Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes

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APUNTES ESTADÍSTICA Grado en Psicología Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de la prueba t para muestras independientes en Estadística: supuestos, corrección de Welch, homogeneidad de varianzas y tamaño del efecto.

APREN.AI Índice 1 Fundamentos del contraste de dos medias y formulación de hipótesis La relación entre variables conceptualizada como diferencia de medias Distribución muestral de la diferencia de medias Planteamiento de hipótesis estadísticas 2 Supuestos del modelo, prueba de Student y corrección de Welch Condiciones de aplicación de las pruebas paramétricas Prueba t bajo el supuesto de homogeneidad de varianzas Heterocedasticidad y corrección de Welch 3 Aplicación práctica: contraste de homocedasticidad, dirección y software Verificación preliminar de homocedasticidad mediante razón de varianzas Cálculo del estadístico e interpretación en tablas de software Impacto de la hipótesis unilateral frente a la bilateral 4 Magnitud de la diferencia y tamaño del efecto Limitaciones de la significación estadística clásica Medidas estandarizadas del tamaño del efecto 5 Formulario Distribución muestral y estadístico t Homocedasticidad y grados de libertad Magnitud del efecto Reglas de decisión y errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 1 1 Fundamentos del contraste de dos medias y formulación de hipótesis AL ACABAR SABRÁS Identificar la correspondencia entre la comparación de dos medias y el estudio de independencia bivariada. Formular con precisión las hipótesis estadísticas nula y alternativa (bilaterales y unilaterales). Reconocer las propiedades de la distribución muestral de la diferencia de medias empíricas.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué no basta con observar que dos medias aritméticas son numéricamente distintas para afirmar que dos poblaciones son diferentes? La relación entre variables conceptualizada como diferencia de medias En el análisis inferencial bivariado, evaluar la presencia de relación entre una variable cualitativa dicotómica (independiente) y una variable cuantitativa (dependiente) equivale a examinar si existen diferencias entre dos promedios poblacionales.

Las pruebas forman parte de las pruebas de relación estadística, compartiendo propósito con el contraste ji-cuadrado para variables categóricas, el análisis de la varianza (ANOVA), las pruebas no paramétricas, la correlación y la regresión. Lo que distingue a cada procedimiento es el nivel de escala métrica, la función operativa asignada a cada variable y los supuestos probabilísticos exigidos. En un diseño de dos grupos independientes, cada muestra procede de una extracción separada. La magnitud del efecto no depende únicamente de la distancia numérica entre los promedios muestrales, sino de dicha separación en relación con la dispersión observada.

A mayor distanciamiento entre medias y menor dispersión interna, mayor es la evidencia de asociación entre ambas variables. Distribución muestral de la diferencia de medias Al extraer muestras aleatorias de tamaños y de dos poblaciones con medias y y varianzas conocidas y , definimos el parámetro de la diferencia como .

El estimador insesgado de este parámetro es la resta de las medias muestrales: De acuerdo con el teorema del límite central y las propiedades asintóticas para variables aleatorias independientes, el valor esperado del estimador es , y el error estándar de la distribución teórica toma la forma: t n 1 n 2 μ 1 μ2 σ 1 2 σ 2 2 δ = μ 1 μ 2 = δ ^ X ˉ1 X ˉ2 E( ) = δ ^ δ σ = X ˉ1 X ˉ2 + n 1 σ 1 2 n 2 σ 2 2 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 2 Por consiguiente, la distribución muestral sigue un modelo normal . En poblaciones de tamaño finito , dicho error estándar se multiplica por el factor de corrección .

COMPRUEBA 2 ¿Por qué una diferencia de medias de 2 puntos puede ser estadísticamente significativa con desviación típica de 0,5 pero no con una de 5? Planteamiento de hipótesis estadísticas El contraste somete a comprobación formal una conjetura sobre el parámetro . Aunque teóricamente es factible postular un valor constante arbitrario , el supuesto convencional estipula la ausencia absoluta de discrepancia: Frente a la hipótesis nula, se establecen contrastes bilaterales o unidireccionales según el conocimiento previo: Hipótesis bilateral: (o bien ). Hipótesis unilateral (cola izquierda): (o ) frente a . Hipótesis unilateral (cola derecha): (o ) frente a .

