Mostreig i Distribucions Mostrals | Estadística EEiE II

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ESTADÍSTICA ECONÒMICA I EMPRESARIAL II Grau en Economia Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de mostreig i distribucions mostrals per a EEiE II: mètodes de mostreig, i distribucions de la mitjana, la quasivariància i la proporció mostral. APREN.AI Índex 1 Introducció a la Inferència i Fonaments del Mostreig De la descripció a la inferència estadística Per què s'utilitzen mostres en lloc d'un cens poblacional?

Mostra Aleatòria Simple (MAS) i condició de variables IID Poblacions finites, infinites i reemplaçament 2 Mètodes de Mostreig: Probabilístics i No Probabilístics Classificació fonamental dels dissenys de mostreig Mostreig estratificat Mostreig per clústers o conglomerats Criteris d'elecció entre dissenys: casos pràctics Altres mostrejos probabilístics: sistemàtic i múltiple 3 Distribució Mostral de la Mitjana Fonaments de la distribució mostral La mitjana mostral com a variable aleatòria Distribució exacta sota normalitat i el Teorema Central del Límit 4 Distribució Mostral de la Variància Definició i propietats fonamentals de la quasivariància mostral Demostració de la insesgadesa de la quasivariància mostral Distribució mostral sota el supòsit de normalitat 5 Distribució Mostral de la Proporció Poblacions dicotòmiques i definició de la proporció mostral Propietats de la proporció mostral: esperança i variància Aproximació a la distribució normal Resum comparatiu de les distribucions mostrals bàsiques 6 Formulari Mostra Aleatòria Simple (MAS) Distribució Mostral de la Mitjana Distribució Mostral de la Variància Distribució Mostral de la Proporció Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 1 1 Introducció a la Inferència i Fonaments del Mostreig EN ACABAR SABRÀS Distingir entre població i mostra, així com entre paràmetre i estadístic Explicar les raons operatives per les quals s'utilitzen mostres en lloc de censos Formular les condicions matemàtiques d'una Mostra Aleatòria Simple (IID) Diferenciar el mostreig amb reemplaçament del mostreig sense reemplaçament PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si volem saber la mitjana d'una població, per què no mesurem directament tots els seus individus?

L'estadística comprèn els mètodes per recollir, organitzar, analitzar i interpretar dades per prendre decisions fonamentades. Aquesta disciplina es divideix en dues branques: l'estadística descriptiva i la inferència estadística. ESQUEMA Estructura de la Inferència i Mostreig De la descripció a la inferència estadística Mentre que l'estadística descriptiva organitza, resumeix i presenta dades d'una manera informativa, la inferència estadística proporciona mètodes per deduir propietats d'un conjunt ampli a partir d'un subconjunt reduït.

Fonaments del mostreig Població, mostra i variables IID Mètodes de mostreig Tècniques probabilístiques i no probabilístiques Distribucions mostrals Comportament teòric dels estadístics Mitjana mostral Distribució de la mitjana de dades Variància mostral Distribució de la dispersió mostral Proporció mostral Distribució d'atributs dicotòmics Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 2 DEFINICIÓ La població és la totalitat d'individus, objectes o mesures d'interès en un estudi. La mostra és una part o proporció representativa seleccionada d'aquesta població.

Aquesta divisió dóna lloc a dos conceptes numèrics fonamentals: Paràmetre poblacional: mesura numèrica que descriu una característica concreta de tota la població (com la mitjana , la desviació estàndard o la proporció ). És un valor fix, però gairebé sempre desconegut. Estadístic mostral: qualsevol valor numèric calculat exclusivament a partir de les dades d'una mostra (com la mitjana mostral o la variància mostral). És una quantitat coneguda, però varia segons la mostra escollida.

Concepte Població Mostra Definició Conjunt complet d'elements d'interès Subconjunt representatiu d'elements Mesura numèrica Paràmetre ( , , ) Estadístic ( , , ) Estat de coneixement Fix i desconegut Conegut (calculable) i variable L'objectiu central de la inferència és aproximar el valor del paràmetre poblacional desconegut mitjançant el càlcul d'un estadístic mostral conegut. COMPROVA-HO 2 Per què diem que un paràmetre és fix mentre que un estadístic és variable? Per què s'utilitzen mostres en lloc d'un cens poblacional?

Treballar amb la població sencera (mitjançant un cens) planteja dificultats operatives que sovint ho fan inviable: Mida i cost operatiu: localitzar i mesurar cada element individual exigeix recursos i temps excessius. Risc d'error: recopilar volums massius d'informació incrementa notablement la probabilitat de cometre errors en el registre. Poblacions infinites: quan el nombre d'elements no té límit, és impossible mesurar la totalitat. Elements dinàmics o dispersos: els elements poden desplaçar-se, dispersar-se geogràficament o fins i tot modificar-se durant la recollida de dades. L'extracció d'una mostra representativa resol aquests problemes operatius mantenint la validesa de l'anàlisi.

