Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica

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APUNTES MATRICES Y VECTORES Grado en Matemáticas Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de vectores y matrices: suma, producto escalar, norma, ortogonalidad, producto matricial y matriz traspuesta con ejercicios resueltos paso a paso.

APREN.AI Índice Vectores 1 Definición geométrica y operaciones básicas Definición de vector y dimensión Igualdad de vectores e interpretación geométrica Suma y diferencia de vectores Producto por un escalar y ecuaciones vectoriales 2 Métrica: producto escalar, norma y ortogonalidad El producto escalar Norma euclídea y distancia entre puntos Ortogonalidad y cálculo de parámetros Matrices 3 Concepto, igualdad y tipología Definición de matriz y notación posicional Criterio de igualdad matricial Tipología general y matrices cuadradas Variedades de matrices cuadradas 4 Álgebra matricial básica: suma y producto escalar Suma de matrices y compatibilidad dimensional Multiplicación de una matriz por un escalar Propiedades algebraicas de las operaciones matriciales 5 Multiplicación matricial y matriz traspuesta Multiplicación de matrices No conmutatividad del producto matricial Matriz traspuesta y simetría Propiedades algebraicas de la trasposición 6 Formulario Álgebra y métrica de vectores Álgebra básica y tipología de matrices Multiplicación y trasposición matricial Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 1 Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 2 1 Definición geométrica y operaciones básicas AL ACABAR SABRÁS Identificar la dimensión y las componentes de un vector en . Comprobar la igualdad de vectores e interpretar su significado geométrico. Calcular la suma, la resta y el producto por un escalar componente a componente. Resolver ecuaciones vectoriales lineales mediante sistemas de componentes. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué en física no basta con decir que una fuerza es de 10 N para conocer su efecto completo?

El estudio del álgebra lineal comienza con el concepto de vector, una herramienta matemática que describe magnitudes organizadas y orientadas en el espacio. ESQUEMA Álgebra de Vectores y Matrices Vectores 1 Definición geométrica y operaciones básicas 2 Métrica: producto escalar, norma y ortogonalidad Rn Vectores Elementos de R^n Operaciones básicas Suma y producto escalar Métrica vectorial Norma y ortogonalidad Matrices Tablas bidimensionales Tipología matricial Clasificación de matrices Álgebra de matrices Producto y traspuesta Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 3 Definición de vector y dimensión Un vector es una colección ordenada de números reales.

Cada uno de estos números se denomina componente. Se denota habitualmente con una flecha sobre una letra latina o griega: El número total de elementos determina la dimensión del vector. Si contiene componentes, pertenece al espacio vectorial . EJEMPLOS DE VECTORES tiene 3 componentes; su dimensión es 3 y pertenece a . tiene 4 componentes; su dimensión es 4 y pertenece a . Etimológicamente, la palabra vector procede del latín y alude al que transporta o lleva. En física se vincula a magnitudes orientadas como las fuerzas o velocidades, y en psicología se emplea para describir pautas de comportamiento.

Igualdad de vectores e interpretación geométrica Dos vectores son equivalentes si y solo si coinciden en cada posición respectiva. El orden de los elementos determina la identidad del vector: ERROR FRECUENTE Dos vectores con idénticos valores numéricos pero colocados en distinto orden no son iguales. Por ejemplo, , ya que la primera componente de cada vector no coincide. Geométricamente, un vector se representa mediante un segmento orientado o flecha. En esta representación se distinguen tres atributos esenciales: Módulo o norma: longitud del segmento (véase «Vectores — Métrica: producto escalar, norma y ortogonalidad»).

Dirección: recta que contiene al segmento o cualquier recta paralela a ella. Sentido: hacia dónde apunta la punta de la flecha. Dos flechas situadas en puntos distintos del plano representan el mismo vector si sus componentes relativas son idénticas: = v (v , v , … , v ) 1 2 n n Rn = u ( 1, 2, 3) R3 = v ( , 3, , ) 2 1 2 4 3 R4 = u v u = i v i i {1, … , n} (2, 3) = (3, 2) Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 4 Gráfica de vectores equivalentes con idénticas componentes en distintas posiciones del plano. CÁLCULO DE PARÁMETROS POR IGUALDAD Determinar y para que y sean iguales: COMPRUEBA 2 ¿Son iguales los vectores (4, 0, 1) y (1, 0, 4)?

Suma y diferencia de vectores La adición de vectores de la misma dimensión se realiza término a término: De forma análoga, la resta calcula la diferencia de sus componentes correspondientes: EJEMPLO DE SUMA Y RESTA Dados y : Gráficamente, la adición responde a la regla del paralelogramo o concatenación de flechas. La diferencia conecta el extremo de con el de : a b = u ( 1, 2a, 3b) = v ( 1, a + 1, a) Primera componente: (se cumple). 1 1 = 1 Segunda componente: . 2 2a = a + 1 a = 1 Tercera componente: . 3 3b = a 3b = 1 b = 3 1 + u = v (u + 1 v , u + 1 2 v , … , u + 2 n v ) n u = v (u 1 v , u 1 2 v , …

, u 2 n v ) n = a (3, 2, 5) = b ( 2, 10, 3) + a = b (3 + ( 2), 2 + 10, 5 + ( 3)) = (1, 8, 2) a = b (3 ( 2), 2 10, 5 ( 3)) = (5, 12, 8) u v v u Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 5 Esquema geométrico de la adición y la sustracción de vectores. Producto por un escalar y ecuaciones vectoriales Al multiplicar un número real por un vector, se multiplica cada componente por dicho escalar: OPERACIONES ESCALARES DIRECTAS Combinando la suma y el producto por un escalar se resuelven ecuaciones vectoriales lineales igualando término a término. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN VECTORIAL Hallar tal que : k k (v , v , … , v ) = 1 2 n (kv , kv , …