El ciclo sistemático de decisión estadística integra desde la conjetura conceptual inicial hasta la decisión final en función del nivel de significación nominal establecido. PROCESO Secuencia metodológica del contraste de hipótesis δ ^ N μ = δ; σ = ( + n 1 σ 1 2 n 2 σ 2 2 ) N N 1 N n δ H : 0 μ 1 μ = 2 δ H : 0 μ 1 μ = 2 0 H : 0 μ = 1 μ 2 H : 1 μ = 1 μ 2 μ 1 μ = 2 0 H : 0 μ 1 μ 2 μ 1 μ 2 0 H : 1 μ < 1 μ 2 H : 0 μ 1 μ 2 μ 1 μ 2 0 H : 1 μ > 1 μ 2 Hipótesis conceptual Definición teórica del problema y objetivos de la investigación. 1 Hipótesis estadística Formulación de H0 (diferencia igual a 0) y nivel alfa nominal. 2 Muestra y datos Extracción aleatoria y recolección de observaciones empíricas.

3 Comprobación de supuestos Verificación de normalidad y homocedasticidad para seleccionar modelo. 4 Cálculo del estadístico Obtención del valor t y de su p-valor asociado. 5 Decisión inferencial Aceptación o rechazo de H0 según el riesgo asumible. 6 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 3 PARA RECORDARLO Si la hipótesis nula postula igualdad estricta ( ), cualquier distancia empírica sustancial en cualquier dirección aporta evidencia para rechazarla. En contrastes unidireccionales, solo el desvío hacia la cola predicha permite el rechazo. IDEAS CLAVE Contrastar si una variable dicotómica se relaciona con una continua equivale a comparar las medias poblacionales de ambos subgrupos.

La distribución muestral de la diferencia de medias se centra en y depende del error estándar poblacional o muestral. La hipótesis nula clásica estipula ausencia de efecto: . El ciclo deductivo parte de la hipótesis conceptual y culmina contrastando el -valor contra el riesgo alfa asumible. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cuál es la expresión del parámetro central de contraste cuando se evalúa la independencia entre dos grupos? 4. ¿Bajo qué circunstancias se introduce el factor multiplicador de finitud en el error estándar? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Qué representa estadísticamente probar H0: μ1 - μ2 = 0 en datos independientes? 6.

¿Cuál es el estimador insesgado de la diferencia de medias poblacionales? 7. ¿Cómo se comporta la distribución teórica de X̄1 - X̄2 con varianzas poblacionales conocidas?

H : 0 μ = 1 μ 2 δ H : 0 μ 1 μ = 2 0 p Falta total de correlación no lineal a) Homogeneidad estricta entre las varianzas muestrales b) Independencia entre la variable dicotómica y continua c) Igualdad exacta de los tamaños muestrales d) La resta de varianzas ponderadas a) La diferencia entre medias muestrales b) El cociente de desviaciones típicas c) El estadístico t estandarizado d) Sigue una distribución t de Student a) Sigue una distribución F de Snedecor b) Sigue una distribución normal paramétrica c) Sigue una distribución Ji-cuadrado exacta d) Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 4 8. ¿Qué factor reduce el error estándar en poblaciones finitas?

2 Supuestos del modelo, prueba de Student y corrección de Welch AL ACABAR SABRÁS Verificar los supuestos paramétricos requeridos en el contraste t de muestras independientes. Calcular la varianza ponderada mancomunada y los grados de libertad asociados bajo homocedasticidad. Distinguir cuándo corresponde aplicar el ajuste de Welch y cómo afecta a los grados de libertad. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué no se debe emplear la fórmula tradicional de Student cuando los dos grupos presentan varianzas marcadamente distintas?

Condiciones de aplicación de las pruebas paramétricas Para garantizar que el estadístico de contraste converja a su modelo teórico y arroje valores válidos, deben comprobarse una serie de condiciones: Muestreo aleatorio: observaciones extraídas al azar; el error estándar se ajusta si la población de procedencia es finita. Escala de medida cuantitativa: la variable analizada debe poseer al menos nivel de intervalo. Independencia interobservaciones: las respuestas de un sujeto no pueden estar influidas por las de otro; si se incumple, disminuyen los grados de libertad efectivos.

Normalidad: distribución gaussiana de la variable cuantitativa en cada población de origen, contrastada usualmente mediante la prueba de Shapiro-Wilk en muestras reducidas. Con muestras grandes, el teorema del límite central asegura convergencia asintótica. Homocedasticidad: igualdad de varianzas en ambas poblaciones de referencia ( ), evaluable a través del test de Levene o pruebas de razón de varianzas.

