Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad

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APUNTES ÁLGEBRA LINEAL Grado en Matemáticas Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Domina subespacios, cambio de base, transformaciones lineales, producto interno, Gram-Schmidt y proyecciones ortogonales con ejercicios y métodos resueltos.

APREN.AI Índice 1 Espacios vectoriales, subespacios, bases y cambio de coordenadas Representación de subespacios Independencia lineal, bases y extracción de generadores Coordenadas y matriz de cambio de base 2 Operaciones entre subespacios y complementos Intersección de subespacios Suma de subespacios Fórmula de Grassmann y suma directa Cálculo de un complemento en suma directa 3 Transformaciones lineales: núcleo, imagen y matrices asociadas Núcleo e imagen Matriz asociada a una transformación lineal Cálculo de subespacios a partir de la representación matricial 4 Producto interno, ortogonalidad y proyecciones Norma, distancia y complemento ortogonal Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Proyección ortogonal y distancia mínima 5 Formulario Dimensiones, bases y cambio de coordenadas Operaciones con subespacios Transformaciones lineales y representación matricial Ortogonalidad, Gram-Schmidt y proyección Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 1 1 Espacios vectoriales, subespacios, bases y cambio de coordenadas AL ACABAR SABRÁS Identificar y verificar subespacios vectoriales mediante sus ecuaciones o generadores. Construir bases y calcular dimensiones mediante eliminación gaussiana sobre matrices de generadores. Calcular vectores de coordenadas y matrices de cambio de base entre sistemas arbitrarios. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un espacio de polinomios de grado a lo sumo 3 requiere cuatro escalares para describir un elemento genérico?

Un espacio vectorial real es una estructura algebraica formada por elementos denominados vectores, junto con dos operaciones bien definidas: adición vectorial y multiplicación por escalares pertenecientes a . Estas operaciones satisfacen formalmente ocho axiomas clásicos. Dentro de los espacios usuales de trabajo destacan: : tuplas reales con operaciones aplicadas componente a componente, cuya dimensión es . Convencionalmente se estructuran siempre en forma de vector columna: . : matrices reales de orden con adición y producto entrada a entrada, con . : polinomios reales de grado menor o igual a , cuya dimensión cumple .

DEFINICIÓN Un subconjunto no vacío es un subespacio vectorial si y solo si verifica tres propiedades simultáneas: 1. El vector nulo pertenece a la estructura: . 2. Es cerrado bajo la suma: si , entonces . 3. Es cerrado frente a la multiplicación escalar: para todo y , se cumple . Representación de subespacios Un subespacio vectorial admite exactamente dos modos fundamentales de definición: Por generadores: se escribe como el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de un grupo finito de vectores: . Por ecuaciones homogéneas: se define a través de condiciones algebraicas que restringen a sus elementos: . Por ejemplo, o bien .

La conversión entre ambas descripciones es un procedimiento estándar: V R Rn dim R = n n [a b c]T Rm×n m × n dim R = m×n m n R [x] n n dim R [x] = n n + 1 S V 0 V S u, v S u + v S λ R v S λv S S = gen{v , … , v } 1 k S = {x V : Ax = 0} S = 1 {x R : 4 x + 1 x = 3 0} S = 2 {p R [x] : 3 p(1) = p(3) = 0} Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 2 COMPRUEBA 2 ¿Cuántas ecuaciones linealmente independientes definen un subespacio de dimensión 2 contenido en ? Independencia lineal, bases y extracción de generadores Un conjunto de vectores es linealmente independiente (LI) si la igualdad obliga a que todos los escalares sean nulos: .

Una base de es un sistema de generadores que además es linealmente independiente. La cantidad de vectores de cualquier base es fija y se denomina dimensión ( ). PARA RECORDARLO En un espacio vectorial con dimensión conocida , cualquier conjunto de vectores que sea LI constituye automáticamente una base de . Del mismo modo, todo conjunto generador formado por elementos es directamente una base. Para extraer una base a partir de un sistema de generadores dependiente, se disponen los vectores como columnas de una matriz y se escala mediante eliminación gaussiana.

Las columnas que contengan pivotes identifican los vectores originales que conforman la base: EJEMPLO Dado el conjunto de generadores en , se arma la matriz de vectores en columna: Al situarse los pivotes en las columnas 1 y 2, los dos primeros vectores forman una base: y por tanto . Coordenadas y matriz de cambio de base Dada una base ordenada de , cualquier vector se escribe de manera unívoca mediante escalares . El vector de coordenadas se denota por: De ecuaciones a generadores: se resuelve el sistema lineal homogéneo aplicando reducción gaussiana. Se parametriza la solución general aislando variables y asignando parámetros libres.