, kv ) 1 2 n 3 (1, 2) = (3 1, 3 ( 2)) = (3, 6) 2 ( 3, 2, 7, 1) = (6, 4, 14, 2) = v (x, y, z) 3 + v 5( 1, 2, 3) = (4, 1, 3) Operar el lado izquierdo: . 1 (3x 5, 3y + 10, 3z + 15) = (4, 1, 3) Plantear el sistema por componentes: 2 3x 5 = 4 3x = 9 x = 3 3y + 10 = 1 3y = 9 y = 3 3z + 15 = 3 3z = 12 z = 4 El vector resultante es . 3 = v (3, 3, 4) Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 6 PARÁMETRO EN ECUACIÓN VECTORIAL Determinar si : COMPRUEBA 3 Si k · (2, -4) = (-6, 12), ¿cuánto vale k? IDEAS CLAVE Un vector en es una secuencia ordenada de números reales llamados componentes. Dos vectores son iguales si y solo si todas sus componentes correspondientes coinciden exactamente una a una.

Geométricamente, un vector queda definido por su norma, dirección y sentido, independientemente de su punto de aplicación. La suma y resta se efectúan coordenada a coordenada entre vectores de la misma dimensión. El producto por un escalar multiplica dicho número por todas y cada una de las componentes del vector. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿Por qué los vectores y no son iguales si tienen las mismas cifras? 5. Al multiplicar -3 por el vector , ¿cuál es el vector resultante? VECTORES 2 Métrica: producto escalar, norma y ortogonalidad AL ACABAR SABRÁS Calcular el producto escalar de parejas de vectores en cualquier dimensión finita.

Determinar la norma de un vector y la distancia euclídea entre dos puntos. Hallar parámetros desconocidos para hacer que dos vectores resulten ortogonales. k (1, 6) = 4(k, 2) 3(1, 3 k) Desarrollar el miembro derecho: . 1 (4k 3, 8 9 + 3k) = (4k 3, 3k 17) Primera componente: . 2 1 = 4k 3 4k = 4 k = 1 Segunda componente: . 3 6 = 3k 17 3k = 11 k = 3 11 Como los valores de no coinciden, no existe solución para . 4 k k Rn n (1, 2) (2, 1) (2, 5, 0) Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 7 PIÉNSALO ANTES DE LEER 6 ¿Puede el producto escalar de dos vectores con componentes positivas y negativas anularse por completo sin que ninguno sea el vector cero?

El producto escalar El producto escalar (o producto interior) es una operación algebraica entre dos vectores de la misma dimensión que da como resultado un número real (un escalar). Se calcula sumando los productos de sus coordenadas correspondientes. DEFINICIÓN Dados dos vectores y en , su producto escalar se define como: EJEMPLO Calculamos el producto escalar entre y : ERROR FRECUENTE El producto escalar produce un número real, jamás un nuevo vector. Nunca escribas el resultado entre paréntesis con comas. COMPRUEBA 7 ¿Cuál es el producto escalar de los vectores (2, 0) y (0, 1)? Norma euclídea y distancia entre puntos La norma o módulo de un vector mide su longitud geométrica.

Se simboliza mediante una doble barra para distinguirla del valor absoluto escalar , denotado con barra simple. DEFINICIÓN La norma euclídea de un vector se calcula como la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo: A partir de la norma se define la separación métrica entre dos puntos en el espacio. = v (v , v , … , v ) 1 2 n = u (u , u , … , u ) 1 2 n Rn v = u v 1 u + 1 v 2 u + 2 + v n u n = v (1, 7, 2) = w (0, 2, 1) v = w (1 0) + (7 ( 2)) + (( 2) ( 1)) = 0 14 + 2 = 12 v x = v = v v v + v + + v 1 2 2 2 n 2 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 8 Esquema geométrico del vector distancia y sus componentes rectangulares.

La distancia euclídea entre dos puntos y coincide con la norma del vector que une ambos extremos, : Esta medida es simétrica: el resultado no depende de cuál punto se elija como origen o extremo. P (p , p ) 1 2 Q(q , q ) 1 2 = u = P Q (q 1 p , q 1 2 p ) 2 dist(P , Q) = = P Q (q p ) + (q p ) 1 1 2 2 2 2 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 9 Gráfica del segmento y la distancia entre los puntos P y Q. EJEMPLO Determinamos la distancia entre los puntos y : COMPRUEBA 8 ¿Cómo varía la distancia entre P y Q si se calcula la norma de QP en lugar de PQ?

Ortogonalidad y cálculo de parámetros En geometría analítica, decir que dos vectores son ortogonales equivale a decir que son perpendiculares, es decir, que forman un ángulo recto de . Se representa formalmente mediante la notación . P (1, 4) Q( 2, 5) Formamos las componentes del vector director: . 1 = P Q ( 2 1, 5 4) = ( 3, 1) Calculamos la norma del vector: 2 dist(P , Q) = = P Q = ( 3) + 1 2 2 = 9 + 1 unidades 10 90 u v Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 10 Esquema aclaratorio que equipara el término ortogonal con perpendicular.

PARA RECORDARLO La condición analítica fundamental establece que dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero: PROCESO Criterio de ortogonalidad entre vectores 1 Multiplicación de componentes Se calcula u1·v1 + ... + un·vn 2 Comprobación del resultado Se verifica si la suma escalar vale cero 3 Conclusión geomé trica Ángulo de 90° entre ambos vectores EJEMPLO: PARÁMETRO EN DIMENSIÓN 4 Hallemos para qué valores reales de resultan perpendiculares los vectores y .

u v u = v 0 x (x, x 8, x, x) (x, 1, 2, 1) Planteamos la condición de ortogonalidad igualando a cero su producto escalar: 1 x x + ( x 8) 1 + x ( 2) + x 1 = 0 Simplificamos la expresión algebraica: 2 x 2 x 8 2x + x = x 2 2x 8 = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática mediante la fórmula general: 3 x = = 2 2 ± ( 2) 4(1)( 8) 2 = 2 2 ± 4 + 32 2 2 ± 6 Obtenemos las soluciones x = 4 y x = -2. Ambos valores hacen perpendiculares a los vectores dados. 4 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 11 EJEMPLO: COMBINACIÓN LINEAL Y PERPENDICULARIDAD Considerando los vectores y , determinamos el parámetro para que el vector sea perpendicular a .

