Banc d'exercicis i qüestions d'examen: Fonaments de Meteorologia Dinàmica

Pregunta 1. Característiques de l'atmosfera a escala sinòptica i latituds mitjanes i altes

Detalleu les característiques fonamentals de la dinàmica atmosfèrica a escala sinòptica a les latituds mitjanes i altes, indicant els ordres de magnitud característics de les variables geomètriques i cinemàtiques, així com les seves propietats més rellevants.

Pregunta 2. Mapes de pressió a nivell del mar i mapes d'alçada

Expliqueu per quins motius el mapa de pressió reduïda a nivell del mar és el més difós i popular en la informació meteorològica general. Així mateix, justifiqueu per quina raó els mapes d'alçada no es representen sobre nivells geomètrics constants ($z$ constant) sinó sobre superfícies isobàriques ($p$ constant).

1.

2.

Pregunta 3. Esquema d'un mapa de pressió a nivell del mar a l'hemisferi nord

Realitzeu un esquema detallat d'un mapa de pressió a nivell del mar representatiu de l'hemisferi nord on s'observin:

Isòbares etiquetades amb els seus respectius valors.

Posició de centres d'alta i baixa pressió.

En un punt de la perifèria d'un anticicló, representació del vector de vent geostròfic i del vent real de superfície.

Indicació de les regions on es preveuen moviments verticals ascendents i nuvolositat, justificant la resposta a partir exclusivament de la informació del mapa de superfície.

Pregunta 4. Escalfament desigual de la Terra com a motor atmosfèric

Demostreu formalment o conceptualment que la distribució desigual de l'escalfament solar sobre la superfície del planeta constitueix una condició suficient per mantenir de manera continuada l'atmosfera en moviment.

Pregunta 5. Coordenada vertical sigma en models numèrics

Expliqueu en què consisteix la coordenada vertical normalitzada $\sigma$ emprada en els models numèrics de predicció del temps i quin avantatge clau presenta, especialment a escala regional o petita escala.

Pregunta 6. Procés d'inicialització en models numèrics de predicció del temps

Descriviu en què consisteix l'etapa d'inicialització en els models numèrics de predicció meteorològica i quina és la seva finalitat primordial.

Pregunta 7. Diferències finites i mètodes espectrals

Expliqueu a grans trets els principis en què es basen les dues tècniques clàssiques per a la integració de les equacions primitives: el mètode de diferències finites i els mètodes espectrals. Indiqueu per a quins tipus de models s'acostuma a aplicar cadascuna.

Pregunta 8. Parametritzacions en els models numèrics de predicció

Definiu el concepte de parametrització en el context dels models de simulació i predicció numèrica del temps i expliqueu per què són indispensables.

Pregunta 9. Vent geostròfic en coordenades naturals i càlcul pràctic

a.

Deduïu les propietats del vent geostròfic a partir de la seva formulació en coordenades naturals horitzontals.

b.

En un mapa d'isòbares a nivell de superfície, es mesura una separació horitzontal de $500\text{ km}$ entre les línies de $1008\text{ hPa}$ i $1012\text{ hPa}$. Calculeu el mòdul del vent geostròfic en aquesta regió, sabent que es troba a $40^\circ\text{N}$ de latitud i que la densitat de l'aire és $\rho = 1{,}2\text{ kg/m}^3$. (Dada: $\Omega = 7{,}292 \times 10^{-5}\text{ s}^{-1}$).

Pregunta 10. Vent ciclostròfic a l'hemisferi sud

Definiu el concepte de vent ciclostròfic. Indiqueu en quines situacions o fenòmens meteorològics constitueix una bona aproximació del vent real. Identifiqueu les configuracions possibles a l'hemisferi sud i representeu el diagrama de forces associat a cadascuna.

Pregunta 11. Vent del gradient a l'hemisferi nord

Definiu el concepte de vent del gradient. Identifiqueu totes les configuracions físicament possibles d'aquest equilibri a l'hemisferi nord i representeu el diagrama de balanç de forces per a cadascuna d'elles.

a)

b)

c)

Pregunta 12. Vent del gradient a l'hemisferi sud

Definiu el vent del gradient, identifiqueu les configuracions físicament estables i possibles a l'hemisferi sud i descriviu el diagrama de forces corresponent a cadascuna.

a)

b)

Pregunta 13. Exemples d'atmosfera barotròpica i baroclínica

Proposeu i descriviu un exemple de fenomen atmosfèric clarament barotròpic i un altre de clarament baroclínic.

