Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos

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APUNTES CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Grado en Matemáticas Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Guía de derivadas parciales: definición, notación de Jacobi, derivadas sucesivas de segundo orden y cálculo paso a paso con ejemplos resueltos. APREN.AI Índice 1 Concepto de derivada parcial y notación Funciones de una y de varias variables Símbolo y formas de notación 2 Cálculo de derivadas de primer orden y derivadas sucesivas Procedimiento para calcular derivadas parciales de primer orden Derivadas sucesivas o de orden superior Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 1 1 Concepto de derivada parcial y notación AL ACABAR SABRÁS Definir el concepto de derivada parcial para funciones de varias variables. Reconocer y utilizar las distintas notaciones de derivación parcial como f/ x y f. Identificar el papel del símbolo (d de Jacobi) y sus campos de aplicación. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Cómo cambia el cálculo de una derivada si una fórmula matemática depende de dos variables en lugar de una sola?

En el estudio de las funciones de varias variables, una expresión matemática puede depender de dos o más cantidades independientes. A diferencia del cálculo en una sola variable, donde la derivada mide la tasa de variación respecto a un único parámetro, en varias variables es necesario analizar cómo cambia la función cuando se modifica exclusivamente una de ellas. DEFINICIÓN Una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada respecto a una de esas variables elegida, asumiendo que el resto permanece fijo como constantes. Estas derivadas resultan fundamentales en áreas como el cálculo vectorial y la geometría diferencial.

Funciones de una y de varias variables Para comprender la diferencia, observemos cómo se estructuran las expresiones según su número de argumentos: Tipo de función Ejemplo analítico Variables independientes Una variable Solo Varias variables Dos variables ( ) o tres variables ( ) Símbolo y formas de notación Para escribir una derivada parcial se emplea el símbolo , conocido como la d de Jacobi en homenaje al matemático Carl Gustav Jakob Jacobi, quien realizó aportes decisivos al álgebra, las funciones elípticas, la teoría de números y las ecuaciones diferenciales. Si consideramos la derivación respecto a la variable , existen diferentes nomenclaturas estándar: (la forma más habitual).

D x f(x) = 5x 3 2x + 2 x 4 f(x) = cos(2x) 4 x f(x, y) = 5x 3 2y + 2 xy 2 1 4 f(x, y, z) = 4x 2 cos(2y) 4z + 6 x, y x, y, z x x f Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 2 (operador diferencial con subíndice). o bien (subíndice indicativo de la variable). COMPRUEBA 2 ¿Qué ocurre con las variables que no se están derivando durante el cálculo de una derivada parcial? ERROR FRECUENTE Confundir el símbolo de derivación ordinaria con el símbolo de derivación parcial . En funciones de varias variables se debe utilizar para explicitar que las demás variables se consideran fijas.

ESQUEMA Tipos de funciones y notación de derivadas IDEAS CLAVE Una derivada parcial mide el cambio respecto a una sola variable manteniendo todas las demás constantes. El cálculo de derivadas parciales tiene aplicaciones directas en cálculo vectorial y geometría diferencial. El símbolo característico es la d de Jacobi ( ). Las notaciones más comunes para derivar respecto a son , y . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿En qué disciplinas del cálculo resultan especialmente útiles las derivadas parciales según el texto? 4. ¿Quién fue el matemático que introdujo el símbolo y en qué áreas contribuyó?

D f x f x f (x, y) x d Funciones matemáticas Según variables de entrada Una variable f(x) con derivada ordinaria df/dx Varias variables f(x,y) o f(x,y,z) con derivadas f/ x Notaciones parciales f/ x, Dx f, fx, fx(x;y) x x f D f x f x Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 3 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Cómo se define la derivada parcial de una función multivariable? 6. ¿Cuál es la notación más empleada para la derivada parcial respecto a x? 7. ¿Qué matemático da nombre al símbolo ? 8. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa una función de tres variables?

2 Cálculo de derivadas de primer orden y derivadas sucesivas AL ACABAR SABRÁS Calcular derivadas parciales de primer orden aplicando la anulación de términos independientes. Calcular derivadas parciales de términos cruzados manteniendo las otras variables como factores constantes. Interpretar y aplicar la notación para derivadas sucesivas y de orden mixto como ²f / ( x y). PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué un término como 2y² desaparece por completo al derivar respecto a x?

Cuando se desea calcular la tasa de cambio con respecto a una variable concreta, se aplican las reglas usuales del cálculo sobre esa variable, mientras que cualquier otra letra se maneja como un coeficiente numérico o un término independiente.

Derivada ordinaria evaluada en el origen a) Suma de las derivadas de todas las variables a la vez b) Derivada respecto a una variable manteniendo constantes las demás c) Cociente entre las variables independientes de la función d) df / dx a) f / x b) f'(x) c) Δf / Δx d) Isaac Newton a) Gottfried Leibniz b) Carl Gustav Jakob Jacobi c) Leonhard Euler d) f(x) = cos(2x) - 4 a) f(x, y, z) = 4x² - cos(2y) - 4z + 6 b) f(x) = 5x³ - 2x² + x - 4 c) f(x, y) = 5x³ - 2y² d) Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 4 Procedimiento para calcular derivadas parciales de primer orden EJEMPLO Sea la función de dos variables: 1. Derivada respecto a : se considera a como constante: O equivalentemente: .