COMPRUEBA 9 ¿Qué valor debe tener k para que (k, 3) sea ortogonal a (6, -2)? IDEAS CLAVE El producto escalar suma los productos componente a componente y devuelve un valor numérico escalar, no un vector. La norma euclídea representa la longitud del vector y equivale a la raíz de la suma de sus componentes al cuadrado. La distancia entre dos puntos coincide con la norma del vector que va de uno al otro. Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si y solo si su producto escalar es nulo: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 10. ¿Cómo se define analíticamente la norma de un vector v a partir del producto escalar? 11.

¿Cuál es la condición matemática para verificar si dos vectores son perpendiculares? = u (1, 1, 0) = v (0, 1, 1) m = w m u v u Expresamos en componentes: 1 w = w m(1, 1, 0) (0, 1, 1) = (m, m 1, 1) Imponemos la condición analítica : 2 u = w 0 (1, 1, 0) (m, m 1, 1) = 0 Efectuamos el cálculo de cada sumando: 3 1 m + ( 1)( m 1) + 0 ( 1) = m + m + 1 = 2m + 1 = 0 Despejamos el escalar: 4 2m = 1 m = 2 1 v u = v 0 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 12 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 12. ¿Qué propiedad define a dos vectores como idénticos? 13. ¿Cuál es el resultado de sumar (3, -2) y (-5, 4)? 14.

Geométricamente, ¿qué tres atributos caracterizan a un vector? 15. Si se multiplica un vector por el escalar 0, ¿qué se obtiene? 16. ¿Qué tipo de objeto matemático se obtiene al efectuar un producto escalar entre dos vectores? 17. ¿Cuál es el valor del producto escalar entre los vectores (1, 1) y (1, -1)? 18. ¿Qué relación geométrica existe entre dos vectores no nulos cuyo producto escalar es igual a cero? 19. ¿Cómo se calcula la distancia geométrica entre dos puntos P y Q en el plano?

Misma longitud sin importar orientación a) Iguales componentes en las mismas posiciones b) Mismo número de elementos positivos c) Misma suma total de componentes d) (-2, 2) a) (8, -6) b) (-2, -2) c) (2, 2) d) Módulo, dirección y sentido a) Vértice, arista y plano b) Origen, cuadrante y curvatura c) Base, altura y área d) El número real 0 a) El vector idéntico original b) Una indeterminación algebraica c) Un vector con todas sus componentes nulas d) Una matriz cuadrada a) Un conjunto ordenado b) Un vector perpendicular c) Un número real o escalar d) 0 a) 1 b) -2 c) 2 d) Tienen el mismo sentido a) Son paralelos coincidentes b) Son ortogonales entre sí c) Poseen norma unitaria d) Calculando la norma de Q - P a) Multiplicando escalarmente P y Q b) Sumando las coordenadas de ambos c) Restando los módulos individuales d) Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 13 3 Concepto, igualdad y tipología AL ACABAR SABRÁS Identificar la dimensión de una matriz y localizar elementos mediante subíndices Aplicar el criterio de igualdad término a término para resolver incógnitas Diferenciar las diagonales principal y secundaria en matrices cuadradas Clasificar matrices según su disposición en triangulares, diagonales o identidades PIÉNSALO ANTES DE LEER 20 ¿Por qué no basta con que dos matrices tengan la misma cantidad de números para poder considerarse iguales?

El álgebra lineal organiza colecciones de datos numéricos en estructuras bidimensionales para operar con ellos de forma sistemática.

ESQUEMA Estructura del tema de Matrices Matrices 3 Concepto, igualdad y tipología 4 Álgebra matricial básica: suma y producto escalar 5 Multiplicación matricial y matriz traspuesta Concepto y tipología Definición, dimensiones, igualdad y tipos Álgebra básica Adición de matrices y ponderación escalar Multiplicación y trasposición Producto matricial y propiedades de la traspuesta Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 14 Definición de matriz y notación posicional Una matriz es una disposición rectangular de números distribuidos en filas horizontales y columnas verticales. Si un arreglo consta de filas y columnas, se dice que presenta dimensión .

Cada entrada individual se identifica mediante la notación con subíndices . El primer índice, , señala la fila donde se ubica el elemento, mientras que el segundo índice, , determina la columna correspondiente. EJEMPLO Consideremos la matriz de orden : El término en la primera fila y segunda columna es . Por su parte, la posición en la segunda fila y primera columna corresponde a . Las matrices resultan ideales para sintetizar tablas de datos.

Por ejemplo, si una red de transporte registra las salidas diarias de tres líneas ( , y ) durante tres días sucesivos (lunes: 5 en A, 3 en B, 4 en C; martes: 2 en A, 1 en B, 4 en C; miércoles: 1 en A, 3 en B, 5 en C), la información se condensa directamente en una estructura matricial de tamaño : Criterio de igualdad matricial Dos matrices y resultan estrictamente iguales si poseen idéntica dimensión y coinciden valor a valor en todas sus posiciones relativas: m n m × n A = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 … … …

a 1n a 2n a mn a ij i j M 2 × 3 M = ( 1 3 2 4 5 2 ) a = 12 2 a = 21 3 A B C 3 × 3 M = 5 2 1 3 1 3 4 4 5 A B A = B a = ij b para todo i, j ij Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 15 EJEMPLO Para determinar las incógnitas , y que satisfacen la igualdad: Se igualan las posiciones homólogas: Posición (1,1): Posición (1,2): Posición (2,3): Al sustituir estos valores en las demás posiciones ( y ), se comprueba la equivalencia completa. COMPRUEBA 21 ¿Pueden ser iguales una matriz de dimensión 2 × 3 y una de dimensión 3 × 2 si contienen exactamente los mismos números dispuestos en otro orden?