Prueba t bajo el supuesto de homogeneidad de varianzas Cuando se desconoce la varianza poblacional pero se asume homocedasticidad ( ), se estima una varianza conjunta ponderada ( ): Multiplicar por la raíz de (N-n)/(N-1) a) Sumar las varianzas de cada estrato b) Multiplicar por la varianza conjunta ponderada c) Dividir por los grados de libertad d) p σ = 1 2 σ 2 2 σ = 1 2 σ = 2 2 σ2 s 2 2 2 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 5 El error estándar conjunto de la diferencia de medias se calcula sustituyendo dicha varianza ponderada en la ecuación: El estadístico resultante sigue una distribución de Student estándar: DEFINICIÓN Los grados de libertad representan la cantidad de datos que pueden variar libremente al calcular la dispersión.

Al estimar dos parámetros poblacionales desconocidos (las dos medias y ) a partir de los datos muestrales, se pierden exactamente 2 grados de libertad: . COMPRUEBA 10 ¿Por qué se pierden exactamente 2 grados de libertad en la prueba t de Student ordinaria? Heterocedasticidad y corrección de Welch Si la comprobación de supuestos evidencia varianzas dispares ( ), no es válido agrupar las dispersiones en una única estimación ponderada.

El error estándar debe calcularse manteniendo separadas las varianzas muestrales insesgadas y : El estadístico formal se formula como: Debido a que el denominador ya no sigue la distribución chi-cuadrado estándar, los grados de libertad deben reducirse mediante el procedimiento aproximado de Welch: De forma equivalente, la literatura describe la siguiente expresión directa: s = 2 n + n 2 1 2 (n 1) + (n 1) 1 σ ^1 2 2 σ ^2 2 = σ ^ X ˉ1 X ˉ2 + n 1 s 2 n 2 s 2 t t = + n 1 s 2 n 2 s 2 ( ) δ X ˉ1 X ˉ2 t(v = n + 1 n 2 2) μ 1 μ 2 v = (n 1 1) + (n 2 1) = n + 1 n 2 2 σ = 1 2 σ 2 2 σ ^1 2 σ ^2 2 = σ ^ X ˉ1 X ˉ2 + n 1 σ ^1 2 n 2 σ ^2 2 t = + n 1 σ ^1 2 n 2 σ ^2 2 ( ) δ X ˉ1 X ˉ2 v = donde c = (n 1)c + (1 c) (n 1) 2 2 2 1 (n 1)(n 1) 1 2 + n 1 σ ^1 2 n 2 σ ^2 2 /n σ ^1 2 1 v = + n (n 1) 1 2 1 s 1 4 n (n 1) 2 2 2 s 2 4 + (n 1 s 1 2 n2 s2 2 ) 2 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 6 Fórmulas del estadístico t para varianzas iguales y corrección de Welch.

Característica t de Student (Varianzas iguales) t de Welch (Varianzas distintas) Varianza utilizada Ponderada conjunta Separada por muestra ( y ) Error estándar Grados de libertad (número entero) Ajuste decimal ponderado según Sensibilidad Vulnerable a heterocedasticidad Robusta ante dispersiones dispares ERROR FRECUENTE Aplicar la prueba clásica de Student cuando las varianzas son heterogéneas genera grados de libertad inflados de forma artificial. Esto altera el error tipo I e incrementa el riesgo de declarar significación estadística donde no la hay; en caso de duda sobre homocedasticidad, debe adoptarse la corrección de Welch.

ESQUEMA Elección del estadístico según varianzas s 2 σ ^1 2 σ ^2 2 s /n + s /n 2 1 2 2 /n + /n σ ^1 2 1 σ ^2 2 2 n + 1 n 2 2 c Comparación de 2 medias Datos cuantitativos independientes Varianzas iguales Prueba t de Student clásica Varianza mancomunada gl = n1 + n2 - 2 Varianzas distintas Ajuste de Welch Varianzas separadas gl ajustados según término c Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 7 IDEAS CLAVE Los supuestos del modelo son muestreo aleatorio, escala de intervalo o superior, independencia, normalidad y homocedasticidad. Bajo varianzas iguales, se computa una varianza agrupada ponderada y los grados de libertad son exactamente .

Frente a varianzas desiguales, la prueba de Welch preserva las varianzas independientes y penaliza los grados de libertad. Los grados de libertad de Welch resultan habitualmente en valores con decimales menores a . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Qué ocurre con los grados de libertad efectivos si se vulnera el supuesto de independencia entre sujetos? 12. ¿Qué ponderación asume el término c en el cálculo de los grados de libertad de Welch? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Cuál es la consecuencia de asumir varianzas iguales cuando en realidad son dispares? 14. ¿Cómo se calcula la varianza mancomunada s_*² bajo homocedasticidad? 15.

