb i Camp Elèctric 2 Distribucions contínues de càrrega, Flux i Teorema de Gauss Càrrega elèctrica Conservació i quantització fonamental Llei de Coulomb Interacció entre càrregues puntuals Superposició Suma vectorial de forces Camp elèctric Força per unitat de càrrega Càrregues puntuals Camp radial divergent o convergent Línies de camp Representació gràfica del camp Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 4 1.

Naturalesa i propietats fonamentals de la càrrega elèctrica La matèria ordinària conté àtoms formats per protons, neutrons i electrons. Un desequilibri entre aquests components dota el cos d'una càrrega elèctrica neta: Càrrega positiva: es produeix quan un cos perd electrons i predominen els protons. Càrrega negativa: s'obté quan la matèria adquireix un excés d'electrons. Les càrregues del mateix signe experimenten repulsió mútua, mentre que les de signe oposat s'atreuen mútuament.

DEFINICIÓ La quantització de la càrrega estableix que la càrrega elèctrica observable a la natura sempre es presenta com un múltiple enter de la càrrega elemental : on és un nombre enter i la càrrega fonamental val (aproximadament ). A escala macroscòpica el valor de és immens, per la qual cosa aquesta discontinuïtat resulta imperceptible en la vida quotidiana. D'acord amb la llei de conservació de la càrrega, la càrrega neta d'un sistema aïllat roman constant. Per exemple, en fregar dos materials neutres entre si, un cedeix electrons i adquireix càrrega positiva, mentre que l'altre captura exactament aquests electrons i es carrega negativament. La suma global de càrrega es manté invariable.

Al Sistema Internacional (SI), la unitat fonamental de càrrega és el coulomb (C). Un coulomb equival a la quantitat de càrrega que travessa la secció transversal d'un conductor durant un segon quan hi circula un corrent elèctric d'un ampere (1 C = 1 A·s). COMPROVA-HO 2 Quants electrons cal transferir a un objecte neutre perquè adquireixi una càrrega neta de -1 nC? 2. Aproximació de càrrega puntual i Llei de Coulomb Una càrrega puntual és una idealització física que descriu un cos carregat les dimensions geomètriques del qual són menyspreables en comparació amb la distància als punts on s'avaluen els seus efectes.

Si un objecte extens no compleix aquest requisit, cal descompondre'l en elements diferencials de càrrega prou petits per tractar-los individualment com a puntuals (vegeu «Electrostàtica — Distribucions contínues de càrrega, Flux i Teorema de Gauss»). Q e Q = ±Ne N e = 1,602177 10 C 19 1,60 10 C 19 N Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 5 Diagrama de posició vectorial relatiu entre dues càrregues puntuals en un sistema. La interacció electrostàtica entre dues càrregues puntuals en repòs ve descrita per la llei de Coulomb.

La magnitud de la força és proporcional al producte de les càrregues i inversament proporcional al quadrat de la distància de separació, actuant en la direcció de la recta que les uneix. Formulada en termes vectorials, la força que la càrrega situada a exerceix sobre la càrrega situada a s'expressa com: on el vector de posició relativa és , la distància correspon al seu mòdul , i és el vector unitari dirigit de cap a . Les constants del buit que intervenen en aquesta expressió són: Permitivitat dielèctrica del buit: . Constant electrostàtica de Coulomb: .

D'acord amb la tercera llei de Newton (principi d'acció i reacció), la força electrostàtica que exerceix sobre té exactament el mateix mòdul i direcció, però sentit oposat: . Signe del producte Caràcter de la força Sentit respecte a (mateix signe) Repulsiva En la mateixa direcció i sentit que (allunya ) (signe contrari) Atractiva En sentit oposat a (apropa cap a ) F12 q 1 r1 q2 r2 = F12 = 4πε 0 1 r 12 3 q q 1 2 r12 4πε 0 1 r 12 2 q q 1 2 u ^12 = r12 r2 r1 r = 12 r2 r1 = u ^12 r 12 r12 q 1 q2 ε = 0 8,854 10 C /(N 12 2 m ) 2 K = 4πε 0 1 8,99 10 N 9 m /C 2 2 q 2 q 1 = F21 F12 q q 1 2 r12 q q > 1 2 0 r12 q 2 q q < 1 2 0 r12 q 2 q 1 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 6 3.

Principi de superposició i càlcul de forces electrostàtiques El principi de superposició estableix que la força resultant que actua sobre una càrrega puntual concreta, deguda a la presència d'un conjunt de càrregues externes, és igual a la suma vectorial de cadascuna de les forces calculades de manera independent mitjançant la llei de Coulomb: ERROR FREQÜENT Un dels errors més habituals consisteix a calcular els mòduls de les forces amb la llei de Coulomb i sumar-los directament en forma escalar ( ). La força és una magnitud vectorial. Sempre cal projectar cada força sobre els eixos cartesians descomponent-la per components ( , ) abans d'efectuar la suma per obtenir la resultant.

COMPROVA-HO 3 Dues càrregues iguals de valor estan a i . Quina força neta rep una càrrega testimoni a l'origen ? 4. Camp elèctric creat per càrregues puntuals El concepte de camp permet descriure la interacció a distància sense necessitat d'establir contacte directe entre partícules. El camp elèctric creat per una distribució de càrrega en un punt de l'espai es defineix com la força electrostàtica que experimentaria una càrrega de prova positiva unitària ( ) situada en aquest punt. En el cas d'una càrrega puntual única , el camp elèctric generat a una distància d'ella ve donat per: on assenyala des de la càrrega font cap al punt d'observació , i és el vector unitari radial associat.

Si la càrrega és positiva, el camp és divergent (apunta cap enfora); si és negativa, el camp és convergent (apunta cap a la càrrega font). = Ftotal = i=1 n Fi + F1 + F2 + Fn F = total Fi F x F y Dibuixar un diagrama de cos lliure situant les posicions de totes les càrregues i traçar els vectors de força individuals sobre la càrrega objectiu. 1 Calcular la distància relativa i el vector posició o vector unitari per a cada parell de càrregues. 2 Descompondre cadascuna de les forces en les seves components cartesianes mitjançant funcions trigonomètriques o vectors unitaris. 3 Sumar per separat les components al llarg de cada eix per determinar el vector resultant final.

4 +q x = d x = +d q 0 x = 0 P +1 C q r = E = 4πε 0 1 r2 q u ^r 4πε 0 1 r3 q r r P u ^r q Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 7 Esquema vectorial del camp elèctric i la força sobre una càrrega testimoni. Si es coneix el camp elèctric present en una posició de l'espai, la força que actua sobre una càrrega qualsevol introduïda en aquest punt es calcula directament com: Quan , la força té la mateixa direcció i el mateix sentit que el camp ; en canvi, si , la força adquireix un sentit contrari al del camp. El principi de superposició també s'aplica de forma exacta al camp elèctric.