Cada parámetro libre originará un generador de la solución. Por ejemplo, en con cuatro variables libres en , despejando y tomando como parámetros , se obtiene que y . 1 Ax = 0 x + 1 x = 3 0 R4 x = 1 x 3 x , x , x 2 3 4 S = gen{[0 1 0 0] , [ 1 0 1 0] , [0 0 0 1] } T T T dim S = 3 De generadores a ecuaciones: se ubican los generadores como columnas de una matriz y se halla resolviendo . Alternativamente, si tiene dimensión , se imponen condiciones de compatibilidad sobre un vector genérico para obtener las ecuaciones necesarias. 2 A Nu(A ) T y A = T 0 S Rn r [x … x ] 1 n T n r {v , …

, v } 1 k α v + 1 1 + α v = k k 0 α = 1 = α = k 0 S dim S V n n V n G = {[ 1 2 2] , [0 1 2] , [2 T T 1 2] , [1 1 4] } T T R3 A = 1 2 2 0 1 2 2 1 2 1 1 4 Gauss 1 0 0 0 1 0 2 3 0 1 3 0 B = {[ 1 2 2] , [0 1 2] } T T dim S = 2 B = {v , … , v } 1 n V v V v = α v + 1 1 + α v n n Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 3 Dadas dos bases y de , la matriz de cambio de base almacena en su columna -ésima las coordenadas del -ésimo vector de la base de partida expresado respecto a la base de llegada: .

Satisface: ERROR FRECUENTE Colocar las coordenadas de los vectores de como filas en lugar de ordenarlos como columnas de la matriz de cambio, o invertir la dirección de la transformación olvidando que . EJEMPLO DE RECONSTRUCCIÓN DE BASES Dada la base de y la matriz: Para hallar la base , se traduce cada columna a combinaciones lineales de los elementos desconocidos: De aquí, . Sustituyendo en las otras relaciones resulta y . Restando ambas expresiones se obtiene y despejando la restante queda . Por ende, .

PROCESO Algoritmo para extraer una base de generadores 1 Disposi ción matricial Disponer los vectores generadores como columnas de la matriz A 2 Triangula ción Aplicar eliminación hacia adelante por Gauss 3 Identifica ción de pivotes Localizar las colum nas que poseen posi ción de pivote 4 Selección de la base Conservar los vecto res originales corres pondientes a los pivotes [v] = B α 1 α n Rn B 1 B 2 V M B 1 B 2 j j [v ] j B 2 [v] = B2 M [v] , M = B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 M , M = ( B 1 B 2 ) 1 B 1 B 3 M M B 2 B 3 B 1 B 2 B 1 [v] = llegada M [v] salida llegada salida B = 1 {x + 2 1, x + 2 x, x + 1} R [x] 2 M = B 1 B 2 1 2 1 0 1 0 1 2 2 B = 2 {q , q , q } 1 2 3 x + 1 2 x + x 2 x + 1 = 1q + 2q + 1q 1 2 3 = 0q + 1q + 0q = q 1 2 3 2 = 1q + 2q + 2q 1 2 3 q = 2 x + 2 x q + 1 q = 3 x 2 2x + 1 q + 1 2q = 3 2x 2 x + 1 q = 3 x + 2 x q = 1 1 3x B = 2 {1 3x, x + 2 x, x + 2 x} Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 4 IDEAS CLAVE Un subespacio vectorial se puede representar mediante generadores o por medio de ecuaciones homogéneas.

Para extraer una base de un conjunto generador se escalona la matriz de columnas y se seleccionan las columnas que contienen pivote. La columna de la matriz almacena las coordenadas del vector -ésimo de respecto a la base . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cómo se obtiene la dimensión de un espacio vectorial a partir del rango de su matriz de generadores en columnas? 4. Si se conoce , ¿cómo se calcula la matriz que pasa coordenadas de a ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Cuál es la dimensión del espacio de polinomios R [x]? 6. ¿Qué representan las columnas de la matriz de cambio de base M_B1^B2? 7.

Al reducir por Gauss una matriz con vectores generadores en columnas, ¿qué vectores forman la base? 8. ¿Cuál es la condición para que un conjunto sea base de un subespacio de dimensión k?

j M B 1 B 2 j B 1 B 2 M B 1 B 2 B 2 B 1 Infinito a) 4 b) 3 c) 2 d) Coordenadas de B2 en base B1 a) Coordenadas de B1 en base canónica b) Coordenadas de B1 en base B2 c) Ecuaciones cartesianas de B2 d) Las columnas originales con pivote a) La última columna no nula b) Todas las columnas que tenían ceros c) Las filas no nulas finales d) Tener k vectores LI a) Contener al vector nulo b) Tener determinante unitario c) Tener más de k vectores generadores d) Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 5 2 Operaciones entre subespacios y complementos AL ACABAR SABRÁS Resolver intersecciones y sumas de subespacios mediante ecuaciones y generadores.