¿Qué prueba específica se utiliza en muestras pequeñas para verificar el supuesto de normalidad?

s 2 n + 1 n 2 2 n + 1 n 2 2 La distribución muestral pasa a ser asimétrica positiva obligada a) Se invalida la escala métrica de la variable dependiente b) El estadístico t siempre adopta un valor estrictamente nulo c) Se sobreestiman los grados de libertad y distorsiona el p-valor d) Ponderando varianzas muestrales por sus grados de libertad individuales a) Restando la varianza menor de la mayor y dividiendo por n1+n2 b) Multiplicando las desviaciones típicas muestrales por n1 y n2 c) Calculando el promedio simple aritmético de ambas varianzas d) Prueba de Shapiro-Wilk a) Razón de varianzas F de Snedecor b) Prueba de Levene c) D de Cohen estandarizada d) Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 8 16.

¿Qué valor adoptan los grados de libertad en el procedimiento de Welch? 3 Aplicación práctica: contraste de homocedasticidad, dirección y software AL ACABAR SABRÁS Interpretar los contrastes de homogeneidad de varianzas mediante el estadístico F y la prueba de Levene. Analizar tablas de resultados de software identificando estadísticos, grados de libertad y p- valores. Distinguir el comportamiento del p-valor en contrastes unilaterales frente a bilaterales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Por qué un contraste unilateral puede arrojar un p-valor de 0,99 a pesar de existir una marcada distancia entre las medias?

Verificación preliminar de homocedasticidad mediante razón de varianzas Antes de aplicar la prueba para grupos independientes, se debe contrastar la igualdad de varianzas en las poblaciones de origen: Un método habitual consiste en formar el cociente entre las varianzas muestrales insesgadas mediante la distribución de Snedecor, colocando siempre la mayor varianza en el numerador: En el ejemplo de contraste del peso inicial en función del sexo con muestras de mujeres y hombres, las dispersiones obtenidas fueron y : Con grados de libertad y , la probabilidad unilateral observada es .

Al ser superior al umbral de riesgo habitual, no existe evidencia empírica para rechazar la hipótesis de varianzas iguales. Por tanto, se asume homocedasticidad.

Un valor idéntico a n1 + n2 - 1 a) El tamaño de la muestra más pequeña menos uno b) Una cifra corregida que puede contener decimales c) Siempre el doble de la muestra mayor d) t H : 0 σ = 1 2 σ 2 2 H : 0 = σ 2 2 σ 1 2 1 F F = σ ^2 2 σ ^1 2 F (v = 1 n 1 1, v = 2 n 2 1) n = 1 60 n = 2 60 = σ ^1 17,1329 = σ ^2 15,6585 F = = (15,6585)2 (17,1329)2 = 245,188 293,536 1,1972 v = 1 59 v = 2 59 p = 0,24577 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 9 Cálculo del estadístico e interpretación en tablas de software Al satisfacerse la homogeneidad de varianzas, se calcula la varianza ponderada conjunta: A partir de las medias y , el estadístico arroja: Con grados de libertad, la probabilidad unilateral es y la probabilidad bilateral asciende a p = 0,01392 (reportada habitualmente en el software como 0,014).

Al situarse por debajo de 0,05, se rechaza la hipótesis nula: existe relación entre el sexo y el peso inicial. Tabla de resultados de la prueba t para muestras independientes en SPSS. En las salidas estándar de programas estadísticos, la fila superior corresponde al modelo que asume varianzas iguales y la inferior al modelo corregido de Welch. En este análisis, la prueba de Levene corrobora la homocedasticidad ( , ), validando la lectura de la primera fila. COMPRUEBA 18 En una salida informática, si la prueba de Levene obtiene p = 0,02, ¿qué fila del informe debe interpretarse?