El camp total creat per múltiples càrregues puntuals és la suma vectorial dels camps particulars generats per cadascuna d'elles: COMPROVA-HO 4 Si una partícula amb càrrega es col·loca en un camp elèctric dirigit cap a la dreta, en quina direcció i sentit accelerarà? 5. Línies de camp elèctric i interpretació gràfica Per visualitzar la distribució espacial del camp elèctric sense haver de dibuixar vectors a cada punt es recorre a les línies de camp elèctric (o línies de força). Aquestes corbes contínues aporten informació intuïtiva sobre la direcció, el sentit i la intensitat local del camp.

E q = F q E q > 0 F E q < 0 = Etotal = i=1 n Ei 4πε 0 1 i=1 n r i 2 q i u ^r,i q = 2 μC Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 8 Diagrama de línies de camp elèctric per a diferents combinacions de càrregues. Les línies de camp es regeixen per les següents propietats estructurals: Tangència: el vector camp elèctric és estrictament tangent a la línia de camp en qualsevol dels seus punts, orientat en el sentit marcat per la línia. Origen i final: sorgeixen de les càrregues positives (o de l'infinit) i convergeixen en les càrregues negatives (o s'estenen fins a l'infinit). No intersecció: les línies mai no es tallen entre si.

Si dues línies es creuessin en un punt, el camp elèctric tindria dues direccions simultànies diferents en aquest lloc, la qual cosa és físicament impossible en condicions estàtiques. Nombre de línies: la quantitat de línies que neixen o moren en una càrrega és directament proporcional a la magnitud escalar de la càrrega. Un objecte amb el triple de càrrega emetrà o rebrà tres vegades més línies. Densitat de línies: la concentració espacial de línies (proximitat entre elles) és proporcional a la intensitat del mòdul del camp elèctric . Com més denses són les línies en una regió, més intens és el camp.

A partir del traçat de les línies de camp es pot deduir la polaritat global d'un sistema o objecte: si el nombre de línies que en surten supera el nombre de línies que hi entren, el cos posseeix una càrrega neta positiva. A la inversa, si el recompte de línies entrants és superior al de sortints, la càrrega neta és negativa. E E Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 9 COMPROVA-HO 5 D'un cos carregat surten 16 línies de camp i en un altre cos en convergeixen 8. Quina relació hi ha entre els seus signes i valors de càrrega? IDEES CLAU La càrrega elèctrica es conserva en tot sistema aïllat i està quantitzada en múltiples enters de .

La llei de Coulomb descriu la força mútua entre càrregues puntuals, sent inversament proporcional al quadrat de la distància i dirigida al llarg de la línia d'unió. D'acord amb la tercera llei de Newton, les forces electrostàtiques entre dues càrregues compleixen . El camp elèctric generat per una càrrega puntual és i la força sobre qualsevol càrrega testimoni val . El principi de superposició obliga a sumar vectorialment (i mai per suma simple de mòduls) les contribucions de forces o camps produïts per diverses càrregues. Les línies de camp elèctric s'inicien en càrregues positives, acaben en negatives, mai no es tallen i la seva densitat reflecteix la intensitat del camp.

COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 6. Per què no es poden creuar mai dues línies de camp elèctric en un mateix punt de l'espai? 7. Com varia la força de Coulomb entre dues càrregues puntuals si la distància entre elles es redueix a la meitat? ELECTROSTÀTICA 2 Distribucions contínues de càrrega, Flux i Teorema de Gauss EN ACABAR SABRÀS Distingir les densitats de càrrega volúmica, superficial i lineal en distribucions contínues. Formular i calcular el flux elèctric a través de superfícies mitjançant la integral de camp. Aplicar el Teorema de Gauss per trobar el camp d'esferes i plans indefinits. Justificar el caràcter conservatiu del camp electrostàtic a partir de la seva circulació.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 8 Com podem conèixer la càrrega total tancada en una habitació tancada sense necessitat d'entrar a comptar-la? A B e = 1,602177 10 C 19 = F21 F12 = E 4πε 0 1 r2 q u ^r = F q E Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 10 Densitats de càrrega i integració contínua Quan la càrrega elèctrica no es troba aïllada en partícules discretes, sinó distribuïda al llarg d'un cos macroscòpic, cal tractar-la com una distribució contínua. Segons les dimensions geomètriques dominants del cos, es defineixen tres tipus fonamentals de densitat: Densitat volúmica de càrrega ( ): s'utilitza quan la càrrega ocupa un volum tridimensional.

L'element diferencial de càrrega és , mesurat en . Densitat superficial de càrrega ( ): expressa la càrrega distribuïda sobre una superfície quan el gruix és negligible, amb (mesurat en ). Densitat lineal de càrrega ( ): s'empra quan la secció transversal és negligible enfront de la longitud, amb , en unitats de C/m. Diagrama del diferencial de camp creat per una distribució volúmica.

A partir de la llei que regeix les càrregues puntuals (vegeu «Electrostàtica — Càrrega elèctrica, Llei de Coulomb i Camp Elèctric»), cada porció infinitesimal genera en un punt de l'espai un camp diferencial: Pel principi de superposició, el camp electrostàtic complet en una posició s'obté sumant les contribucions de tots els elements infinitesimals mitjançant una integral estesa a tota la regió: Distribució Element Expressió integral del camp Volúmica Superficial Lineal COMPROVA-HO 9 Quan pot sortir la densitat de càrrega fora del signe d'integració?

ρ V dQ = ρ dV C/m 3 σ dQ = σ dS C/m 2 λ dQ = λ dl dQ dE = u = 4ρρ 0 1 r2 dQ r r 4ρρ 0 1 r3 dQ dQ E(P ) ρ dV E = ρ r 4ρρ 0 1 V r3 ρ dV ρ dS s E = ρ r 4ρρ 0 1 S r3 ρ dS s ρ dl l E = ρ r 4ρρ 0 1 L r3 ρ dl l Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 11 Flux del camp elèctric El flux elèctric ( ) mesura el nombre net de línies de camp elèctric que creuen una superfície determinada. Si es tracta d'una superfície plana immersa en un camp elèctric constant i uniforme, el flux es calcula com el producte escalar directe: on el vector té per mòdul l'àrea de la superfície i per direcció la perpendicular o normal a aquesta, formant un angle amb les línies de camp.

Quan el camp és variable o la superfície és corbada, cal subdividir la superfície en elements infinitesimals i integrar: En superfícies tancades s'estableix per conveni que el vector diferencial apunta sempre cap a l'exterior del volum envoltat. Això determina directament el signe del flux: Si surten més línies de camp de les que entren, el flux total és estrictament positiu ( ). Si entren més línies de les que aconsegueixen sortir, el flux net és negatiu ( ). Dues superfícies tancades diferents que envoltin exactament les mateixes càrregues presenten el mateix flux elèctric global. ERROR FREQÜENT Confondre l'orientació del vector superfície amb un vector tangent a la superfície.