a)

b)

Pregunta 14. Vent tèrmic i advecció horitzontal freda

Definiu el concepte de vent tèrmic. Demostreu que, en una atmosfera en equilibri hidrostàtic i geostròfic, l'advecció horitzontal d'aire fred es troba associada a un gir antihorari (levogir) del vent geostròfic a mesura que augmenta l'alçària.

a)

b)

Pregunta 15. Vent tèrmic i advecció horitzontal càlida

Definiu el vent tèrmic i demostreu que, en condicions d'equilibri hidroestàtic i geostròfic a l'hemisferi nord, l'advecció d'aire càlid està relacionada amb un gir horari (dextrogir) del vent geostròfic en augmentar l'altitud.

Pregunta 16. Increment del vent amb l'alçària a la troposfera

Mitjançant l'aplicació del concepte de vent tèrmic, justifiqueu de manera física per quina raó el vent predominant d'oest experimenta habitualment un intens increment amb l'alçada al llarg de tota la troposfera de latituds mitjanes.

Pregunta 17. Vent tèrmic i existència del jet stream polar

Definiu el vent tèrmic i utilitzeu aquest concepte per justificar l'existència i localització del corrent en jet o corrent en raig polar prop del sostre de la troposfera.

Pregunta 18. Asimetria en l'estructura nuvolosa de les borrasques

Argumenteu quines són les raons dinàmiques per les quals les estructures nuvoloses al voltant de les borrasques de latituds mitjanes no presenten una simetria circular, sinó que adopten formes asimètriques en bandes o coma.

Pregunta 19. Càlcul de la velocitat vertical omega per continuïtat isobàrica

A escala sinòptica, resulta atractiu determinar la velocitat vertical $\omega = dp/dt$ integrant l'equació de continuïtat en coordenades isobàriques des de la superfície $p_s$ fins a un nivell de pressió $p$:

$$\omega(p) = \omega(p_s) + \int_p^{p_s} \nabla_H \cdot \vec{v}\,dp$$

Expliqueu el fonament físic d'aquesta expressió.

Pregunta 20. Velocitat vertical w en un estrat superficial

Transformeu l'equació obtinguda a la pregunta anterior per expressar la velocitat vertical estàndard $w = dz/dt$ al sostre d'un estrat superficial en coordenades d'alçada geomètrica $z$ i indiqueu quines són les limitacions intrínseques d'aquest mètode cinemàtic.

Emprant $z$ com a coordenada vertical, la tercera equació del moviment s'escriu:

$$\frac{dw}{dt} - \frac{u^2 + v^2}{a} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g + 2\Omega u \cos\phi + f_{fz}$$

a.

Estimeu l'ordre de magnitud a escala sinòptica de cadascun dels termes de l'equació.

b.

Simplifiqueu l'equació a escala sinòptica. Quin significat té l'expressió obtinguda? Quines implicacions té la pèrdua de la derivada temporal $dw/dt$ respecte a la possibilitat de calcular la velocitat vertical mitjançant la integració de les equacions primitives?

Emprant $z$ com a coordenada vertical, la tercera equació del moviment s'escriu:

$$\frac{dw}{dt} - \frac{u^2 + v^2}{a} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g + 2\Omega u \cos\phi + f_{fz}$$

c.

Per què té tant d'interès la determinació de la velocitat vertical si a escala sinòptica és només una mil·lèsima part de l'horitzontal?

d.

A partir de la integració de l'equació de continuïtat isobàrica, transformeu l'expressió corresponent per trobar la velocitat vertical $w$ al nivell superior d'un estrat superficial i exposeu les limitacions d'aquest procediment.

Pregunta 22. Integració vertical de la divergència horitzontal i limitacions

Deduïu formalment la fórmula que permet calcular la velocitat vertical al sostre d'un estrat superficial integrant verticalment la divergència del vent horitzontal i comenteu detalladament les dificultats i limitacions que sorgeixen en aplicar-la a escala sinòptica.

Pregunta 23. Expressió de la tendència baromètrica i la seva aplicabilitat sinòptica

Integrant verticalment l'equació de continuïtat al llarg de tota la columna atmosfèrica, deduïu una relació per a la tendència baromètrica superficial, $\frac{\partial p_s}{\partial t}$. Quines limitacions pràctiques presenta aquesta expressió quan es pretén aplicar a escala sinòptica?