Impacto de la hipótesis unilateral frente a la bilateral La delimitación previa de la hipótesis condiciona el cálculo del -valor y la distribución de la región de rechazo: Si la dirección empírica coincide con la predicción unilateral, el -valor resultante es exactamente la mitad del valor bilateral. Esto amplía la potencia de detección. Si la diferencia muestral apunta en sentido contrario al esperado, es imposible rechazar la hipótesis nula. En estos casos el estadístico cae en la cola opuesta y genera .

s = 2 = 60 + 60 2 (60 1)(17,1329) + (60 1)(15,6585) 2 2 269,3624 = X ˉ1 124,0948 = X ˉ2 131,5753 t t = = + 60 269,3624 60 269,3624 (124,0948 131,5753) 0 = 2,9965 7,4805 2,4964 v = 118 p = 0,00696 F = 0,246 p = 0,621 p p p > 0,50 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 10 Salida en R que ilustra la discrepancia entre contraste unilateral y bilateral. Un ejemplo con puntuaciones de ansiedad ante las matemáticas ilustra este fenómeno: cuando la media del grupo experimental resultó ser superior en lugar de inferior ( ), el contraste unilateral arrojó un , imposibilitando el rechazo de .

Por el contrario, el contraste bilateral sobre esos mismos datos obtuvo un con un intervalo de confianza al 95 % entre 2,335 y 13,537, permitiendo descartar la igualdad poblacional. PARA RECORDARLO Si el intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de medias no incluye el valor 0 dentro de sus límites, la decisión es equivalente a rechazar la hipótesis nula con un nivel alfa de 0,05.

CAUSAS Y CONSECUENCIAS Hipótesis unilateral rígida Se plantea que grupo 1 será menor que grupo 2 Media muestral inesperada El grupo 1 obtiene una media mayor que grupo 2 Dirección predicha errónea en prueba unilateral Estadístico en cola contraria El valor empírico se aleja de la zona de rechazo p-valor superior a 0,50 Imposibilidad matemática de rechazar H0 t = 2,8244 p = 0,9969 H 0 p = 0,00611 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 11 IDEAS CLAVE El contraste previo de homogeneidad de varianzas mediante F o Levene determina qué fila de resultados de la prueba t debe leerse. Si la prueba de Levene no es estadísticamente significativa (p > 0,05), se asumen varianzas iguales.

Un contraste unilateral divide a la mitad el p-valor bilateral únicamente si el efecto muestral coincide con la dirección postulada. Si la diferencia empírica se desvía en sentido inverso al esperado en una prueba de una cola, el p-valor supera 0,50 e impide el rechazo de H0. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Por qué se coloca la varianza mayor en el numerador al calcular el cociente F de Snedecor? 20. ¿Qué conclusión se deriva si el intervalo de confianza para la diferencia de medias abarca desde -0,21 hasta 4,94? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. ¿Qué indica un p-valor de 0,621 en la prueba de Levene? 22.

¿Qué ocurre en una prueba unilateral si los datos contradicen la dirección predicha? 23. ¿Cuál es la relación matemática entre el p bilateral y el unilateral alineado con H1?

Las medias de ambos grupos son estadísticamente distintas a) Se asume homocedasticidad en las varianzas b) Es imperativo aplicar la corrección de Welch c) El tamaño del efecto es nulo d) El estadístico t pasa a distribuirse como normal a) El p-valor se vuelve mayor a 0,50 b) Se rechaza automáticamente la hipótesis nula c) Se duplica el nivel de significación alfa d) El p unilateral es el cuadrado del bilateral a) El p unilateral equivale a la mitad del bilateral b) Ambos valores de p son idénticos c) El p unilateral es siempre el doble del bilateral d) Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 12 24.

¿Cómo se confirma gráficamente el rechazo de H0 a través de un intervalo de confianza al 95%? 4 Magnitud de la diferencia y tamaño del efecto AL ACABAR SABRÁS Comprender las limitaciones del p-valor frente a incrementos del tamaño muestral. Calcular e interpretar la d de Cohen a partir de parámetros muestrales o del valor del estadístico t. Computar los coeficientes r y eta-cuadrado para dimensionar la proporción de variabilidad explicada. PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 ¿Por qué un estudio con 100.000 sujetos puede encontrar una diferencia estadísticamente significativa que carezca por completo de utilidad práctica?

Limitaciones de la significación estadística clásica La significación estadística ( ) solo indica que la disparidad observada no puede atribuirse con facilidad al simple azar muestral. No obstante, no cuantifica la trascendencia práctica ni la fuerza real de la relación, ni demuestra una relación de causa-efecto. El p-valor presenta una dependencia directa del tamaño de la muestra. En muestras muy numerosas, mínimas diferencias numéricas sin relevancia práctica resultan estadísticamente significativas. En contraste, muestras pequeñas pueden enmascarar efectos sustanciales por falta de potencia estadística.