Aplicar la fórmula de Grassmann para deducir dimensiones desconocidas. Construir complementos en suma directa extendiendo bases vectoriales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Puede la unión de dos subespacios vectoriales distintos dejar de ser un subespacio? A partir de subespacios dados de un mismo espacio , se pueden estructurar nuevos subespacios mediante operaciones de intersección, suma y suma directa. Intersección de subespacios La intersección comprende los vectores que pertenecen simultáneamente a y a . Siempre constituye un subespacio vectorial.

La metodología óptima de resolución consiste en trabajar con las descripciones por ecuaciones implícitas de ambos conjuntos: Suma de subespacios La suma se define como el conjunto formado por todas las adiciones posibles de elementos de ambos subespacios: . La suma resultante es siempre un subespacio. En este caso, la estrategia operativa óptima consiste en utilizar generadores: Fórmula de Grassmann y suma directa La relación entre las dimensiones de la suma y la intersección queda gobernada por el teorema de Grassmann: Se dice que una suma es una suma directa, y se denota , si la intersección entre ambos subespacios se reduce estrictamente al vector nulo: .

Son condiciones equivalentes: V S 1 S 2 S 1 S 2 Obtener la representación mediante ecuaciones homogéneas de y . 1 S 1 S 2 Agrupar o apilar todas las ecuaciones en un único sistema lineal. 2 Resolver el sistema homogéneo conjunto por reducción de Gauss para parametrizar . 3 S 1 S 2 S + 1 S = 2 {s + 1 s : 2 s 1 S , s 1 2 S } 2 Obtener un conjunto generador para y otro para . 1 S = 1 gen{u , … , u } 1 p S = 2 gen{w , … , w } 1 q Unir ambas listas de vectores: . 2 S + 1 S = 2 gen{u , … , u , w , … , w } 1 p 1 q Disponer los vectores en columnas y realizar eliminación gaussiana para extraer una base y conocer su dimensión.

3 dim(S + 1 S ) = 2 dim S + 1 dim S 2 dim(S 1 S ) 2 S 1 S 2 S 1 S = 2 {0} Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 6 Cualquier vector se expresa de modo único como con y . . COMPRUEBA 10 Si dim S = 3 y dim S = 2 en , ¿pueden formar suma directa? Cálculo de un complemento en suma directa Dado un subespacio con y , un complemento es un subespacio tal que . Para hallarlo: ERROR FRECUENTE Elegir un complemento verificando únicamente el conteo de dimensiones pero omitiendo comprobar que . Si contiene algún elemento de , la suma no será directa aunque las dimensiones sumen . EJEMPLO RESUELTO: COMPLEMENTO SIMULTÁNEO En ( ), se consideran los subespacios y .

Dado que ambos están dados por dos condiciones independientes, . Se busca un subespacio tal que . El subespacio buscado debe tener y satisfacer . Proponiendo (polinomios de grado a lo sumo 1, ): Para : y , lo cual obliga a y . Por tanto, . Para : y , forzando de nuevo . Así, . Por Grassmann, , con lo cual satisface ambas sumas directas de manera simultánea. v S + 1 S 2 v = s + 1 s 2 s 1 S 1 s 2 S 2 dim(S + 1 S ) = 2 dim S + 1 dim S 2 S V dim S = r dim V = n T T S = V Determinar la dimensión requerida: . 1 dim T = n r Obtener una base de . 2 {v , … , v } 1 r S Completar dicha base agregando vectores independientes respecto de hasta construir una base completa de : . 3 n r S V {v , …

, v , w , … , w } 1 r 1 n r Definir el complemento como . 4 T = gen{w , … , w } 1 n r T S = {0} T S n R [x] 3 dim = 4 S = 1 {p : p(1) = p(3) = 0} S = 2 {p : p(3) = p(5) = 0} dim S = 1 dim S = 2 4 2 = 2 T T S = 1 T S = 2 R [x] 3 dim T = 4 2 = 2 T S = 1 T S = 2 {0} T = gen{1, x} p(x) = a + bx p T S 1 p(1) = a + b = 0 p(3) = a + 3b = 0 b = 0 a = 0 T S = 1 {0} p T S 2 p(3) = a + 3b = 0 p(5) = a + 5b = 0 a = b = 0 T S = 2 {0} dim(T + S ) = i 2 + 2 0 = 4 = dim R [x] 3 T = gen{1, x} Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 7 IDEAS CLAVE La intersección se resuelve unificando sistemas de ecuaciones; la suma se calcula uniendo bases generadoras.

La relación de dimensiones queda fijada por la fórmula de Grassmann: . Una suma directa exige que la intersección contenga exclusivamente al vector cero. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Cuál es la dimensión de la suma de dos planos en cuya intersección es una recta? 12. ¿Por qué no basta que dim S + dim T = dim V para asegurar que T sea complemento en suma directa de S? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Cuál es la mejor estrategia para calcular la intersección de dos subespacios? 14. ¿Qué condición define que una suma S + S sea suma directa? 15. Si dim S = 2 y dim S = 3 en un espacio de dimensión 5 con suma directa, ¿cuál es dim(S S )? 16.