Recorda sempre que és estrictament perpendicular (normal) a la superfície i orientat cap enfora si la superfície és tancada. Si el camp és paral·lel a la superfície, l'angle amb és de 90° i el flux val zero. COMPROVA-HO 10 Quin flux creua una superfície tancada situada en una regió buida amb un camp elèctric uniforme extern? Teorema de Gauss i selecció de superfícies simètriques El Teorema de Gauss estableix que , on el flux electrostàtic que creua qualsevol superfície tancada és proporcional exclusivament a la càrrega neta continguda al seu interior, sent .

En electrostàtica, aquesta llei és formalment equivalent a la llei de Coulomb i constitueix una de les equacions fonamentals de l'electromagnetisme (vegeu «Ones Electromagnètiques — Equacions de Maxwell i Radiació»).

Per determinar analíticament el valor del camp mitjançant aquest teorema, cal seguir un procediment sistemàtic basat en la simetria: Φ S Φ = E = S ES cos α S ρ dS ρ = ρ dρ = S ρ EρdS S dS ρ > 0 ρ < 0 dS dS dS ρ = ρ EρdS = S ρ 0 Q int ρ = 0 8,854ρ10 C /(Nρm ) 12 2 2 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 12 PROCÉS Passos per aplicar la Llei de Gauss 1 Escollir la superfície Definir una superfície tancada que respecti la simetria 2 Avaluar producte escalar Comprovar l'angle entre el camp elèctric i la normal 3 Extreure camp Aprofitar el mòdul constant per treure'l de la integral 4 Calcular càrrega tancada Sumar la càrrega neta interior i aïllar el mòdul Aplicacions fonamentals de la llei de Gauss 1.

Camp creat per una esfera massissa carregada Considerem una esfera de radi que posseeix simultàniament una distribució volúmica uniforme a tot el volum i una distribució superficial uniforme al seu contorn extern. Esquema de la superfície gaussiana esfèrica en punts interiors. A) Punts interiors ( ): Triem com a superfície de Gauss una esfera concèntrica de radi .

Per simetria radial, el camp té direcció radial i el seu mòdul és uniforme a la superfície gaussiana: La càrrega tancada prové només de la densitat volúmica fins al radi : Escollir la superfície gaussiana: traçar una superfície geomètrica tancada fictícia que aprofiti la simetria de la distribució (esfèrica, cilíndrica o prismàtica). 1 Avaluar el producte escalar: assegurar que sigui paral·lel o perpendicular a la normal exterior en cada tram de la superfície. 2 E dS Treure el camp fora de la integral: comprovar que el mòdul del camp és constant a tots els punts de la superfície on el flux no s'anul·la.

3 E Quantificar la càrrega interior: calcular integrant la densitat de càrrega continguda dins del volum tancat per la superfície de Gauss. 4 Q int a ρ ρ s r < a r ρ = ρ EρdS = S Eρ dS = S E(4ρr ) 2 r Q = int ρr ρρE(4ρr ) = 3 4 3 2 ρE = ρ 0 ρr ρ 3 4 3 r u 3ρ 0 ρ r Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 13 B) Punts exteriors ( ): Per a un radi exterior, la superfície gaussiana conté tant la totalitat de la càrrega volúmica de l'esfera com la càrrega superficial acumulada a la vora exterior: Igualant el flux amb la càrrega continguda dividida per la permitivitat dielèctrica: 2.

Camp generat per un pla indefinit carregat En una làmina o pla indefinit no conductor carregat amb densitat uniforme , la simetria fa que les línies de camp siguin perpendiculars al pla a banda i banda. Diagrama del cilindre de Gauss que travessa un pla carregat. Com a superfície de Gauss prenem un cilindre d'eix perpendicular al pla i bases paral·leles a aquest, de secció . La integral tancada es descompon en la suma de tres superfícies obertes: les dues tapes planes extrems ( i ) i la paret lateral ( ): A la cara lateral, el vector és perpendicular al vector diferencial , de manera que el flux lateral és nul.

A les dues tapes, els vectors i són paral·lels, donant lloc a: La càrrega tancada en el volum del cilindre és la continguda en el disc d'intersecció amb el pla: .

Aplicant Gauss: Geometria de la càrrega Regió d'interès Mòdul del camp elèctric Dependència funcional Esfera massissa (volum ) Interior ( ) Proporcional a r > a Q = 1 ρa ρ, Q = 3 4 3 2 4ρa ρ ρQ = 2 s int ρa ρ + 3 4 3 4ρa ρ 2 s E(4ρr ) = 2 ρE = ρ 0 ρa ρ + 4ρa ρ 3 4 3 2 s (3ρ + 3ρ 0 a2 s aρ) u r2 1 r ρ = s Q/A S S 1 S 2 S 3 ρ = ρ EρdS = cilindre ρ EρdS + S 1 1 ρ EρdS + S 2 2 ρ EρdS S 3 3 E dS 3 E dS ρ = ES + ES + 0 = 2ES Q = int ρ S s 2ES = ρE = ρ 0 ρ S s u 2ρ 0 ρ s z E(r) ρ r < a r 3ρ 0 ρ r Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 14 Geometria de la càrrega Regió d'interès Mòdul del camp elèctric Dependència funcional Esfera (volum + superfície ) Exterior ( ) Inversament proporcional a Pla infinit uniforme Tots els punts exteriors Constant (independent de la distància) COMPROVA-HO 11 Per què el camp creat per un pla indefinit no disminueix en allunyar-se'n?

Circulació i caràcter conservatiu del camp electrostàtic La circulació del camp electrostàtic al llarg d'una corba orientada representa físicament el treball que les forces del camp efectuen per transportar una càrrega de prova unitària positiva entre dos punts: Com que el camp electrostàtic generat per càrregues en repòs és estricament un camp vectorial conservatiu, la circulació no depèn del camí seguit, sinó exclusivament de la posició dels punts inicial i final. Com a conseqüència directa, la circulació al llarg de qualsevol trajectòria tancada és nul·la: COMPROVA-HO 12 Quina relació té la nul·litat de la circulació tancada del camp amb el concepte d'energia?

IDEES CLAU Les densitats volúmica ( ), superficial ( ) i lineal ( ) permeten formular el camp de cossos extensos mitjançant integració contínua. El flux del camp elèctric avalua el trànsit net de línies de camp a través d'una superfície, depenent de l'angle entre el camp i el vector normal exterior. El Teorema de Gauss estableix que el flux elèctric tancat és proporcional exclusivament a la càrrega neta tancada: . El camp d'una esfera massissa creix linealment amb a l'interior i decreix com a l'exterior, mentre que el d'un pla infinit no conductor és uniforme i constant: . El camp electrostàtic és conservatiu, la qual cosa implica que la seva circulació en qualsevol línia tancada és zero ( ).

E(r) ρ ρ s r > a (3ρ + 3ρ 0 a2 s aρ) r2 1 r2 2ρ 0 ρ s L W/q = ρ Eρdl L ρ E ρdl = L est tic a ˋ 0 ρ ρ s ρ l ρ EρdS = S Q /ρ int 0 r 1/r2 E = ρ /(2ρ ) s 0 ρEρdl = 0 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 15 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13. Com varia el camp elèctric a l'interior d'una esfera massissa uniformement carregada en funció de la distància al centre? 14. Quin és el flux total a través de les parets laterals d'un cilindre gaussià concèntric a les línies generades per un pla infinit carregat? 15. Quina condició necessita una trajectòria per tal que la circulació del camp electrostàtic sigui nul·la? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 16.

