Pràctica 2. Corda vibrant: Ones estacionàries

Context

L'objectiu principal d'aquesta pràctica de laboratori és caracteritzar les ones estacionàries generades en una corda vibrant mitjançant un oscil·lador motoritzat. S'analitza com depèn la tensió aplicada ($F$) respecte a la longitud d'ona ($\lambda$) dels modes harmònics observats en dues classes de cordes (corda gruixuda i corda prima) de dues longituds de vibració diferents ($L_1 = 48{,}5 \pm 0{,}5\text{ cm}$ i $L_2 = 34 \pm 0{,}5\text{ cm}$). A partir dels ajustos logarítmics i de mesures directes de massa i longitud total, es calcula i es compara el quocient de densitats lineals de massa ($\mu_{\text{gruixuda}}/\mu_{\text{prima}}$).

1 Adquisició de dades experimentals i propagació d'incerteses

Per a cadascuna de les quatre configuracions de corda ($C_A$ gruixuda amb $L_1$, $C_B$ prima amb $L_1$, $C_C$ gruixuda amb $L_2$, i $C_D$ prima amb $L_2$), s'ha variat la força de tensió $F$ mesurada amb dinamòmetre per tal d'obtenir un nombre sencer de ventres $n$.

a.

Justifiqueu la fórmula utilitzada per deduir la longitud d'ona $\lambda$ i la seva incertesa $\delta\lambda$ en funció de la longitud que vibra $L$ i del nombre de ventres $n$.

b.

Expliqueu com es calcula la incertesa de les variables logarítmiques $\ln(\lambda / 1\text{ cm})$ i $\ln(F / 1\text{ N})$ mitjançant propagació d'errors.

c.

Presenteu les taules completes de valors mesurats i calculats per a les quatre cordes analitzades.

Context

L'objectiu principal d'aquesta pràctica de laboratori és caracteritzar les ones estacionàries generades en una corda vibrant mitjançant un oscil·lador motoritzat. S'analitza com depèn la tensió aplicada ($F$) respecte a la longitud d'ona ($\lambda$) dels modes harmònics observats en dues classes de cordes (corda gruixuda i corda prima) de dues longituds de vibració diferents ($L_1 = 48{,}5 \pm 0{,}5\text{ cm}$ i $L_2 = 34 \pm 0{,}5\text{ cm}$). A partir dels ajustos logarítmics i de mesures directes de massa i longitud total, es calcula i es compara el quocient de densitats lineals de massa ($\mu_{\text{gruixuda}}/\mu_{\text{prima}}$).

2. Ajust lineal per mínims quadrats de les sèries de dades

S'agrupen les dades corresponents al mateix tipus de corda:

Cordes gruixudes: conjunt de dades de $C_A$ i $C_C$ ($N = 8$ punts).

Cordes primes: conjunt de dades de $C_B$ i $C_D$ ($N = 8$ punts).

Les gràfiques resultants es mostren a continuació:

a.

Detalleu les fórmules estadístiques emprades per determinar el pendent $m$, el terme independent $b$ i les seves respectives incerteses ($\\delta m$, $\\delta b$) en una regressió per mínims quadrats no ponderada.

b.

Indiqueu l'equació de la recta obtinguda per a les cordes gruixudes, amb el pendent $A_{\text{gruixuda}}$ i l'ordenada a l'origen $B_{\text{gruixuda}}$ expressats amb les seves incerteses:

±

±

c.

Indiqueu l'equació de la recta per a les cordes primes, amb els paràmetres $A_{\text{prima}}$ i $B_{\text{prima}}$ i les seves respectives incerteses:

±

±

Context

L'objectiu principal d'aquesta pràctica de laboratori és caracteritzar les ones estacionàries generades en una corda vibrant mitjançant un oscil·lador motoritzat. S'analitza com depèn la tensió aplicada ($F$) respecte a la longitud d'ona ($\lambda$) dels modes harmònics observats en dues classes de cordes (corda gruixuda i corda prima) de dues longituds de vibració diferents ($L_1 = 48{,}5 \pm 0{,}5\text{ cm}$ i $L_2 = 34 \pm 0{,}5\text{ cm}$). A partir dels ajustos logarítmics i de mesures directes de massa i longitud total, es calcula i es compara el quocient de densitats lineals de massa ($\mu_{\text{gruixuda}}/\mu_{\text{prima}}$).