Tipología general y matrices cuadradas Según su silueta y la disposición de sus ceros, las matrices adoptan denominaciones concretas: Tipo de matriz Descripción estructural Ejemplo Matriz fila Formada por una sola fila y columnas ( ). Matriz columna Formada por una única columna y filas ( ). Matriz nula Todos sus elementos son iguales a cero. Matriz cuadrada Posee el mismo número de filas que de columnas ( , orden ). En una matriz cuadrada de orden se distinguen dos trayectorias diagonales fundamentales: Diagonal principal: integrada por los coeficientes donde coinciden fila y columna, es decir, los elementos que cumplen i = j ( ).

Diagonal secundaria: integrada por las entradas cuyos índices suman la dimensión incrementada en uno, esto es, las posiciones que cumplen i + j = n + 1. x y z = ( x + 1 z + 1 3 x + 2 0 z 1 ) ( 2 y + 2 y + 1 3 0 y ) x + 1 = 2 x = 1 3 = y + 1 y = 2 z 1 = y z 1 = 2 z = 3 a : 21 z + 1 = 4 = y + 2 a : 22 x + 2 = 3 n 1 × n (1 3 4) m m × 1 2 1 5 0 0 0 0 0 0 n × n n ( 1 2 3 1 ) n a , a , … , a 11 22 nn Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 16 Esquema de las diagonales principal y secundaria en matriz cuadrada.

Variedades de matrices cuadradas A partir de la posición de sus entradas nulas respecto a la diagonal principal, surgen clasificaciones específicas de matrices cuadradas de orden : Triangular superior: matriz donde todos los coeficientes situados por debajo de la diagonal principal son nulos ( para todo ). Triangular inferior: matriz donde todos los elementos situados por encima de la diagonal principal valen cero ( cuando ). Matriz diagonal: matriz cuadrada cuyos valores fuera de la diagonal principal son estrictamente cero ( siempre que ). Matriz identidad ( ): caso particular de matriz diagonal en la que todas las entradas de la diagonal principal son iguales a 1.

n a = ij 0 i > j A = a11 0 0 a 12 a 22 0 … … … a 1n a 2n a nn a = ij 0 i < j A = a 11 a 21 an1 0 a 22 a n2 … … … 0 0 a nn a = ij 0 i = j A = a11 0 0 0 a 22 0 … … … 0 0 a nn I n Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 17 ERROR FRECUENTE Un fallo común es confundir los conceptos de triangular superior e inferior: una matriz es triangular superior cuando los ceros están debajo de la diagonal principal (dejando los valores no necesariamente nulos en el triángulo superior), y triangular inferior cuando los ceros se encuentran arriba. COMPRUEBA 22 En una matriz cuadrada de orden 4, ¿qué condición sobre sus subíndices define a los elementos de la diagonal secundaria?

IDEAS CLAVE Una matriz de dimensión organiza datos en filas y columnas, identificándose cada término como . Dos matrices son idénticas si y solo si poseen la misma dimensión y sus coeficientes coinciden término a término. La diagonal principal agrupa los elementos con , mientras que la secundaria contiene aquellos que verifican . Una matriz triangular superior anula todos los términos donde , y una triangular inferior anula aquellos con . La matriz identidad es una matriz diagonal cuyos coeficientes principales valen todos 1. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 23. ¿Qué posiciones ocupa la diagonal principal en una matriz cuadrada de orden 3? 24.

¿En qué se distingue una matriz diagonal genérica de la matriz identidad ? I = n 1 0 0 0 1 0 … … … 0 0 1 m × n m n a ij i = j i + j = n + 1 i > j i < j I n I n Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 18 MATRICES 4 Álgebra matricial básica: suma y producto escalar AL ACABAR SABRÁS Determinar la compatibilidad dimensional requerida para la adición de matrices. Calcular sumas matriciales y productos por escalares elemento a elemento. Aplicar las propiedades algebraicas (conmutativa, asociativa, neutro, opuesto y distributivas) en operaciones combinadas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 ¿Se pueden sumar dos matrices si ambas contienen 6 números pero una tiene tamaño 2 × 3 y la otra 3 × 2?

Suma de matrices y compatibilidad dimensional La operación de suma matricial requiere una condición estricta sobre el tamaño de los operandos. Dos matrices solo pueden sumarse si poseen idéntica dimensión (es decir, el mismo número de filas y de columnas; véase «Matrices — Concepto, igualdad y tipología»). Dadas dos matrices y del mismo orden , su adición produce una nueva matriz de dimensión . Cada componente de esta matriz resultante surge de sumar directamente los valores que comparten idéntica posición: EJEMPLO Sean las matrices: Las matrices y tienen ambas dimensión , por lo que su adición es viable: En contraste, la matriz es de dimensión .

Por tanto, no es posible efectuar ni ni por incompatibilidad dimensional. m × n A = (a ) ij B = (b ) ij m × n A + B m × n A + B = (a + ij b ) = ij a + b 11 11 a + b 21 21 a + b m1 m1 a + b 12 12 a + b 22 22 a + b m2 m2 a + b 1n 1n a + b 2n 2n a + b mn mn A = , B = ( 3 7 3 5 2 6 ) , C = ( 4 2 5 6 0 3 ) 3 2 7 2 5 6 4 2 1 A B 2 × 3 A + B = = ( 3 + 4 7 + ( 2) 3 + 5 5 + 6 2 + 0 6 + ( 3) ) ( 7 5 8 1 2 3 ) C 3 × 3 A + C B + C Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 19 ERROR FRECUENTE Un fallo común es intentar sumar matrices con distinta cantidad de filas o columnas completando con ceros los huecos inexistentes.