¿Cómo se calcula la base de la suma de dos subespacios dados por generadores?

dim(S + 1 S ) = 2 dim S + 1 dim S 2 dim(S 1 S ) 2 Multiplicar sus matrices de coordenadas a) Calcular los determinantes individuales b) Sumar sus vectores generadores c) Apilar sus sistemas de ecuaciones homogéneas d) dim S = dim S a) dim(S + S ) = dim V b) S S = V c) S S = {0} d) 5 a) 1 b) 6 c) 4 d) Uniendo los generadores y reduciendo por Gauss a) Calculando el producto interno de las bases b) Multiplicando vectorialmente los generadores c) Restando los generadores linealmente dependientes d) Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 8 3 Transformaciones lineales: núcleo, imagen y matrices asociadas AL ACABAR SABRÁS Determinar analíticamente el núcleo y la imagen de transformaciones lineales.

Calcular matrices asociadas a transformaciones lineales en bases no canónicas. Resolver preimágenes de subespacios mediante transformaciones de coordenadas matriciales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Por qué basta conocer las imágenes de los vectores de una base para conocer cómo transforma una función lineal a todo el espacio? Una función entre dos espacios vectoriales reales es una transformación lineal (TL) si respeta combinaciones lineales: PARA RECORDARLO Una transformación lineal queda unívocamente determinada por los valores que adopta sobre los elementos de una base del dominio.

Si es una base de , basta especificar de forma arbitraria las imágenes para fijar por completo la aplicación mediante la relación . Núcleo e imagen Toda transformación lineal lleva asociados dos subespacios fundamentales: Núcleo ( ): es el subespacio del dominio integrado por todos los vectores que se transforman en el elemento nulo: . Imagen ( ): es el subespacio del codominio compuesto por todos los vectores alcanzados por la transformación: . Si genera , entonces . Ambos satisfacen el teorema de la dimensión: De acuerdo con estas dimensiones, la transformación lineal clasifica en: Monomorfismo (inyectiva): ocurre si y solo si (es decir, ). Epimorfismo (sobreyectiva): ocurre si y solo si .

Isomorfismo (biyectiva): cuando cumple ambas condiciones simultáneamente, lo cual exige obligatoriamente que . T : V W T(αu + βv) = αT(u) + βT(v) u, v V , α, β R B = {v , … , v } 1 n V T(v ), … , T(v ) 1 n W T( α v ) = i i α T(v ) i i Nu(T) Nu(T) = {v V : T(v) = 0} Im(T) Im(T) = {T(v) : v V } {v , … , v } 1 n V Im(T) = gen{T(v ), … , T(v )} 1 n dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V Nu(T) = {0} dim Nu(T) = 0 Im(T) = W dim V = dim W Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 9 COMPRUEBA 18 Si una transformación lineal T: ² tiene núcleo de dimensión 2, ¿es sobreyectiva? Matriz asociada a una transformación lineal Sean base de y base de .

La matriz asociada a en dichas bases, denotada , guarda en su columna -ésima las coordenadas respecto a de la imagen del -ésimo vector de : . Esta matriz vincula las coordenadas mediante el producto matriz- vector: Propiedades estructurales de la matriz asociada: Composición: . Cambio de bases: . Cálculo de subespacios a partir de la representación matricial A partir de la matriz se pueden deducir los subespacios asociados mediante las siguientes recetas operativas: ERROR FRECUENTE Olvidar reconstruir los vectores a partir de sus coordenadas.

Las soluciones obtenidas del sistema homogéneo representan coeficientes escalares en la base , no directamente los vectores de cuando la base no es la canónica. B = 1 {v , … , v } 1 n V B 2 W T [T] B 1 B 2 j B 2 j B 1 [T(v )] j B 2 [T(v)] = B 2 [T] [v] B 1 B 2 B 1 [S T] = B 1 B 3 [S] [T] B 2 B 3 B 1 B 2 [T] = C 1 C 2 M [T] M B 2 C 2 B 1 B 2 C 1 B 1 [T] B 1 B 2 Base de : se resuelve el sistema homogéneo . Las soluciones proporcionan las coordenadas de los elementos del núcleo. Luego, se reconstruye cada vector mediante la combinación lineal con los vectores de la base de entrada .

1 Nu(T) [T] Y = B 1 B 2 0 Y [v] B 1 v = Y v i i B 1 Base de : las columnas de la matriz contienen las coordenadas en base de las imágenes de la base. Se escalona la matriz; las columnas que conserven pivotes determinan los vectores generadores que conforman la base de la imagen. 2 Im(T) B 2 Preimagen : para calcular , se caracteriza en coordenadas de mediante ecuaciones implícitas . Se sustituye , originando el sistema homogéneo , cuyas soluciones se reconstruyen respecto a la base .