Por esta razón, la inferencia debe complementarse con estimadores de la magnitud del efecto, los cuales son independientes del tamaño de la muestra. Gráfica de solapamiento poblacional según la magnitud del efecto (débil frente a fuerte).

Comprobando que ambos extremos coincidan exactamente con la media a) Verificando que incluya simultáneamente números positivos y negativos b) Observando que su amplitud total sea inferior a la unidad c) Comprobando que el intervalo no contiene el valor 0 d) p < 0,05 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 13 Medidas estandarizadas del tamaño del efecto Para cuantificar la separación de manera comparable entre investigaciones que emplean diferentes métricas o instrumentos, se utilizan estimadores de estandarización: 1.

Diferencia de medias estandarizada ( de Cohen) Expresa la distancia entre promedios dividida por la desviación típica mancomunada: De forma directa a partir del valor de obtenido y los tamaños muestrales, se computa como: Cualquier valor de entre 0 y ±0,2 indica un tamaño del efecto pequeño (diferencia pequeña). 2. Coeficiente de correlación derivado ( ) Mide la correlación puntual asociada al contraste mediante la fórmula: 3.

Coeficiente eta-cuadrado ( ) Determina la proporción de varianza de la variable cuantitativa dependiente explicada por la pertenencia a los grupos de la variable independiente: Aunque es más común en diseños con más de dos grupos (como ANOVA), se aplica igualmente en contrastes de dos muestras independientes. EJEMPLO En una prueba de ansiedad con , , , , y , el estadístico fue . La distancia estandarizada arrojó (o 0,12 en valor absoluto), y el coeficiente correlacional fue . Independientemente del signo, indica una magnitud de efecto pequeña. COMPRUEBA 26 ¿En qué se distingue la información aportada por el p-valor de la ofrecida por la d de Cohen?

d d = n +n 2 1 2 (n 1)s +(n 1)s 1 1 2 2 2 2 X ˉ1 X ˉ2 t d = = n 2 t n + n 1 2 2 t d r t r = = t + v 2 t2 t + (n + n 2) 2 1 2 t2 η2 η = 2 t + N 2 2 t2 η2 = X ˉ1 58,34 = X ˉ2 60,02 s = 1 11,46 s = 2 16,13 n = 1 40 n = 2 36 t = 0,5197 d = 0,12 r = 0,06 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 14 ERROR FRECUENTE Confundir significación estadística con significación práctica. Con muestras grandes (por ejemplo, miles de participantes), cualquier diferencia mínima puede ser estadísticamente significativa con a pesar de que el tamaño del efecto sea trivial ( ). Siempre deben reportarse ambos indicadores de manera conjunta.

IDEAS CLAVE El p-valor está condicionado por el volumen muestral, mientras que los índices de tamaño del efecto no dependen de n. La d de Cohen expresa la diferencia entre promedios en unidades de desviación típica mancomunada. El coeficiente r y el eta-cuadrado cuantifican la proporción de variabilidad asociada al contraste. Un valor de d de Cohen en torno a ±0,2 define un efecto pequeño en la escala convencional. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27. ¿Cómo se calcula la d de Cohen directamente a partir del estadístico t obtenido? 28. ¿Qué representa el índice eta-cuadrado en una comparación bivariada? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 29.

¿Cuál es la principal ventaja de las medidas del tamaño del efecto sobre el p-valor? 30. En la escala de la d de Cohen, ¿qué magnitud describe un valor de 0,12? 31. ¿Qué evalúa el coeficiente de correlación r derivado del estadístico t?

p < 0,001 d < 0,1 Eliminan la necesidad de contar con datos cuantitativos a) Garantizan una relación causal directa entre variables b) Permiten omitir la comprobación del supuesto de normalidad c) No se encuentran condicionadas por el tamaño de la muestra d) Efecto pequeño a) Efecto nulo exacto b) Efecto grande c) Efecto moderado d) El cociente de varianzas poblacionales bajo H0 a) La asociación entre los grupos y la variable dependiente b) El grado de asimetría de la distribución muestral c) La tasa exacta de error tipo I tolerado d) Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 15 32. ¿Cuál es la expresión para calcular el índice eta-cuadrado a partir de t y el tamaño N?