Si dos matrices no comparten exactamente la misma dimensión , la suma no está definida matemáticamente. COMPRUEBA 26 ¿Por qué no es posible sumar una matriz de dimensión 2 × 3 con una de dimensión 3 × 2 si ambas contienen 6 elementos? Multiplicación de una matriz por un escalar El producto de un número real (denominado escalar) por una matriz consiste en multiplicar cada uno de los elementos individuales de la matriz por dicho número.

La matriz resultante conserva intacta la dimensión original : EJEMPLO Al multiplicar el escalar -2 por una matriz de tamaño , el valor multiplica a cada entrada: Al combinar la suma y la multiplicación escalar es posible calcular combinaciones lineales de matrices término a término: m × n k A kA m × n kA = ka 11 ka 21 ka 31 ka m1 ka 12 ka 22 ka 32 ka m2 ka 13 ka 23 ka 33 ka m3 ka 1n ka 2n ka 3n ka mn 2 × 3 2 = ( 3 0 3 1 3 2 ) = ( 2(3) 2(0) 2( 3) 2(1) 2(3) 2(2) ) ( 6 0 6 2 6 4 ) Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 20 EJEMPLO Dada la operación combinada para matrices de orden : COMPRUEBA 27 Si multiplicamos la matriz nula de orden 2 × 2 por cualquier escalar real k, ¿cuál es el resultado?

Propiedades algebraicas de las operaciones matriciales Las matrices de orden fijo dotadas de la suma y la multiplicación por escalares satisfacen un conjunto de propiedades fundamentales: Propiedad Expresión algebraica Descripción Conmutativa El orden de los sumandos no altera la matriz suma resultante. Asociativa La agrupación de sumandos sucesivos no altera el resultado. Elemento neutro La matriz nula (formada únicamente por ceros) deja invariante a cualquier matriz de su misma dimensión. Elemento opuesto Sumar la matriz opuesta anula todos los términos y produce la matriz cero. Distributiva (respecto a escalares) La multiplicación de una suma de escalares se distribuye sobre la matriz.

Distributiva (respecto a matrices) El producto de un escalar se reparte entre cada matriz de la adición. 2M 3N 3 × 3 2 3 1 1 3 2 5 1 0 2 3 4 1 0 0 1 2 4 2 3 Multiplicar cada matriz por su respectivo escalar: 1 6 2 2 6 4 10 2 0 4 12 3 0 0 3 6 12 6 9 Restar componente a componente las posiciones correspondientes: 2 = 6 12 2 ( 3) 2 0 6 0 4 3 10 ( 6) 2 12 0 ( 6) 4 9 6 1 2 6 1 16 10 6 13 m × n A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A A + ( A) = 0 A = ( 1)A (p + q)A = pA + qA p(A + B) = pA + pB Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 21 ESQUEMA Álgebra básica de matrices COMPRUEBA 28 ¿Cuál es la matriz opuesta de una matriz A cuyas entradas son todas iguales a 5?

IDEAS CLAVE La adición de matrices exige de forma obligatoria que ambos operandos compartan exactamente la misma dimensión . La suma matricial se obtiene operando término a término los valores situados en la misma posición relativa. El producto por un número real afecta de forma uniforme a cada entrada de la matriz sin modificar sus dimensiones. La suma matricial cumple las propiedades conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (matriz nula) y elemento opuesto. La multiplicación por escalares distribuye tanto sobre la suma de escalares como sobre la suma de matrices compatibles. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 29.

¿Qué condición dimensional imprescindible debe verificarse para sumar dos matrices y ? 30. ¿En qué consiste el producto de un escalar por una matriz ? 31. ¿Qué resultado arroja sumar una matriz con su matriz opuesta ?

Operaciones básicas Álgebra sobre matrices m × n Suma matricial Exige misma dimensión Propiedad conmutativa A + B = B + A Elemento neutro y opuesto Matriz nula y -A Producto por escalar Multiplica cada elemento Distributividad Sobre escalares y matrices m × n k A B k A A A Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 22 MATRICES 5 Multiplicación matricial y matriz traspuesta AL ACABAR SABRÁS Determinar la compatibilidad dimensional del producto matricial y calcularlo paso a paso. Demostrar mediante contraejemplos que el producto matricial no es conmutativo. Obtener la matriz traspuesta de cualquier matriz e identificar matrices simétricas.

Aplicar con corrección la propiedad de inversión al trasponer un producto matricial. PIÉNSALO ANTES DE LEER 32 ¿Si el producto de dos números reales siempre conmuta, ocurre lo mismo al multiplicar matrices cuadradas? Multiplicación de matrices Para multiplicar dos matrices no basta con que tengan el mismo tamaño, a diferencia de la suma (véase «Matrices — Álgebra matricial básica: suma y producto escalar»). La operación exige una condición estricta de compatibilidad dimensional entre ambos factores. CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD DIMENSIONAL El producto es realizable si las columnas de A igualan las filas de B.

Si la matriz presenta dimensión y la matriz tiene tamaño , la matriz producto resultante posee orden . Esquema de dimensiones compatibles y neutro multiplicativo en el producto matricial. Cada entrada de la matriz resultante se calcula multiplicando ordenadamente los elementos de la fila de por los de la columna de , sumando dichos productos parciales: El cálculo de cada término sigue estos pasos sistemáticos: A B A m × p B p × n C = A B m × n c ij C i A j B c = ij a b + i1 1j a b + i2 2j + a b ip pj Se selecciona la fila de la matriz situada a la izquierda. 1 i Se toma la columna de la matriz situada a la derecha. 2 j Se empareja cada elemento y se efectúan sus multiplicaciones individuales.