3 T (S) 1 T (S) = 1 {v V : T(v) S} S B 2 C[w] = B2 0 [w] = B 2 [T] [v] B 1 B 2 B 1 C[T] [v] = B 1 B 2 B 1 0 B 1 [T] Y = B 1 B 2 0 B 1 V Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 10 EJEMPLO RESUELTO: PREIMAGEN DE UN SUBESPACIO Sea con bases y , cuya matriz es: Se busca . Tomando coordenadas genéricas : Reconstruyendo en coordenadas canónicas mediante los vectores de : Se exige pertenencia a , por lo que . De la primera componente, . Las otras dos componentes imponen y , ecuaciones totalmente compatibles. Por lo tanto, mientras que y son libres. Las coordenadas admisibles son , y reconstruyendo el polinomio: Concluyendo que la preimagen es .

PROCESO Cálculo del núcleo a partir de la matriz asociada 1 Sistema homogéneo Plantear y resolver la ecuación matricial [T] Y = 0 2 Paráme tros libres Expresar el vector de coordenadas Y en tér minos de variables libres 3 Recons trucción Multiplicar las coor denadas obtenidas por la base del dominio 4 Base del núcleo Declarar los vectores reconstruidos como base de Nu(T) IDEAS CLAVE El teorema de la dimensión relaciona el dominio con los subespacios asociados: . Una transformación lineal es inyectiva si y solo si su núcleo contiene exclusivamente al vector cero. La columna de la matriz almacena las coordenadas en base de la imagen del -ésimo vector de .

T : R [x] 2 R3 B = {x + 2 x + 1, x + 1, 1} C = {[ 1 2 2] , [2 T 1 2] , [2 2 T 1] } T [T] = B C 0 0 0 1 0 0 0 1 1 T (gen{[0 1 1 1] }) T [p] = B [a b c]T [T(p)] = C = 0 0 0 1 0 0 0 1 1 a b c b c c C T(p) = b + 1 2 2 c 2 1 2 c = 2 2 1 b 2b 3c 2b + 3c gen{[0 1 1] } T T(p) = μ[0 1 1]T b = 0 b = 0 3c = μ 3c = μ b = 0 a c [p] = B [a 0 c]T p(x) = a(x + 2 x + 1) + c(1) = ax + 2 ax + (a + c) T (gen{[0 1 1 1] }) = T gen{x + 2 x + 1, 1} dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V j [T] B 1 B 2 B 2 j B 1 Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 11 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Qué relación existe entre la inyectividad de T y el rango de su matriz asociada? 20.

¿Cómo se reconstruye un vector del núcleo a partir de la solución del sistema homogéneo matricial? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. Si una transformación T: ³ tiene rango igual a 3, ¿cuál es la dimensión de su núcleo? 22. ¿Qué condición garantiza que una transformación lineal sea monomorfismo? 23. ¿Qué representan las columnas de la matriz asociada [T]_B1^B2? 24. Para componer transformaciones [S T], ¿cómo se multiplican sus matrices asociadas? 4 Producto interno, ortogonalidad y proyecciones AL ACABAR SABRÁS Verificar propiedades axiomáticas de productos internos y calcular normas o distancias asociadas.

Aplicar el algoritmo de Gram-Schmidt para construir bases ortogonales y ortonormales. Calcular proyecciones ortogonales y distancias a subespacios vectoriales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 ¿Por qué la proyección ortogonal de un punto sobre un plano minimiza la distancia al plano frente a cualquier otro punto del mismo?

3 a) 2 b) 5 c) 0 d) det([T]) = 0 a) dim Nu(T) = 0 b) dim Im(T) = dim W c) dim V = dim W d) Las ecuaciones implícitas de la imagen a) Coordenadas de los vectores de B1 en B2 b) La base del núcleo de la transformación c) Coordenadas en B2 de las imágenes de B1 d) Se trasponen e invierten ambas a) [S] por [T] b) Se calcula la suma directa c) [T] por [S] d) Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 12 Un producto interno sobre un espacio vectorial real es una función bilineal simétrica y definida positiva . Para todo y se satisfacen los axiomas fundamentales: 1. Bilinealidad: . 2. Simetría: . 3. Positividad estricta: para todo vector, cumpliéndose .

Ejemplos usuales de productos internos: Canónico en : . Generado por matriz simétrica definida positiva : ordenado rigurosamente como . En polinomios por evaluación: sobre nodos reales distintos. En polinomios por derivadas: por ejemplo, . En polinomios por integrales: . En matrices : definido mediante la traza: . Norma, distancia y complemento ortogonal A partir del producto interno se inducen las nociones métricas de norma y distancia . Ambas magnitudes satisfacen la desigualdad de Cauchy-Schwarz: . Dos vectores son ortogonales si .