5 Formulario Distribución muestral y estadístico t Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : estimador insesgado; : medias muestrales Estimación puntual de la diferencia de medias poblacionales : varianzas poblacionales; : tamaños muestrales Error estándar teórico con varianzas poblacionales conocidas Multiplicar por : tamaño de la población finita; : tamaño muestral total Corrección por finitud cuando el muestreo se extrae de poblaciones finitas : varianza conjunta ponderada; : valor hipotetizado (habitualmente 0) Contraste de Student bajo supuesto de homocedasticidad ( ) : varianzas muestrales separadas (cuasivarianzas) Contraste con corrección de Welch ante heterocedasticidad ( ) Homocedasticidad y grados de libertad Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : varianza mayor (numerador); : varianza menor (denominador) Contraste previo de razón de varianzas con distribución : varianza agrupada; : grados de libertad parciales Estimación de la varianza mancomunada si se asumen varianzas iguales : grados de libertad totales Grados de libertad para de Student ordinaria (se pierden 2 gl al estimar 2 medias) : ponderación de la primera muestra Cálculo de grados de libertad corregidos de Welch (suele arrojar decimales) : varianzas muestrales de cada grupo Expresión alternativa para los grados de libertad de Welch t / (N - 1) a) 2"t" / N b) t² / (t² + N - 2) c) (t² - 1) / (N - 2) d) = δ ^ X ˉ1 X ˉ2 δ ^ , X ˉ1 X ˉ2 δ = μ 1 μ 2 σ = X ˉ1 X ˉ2 + n 1 σ1 2 n 2 σ 2 2 σ , σ 1 2 2 2 n , n 1 2 N 1 N n N n t = + n 1 s 2 n 2 s 2 ( ) δ X ˉ1 X ˉ2 s 2 δ t σ = 1 2 σ 2 2 t = + n 1 σ ^1 2 n 2 σ ^2 2 ( ) δ X ˉ1 X ˉ2 , σ ^1 2 σ ^2 2 t σ = 1 2 σ 2 2 F = σ ^2 2 σ ^1 2 σ ^1 2 σ ^2 2 F (n 1 1, n 2 1) s = 2 n +n 2 1 2 (n 1) +(n 1) 1 σ ^1 2 2 σ ^2 2 s 2 n 1 1, n 2 1 v = n + 1 n 2 2 v t v = (n 1)c +(1 c) (n 1) 2 2 2 1 (n 1)(n 1) 1 2 c = /n + /n σ ^1 2 1 σ ^2 2 2 /n σ ^1 2 1 v = + n (n 1) 1 2 1 s 1 4 n (n 1) 2 2 2 s 2 4 + (n 1 s 1 2 n 2 s 2 2 ) 2 s , s 1 2 2 2 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 16 Magnitud del efecto Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : d de Cohen; denominador: desviación típica agrupada Diferencia de medias estandarizada con datos muestrales : valor absoluto del estadístico observado; : total de observaciones Cálculo abreviado de la d de Cohen a partir del estadístico : coeficiente de correlación derivado; Cuantificación del tamaño del efecto en métrica de correlación : eta-cuadrado; Proporción de varianza de la variable cuantitativa explicada por los grupos Reglas de decisión y errores típicos Secuencia de decisión: Formular y Verificar supuestos (normalidad con Shapiro-Wilk y varianzas con Levene o ) Elegir clásica o Welch Calcular estadístico y -valor Si (o el IC al 95 % no incluye el 0), rechazar .

Prueba unilateral y dirección incorrecta: Si los datos empíricos apuntan al sentido opuesto al predicho en , el -valor resulta mayor a 0,50 y es imposible rechazar . Significación estadística vs. práctica: Con tamaños muestrales muy grandes, cualquier discrepancia mínima produce sin relevancia real. El tamaño del efecto ( ) no depende de y debe informarse siempre. Umbral de Cohen: Valores de entre 0 y se consideran un efecto pequeño.

d = n +n 2 1 2 (n 1)s +(n 1)s 1 1 2 2 2 2 X ˉ1 X ˉ2 d d = n +n 1 2 2 t t n + 1 n 2 t r = t +(n +n 2) 2 1 2 t2 r v = n + 1 n 2 2 η = 2 t +N 2 2 t2 η2 N = n + 1 n 2 H 0 α F t p p α H 0 H 1 p H 0 p < 0,05 d, r, η2 n d ±0,2 Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 17 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque las fluctuaciones del muestreo aleatorio producen diferencias por simple azar; se requiere evaluar si dicha distancia excede la variabilidad intrínseca esperada. 2. Porque la variabilidad determina el error estándar del estimador. Con menor dispersión, la incertidumbre muestral se reduce y una diferencia de 2 puntos destaca de forma concluyente respecto al ruido aleatorio. 3.