Com varia la magnitud de la força de Coulomb si es duplica la distància entre dues càrregues? 17. Què succeeix quan una càrrega negativa s'introdueix dins d'un camp elèctric orientat cap amunt? 18. Quina propietat de les línies de camp elèctric permet comparar la intensitat del camp entre regions? 19. Quin procediment és l'únic correcte en aplicar el principi de superposició sobre forces electrostàtiques? 20. Quina és la unitat de la densitat superficial de càrrega segons el Sistema Internacional? 21. Si una superfície tancada no conté càrrega neta al seu interior, quin és el flux elèctric net?

Roman completament inalterada a) Es redueix a una quarta part b) Es redueix a la meitat c) Es duplica d) Experimenta una força cap avall a) Experimenta una força cap amunt b) No experimenta cap força electrostàtica c) Comença a girar en cercle d) La densitat espacial de línies a) El color assignat al traçat b) La longitud de cada línia c) La curvatura de les línies d) Sumar directament els mòduls escalars a) Efectuar la suma vectorial de components b) Calcular la mitjana aritmètica escalar c) Multiplicar els mòduls de les forces d) C/m a) N/C b) C/m² c) C/m³ d) Infinit a) Igual al camp extern b) Nul c) Depèn de la forma d) Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 16 22.

Com és el camp elèctric generat per un pla indefinit uniformement carregat? 23. Quant val la circulació d'un camp electrostàtic al llarg d'un camí tancat qualsevol? 3 Potencial Elèctric — Treball, Potencial, Gradient i Dipol Elèctric EN ACABAR SABRÀS Distingir el treball de les forces del camp del treball exercit per un agent extern. Calcular el potencial elèctric creat per càrregues puntuals i distribucions contínues. Determinar el camp elèctric a partir d'una funció de potencial mitjançant l'operador gradient. Calcular el parell i l'energia potencial d'un dipol elèctric immers en un camp extern.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 24 Si una càrrega negativa es deixa lliure en repòs en un camp elèctric, viatjarà cap a zones de major o menor potencial? L'estudi de la interacció elèctrica es pot simplificar notablement mitjançant conceptes energètics escalars en lloc de descripcions vectorials de forces i camps (estudiats a «Electrostàtica — Càrrega elèctrica, Llei de Coulomb i Camp Elèctric»).

Decreix amb 1/r² a) Creix linealment b) Decreix amb 1/r c) Constant a qualsevol distància d) Zero a) E · S b) Q_int / ε c) Depèn del camí d) Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 17 ESQUEMA Estructura del Potencial Elèctric i Dipol Treball electrostàtic i energia potencial Quan desplacem una càrrega des d'una posició inicial 1 fins a una posició final 2 dins d'una regió amb camp elèctric, el treball realitzat per la força elèctrica no depèn de la trajectòria seguida. Depèn únicament de l'estat inicial i final. Aquesta propietat caracteritza la força elèctrica com una força conservativa, de manera directament anàloga a com actua la gravetat terrestre sobre una massa.

Camp Conservatiu Treball independent del camí Energia Potencial W = -ΔEp Potencial Elèctric V = Ep / q Superfícies Equipotencials Ortogonals a les línies de camp Gradient de Potencial E = - V Dipol Elèctric Parell de càrregues oposades Moment Dipolar p = q · L Energia del Dipol U = -p · E q Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 18 Esquema d'analogia entre el camp gravitatori terrestre i el camp elèctric. Com a conseqüència d'aquest caràcter conservatiu, la circulació al llarg d'una línia tancada és nul·la ( , vist a «Electrostàtica — Distribucions contínues de càrrega, Flux i Teorema de Gauss») i podem associar a aquesta força una energia potencial electrostàtica .

El treball desenvolupat pel camp elèctric equival a la disminució d'aquesta energia potencial: Si una càrrega es deixa lliure sota l'acció exclusiva de la força elèctrica, s'accelera de manera espontània guanyant energia cinètica a costa de reduir la seva energia potencial elèctrica ( ). En nombrosos problemes d'electrostàtica es planteja el desplaçament d'una partícula a velocitat constant. Perquè la velocitat no canviï, la força neta ha de ser nul·la segons la dinàmica bàsica. Cal aplicar una força externa igual i oposada a la força elèctrica del camp ( ).

Apareixen aleshores dos treballs amb signes contraris: Càrrega Sentit del desplaçament respecte a Treball del camp ( ) Treball extern ( ) Positiva ( ) En la mateixa direcció i sentit que E d = l 0 E p W = 1 2 1 2 F d = l q 1 2 E d = l ΔE = p E p1 E p2 W > 0 ΔE < p 0 Fext = Fext q E W = E q E d , W = l ext Fext d = l W E E W E W ext q > 0 E W > E 0 W < ext 0 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 19 Càrrega Sentit del desplaçament respecte a Treball del camp ( ) Treball extern ( ) Positiva ( ) En sentit oposat a Negativa ( ) En la mateixa direcció i sentit que Negativa ( ) En sentit oposat a ERROR FREQÜENT Confondre el treball del camp elèctric ( ) amb el treball realitzat per l'agent extern ( ).

Recorda que , mentre que el treball extern necessari per traslladar la partícula a velocitat constant és . Un signe canviat en aquesta distinció invalida completament el càlcul numèric. COMPROVA-HO 25 Quin treball fa l'agent extern per frenar o mantenir a velocitat constant una càrrega positiva que es mou en sentit oposat a les línies de camp elèctric? El potencial elèctric i sistemes de càrregues puntuals Com que l'energia potencial és directament proporcional a la càrrega de prova, resulta molt convenient introduir una magnitud escalar independent d'aquesta càrrega.

El potencial elèctric en un punt determinat es defineix com l'energia potencial per unitat de càrrega positiva: Físicament, el potencial en un punt correspon al treball realitzat per la força elèctrica en portar una càrrega unitària des del punt fins a l'infinit, establint el conveni habitual que .

Equival també al treball que ha d'exercir una força externa per traslladar aquesta càrrega positiva unitària des de l'infinit fins al punt : Per a una càrrega puntual aïllada , el càlcul de la diferència de potencial entre dos punts i situats a distàncies radials respectives ens dóna: Si fixem l'origen de referència a l'infinit ( i ), obtenim l'expressió canònica del potencial creat per una càrrega puntual: E W E W ext q > 0 E W < E 0 W > ext 0 q < 0 E W < E 0 W > ext 0 q < 0 E W > E 0 W < ext 0 W E W ext W = E ΔE p W = ext +ΔE = p W E V V = q E p V A A A V ( ) = 0 A V = A V (A) V ( ) = A E d = l A E dl q A B ΔV = V B V = A A B E d = l dr = A B 4πε 0 1 r2 q 4πε 0 q ( r B 1 r A 1 ) r A V ( ) = 0 V (r) = 4πε 0 1 r q Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 20 Com que el potencial és un escalar, per calcular el potencial d'un conjunt de càrregues puntuals s'aplica el principi de superposició mitjançant una suma ordinària, sense complicacions vectorials: Quan la càrrega es troba distribuïda contínuament en l'espai, substituïm el sumatori per la integral corresponent sobre el domini geomètric: Distribució volumètrica: Distribució superficial: Distribució lineal: COMPROVA-HO 26 Quina és la diferència principal en calcular el potencial respecte al camp elèctric creat per un conjunt de càrregues?