Dado un subespacio , su complemento ortogonal agrupa los vectores perpendiculares a cada elemento de : Propiedades estructurales básicas: es un subespacio vectorial de . , lo que implica de forma directa que . . Para calcular cuando se dispone de una base de , se plantea el sistema lineal homogéneo para todo . Si el producto viene dado por una matriz , la condición adopta la forma matricial . COMPRUEBA 26 Si un subespacio S de tiene dimensión 1, ¿cuál es la dimensión de su complemento ortogonal S^ ?

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Dada una base arbitraria , el método sistemático de Gram-Schmidt produce una base ortogonal mediante sustracción sucesiva de proyecciones: V , : V × V R u, v, w V α, β R αu + βv, w = α u, w + β v, w u, v = v, u v, v 0 v, v = 0 v = 0 Rn x, y = y x = T x y i i A x, y = y Ax T p, q = p(a )q(a ) i=0 n i i p, q = p(0)q(0) + p (0)q (0) + p (0)q (0) 4 1 p, q = p(x)q(x)dx 0 1 Rm×n A, B = tr(B A) T v = v, v d(v, w) = v w v, w v w v, w = 0 S V S S = {v V : v, s = 0, s S} S V V = S S dim S + dim S = dim V (S ) = S S {u , … , u } 1 r S v, u = i 0 i = 1, … , r A u Av = i T 0 {v , … , v } 1 n {z , …

, z } 1 n Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 13 Para conseguir una base ortonormal, se normaliza cada elemento dividiéndolo por su correspondiente norma: . Proyección ortogonal y distancia mínima Gracias a la descomposición , todo elemento admite una escritura única con y . La proyección ortogonal se define como . Si constituye una base ortogonal de , su cálculo viene dado por: Propiedades fundamentales del operador proyección ortogonal: Es un proyector idempotente: . Subespacios característicos: y . Complementariedad: y . Teorema de la mejor aproximación: es el vector de más próximo a , cumpliendo .

PARA RECORDARLO Si la dimensión de es menor que la de (por ejemplo, si en un hiperplano), suele resultar mucho más rápido computar con un solo vector base y deducir la proyección deseada mediante la resta . ERROR FRECUENTE Aplicar directamente la fórmula de sumatoria de proyecciones sobre una base que no es ortogonal. Si la base no es ortogonal, debe ortogonalizarse previamente por Gram-Schmidt; de lo contrario, la fórmula produce un vector incorrecto que no coincide con la proyección geométrica real. z 1 z 2 z r+1 = v 1 = v z 2 z 1 2 v , z 2 1 1 = v z r+1 i=1 r z i 2 v , z r+1 i i w = i z / z i i V = S S v V v = s + s s S s S P (v) = S s {w , …

, w } 1 r S P (v) = S w i=1 r w i 2 v, w i i P S P = S P S Im(P ) = S S Nu(P ) = S S v P (v) = S P (v) S S P + S P = S Id P (v) S S v d(v, S) = v P (v) = S P (v) S S S dim S = 1 P (v) S P (v) = S v P (v) S Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 14 EJEMPLO RESUELTO: CÁLCULO BAJO PRODUCTO INTERNO NO CANÓNICO En con producto interno definido por y la recta , se pide hallar vectores cuya proyección a sea y cuya distancia a sea igual a 1.

Como con y , el problema se reduce a encontrar los vectores unitarios de : PROCESO Procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt 1 Primer vector Fijar z = v tomando directamente el pri mer generador 2 Proyec ción previa Calcular la proyección de v a lo largo de z 3 Sustrac ción Restar la proyección para aislar la compo nente ortogonal z 4 Iteración Repetir restando las proyecciones sobre todos los z ya calculados IDEAS CLAVE Todo espacio con producto interno admite la descomposición canónica . La fórmula de la proyección ortogonal requiere estrictamente que la base de trabajo sea ortogonal. La distancia entre un punto y un subespacio equivale a la norma de la componente ortogonal: .

R2 x, y = y x T [ 4 2 2 8 ] S = {x R : 2 3x + 1 5x = 2 0} S [ 5 3]T S v = P (v) + S w w S d(v, S) = w = 1 S Una base de está dada por . Buscamos exigiendo : Por lo tanto, . 1 S [ 5 3]T u S u, [ 5 3] = T 0 [ 5 3] = [ 4 2 2 8 ] [ u 1 u 2 ] 0 [ 14 14] = [ u 1 u 2 ] 0 u = 1 u 2 S = gen{[1 1] } T Se computa la norma del generador con la métrica del producto interno dado: El vector unitario es . 2 [1 1] = T 2 [1 1] = [ 4 2 2 8 ] [ 1 1 ] [1 1] = [ 6 10 ] 16 [1 1] = T 4 = u ^ [1 1] 4 1 T Los únicos desplazamientos ortogonales posibles de longitud 1 son .