Pregunta 24. Interpretació física i matemàtica del terme de divergència de la vorticitat

Analitzeu física i matemàticament el significat del terme de divergència (o terme d'estirament dels tubs de vòrtex) en l'equació de la vorticitat absoluta:

$$-(\zeta + f)(\nabla_H \cdot \vec{v})$$

Pregunta 25. Camp d'isohipses a 500 hPa, advecció de vorticitat i propagació d'ones

Dibuixeu un camp representatiu d'isohipses al nivell de 500 hPa per a latituds mitjanes que descrigui un corrent bàsic de ponent amb una pertorbació ondulatòria meridional (ona de Rossby).

Indiqueu sobre el gràfic on la vorticitat relativa és màxima i mínima.

Indiqueu les zones on l'advecció de vorticitat relativa i l'advecció de vorticitat planetària són màximes i mínimes.

Expliqueu qualitativament com l'advecció de vorticitat pot explicar la velocitat de fase i la propagació del patró d'ones.

Pregunta 26. Model barotròpic a partir de la vorticitat

Deduïu l'equació fonamental del model barotròpic no divergent a partir de l'equació de la vorticitat. Comenteu la rellevància històrica d'aquest model en els orígens de la meteorologia numèrica i descriviu a grans trets el procediment emprat per a la seva resolució computacional.

Pregunta 27. Terme B de l'equació omega quasigeostròfica

Expliqueu com el conegut com a terme B (forçament pel cisallament vertical de l'advecció de vorticitat o advecció diferencial de vorticitat) de l'equació $\omega$ quasigeostròfica permet justificar l'aparició sistemàtica de nuvolositat i precipitacions a sotavent (a l'est) dels tàlvegs d'alçada.

Pregunta 28. Càlcul del vent geostròfic en mapa a escala 1:30.000.000

a.

En un mapa meteorològic a escala 1:30.000.000, es mesura que en un punt de superfície situat a $42^\circ\text{N}$ les isòbares (traçades a intervals de $4\text{ hPa}$) presenten curvatura ciclònica i es troben separades per una distància sobre el paper de $8\text{ mm}$. Calculeu el valor del vent geostròfic expressat en nusos (kt), adoptant una densitat de l'aire $\rho = 1{,}225\text{ kg/m}^3$.

b.

Feu un esquema gràfic clar del mapa d'isòbares en superfície i representeu-hi el vector del vent geostròfic obtingut juntament amb una estimació qualitativa del vector vent real de superfície en aquest punt.

Pregunta 29. Interpretació de mapes de gruix i geopotencial

A partir dels mapes adjunts de l'hemisferi nord corresponents al mateix instant de temps:

• El mapa superior mostra el camp de gruix geopotencial $\Delta Z$ (en mgp) entre les superfícies de $1000$ i $500\text{ hPa}$:

• El mapa inferior representa l'alçada geopotencial $Z_{1000}$ (en mgp) de la superfície de $1000\text{ hPa}$:

a)

Indiqueu sobre el mapa superior amb la lletra F la regió on la temperatura mitjana de l'estrat 1000–500 hPa sigui mínima i amb una C on sigui màxima. Pugeu una foto del mapa amb les indicacions o descriviu la seva ubicació:

b)

En el mapa inferior, representeu aproximadament el vector de vent geostròfic en els punts de coordenades (55°N, 10°W) i (50°N, 20°E). En el mapa superior, dibuixeu en aquests mateixos punts el vector de vent tèrmic. Determineu quin signe té l'advecció tèrmica de l'estrat en aquests punts.

c)

Calculeu la temperatura mitjana de l'estrat comprès entre 1000 i 500 hPa a la vertical de Barcelona (aprox. 41°N, 2°E). Adopteu $R_d = 287\text{ J/(kg K)}$ i $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$.

d)

Calculeu l'alçada geopotencial de la superfície de 500 hPa a la vertical de Barcelona.

e)

Estimeu el valor de la pressió al nivell del mar a les proximitats de Barcelona.

f)

Calculeu el mòdul del vent geostròfic a 500 hPa sobre la vertical de Barcelona.