Superfícies equipotencials i moviment de càrregues Una superfície equipotencial és el lloc geomètric dels punts de l'espai que comparteixen el mateix valor de potencial elèctric. Presenten dues propietats geomètriques essencials: Diagrama de línies de camp i superfícies equipotencials per a diferents distribucions. En avançar en el sentit de les línies de camp elèctric, el potencial sempre disminueix. En una càrrega puntual positiva, el potencial és positiu i s'anul·la a l'infinit com una hipèrbola decreixent; en una càrrega negativa, el potencial és negatiu i creix des de valors fortament negatius fins a zero a l'infinit.

q i V = i 4πε 0 1 r i q i V ( ) = r dV 4πε 0 1 V r ρ V ( ) = r dS 4πε 0 1 S r σ V ( ) = r dl 4πε 0 1 L r λ Ortogonalitat: Les línies de camp elèctric són en cada punt perpendiculars a les superfícies equipotencials. Si no ho fossin, existiria una component de camp tangent a la superfície que faria treball en desplaçar una càrrega sobre ella, variant el potencial. 1 No-intersecció: Dues superfícies equipotencials amb diferent valor no es poden tallar mai, ja que un mateix punt de l'espai no pot tenir simultàniament dos valors distints de potencial. 2 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 21 Esquema del moviment de càrregues en un camp elèctric uniforme.

Aquest comportament determina la tendència del desplaçament natural de les partícules carregades en llibertat: Les càrregues positives ( ) experimenten forces en el sentit del camp i tendeixen espontàniament a moure's cap a regions de potencial elèctric decreixent ( ). Les càrregues negatives ( ) pateixen una força en sentit contrari a i es mouen de manera espontània cap a regions de potencial elèctric creixent ( ). En ambdós casos, l'energia potencial electrostàtica del sistema sempre disminueix ( ) en el moviment espontani. COMPROVA-HO 27 Si un electró es deixa lliure en repòs dins d'un camp elèctric, es mourà cap a potencials més alts o més baixos? Com evoluciona la seva energia potencial?

Relació diferencial: el gradient de potencial Considerem dos punts molt propers separats per un vector diferencial de posició . La diferència de potencial entre ells és . Si el desplaçament és perpendicular al camp elèctric, , fet que confirma que no hi ha variació de potencial en moure's tangencialment a una superfície equipotencial. La taxa màxima de variació del potencial s'obté quan el desplaçament és antiparal·lel a .

Si aïllem la component espacial en una dimensió : En tres dimensions cartesianes, les components del camp corresponen a les derivades parcials canviades de signe: Utilitzant l'operador nabla , la relació vectorial general s'expressa mitjançant el gradient de potencial: q > 0 V < 2 V 1 q < 0 E V > 1 V 2 ΔE < p 0 dl dV = V 2 V = 1 E dl dV = 0 E r E = r dr dV (r) E = x , E = x V y , E = y V z z V = , , ( x y z ) Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 22 Això significa que el camp elèctric apunta sempre en la direcció en què el potencial disminueix de manera més ràpida.

El dipol elèctric i la seva interacció amb camps externs A diferència dels materials conductors, en els quals les càrregues es desplacen lliurement (com es detalla a «Conductors i Condensadors — Equilibri electrostàtic, Influència i Capacitat»), els dielèctrics o aïllants no permeten aquest flux lliure. La càrrega queda confinada localment. A nivell microscòpic, aquests materials estan formats per estructures neutres amb separació espacial de càrrega: els dipols elèctrics. Un dipol elèctric està constituït per dues càrregues de la mateixa magnitud i signes oposats separades per una distància vectorial .

El seu estat es descriu mitjançant el moment dipolar elèctric : El vector té la direcció de la recta que uneix ambdues càrregues i el seu sentit està definit des de la càrrega negativa cap a la càrrega positiva. Quan s'introdueix un dipol en presència d'un camp elèctric extern , el camp exerceix forces oposades sobre cadascuna de les càrregues.

Es genera un parell de forces o moment de torsió que tendeix a alinear el dipol en la direcció del camp: L'energia potencial que adquireix el dipol sotmès a aquest camp extern ve donada pel producte escalar: Si el dipol es deixa lliure a l'espai, girarà per tal de minimitzar la seva energia potencial, assolint una orientació paral·lela al camp ( , on és mínima). En cas d'un camp elèctric no uniforme, a més d'orientar-se, el dipol experimentarà una translació cap a les regions on el mòdul del camp elèctric sigui més gran ( creixent) per reduir encara més la seva energia potencial. PER RECORDAR-HO El moment dipolar apunta sempre de menys a més ( ).

Com que l'energia és , el valor mínim d'energia s'obté quan i tenen exactament la mateixa direcció i sentit ( ). COMPROVA-HO 28 Quina és la configuració d'equilibri estable d'un dipol elèctric en un camp elèctric uniforme? = E V dV = E dl q L p = p qL p E = Γ × p E = Γ sinθ p E U = p = E cos θ p E θ = 0 U = pE E p q +q U = p E p E cos 0 = 1 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 23 IDEES CLAU La força electrostàtica és conservativa i el treball desenvolupat pel camp equival a la pèrdua d'energia potencial: . El treball extern necessari per moure una càrrega a velocitat constant és oposat al del camp: . El potencial escalar generat per una càrrega puntual amb origen a l'infinit és .

Les línies de camp elèctric són perpendiculars a les superfícies equipotencials i apunten cap a potencials decreixents. El camp elèctric s'obté com el gradient negatiu del potencial: . El moment dipolar apunta de la càrrega negativa a la positiva i té una energia potencial en un camp extern. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 29. Com es calcula el potencial creat per un conjunt de múltiples càrregues puntuals? 30. Per què no es poden tallar mai dues superfícies equipotencials diferents? 31. Cap a on tendeixen a moure's espontàniament les càrregues positives i negatives? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 32.

Quin és el signe del treball que fa el camp elèctric en moure una càrrega positiva en sentit oposat a les línies de camp? 33. Quina relació vectorial vincula el camp elèctric i el potencial escalar? 34. En quin sentit està definit per conveni el vector moment dipolar elèctric p? 35. Quina orientació d'un dipol respecte a un camp elèctric uniforme minimitza la seva energia potencial U?