3 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 23 MULTIPLICACIÓN RECTANGULAR Dadas las matrices de orden y de dimensión , el producto genera una matriz de tamaño : Al multiplicar cualquier matriz por la matriz identidad correspondiente (véase «Matrices — Concepto, igualdad y tipología»), esta actúa como elemento neutro multiplicativo: el producto por la identidad reproduce la matriz original, cumpliéndose que e . COMPRUEBA 33 ¿Se pueden multiplicar dos matrices de tamaños 2x4 y 2x4? No conmutatividad del producto matricial En el álgebra ordinaria el orden de los factores no altera el resultado, pero en el álgebra matricial esto no ocurre.

En general, el producto matricial no es conmutativo: . Ilustración de atención sobre la no conmutatividad del producto matricial. Se suman todos los resultados parciales para consolidar el valor escalar de la celda .

4 c ij M = 1 0 0 2 1 1 3 × 2 N = ( 0 3 3 0 0 3 ) 2 × 3 M N 3 × 3 M N = = 1 0 + 2 3 0 0 + ( 1) 3 0 0 + 1 3 1 3 + 2 0 0 3 + ( 1) 0 0 3 + 1 0 1 0 + 2 3 0 0 + ( 1) 3 0 0 + 1 3 6 3 3 3 0 0 6 3 3 A I = A I A = A A B = B A Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 24 COMPROBACIÓN EMPÍRICA DE LA NO CONMUTATIVIDAD Sean las matrices cuadradas de orden : Si evaluamos el producto en el orden inicial: En cambio, al invertir el orden multiplicativo obtenemos: Como las entradas difieren por completo, queda probado que . Incluso cuando ambos factores son matrices cuadradas del mismo tamaño, sus resultados suelen diferir sustancialmente.

Si las matrices son rectangulares, intercambiar los factores puede hacer que la operación ni siquiera esté definida dimensionalmente. COMPRUEBA 34 Si A es de dimensión 3x2 y B es de 2x3, ¿tienen A·B y B·A el mismo tamaño? Matriz traspuesta y simetría La operación de trasposición consiste en reorganizar la disposición de una matriz cambiando sus filas por columnas de manera ordenada. MATRIZ TRASPUESTA Dada una matriz de orden , su traspuesta A^t posee dimensión n x m y se obtiene convirtiendo cada fila en la columna . Formalmente se verifica que .

Por ejemplo, si consideramos la matriz de tamaño : PARA RECORDARLO Al trasponer una matriz cuadrada, los elementos situados sobre la diagonal principal permanecen inalterados en sus mismas posiciones. 3 × 3 A = 5 , A = 1 2 8 0 1 4 1 1 2 6 1 0 0 3 1 0 1 0 5 A 5 A = 6 1 2 8 3 7 28 4 3 18 A 6 A = 5 15 2 40 7 1 20 2 1 10 A 5 A = 6 A 6 A 5 A m × n i i (A ) = t ij a ji 3 × 3 A = 2 1 0 7 1 3 4 2 5 A = t 2 7 4 1 1 2 0 3 5 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 25 Una matriz cuadrada recibe la denominación de matriz simétrica si coincide con su propia traspuesta, cumpliendo la condición algebraica .

ESQUEMA Propiedades algebraicas de la trasposición COMPRUEBA 35 ¿Cuál es la dimensión de la traspuesta de una matriz de tamaño 4x2? Propiedades algebraicas de la trasposición La operación de trasposición interactúa con las demás operaciones del álgebra matricial respetando ciertas identidades fundamentales: Operación Propiedad formal Descripción Doble trasposición Trasponer dos veces devuelve la matriz original. Suma matricial La traspuesta de una suma es la suma de las traspuestas. Producto por escalar El escalar se conserva sin alteración. Producto matricial La trasposición invierte el orden de los factores. ERROR FRECUENTE Asumir que es un error recurrente en los exámenes.

La trasposición exige invertir obligatoriamente el orden multiplicativo: . Si no se permutan los factores, en la mayoría de los casos el producto ni siquiera es dimensionalmente compatible. A = At Involución (A^t)^t = A Linealidad Compatibilidad con suma y escalar Suma traspuesta (A + B)^t = A^t + B^t Escalar traspuesto (k·A)^t = k·A^t Inversión de orden (A·B)^t = B^t·A^t (A ) = t t A (A + B) = t A + t Bt (k A) = t k At k (A B) = t B t At (A B) = t A t Bt (A B) = t B t At Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 26 TRASPUESTA DE UN PRODUCTO MATRICIAL Consideremos las matrices y .

Multiplicando primero y trasponiendo después: Aplicando la propiedad de la traspuesta del producto mediante : Ambos procedimientos conducen exactamente a la misma matriz final. COMPRUEBA 36 ¿A qué expresión equivale la traspuesta de la multiplicación (M·N)^t? IDEAS CLAVE El producto de matrices requiere que el número de columnas de coincida con el de filas de . El producto matricial no cumple la propiedad conmutativa en general: casi siempre . La matriz identidad actúa como elemento neutro multiplicativo cumpliendo . La matriz traspuesta intercambia filas por columnas, transformando matrices en . Una matriz cuadrada es simétrica si y solo si coincide con su propia traspuesta: .

Al trasponer una multiplicación de matrices se debe invertir el orden de los factores: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 37. ¿Qué condición dimensional deben verificar las matrices para que exista el producto ? 38. ¿Por qué la igualdad es falsa? 39. ¿Cuándo se define que una matriz cuadrada es simétrica? A = 1 0 5 7 3 4 B = ( 4 5 1 8 ) A B = 31 15 40 57 24 27 (A B) = t ( 31 57 15 24 40 27 ) B t At B t A = t ( 4 1 5 8 ) = ( 1 7 0 3 5 4 ) ( 31 57 15 24 40 27 ) A B A B A B = B A A I = A At m × n n × m A = At (A B) = t B t At A B (A B) = t A t Bt Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 27 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 40.