3. Comparació dels pendents empírics amb el valor teòric i discussió de fonts d'error

a)

A partir de la relació de propagació d'ones transversals en una corda tensa ($v = \sqrt{F/\mu}$) i de la relació fonamental $v = \lambda f$, deduïu la dependència teòrica entre $\ln(F)$ i $\ln(\lambda)$, identificant el valor del pendent teòric esperat.

b)

Comproveu la compatibilitat entre el pendent teòric i els pendents obtinguts experimentalment ($A_{\text{gruixuda}}$ i $A_{\text{prima}}$) aplicant el criteri de discrepància a $2\delta$.

c)

Comenteu quines causes físiques o sistemàtiques poden explicar la discrepància observada.

Context

L'objectiu principal d'aquesta pràctica de laboratori és caracteritzar les ones estacionàries generades en una corda vibrant mitjançant un oscil·lador motoritzat. S'analitza com depèn la tensió aplicada ($F$) respecte a la longitud d'ona ($\lambda$) dels modes harmònics observats en dues classes de cordes (corda gruixuda i corda prima) de dues longituds de vibració diferents ($L_1 = 48{,}5 \pm 0{,}5\text{ cm}$ i $L_2 = 34 \pm 0{,}5\text{ cm}$). A partir dels ajustos logarítmics i de mesures directes de massa i longitud total, es calcula i es compara el quocient de densitats lineals de massa ($\mu_{\text{gruixuda}}/\mu_{\text{prima}}$).

4. Càlcul de la raó de densitats lineals a partir de la regressió lineal

a)

Demostreu com es pot aïllar la raó de densitats lineals $\frac{\mu_{\text{gruixuda}}}{\mu_{\text{prima}}}$ a partir de les ordenades a l'origen ($B_{\text{gruixuda}}$ i $B_{\text{prima}}$) de les rectes de regressió lineal, suposant que la freqüència de vibració $f$ és la mateixa en ambdós experiments.

b)

Deduïu la fórmula de propagació d'errors per a la incertesa del quocient $\delta\left(\frac{\mu_{\text{gruixuda}}}{\mu_{\text{prima}}}\right)$.

c)

Calculeu el valor numèric del quocient de densitats lineals obtingut per aquest mètode indirecte juntament amb la seva incertesa.

Context

L'objectiu principal d'aquesta pràctica de laboratori és caracteritzar les ones estacionàries generades en una corda vibrant mitjançant un oscil·lador motoritzat. S'analitza com depèn la tensió aplicada ($F$) respecte a la longitud d'ona ($\lambda$) dels modes harmònics observats en dues classes de cordes (corda gruixuda i corda prima) de dues longituds de vibració diferents ($L_1 = 48{,}5 \pm 0{,}5\text{ cm}$ i $L_2 = 34 \pm 0{,}5\text{ cm}$). A partir dels ajustos logarítmics i de mesures directes de massa i longitud total, es calcula i es compara el quocient de densitats lineals de massa ($\mu_{\text{gruixuda}}/\mu_{\text{prima}}$).

5. Càlcul directe de densitats lineals i comparació de resultats

A més del mètode ondulatori, es mesura la longitud total $L'$ i la massa total $m$ de cadascuna de les quatre cordes mitjançant un regle ($\delta L' = 0,1\text{ cm}$) i una balança ($\delta m = 0,01\text{ g}$):

Paràmetre

$C_A$

$C_B$

$C_C$

$C_D$

$L' \pm 0,1\text{ (cm)}$

61,8

64,9

55,1

47,8

$m \pm 0,01\text{ (g)}$

2,06

1,31

2,05

0,92

a)

Calculeu la densitat lineal individual $\mu = m/L'$ i la seva incertesa $\delta\mu$ per a cadascuna de les cordes (en $\text{g/cm}$).

$\pm$

$\text{g/cm}$

$\pm$

$\text{g/cm}$

$\pm$

$\text{g/cm}$

$\pm$

$\text{g/cm}$

b)

Determineu el valor mitjà de la densitat lineal directa per a les cordes gruixudes ($\mu_{\text{gruixuda},d}$) i per a les cordes primes ($\mu_{\text{prima},d}$), combinant les incerteses sistemàtiques i estadístiques.

$\pm$

$\text{g/cm}$

$\pm$

$\text{g/cm}$

c)

Calculeu el quocient directe $\frac{\mu_{\text{gruixuda},d}}{\mu_{\text{prima},d}}$ amb la seva incertesa propagada.

$\pm$

d)

Compareu el quocient obtingut pel mètode directe amb el deduït de les rectes de regressió calculant la discrepància $d$ i determineu si ambdós resultats són compatibles. Redacteu les conclusions finals de l'estudi.