W = E ΔE p W = ext W = E +ΔE p V = 4πε 0 1 r q = E V = p qL U = p E Negatiu a) Positiu b) Nul c) Infinit d) V = × E a) E = V b) E = - V c) V = - · E d) En la mateixa direcció del camp extern a) De la càrrega positiva a la negativa b) Perpendicular a la recta que les uneix c) De la càrrega negativa a la positiva d) A un angle de 45 graus a) Antiparal·lel en sentit contrari b) Perpendicular al camp elèctric c) Paral·lel i en el mateix sentit d) Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 24 4 Conductors i Condensadors — Equilibri electrostàtic, Influència i Capacitat EN ACABAR SABRÀS Deduir el camp nul interior i la distribució superficial de càrrega en conductors en equilibri.

Calcular mitjançant el teorema de Gauss el camp i potencial en escorces conductores amb cavitats. Determinar la càrrega induïda i la capacitat elèctrica de conductors esfèrics aïllats o connectats. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 36 Com és possible que dins d'un cotxe o avió metàl·lic estiguem protegits davant la caiguda d'un llamp? Equilibri electrostàtic en conductors Els materials conductors disposen d'un gran nombre de càrregues lliures (electrons deslocalitzats que constitueixen el núvol electrònic) amb capacitat de desplaçar-se per tot el material. Quan s'aplica una pertorbació o camp elèctric extern, aquestes càrregues experimenten forces electrostàtiques i es mouen ràpidament.

Aquest moviment s'atura quan s'arriba a l'equilibri electrostàtic, estat en el qual les càrregues romanen en repòs relatiu. Durant el procés de restabliment, els electrons lliures es redistribueixen creant un camp elèctric intern que s'oposa al camp extern aplicat. Aquest desplaçament continua fins que ambdós camps es compensen exactament. Aquest mecanisme determina de manera unívoca les propietats electrostàtiques del metall: El camp elèctric a l'interior del conductor és nul ( ). Si persistís un camp no nul, continuaria existint una força neta sobre els electrons lliures, fet que contradiria la condició d'equilibri. Tota la càrrega neta es localitza a la superfície.

Mitjançant el teorema de Gauss (vegeu «Electrostàtica — Distribucions contínues de càrrega, Flux i Teorema de Gauss»), si prenem una superfície gaussiana tancada continguda completament dins del metall, com que el camp és nul a tot arreu, el flux també ho és. En conseqüència, la càrrega neta continguda és exactament zero i no pot existir acumulació de càrrega en el volum. El volum i la superfície del conductor formen un volum i una superfície equipotencials. La relació entre camp i potencial imposa que (vegeu «Potencial Elèctric — Treball, Potencial, Gradient i Dipol Elèctric»). Com que el camp intern s'anul·la, el potencial és constant a tot el metall ( ).

El camp elèctric just a la superfície és perpendicular a aquesta. Si existís una component tangencial del camp, les càrregues superficials es mourien al llarg del contorn, trencant l'estat estàtic. E = int 0 E = V V = constant Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 25 Esquema d'un conductor esfèric en equilibri amb camp interior nul i potencial constant.

PROCÉS Restabliment de l'equilibri electrostàtic 1 Aplicació de camp extern El camp elèctric extern pertorba el conductor metall 2 Força sobre electrons Els electrons lliures experimenten forces oposades al camp 3 Camp intern oposat L'acumulació de càrregues genera un camp induït contrari 4 Equilibri assolit Camp intern total nul i càrregues immòbils a la superfície La distribució de càrrega superficial depèn directament de la geometria de l'objecte. En una esfera aïllada, la densitat superficial (o ) és uniforme. En canvi, en conductors irregulars, les càrregues es concentren a les zones de menor radi de curvatura.

Aquest fenomen es coneix com a efecte de les puntes, on la gran densitat superficial genera camps elèctrics locals molt intensos. ERROR FREQÜENT Suposar que dins del material d'un conductor en equilibri pot existir càrrega elèctrica neta o una diferència de potencial entre dos punts interns. La càrrega neta volumètrica sempre és nul·la en equilibri ( ) i el potencial és idèntic en qualsevol punt del metall, inclosa la seva superfície ( ). COMPROVA-HO 37 Què passaria si el camp elèctric a la superfície d'un conductor en equilibri tingués una component tangencial no nul·la?

Cavitats conductores i apantallament electrostàtic Quan un conductor presenta una cavitat interior buida sense cap càrrega elèctrica al seu si, el camp elèctric dins de la cavitat és estrictament nul i el potencial és homogeni, igual al del propi metall. Si s'introdueix una càrrega a l'interior de la cavitat, es produeix una inducció a les parets per preservar la condició de camp nul dins de la massa conductora.

ρ s ρ sup ρ = 0 V A V = B 0 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 26 Analitzem pas a pas una escorça esfèrica conductora neutra (radis interior i exterior ) amb una càrrega puntual positiva col·locada al centre: Regió Camp Elèctric ( ) Potencial Elèctric ( amb ) Exterior ( ) Metall ( ) 0 (constant) Cavitat ( ) Aquest comportament constitueix la base de l'apantallament electrostàtic: les càrregues externes o els camps elèctrics de l'entorn no poden penetrar dins una cavitat tancada per parets conductores, protegint l'espai interior de qualsevol influència externa.

COMPROVA-HO 38 Quina càrrega apareix a la superfície interior d'una cavitat metàl·lica si s'hi col·loca una partícula amb càrrega +3 nC? Capacitat elèctrica i conductor esfèric La capacitat d'un conductor quantifica la seva aptitud per acumular càrrega elèctrica quan assoleix un determinat potencial electrostàtic respecte a la referència a l'infinit: a b q Camp a l'interior de la cavitat ( ): Apliquem el teorema de Gauss prenent una superfície esfèrica de radi concèntrica amb la càrrega. La càrrega tancada és .

El camp elèctric correspon al d'una càrrega puntual: 1 r < a r q E = III 4ρρ 0 1 r2 q Càrrega induïda a la paret interna ( ): Dins del metall de l'escorça ( ), el camp ha de ser nul per l'equilibri. Si tracem una superfície gaussiana continguda en el gruix del metall, el flux elèctric és zero, fet que obliga a: A la cara interna s'acumula per tant una càrrega de valor . 2 r = a a < r < b ρ = int q + q = indu da ı̈ 0ρq = indu da ı̈ q q Càrrega a la paret externa ( ): Com que l'escorça és inicialment neutra ( ) i aïllada, per conservació de la càrrega: Aquesta càrrega es distribueix homogèniament sobre la cara exterior.

3 r = b Q = conductor 0 Q = total q + interior q = exterior 0ρq = exterior +q Camp a l'exterior ( ): Tracem una superfície gaussiana externa de radi . La càrrega neta tancada és . Per tant, el camp exterior torna a ser: 4 r > b r > b q + ( q) + q = q E = I 4ρρ 0 1 r2 q E V V = ρ 0 r > b 4ρρ 0 1 r2 q 4ρρ 0 1 r q aρrρb 4ρρ 0 1 b q r < a 4ρρ 0 1 r2 q ρ + 4ρρ 0 1 r q b q ρ a q Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 27 DEFINICIÓ La capacitat es defineix com el quocient entre la càrrega neta present en el conductor i el seu potencial elèctric : La unitat del Sistema Internacional és el Farad (F), que equival a .