¿Cuál es la condición para que dos matrices A y B sean iguales? 41. En una matriz de orden n, ¿qué ecuación caracteriza la diagonal secundaria? 42. ¿Qué propiedad define a una matriz triangular superior? 43. ¿Cómo se clasifica una matriz cuadrada con ceros fuera de la diagonal y unos en ella? 44. ¿Cuándo es posible realizar la suma de dos matrices A y B? 45. ¿Cómo se calcula el producto de un número k por una matriz A? 46. ¿Qué propiedad describe la igualdad p(A + B) = pA + pB? 47. ¿Cuál es el elemento neutro para la suma de matrices de orden m × n?

Mismo número de elementos totales a) Misma dimensión y elementos homólogos iguales b) Mismo determinante y misma traza c) Que ambas sean matrices cuadradas d) i + j = n a) i + j = n + 1 b) i = j c) i - j = 1 d) Todos sus valores superiores son cero a) Elementos nulos bajo la diagonal principal b) Solo contiene ceros en la diagonal c) Elementos nulos sobre la diagonal principal d) Matriz triangular estricta a) Matriz nula b) Matriz fila c) Matriz identidad d) Cuando el número de filas coincide a) Siempre que sean matrices cuadradas b) Si tienen igual cantidad total de datos c) Solo si ambas tienen idéntica dimensión d) Multiplicando solo la primera fila a) Sumando k a cada elemento de A b) Multiplicando cada uno de sus elementos c) Multiplicando solo la diagonal principal d) Existencia de elemento opuesto a) Propiedad asociativa b) Propiedad conmutativa c) Distributiva del escalar sobre matrices d) La matriz nula de dimensión m × n a) Cualquier matriz diagonal b) La matriz identidad de orden n c) El número real cero d) Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 28 48.

Si una matriz A es de orden 3x4 y B es de 4x2, ¿cuál es el tamaño de A·B? 49. ¿Cuál es la expresión correcta para la traspuesta del producto matricial ? 50. ¿Qué igualdad caracteriza formalmente a una matriz simétrica? 51. ¿Qué ocurre generalmente al calcular A·B y B·A para matrices cuadradas? 6 Formulario Álgebra y métrica de vectores Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : componentes de los vectores Para sumar o restar vectores de la misma dimensión componente a componente. : escalar; : componentes Para multiplicar un vector por un escalar. : vectores Para obtener el producto escalar (número real).

: norma o módulo euclídeo Para hallar la longitud geométrica de un vector. : puntos en el espacio Para calcular la distancia euclídea entre dos puntos. : relación de perpendicularidad (ortogonalidad) Para comprobar o exigir que dos vectores formen un ángulo de 90°. No se puede realizar a) 3x2 b) 2x3 c) 4x4 d) (P Q)t a) (Q P )t · b) P t Qt P · c) Qt · d) Qt P t A = - a) At A · = I b) At A + = 0 c) At A = d) At Dan resultados distintos a) Son matrices opuestas b) Dan siempre el mismo resultado c) Una de ellas da cero d) ± u = v (u ± 1 v , … , u ± 1 n v ) n u , v i i k = v (kv , …

, kv ) 1 n k R v i u = v u v + 1 1 u v + 2 2 + u v n n , u v Rn = v = v v v + + v 1 2 n 2 v dist(P , Q) = = P Q (q p ) + + (q p ) 1 1 2 n n 2 P , Q u v u = v 0 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 29 Álgebra básica y tipología de matrices Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : elementos de fila y columna Para verificar igualdad matricial o despejar incógnitas. : matrices compatibles Para sumar dos matrices con exactamente la misma dimensión. : escalar multiplicador Para multiplicar una matriz por un número real. Diagonal principal: Diagonal secundaria: : orden de la matriz cuadrada Para identificar las posiciones diagonales en matrices cuadradas.

Multiplicación y trasposición matricial Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Comprobar columnas de = filas de Multiplicar fila por columna Sumar productos parciales Procedimiento para calcular el producto matricial . : matriz traspuesta de orden Para intercambiar de forma ordenada las filas por columnas. : matriz cuadrada simétrica Para verificar si una matriz es simétrica respecto a su diagonal principal. : matrices traspuestas Para calcular la traspuesta de una multiplicación invirtiendo el orden. : matriz identidad Para aplicar el elemento neutro en productos matriciales compatibles.

Errores típicos Confundir el producto escalar con un vector: el resultado de es un número real, no un vector con componentes. Intentar sumar matrices de distinta dimensión rellenando con ceros: la suma solo existe si ambas tienen exactamente el mismo número de filas y columnas. Asumir conmutatividad en el producto matricial: en general . Olvidar invertir el orden de los factores al trasponer un producto: , nunca .

A = B a = ij b i, j ij a , b ij ij i j A + B = (a + ij b ) ij A, B Rm×n kA = (ka ) ij k R i = j i + j = n + 1 n A B i j c = ij a b ik kj A , B m×p p×n C m×n A B (A ) = t ij a ji At n × m A = At A (A B) = t B t At A , B t t A I = I A = A I u v A B = B A (A B) = t B t At A t Bt Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 30 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque una fuerza requiere saber no solo la magnitud (10 N), sino también la dirección y el sentido en que empuja, propiedades inherentes a un vector. 2. No. La igualdad vectorial exige u_i = v_i para cada posición; aquí u_1 = 4 mientras que v_1 = 1. 3.