Sumando la proyección prefijada se obtienen dos candidatos: Ambos vectores son independientes y conforman una base válida con las condiciones prescritas. 3 w = ± = u ^ ± [1 1] 4 1 T v = 1 + [ 5 3 ] = 4 1 [ 1 1 ] , v = [ 19/4 13/4 ] 2 [ 5 3 ] = 4 1 [ 1 1 ] [ 21/4 11/4 ] V = S S d(v, S) = P (v) S Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 15 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27. ¿Por qué el denominador en cada término de Gram-Schmidt es la norma al cuadrado del vector ortogonal previo? 28. Si el producto interno utiliza una matriz simétrica A, ¿cómo se expresa la ortogonalidad entre dos vectores x e y? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 29.

¿Qué propiedad es indispensable para aplicar la fórmula explícita de proyección ortogonal sobre un subespacio? 30. ¿Qué relación vincula a un subespacio S con su complemento ortogonal S^ en un espacio de dimensión finita? 31. ¿A qué equivale la distancia entre un vector v y un subespacio S? 32. En el método de Gram-Schmidt, ¿cómo se obtiene el segundo vector ortogonal z a partir de la base original {v , v }?

5 Formulario Dimensiones, bases y cambio de coordenadas Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa , , : dimensiones básicas; : polinomios de grado Conteo directo de dimensiones usuales Que la matriz asociada sea diagonal a) Que dim S = dim S^ b) Que los vectores sean canónicos c) Que la base de S sea ortogonal d) S S^ = V a) S S^ {0} b) dim S = dim S^ c) S S^ = V d) det( ) a) P S "" (v)"" b) P S "" (v)"" c) P S ""v + (v)"" d) P S z = v + v a) z = v / ""v "" b) z = v - [ v , z / ""z ""²] z c) z = v - v d) dim R = n n dim R = m×n mn dim R [x] = n n + 1 n, m R [x] n n Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 16 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Generadores Matriz en columnas Triangulación por Gauss Columnas con pivote Vectores columna originales con pivote Extraer una base a partir de un sistema generador : columna con ; Cambio de coordenadas entre bases Matriz inversa de cambio de base Invertir el sentido del cambio de coordenadas Operaciones con subespacios Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : subespacios vectoriales Relacionar dimensiones de suma e intersección (Grassmann) Apilar ecuaciones de y Resolver sistema lineal homogéneo por Gauss Ecuaciones implícitas combinadas Calcular la intersección Unir generadores de y Disponer en columnas Reducir por Gauss Conjunto unificado de generadores Calcular la suma Suma directa entre subespacios Comprobar descomposición única y suma directa Hallar base de Extender con vectores independientes hasta base de , Construir complemento en suma directa Transformaciones lineales y representación matricial Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa ; : dominio Teorema de la dimensión para balancear rangos : columna : vector -ésimo de Construir la matriz asociada a : vector de coordenadas de entrada Calcular la imagen de un vector en coordenadas Producto matricial estándar Matriz asociada a la composición de transformaciones [v] = B 2 M [v] B 1 B 2 B 1 M B 1 B 2 j [v ] j B 2 v j B 1 M = B 2 B 1 (M ) B 1 B 2 1 dim(S + 1 S ) = 2 dim S + 1 dim S 2 dim(S 1 S ) 2 S , S 1 2 S 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 2 S + 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S = 2 {0} dim(S + 1 S ) = 2 dim S + 1 dim S 2 S n r V T = gen{vectores nuevos} r = dim S n = dim V S T = V dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V T : V W V [T] B 1 B 2 j = [T(v )] j B 2 v j j B 1 T [T(v)] = B 2 [T] [v] B 1 B 2 B 1 [v] B 1 [S T] = B 1 B 3 [S] [T] B 2 B 3 B 1 B 2 Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 17 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Resolver Reconstruir con : coordenadas del núcleo Hallar base de desde la matriz Ecuaciones de : Resolver Reconstruir : matriz de ecuaciones de Calcular la preimagen Ortogonalidad, Gram-Schmidt y proyección Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa , Norma y distancia inducidas Cálculo de métricas con producto interno : simétrica definida positiva Producto interno no canónico con matriz en orden cátedra : complemento ortogonal Conteo de dimensión y descomposición ortogonal Base de Resolver para todo Sistema lineal homogéneo Obtener ecuaciones implícitas de ; : base ortogonal resultante Ortogonalización de Gram-Schmidt : base ortogonal de Proyección ortogonal sobre Distancia mínima de un vector a un subespacio [T] Y = B 1 B 2 0 v = Y v i i v i B 1 Y Nu(T) S C[w] = B 2 0 C[T] [v] = B 1 B 2 B 1 0 C S T (S) 1 v = v, v d(v, w) = v w x, y = y Ax T A V = S S dim S = dim V dim S S {u , …

, u } 1 r S v, u = i 0 i S z = 1 v1 z = k+1 v k+1 z i=1 k z i 2 v ,z k+1 i i {z } i P (v) = S w i=1 r w i 2 v,w i i {w , … , w } 1 r S S d(v, S) = v P (v) = S P (v) S P (v) = S v P (v) S Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 18 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque incluye el término independiente constante además de las potencias de x, x² y x³, sumando cuatro grados de libertad independientes. 2. Se requieren exactamente 5 - 2 = 3 ecuaciones independientes, ya que el número de condiciones coincide con la codimensión n - r. 3.