La capacitat és una magnitud positiva que depèn únicament de la geometria del conductor i de les propietats del medi circumdant. Diagrama de la distribució superficial de càrrega en una esfera conductora aïllada. A l'hora de treballar amb conductors, podem trobar dues situacions d'estudi fonamentals segons la connexió externa: Conductor aïllat: la càrrega és constant, ja que no hi ha contacte elèctric per cedir o guanyar electrons. En aquest cas, la càrrega determina el potencial del sistema. Conductor connectat a potencial fix: el conductor es troba unit a un generador o connectat a terra ( ). Aquí el potencial és fix i la càrrega s'adapta al valor imposat segons .

Per a un conductor esfèric aïllat de radi situat en el buit amb una càrrega , el camp a la seva superfície i punts exteriors equival al d'una càrrega puntual central. Integrant el camp elèctric des de l'infinit ( ) fins a la superfície : Substituint aquesta expressió en la relació fonamental de la capacitat, s'obté la fórmula canònica per a l'esfera aïllada: EXEMPLE Calculem el radi que hauria de tenir una esfera conductora aïllada en el buit per tenir una capacitat d' . Aïllant el radi: Aquest valor supera amb escreix el radi terrestre ( ), fet que il·lustra que el Farad és una unitat extraordinàriament gran i habitualment s'empren submúltipls com ara , nF o pF.

C Q V C = V Q 1 C/V Q V = 0 V Q Q = CρV R Q V = ρ 0 r = R V R V = ρ E(r) dr = ρ R 4πε R 0 Q C = 4πε R 0 1 F R = = 4πε 0 C 4π 8,854 10 12 1 9 10 m 9 6,37 10 m 6 μF Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 28 COMPROVA-HO 39 Com canvia la capacitat d'una esfera conductora aïllada si dupliquem el seu radi? Fenomen d'influència electrostàtica Quan un conductor es troba pròxim a altres cossos carregats, el camp elèctric creat per aquests altera l'estat elèctric del sistema. Aquesta interacció s'anomena influència electrostàtica o inducció. Les càrregues internes del conductor es desplacen de manera que el camp global al seu volum continuï sent zero.

Com a conseqüència, la distribució de càrrega superficial deixa de ser homogènia i fins i tot poden aparèixer regions amb signes de càrrega oposats a la mateixa superfície. Esquema d'influència electrostàtica entre dos conductors pròxims amb càrregues induïdes. Es parla d'influència electrostàtica total quan la totalitat de les línies de camp que sorgeixen d'un conductor acaben sobre l'altre conductor. Aquesta condició es compleix de manera natural quan un conductor envolta completament l'altre, tal com s'esdevé en les escorces i cavitats. Reprenent el cas de l'escorça esfèrica de radi exterior sotmesa a influència per una càrrega interna , a la cara interna s'indueix .

La càrrega lliure a l'exterior dependrà de l'estat inicial i del tipus de connexió del conductor exterior: Escorça inicialment neutra i aïllada ( ): La càrrega exterior és . Escorça aïllada amb càrrega prèvia : La càrrega total és , per la qual cosa . Escorça connectada a terra ( ): El potencial exterior ha de ser nul, de manera que la superfície externa descarrega cap a terra, resultant en . El camp a l'exterior de l'escorça queda completament anul·lat. Escorça mantinguda a potencial fix : La càrrega a la cara exterior s'ajusta segons la capacitat externa: .

b q q = interior q q exterior Q = 0 q = exterior q Q Q = q + interior q = exterior q + q exterior q = exterior q + Q V = 0 q = exterior 0 V q = exterior CρV = 4ρρ bρV 0 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 29 ESQUEMA Càrrega exterior segons la connexió IDEES CLAU A l'interior d'un conductor en equilibri electrostàtic el camp elèctric és idènticament nul i tot el seu volum és equipotencial. Tota la càrrega elèctrica neta d'un metall en equilibri es concentra a la superfície exterior, amb major densitat en les regions de més curvatura (efecte de les puntes). El camp elèctric a la superfície d'un conductor és sempre perpendicular a aquesta en qualsevol punt.

Una cavitat envoltada per un conductor actua com a gàbia de Faraday, blindant l'interior de qualsevol camp electrostàtic exterior. La capacitat d'un conductor aïllat només depèn de la seva geometria i del medi circumdant, sent per a una esfera de radi . La influència electrostàtica total provoca que les línies de camp d'un cos carregat quedin completament interceptades per les càrregues oposades induïdes a la superfície del conductor. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 40. Per què el potencial elèctric és exactament el mateix al centre d'un metall conductor sòlid que a la seva superfície? 41.

Quina càrrega adquireix la superfície externa d'una escorça conductora connectada a terra si al seu interior s'introdueix una càrrega puntual positiva? Escorça aïllada neutra Càrrega exterior igual a +q Escorça aïllada amb càrrega Q Càrrega exterior igual a q + Q Escorça a terra (V = 0) Càrrega exterior nul·la Escorça a potencial V Càrrega exterior fixada per C·V C = 4ρρ R 0 R Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 30 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 42. Com és el camp elèctric dins del material d'un metall en equilibri electrostàtic? 43. On s'acumula la major densitat de càrrega superficial en un conductor de forma irregular? 44.

D'on depèn la capacitat elèctrica d'un conductor aïllat? 45. Si una escorça neutra conté una càrrega +q central, quant val la càrrega a la paret interna? 5 Condensadors i Dielèctrics — Tipus, Associacions i Energia Emmagatzemada EN ACABAR SABRÀS Deduir l'expressió de la capacitat d'un condensador pla a partir del camp elèctric uniforme. Calcular capacitats equivalents, càrregues i tensions en associacions en sèrie i en paral·lel. Determinar l'energia emmagatzemada i predir canvis en inserir dielèctrics amb pila connectada o aïllat. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 46 Si aïllem un condensador carregat i n'allunyem les plaques, l'energia emmagatzemada augmenta o disminueix?

Els condensadors són dispositius dissenyats específicament per retenir càrrega elèctrica i emmagatzemar energia electrostàtica en el camp elèctric creat entre els seus conductors. El seu funcionament es fonamenta en la interacció i influència mútua entre superfícies conductores separades per un medi aïllant.

Proporcional a la càrrega neta a) Estrictament nul a tot arreu b) Depèn de la curvatura externa c) Uniforme i no nul d) A les cares més planes a) Es distribueix sempre homogèniament b) Al centre de masses c) A les regions puntegagudes d) De la intensitat de corrent a) De la càrrega que se li aporta b) Del potencial del generador c) Únicament de geometria i medi d) -q a) Zero b) +q c) +q / 2 d) Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 31 ESQUEMA Estructura del tema de Condensadors i Dielèctrics Fonaments i geometria del condensador pla Un condensador està constituït per dos conductors en situació d'influència electrostàtica total (vegeu «Conductors i Condensadors — Equilibri electrostàtic, Influència i Capacitat»).