2. Derivada respecto a : se considera a como constante: O equivalentemente: . Derivadas sucesivas o de orden superior Al igual que en funciones ordinarias, es posible efectuar derivadas reiteradas. Si se efectúan varias derivadas a la vez, surgen derivadas de segundo orden: Notación por subíndice Notación diferencial Significado del procedimiento Se deriva 2 veces, ambas respecto a la variable . Se deriva 2 veces: una vez respecto a y otra respecto a . PARA RECORDARLO En la notación diferencial mixta , el orden de aplicación comienza a derivar por la variable situada más a la derecha en el denominador (en este caso, primero respecto a y luego respecto a ).

COMPRUEBA 10 Al derivar el término cruzado (1/2)xy respecto a y, ¿cuál es el resultado y por qué? Identificar la variable respecto a la cual se va a derivar. 1 Tratar todas las demás variables presentes en la expresión como si fuesen números constantes. 2 Aplicar las reglas estándar de derivación término a término: la derivada de una constante aislada es cero, y una constante que multiplica a una variable se mantiene como factor.

3 f(x, y) = 5x 3 2y + 2 xy 2 1 4 x y = x f 15x 2 0 + y 2 1 0 = 15x + 2 y 2 1 D f = x 15x + 2 y 2 1 y x = y f 0 4y + x 2 1 0 = 4y + x 2 1 D f = y 4y + x 2 1 f xx x2 f 2 x f xy x y f 2 y x x y f 2 y x Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 5 ERROR FRECUENTE Olvidar que los términos que solo contienen a la otra variable (por ejemplo, derivar respecto a ) tienen derivada nula (0), ya que actúan como constantes aditivas puras.

PROCESO Secuencia de cálculo para la derivada mixta ²f / ( x y) 1 Función original Se parte de f(x, y) 2 Derivada interna Se deriva primero respecto a y (variable de atrás) 3 Derivada externa Se deriva el resultado obtenido respecto a x IDEAS CLAVE Al derivar respecto a una variable, los términos dependientes únicamente de las otras variables se anulan. Los términos mixtos conservan la otra variable como un coeficiente multiplicativo. La notación o indica derivar dos veces respecto a . En la derivada mixta , el cálculo comienza derivando por la variable de atrás ( ). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. En la expresión , ¿por cuál variable se empieza a derivar? 12.

Para la función , ¿cuánto vale ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Cuál es la derivada parcial respecto a x de -2y²? 14. Para f(x, y) = 5x³ - 2y² + (1/2)xy - 4, ¿cuánto vale f/ x? 15. ¿Qué representa la notación ²f / x²? 2y2 x f xx x2 f 2 x x y f 2 y x y f 2 f(x, y) = 5x 3 2y + 2 xy 2 1 4 D f y -2 a) -4xy b) -4y c) 0 d) 15x² + (1/2)y a) -4y + (1/2)y b) 15x² + (1/2)x c) 15x² - 4y d) Derivar una vez respecto a 2x a) Elevar al cuadrado la primera derivada b) Derivar dos veces respecto a x c) Derivar primero en x y luego en y d) Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 6 16. En ²f / ( x y), ¿cuál es la primera variable respecto a la que se deriva?

La variable y a) Ambas simultáneamente b) La variable x c) Indistintamente cualquiera d) Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 7 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Se calcula la derivada respecto a una de las variables considerando a la otra como un valor constante inalterado. 2. Se tratan exactamente como si fuesen valores constantes o números fijos. 3. Son especialmente útiles en el cálculo vectorial y en la geometría diferencial. 4. Fue Carl Gustav Jakob Jacobi, quien contribuyó en funciones elípticas, álgebra, teoría de números y ecuaciones diferenciales. 5. c) Derivada respecto a una variable manteniendo constantes las demás.

La derivada parcial analiza la variación respecto a una única variable dejando fijas las restantes como constantes. 6. b) f / x. La fracción diferencial con la d de Jacobi, f/ x, es la convención más utilizada. 7. c) Carl Gustav Jakob Jacobi. El símbolo se conoce formalmente como la d de Jacobi en honor a Carl Gustav Jakob Jacobi. 8. b) f(x, y, z) = 4x² - cos(2y) - 4z + 6. La función f(x, y, z) posee tres variables de entrada independientes: x, y y z. 9. Porque al no depender de x, se comporta exactamente igual que cualquier número constante, cuya derivada es cero. 10. El resultado es (1/2)x, porque x se comporta como un coeficiente constante que acompaña a la variable y. 11.

Se comienza siempre derivando por la variable que se encuentra detrás en el denominador, es decir, por . 12. Vale . 13. d) 0. Al derivar respecto a x, toda función exclusiva de y actúa como una constante aditiva cuya derivada es 0. 14. a) 15x² + (1/2)y. La derivada de 5x³ es 15x², la de (1/2)xy es (1/2)y, y los términos en y y constantes dan 0. 15. c) Derivar dos veces respecto a x. Representa la derivada de segundo orden calculada en ambas ocasiones respecto a x. 16. a) La variable y. Según la convención establecida en el texto, se comienza derivando por la variable de atrás, que es y. y 4y + x 2 1 Derivadas Parciales: Concepto, Notación y Ejemplos 8