Pregunta 30. Càlcul de vent tèrmic i advecció en un radiosondatge

Un sondatge aerològic realitzat a una latitud de $25^\circ\text{N}$ mesura un vent que bufa de l'est (E) amb una velocitat de $20\text{ m/s}$ al nivell de $300\text{ hPa}$, i igualment de l'est (E) però amb una velocitat de $60\text{ m/s}$ al nivell de $200\text{ hPa}$. Suposant que ambdós vents es troben en equilibri geostròfic i que la temperatura mitjana d'aquest estrat és de $-40^\circ\text{C}$ ($233{,}15\text{ K}$), calculeu:

a)

El vector vent tèrmic de l'estrat. Representeu-lo en un croquis juntament amb l'orientació de les isotermes mitjanes.

b)

El mòdul i sentit del gradient horitzontal de temperatura mitjana en aquest estrat.

c)

L'advecció tèrmica en l'estrat.

d)

Com canviarien els resultats anteriors si el mateix mesurament s'hagués obtingut a $25^\circ\text{S}$ de latitud?

Pregunta 31. Determinació del vent geostròfic a 500 hPa a partir del vent en superfície i gruix

En un mapa de l'hemisferi nord a latitud mitjana ($f \approx 10^{-4}\text{ s}^{-1}$), les isòpletes de gruix entre 1000 i 500 hPa de 5000 i 5040 mgp són paral·leles als cercles de latitud (orientades est-oest, amb valors menors al nord) i estan separades per una distància de 400 km. En superfície (1000 hPa), el vent geostròfic bufa de l'est-sud-est (ESE) i la distància entre dues isòbares consecutives separades 5 hPa és de 300 km (adoptant $\rho = 1{,}2\text{ kg/m}^3$). Calculeu el vector vent geostròfic al nivell de 500 hPa.

Pregunta 32. Divergència, taxa de pluja prevista i estabilitat numèrica CFL en una graella

En un determinat pas d'integració temporal d'un model numèric de predicció del temps hidrostàtic amb pas de malla $\Delta x = \Delta y = 20\text{ km}$, el camp de vent en superfície està representat sobre una matriu de $3 \times 3$ punts com segueix:

Component u (m/s) · Component v (m/s)

12,0 · 9,3 · 7,2 · -1,1 · -3,0 · -7,2

10,6 · 7,0 · 5,5 · 2,0 · -1,5 · -4,0

11,3 · 8,4 · 2,1 · 2,6 · 1,0 · -1,3

a)

Suposant que les condicions termodinàmiques són propícies per al desenvolupament convectiu profund i que el model pronostica una proporció de barreja d'humitat mitjana a la regió de $q = 8\text{ g/kg}$, determineu —fent hipòtesis físiques raonables— la intensitat de precipitació prevista (mm/h) al punt central de la malla a causa de la convergència superficial.

b)

Tenint en compte el criteri d'estabilitat numèrica de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), feu una estimació del pas de temps d'integració màxim $\Delta t$ per garantir l'estabilitat del model (considereu una velocitat màxima per a les ones més ràpides que transmeten informació hidrostàtica).

c)

Si el model triga actualment 13 minuts de temps de CPU a completar un pronòstic de 36 hores, quant de temps trigaria aproximadament a fer la mateixa predicció si es redueix el pas de malla a 10 km?

Pregunta 33. Estimació de la velocitat vertical a 300 hPa per expansió d'enclusa convectiva

En comparar dues imatges consecutives del canal infraroig del satèl·lit Meteosat separades per un interval temporal de 30 minuts (1800 s), s'observa que l'àrea d'extensió de l'enclusa d'un gran cumulonimbus ha crescut al voltant d'un 20% ($\Delta A/A = 0{,}20$). Suposant que l'enclusa es troba continguda en la capa entre 300 i 200 hPa i que al nivell superior de la tempesta (200 hPa) la velocitat vertical és pràcticament nul·la ($\omega(200) = 0$), calculeu el valor de la velocitat vertical $\omega$ i la velocitat vertical geomètrica $w$ al nivell de 300 hPa. (Dades: considereu $\rho \approx 0{,}45\text{ kg/m}^3$ a 300 hPa).

Pregunta 34. Camp de vent irrotacional amb trajectòries circulars concèntriques

A una distància de $r_1 = 25\text{ km}$ del centre d'un sistema estacionari amb línies de corrent circulars i concèntriques, la velocitat del vent mesurada és de $V_1 = 10\text{ m/s}$. Calculeu la velocitat del vent $V_2$ en un punt situat a una distància $r_2 = 50\text{ km}$ del centre sabent que el camp de vents del sistema no presenta vorticitat relativa ($\zeta = 0$, vòrtex irrotacional). Discutiu els resultats per al cas ciclònic i per a l'anticiclònic.

a)

b)