Quan es connecten a un generador de tensió, s'estableix un corrent transitori fins a assolir l'equilibri electrostàtic; en aquest estat, la intensitat pel circuit s'anul·la i cadascuna de les plaques o armadures adquireix una càrrega de valor absolut , però de signe oposat. Esquema d'un condensador pla de plaques paral·leles connectat a una font. Tot i que existeixen geometries cilíndriques o esfèriques, el model fonamental és el condensador pla. Si la superfície de les plaques és molt gran comparada amb la separació que les separa, els efectes de vora resulten menyspreables i el camp elèctric interior és pràcticament uniforme.

Tenint en compte el camp elèctric creat per un pla indefinit (vegeu «Electrostàtica — Distribucions contínues de càrrega, Flux i Teorema de Gauss»), el mòdul produït per una sola placa val .

Entre dues plaques planes paral·leles amb densitats superficials oposades ( i ), els camps se superposen en el mateix sentit: A partir del camp elèctric, la diferència de potencial es determina mitjançant la circulació al llarg d'una línia de camp: Condensadors Dispositius d'emmagatzematge de càrrega Geometria i capacitat Model pla, esfèric i cilíndric Associacions Connexions en sèrie i paral·lel Energia electrostàtica Treball d'acumulació de càrrega Medi dielèctric Augment de capacitat per polarització Q S d E = 1 2ε 0 σ +σ σ E = + 2ε 0 σ = 2ε 0 σ = ε 0 σ ε S 0 Q V = V + V d d Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 32 DEFINICIÓ La capacitància o capacitat d'un condensador és la relació constant entre la magnitud de la càrrega retinguda a qualsevol de les armadures i la diferència de potencial existent entre elles: .

En el cas concret del condensador de plaques paral·leles al buit, la seva expressió depèn estrictament de la geometria: D'aquesta deducció es desprèn directament que la capacitat d'un condensador pla es pot incrementar de tres maneres: Augmentant la superfície de les armadures. Reduint la distància de separació . Interposant un material dielèctric adequat entre les plaques. COMPROVA-HO 47 Què li passa a la capacitat d'un condensador pla si en dupliquem l'àrea de les plaques i alhora en dupliquem la distància de separació?

Associacions de condensadors: paral·lel i sèrie Quan interconnectem diversos condensadors en un circuit, el conjunt es comporta com un únic condensador equivalent de capacitat . Associació en paral·lel En connectar dos o més condensadors en paral·lel, totes les plaques superiors queden unides a un mateix node a potencial , mentre que les inferiors s'uneixen al node a potencial . Per tant, la diferència de potencial és idèntica a cadascun dels condensadors: V = E dx = 0 d E dx = 0 d Ed = d ε S 0 Q C = V Q C = d ε S 0 S d C eq V a V b Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 33 Diagrama de condensadors connectats en paral·lel compartint diferència de potencial.

La càrrega total emmagatzemada equival a la suma algebraica de les càrregues individuals: La capacitat equivalent en paral·lel s'obté sumant directament les capacitats individuals, ja que afegir branques equival efectivament a disposar d'una major superfície útil: Associació en sèrie En una connexió en sèrie, els condensadors s'alineen un darrere l'altre, de manera que la placa negativa d'un connecta únicament amb la placa positiva del següent. Com que la regió intermèdia resta elèctricament aïllada, els fenòmens d'influència forcen que tots els condensadors emmagatzemin exactament la mateixa càrrega : Q = Q + 1 Q = 2 C V + 1 C V = 2 (C + 1 C )V 2 C = eq C = i i C + 1 C + 2 C + 3 …

Q Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 34 Esquema d'associació en sèrie de condensadors amb càrrega idèntica. La diferència de potencial total entre els extrems i és la suma de les caigudes de potencial individuals: Igualant amb la definició , obtenim la llei d'inversos característica: Magnitud / Tipus Associació en Paral·lel Associació en Sèrie Diferència de potencial Constant: Additiva: Càrrega retinguda Additiva: Constant: Capacitat equivalent ERROR FREQÜENT Un error clàssic en resolució d'exàmens consisteix a aplicar als condensadors les mateixes regles d'associació que a les resistències.

Recorda que la relació és oposada: en els condensadors, les associacions en paral·lel es sumen directament ( ) i en les de sèrie es sumen els inversos ( ). A més, en sèrie la capacitat resultant és sempre estrictament inferior a la més petita de les capacitats individuals. a b V = V a V = b (V a V ) + m (V m V ) = b + C 1 Q = C 2 Q Q + ( C 1 1 C 2 1 ) V = C eq Q = C eq 1 = i C i 1 + C 1 1 + C 2 1 + C 3 1 …

ΔV = eq ΔV = 1 ΔV 2 ΔV = eq ΔV + 1 ΔV 2 Q = eq Q + 1 Q 2 Q = eq Q = 1 Q 2 C = eq C + 1 C 2 = C eq 1 + C 1 1 C 2 1 C + 1 C 2 1/C = eq 1/C + 1 1/C 2 Apunts de Física II: Teoria, Fórmules i Resums 35 COMPROVA-HO 48 Si connectem en sèrie dos condensadors de 2 µF i 4 µF, quina és la seva capacitat equivalent? Energia electrostàtica emmagatzemada El procés de càrrega d'un condensador implica transferir càrrega elèctrica des d'una armadura cap a l'altra vencent la força repulsiva del camp electrostàtic creixent. Aquest treball mecànic extern queda acumulat en forma d'energia potencial electrostàtica .

Quan el condensador ha acumulat una càrrega final sotmesa a una tensió , l'energia neta acumulada s'expressa mitjançant qualsevol d'aquestes tres fórmules equivalents: A l'hora d'analitzar variacions físiques en el dispositiu (com separar les armadures o introduir un aïllant), és fonamental escollir l'expressió que contingui la magnitud que roman constant durant la transformació. Efecte dels materials dielèctrics: aïllament vs. bateria connectada Els dielèctrics són materials no conductors (per exemple, vidre, fusta o paper).

Quan s'introdueix un dielèctric en l'espai comprès entre les armadures d'un condensador, la seva estructura atòmica es polaritza i crea un camp induït oposat que afebleix el camp elèctric original en un factor adimensional característic, la constant dielèctrica (o permitivitat relativa ): Com a conseqüència d'aquesta reducció del camp intern, la capacitat del condensador s'incrementa en aquest mateix factor: L'evolució energètica del sistema en introduir el dielèctric depèn de les condicions de connexió externa: U Q V U = CV = 2 1 2 QV = 2 1 2C Q2 κ ε > r 1 E = κ E 0 C = κC 0 Condensador desconnectat (sistema aïllat): La càrrega elèctrica roman estrictament constant ( ). Com que la capacitat…