La dimensión equivale al número de pivotes obtenidos tras la eliminación gaussiana, que coincide con la cantidad de columnas linealmente independientes. 4. Calculando la matriz inversa, pues . 5. b) 4. La dimensión de Rn[x] es n + 1, por lo que R3[x] tiene dimensión 4. 6. c) Coordenadas de B1 en base B2. Cada columna j contiene las coordenadas del j-ésimo vector de B1 expresado en la base B2. 7. a) Las columnas originales con pivote. Se seleccionan los vectores columna del conjunto original asociados a las posiciones de los pivotes. 8. a) Tener k vectores LI. En un espacio de dimensión k, cualquier familia de k vectores independientes es automáticamente base. 9.

Sí, casi siempre lo es: la suma de un vector de uno con un vector del otro suele quedar fuera de la unión a menos que uno contenga al otro. 10. No, porque si la suma fuera directa dim(S S ) debería ser 3 + 2 = 5, pero la dimensión de cualquier subespacio en no puede superar 4. 11. Aplicando la fórmula de Grassmann: dim(S + S ) = 2 + 2 - 1 = 3. 12. Porque es indispensable garantizar además que la intersección entre S y T sea únicamente el vector nulo. 13. d) Apilar sus sistemas de ecuaciones homogéneas. Resolver el sistema conjunto formado por las ecuaciones de ambos subespacios produce de forma directa su intersección. 14. d) S S = {0}.

La suma es directa si y solamente si la intersección entre ambos subespacios contiene únicamente al elemento nulo. 15. a) 5. Al ser suma directa, la dimensión de la suma es la adición de las dimensiones: 2 + 3 = 5. 16. a) Uniendo los generadores y reduciendo por Gauss. Se une la lista de generadores de ambos subespacios y se triangula por Gauss para extraer una base. 17. Porque cualquier vector del espacio se puede escribir como combinación lineal de la base, y la transformación lineal preserva dichas combinaciones. 18. Sí, porque dim Im(T) = dim V - dim Nu(T) = 4 - 2 = 2. Al ser su imagen de dimensión 2 en un codominio de dimensión 2, Im(T) = ² y T es un epimorfismo. 19.

T es inyectiva si el núcleo de su matriz asociada es trivial, lo que ocurre cuando el rango de la matriz es igual a la dimensión del dominio. 20. Utilizando los escalares solución como coeficientes de una combinación lineal de los vectores que integran la base de partida B . 21. b) 2. Por el teorema de la dimensión, dim Nu(T) = dim V - dim Im(T) = 5 - 3 = 2. 22. b) dim Nu(T) = 0. Un monomorfismo es una transformación inyectiva, lo que equivale a que su núcleo se reduzca al vector nulo. M = B 2 B 1 (M ) B 1 B 2 1 Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 19 23. d) Coordenadas en B2 de las imágenes de B1.

Cada columna j almacena las coordenadas respecto a la base de llegada B2 de la imagen T(vj). 24. b) [S] por [T]. La matriz de la composición es el producto matricial en el mismo orden: [S][T]. 25. Porque el vector diferencia entre el punto y su proyección es perpendicular al plano, formando la hipotenusa de un triángulo rectángulo con cualquier otra desviación. 26. Tiene dimensión 4 - 1 = 3, debido a que V = S S^ y sus dimensiones deben sumar la dimensión total del espacio. 27. Porque proviene de la proyección escalar estándar sobre una dirección no necesariamente normalizada, requiriendo dividir por . 28. Se formula algebraicamente mediante la igualdad matricial . 29.

d) Que la base de S sea ortogonal. La fórmula sumatoria de proyecciones descompone correctamente el vector solo si los elementos de la base son mutuamente ortogonales. 30. a) S S^ = V. El subespacio y su complemento ortogonal generan todo el espacio y su intersección es nula, constituyendo una suma directa. 31. c) "" (v)"". Por el teorema de la mejor aproximación, d(v, S) = ""v - (v)"" = "" (v)"". 32. c) z = v - [ v , z / ""z ""²] z . El nuevo vector se construye restando a v su proyección ortogonal sobre la dirección previamente fijada z . z , z = i i z i 2 y Ax = T 0 P S P S P S Álgebra Lineal: Subespacios, TL y Ortogonalidad 20