El parámetro es la diferencia de medias poblacionales , contrastando habitualmente si . 4. Se incorpora cuando el muestreo probabilístico procede de poblaciones finitas de tamaño conocido . 5. c) Independencia entre la variable dicotómica y continua. No rechazar la hipótesis nula indica que pertenecer a un grupo u otro no altera la media de la variable dependiente. 6. b) La diferencia entre medias muestrales. La resta directa de los promedios muestrales X̄1 - X̄2 estima de manera insesgada a μ1 - μ2. 7. c) Sigue una distribución normal paramétrica. Al conocerse los parámetros de varianza poblacional, el estimador se modela bajo una ley normal. 8. a) Multiplicar por la raíz de (N-n)/(N-1).

Ese cociente bajo la raíz cuadrada constituye el factor clásico de corrección por finitud poblacional. 9. Porque la suposición de una dispersión común compartida queda invalidada, lo que subestima el error estándar y altera la probabilidad teórica de cometer un falso positivo. 10. Porque para computar las varianzas de ambos grupos independientes es obligatorio estimar previamente las medias de ambos colectivos a partir de los datos empíricos. 11. Los grados de libertad efectivos se reducen porque las respuestas covariadas aportan menos información independiente al contraste. 12.

Representa la proporción que aporta el error estándar muestral del primer grupo respecto a la suma combinada de ambos errores estándar. 13. d) Se sobreestiman los grados de libertad y distorsiona el p-valor. No corregir por heterocedasticidad mantiene grados de libertad irreales y altera el riesgo de error tipo I. 14. a) Ponderando varianzas muestrales por sus grados de libertad individuales. La fórmula multiplica cada varianza por (n - 1) y divide por los grados de libertad totales (n1 + n2 - 2). 15. a) Prueba de Shapiro-Wilk. Shapiro-Wilk evalúa si la distribución empírica de una muestra discrepa significativamente de la normalidad. 16. c) Una cifra corregida que puede contener decimales.

La fórmula de Welch genera grados de libertad ajustados que raramente son números enteros. 17. Porque la distancia se produjo en el sentido opuesto al pronosticado en la hipótesis de una sola cola, cayendo en la zona contraria a la región de rechazo. 18. Debe interpretarse la fila de «No se han asumido varianzas iguales», ya que un p-valor menor a 0,05 rechaza la homocedasticidad y exige la solución de Welch. 19. Para asegurar un estadístico F mayor o igual a 1, permitiendo contrastar el valor contra la cola superior derecha de la distribución. δ = μ 1 μ 2 δ = 0 N Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 18 20.

Al incluir el cero, no se puede rechazar la hipótesis nula de igualdad poblacional a ese nivel de confianza. 21. b) Se asume homocedasticidad en las varianzas. Al ser mayor que 0,05, no hay evidencia de heterocedasticidad y se asume igualdad de varianzas. 22. b) El p-valor se vuelve mayor a 0,50. Al situarse en la cola opuesta a la hipótesis alternativa, el área acumulada excede 0,50 impidiendo el rechazo. 23. b) El p unilateral equivale a la mitad del bilateral. Al concentrarse el 5% de riesgo en un solo extremo, el p unilateral resultante es exactamente la mitad. 24. d) Comprobando que el intervalo no contiene el valor 0.

Si el cero no forma parte del intervalo de confianza para la diferencia de medias, se rechaza H0 al nivel 0,05. 25. Porque una muestra tan grande dota al contraste de una potencia tan extrema que detecta desviaciones mínimas e irrelevantes como estadísticamente distintas de cero. 26. El p-valor evalúa si la diferencia observada es explicable por azar considerando el tamaño muestral, mientras que la d de Cohen mide la distancia real estandarizada entre promedios con independencia de n. 27. Mediante la relación . 28. La proporción de variabilidad total de la variable cuantitativa que queda explicada por el grupo de procedencia. 29. d) No se encuentran condicionadas por el tamaño de la muestra.

El tamaño del efecto cuantifica la magnitud real sin alterarse artificialmente por el volumen de n. 30. a) Efecto pequeño. Cualquier valor entre 0 y ±0,2 se cataloga convencionalmente como un efecto pequeño. 31. b) La asociación entre los grupos y la variable dependiente. El índice r transforma el estadístico de contraste en una métrica de asociación correlacional. 32. c) t² / (t² + N - 2). La fórmula vincula el estadístico t al cuadrado dividido entre la suma de t² y los grados de libertad (N - 2). d = n +n 1 2 2 t Prueba t para Muestras Independientes: Apuntes 19