Vale k = -3, ya que 2k = -6 y -4k = 12 se verifican simultáneamente con k = -3. 4. Porque un vector es una lista estrictamente ordenada. La igualdad exige para toda posición, y en la primera componente . 5. El resultado es , pues el escalar multiplica a cada una de las componentes de forma individual. 6. Sí, cuando las sumas de los productos positivos cancelan exactamente a las sumas de los productos negativos, lo cual indica que forman un ángulo recto. 7. El producto es . 8. No varía en absoluto. Como , la distancia euclídea es simétrica e idéntica en ambos sentidos. 9. Debe cumplirse , es decir, , por lo que . 10.

Se define como la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo: . 11. La condición necesaria y suficiente para vectores no nulos es que su producto escalar sea exactamente cero: . 12. b) Iguales componentes en las mismas posiciones. Dos vectores son iguales si coinciden componente a componente en idéntica posición. 13. a) (-2, 2). Se suman posición a posición: 3 + (-5) = -2 y -2 + 4 = 2. 14. a) Módulo, dirección y sentido. Un segmento orientado queda determinado por su longitud (módulo), inclinación (dirección) y sentido de la flecha. 15. d) Un vector con todas sus componentes nulas. El producto por un escalar multiplica cada componente por cero, dando el vector nulo. 16.

d) Un número real o escalar. El producto escalar multiplica coordenadas y suma términos, dando siempre como resultado un escalar. 17. a) 0. Al operar término a término resulta 1·1 + 1·(-1) = 1 - 1 = 0. 18. c) Son ortogonales entre sí. Un producto escalar nulo caracteriza exactamente a los vectores perpendiculares u ortogonales. 19. a) Calculando la norma de Q - P. La distancia entre dos puntos equivale al módulo o norma del vector que une ambos puntos. 20. Porque una matriz no es solo una lista de valores, sino una estructura ordenada con una dimensión fija donde cada número ocupa una posición específica de fila y columna. 21. No.

La igualdad matricial exige de forma obligatoria que ambas matrices compartan la misma dimensión antes de comparar sus términos posicionales. 22. Deben satisfacer la relación i + j = 4 + 1 = 5, lo que corresponde a los elementos a , a , a y a . 23. Ocupa las posiciones donde fila y columna coinciden: , y . u = i v i 1 = 2 ( 6, 15, 0) 2 0 + 0 1 = 0 (p i q ) = i 2 (q i p ) i 2 k 6 + 3 ( 2) = 0 6k 6 = 0 k = 1 = v v v u = v 0 a 11 a 22 a 33 Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 31 24. Ambas tienen ceros fuera de la diagonal principal, pero la matriz identidad exige que todos los valores sobre dicha diagonal sean exactamente iguales a 1. 25.

No, porque la suma matricial se realiza posición por posición y exige que coincidan estrictamente las dimensiones completas de filas y columnas. 26. Porque la suma matricial exige que coincidan tanto el número de filas como el de columnas de forma exacta; no basta con tener la misma cantidad total de coeficientes. 27. Se obtiene nuevamente la matriz nula de orden 2 × 2, ya que k · 0 = 0 en cada una de sus posiciones. 28. Es una matriz de las mismas dimensiones cuyas componentes valen todas -5, de modo que A + (-A) produce la matriz nula. 29. Ambas matrices deben tener exactamente la misma dimensión , es decir, el mismo número de filas y el mismo número de columnas. 30.

Consiste en multiplicar cada una de las entradas individuales de la matriz por dicho número , manteniendo la dimensión original. 31. Produce la matriz nula de la misma dimensión, en la que todos sus elementos son iguales a cero. 32. No; en matrices el orden de los factores altera el resultado e incluso puede cambiar las dimensiones del producto. 33. No, porque el número de columnas de la primera (4) no coincide con el número de filas de la segunda (2). 34. No. El producto A·B produce una matriz de orden 3x3, mientras que B·A da como resultado una matriz de tamaño 2x2. 35. Su dimensión es 2x4, puesto que la trasposición intercambia el número de filas por el de columnas. 36.

Equivale estrictamente a N^t · M^t, invirtiendo la posición de los factores trasponerlos. 37. El número de columnas de la primera matriz debe ser exactamente igual al número de filas de la segunda matriz . 38. Porque la trasposición de un producto invierte obligatoriamente el orden de las matrices que se multiplican: . 39. Cuando su traspuesta es idéntica a ella misma, es decir, cuando satisface la igualdad . 40. b) Misma dimensión y elementos homólogos iguales. La igualdad matricial requiere idéntica dimensión y coincidencia término a término en cada posición. 41. b) i + j = n + 1. Los subíndices de la diagonal secundaria siempre suman el orden de la matriz más uno. 42.

b) Elementos nulos bajo la diagonal principal. Una matriz triangular superior presenta ceros en todas las posiciones con i > j (bajo la diagonal principal). 43. d) Matriz identidad. La matriz identidad es aquella matriz diagonal cuyos elementos diagonales son exclusivamente el número 1. 44. d) Solo si ambas tienen idéntica dimensión. La suma solo está definida si ambas matrices comparten exactamente la misma cantidad de filas y de columnas. 45. c) Multiplicando cada uno de sus elementos. La multiplicación por un escalar actúa sobre todos y cada uno de los coeficientes de la matriz. 46. d) Distributiva del escalar sobre matrices.

Indica cómo el producto por un número real se distribuye respecto a la suma de dos matrices del mismo orden. m × n A k A B (A B) = t B t At A = At Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 32 47. a) La matriz nula de dimensión m × n. La matriz nula de dimensiones m × n no altera a ninguna matriz con la que se sume. 48. b) 3x2. El producto hereda las filas de la primera matriz (3) y las columnas de la segunda matriz (2). 49. d) · . La trasposición del producto exige invertir el orden de los factores obteniendo · . 50. d) A = . Una matriz es simétrica cuando coincide exactamente con su matriz traspuesta. 51. a) Dan resultados distintos.

La multiplicación matricial no es conmutativa, por lo que A·B y B·A suelen diferir. Qt P t Qt P t At Álgebra de Vectores y Matrices: Teoría y Práctica 33