μ σ p X ˉ μ σ p X ˉ S2 p ^ Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 3 ERROR FREQÜENT Confondre el paràmetre amb l'estadístic és un error habitual. Recorda que mai es calcula directament el paràmetre poblacional a partir d'una mostra; la mostra només permet calcular l'estadístic , el qual s'utilitza per inferir el valor de . Mostra Aleatòria Simple (MAS) i condició de variables IID Per garantir la representativitat i evitar biaixos de selecció humana (com els que presenten les mostres de voluntaris o de conveniència), s'apliquen procediments d'atzar.

DEFINICIÓ Una mostra aleatòria simple (MAS) és aquella en què cada element de la població té la mateixa probabilitat de ser seleccionat, l'elecció de cada individu és independent de la dels altres i totes les mostres possibles de mida presenten idèntica probabilitat de selecció. Formalment, una mostra de mida està formada per un conjunt de variables aleatòries que són independents i idènticament distribuïdes (IID).

Aquest concepte exigeix dues condicions matemàtiques: Tot estadístic calculat sobre aquestes variables (com la mitjana o la variància) presenta la seva pròpia distribució de probabilitat, coneguda com a distribució de mostreig (vegeu «Distribució Mostral de la Mitjana» i «Distribució Mostral de la Variància»). Poblacions finites, infinites i reemplaçament L'aplicació pràctica de la condició d'independència depèn de les dimensions de la població i de la manera com s'extreuen els individus: Modalitat Procediment d'extracció Efecte sobre la independència Amb reemplaçament L'element seleccionat es retorna a la població abans de triar el següent; pot aparèixer més d'un cop a la mostra.

Garanteix la independència estricta, ja que les probabilitats es mantenen constants a cada extracció. Sense reemplaçament L'element escollit s'elimina del conjunt i no pot tornar a ser seleccionat a la mateixa mostra. En poblacions finites altera lleugerament les probabilitats de les extraccions successives. μ X ˉ μ n n X , X , … , X 1 2 n Idènticament distribuïdes: totes les variables segueixen exactament la mateixa funció de distribució de probabilitat de la població: 1 F (X ) = 1 F (X ) = 2 = F (X ) n Independents: la funció de distribució conjunta és igual al producte de les distribucions marginals de cada observació: 2 F (X , X , … , X ) = 1 2 n F (X ) 1 F (X ) …

F (X ) 2 n Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 4 En una població infinita, els elements es trien de forma independent sense que l'extracció modifiqui la distribució subjacent. En una població finita, el mostreig amb reemplaçament garanteix que es compleixin estrictament les condicions d'una MAS (per a altres tipus d'extracció, vegeu «Mètodes de Mostreig: Probabilístics i No Probabilístics»). COMPROVA-HO 3 Quina condició formal garanteix que les observacions d'una MAS siguin independents entre si? IDEES CLAU L'estadística descriptiva organitza dades observades, mentre que la inferència dedueix propietats poblacionals a partir de mostres.

El paràmetre és una propietat numèrica poblacional fixa i desconeguda; l'estadístic és un valor mostral conegut i variable. S'utilitzen mostres per estalviar costos i temps, evitar errors de volum i gestionar poblacions infinites o canviants. Una mostra aleatòria simple (MAS) està formada per variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes (IID). El mostreig amb reemplaçament retorna l'element a la població i preserva la independència de les observacions. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. Quina és la diferència central entre un paràmetre i un estadístic? 5. Quines dues condicions matemàtiques defineixen formalment les variables d'una MAS? Test Encercla la resposta correcta.

Les solucions són al final. 6. Què descriu un estadístic mostral? 7. Per què no s'estudia sempre la població sencera? La probabilitat teòrica del cens a) Una característica d'una mostra observada b) Una mesura de tota la població c) Un valor fix sempre desconegut d) Perquè un cens impedeix calcular paràmetres a) Per motius de cost, temps o mida b) Perquè les mostres eliminen tot error c) Perquè les poblacions són sempre finites d) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 5 8. Quina condició compleix una mostra aleatòria simple? 9. En què consisteix el mostreig amb reemplaçament?

2 Mètodes de Mostreig: Probabilístics i No Probabilístics EN ACABAR SABRÀS Distingir els dissenys probabilístics dels no probabilístics i justificar l'ús exclusiu dels primers en inferència. Comparar les condicions d'homogeneïtat i heterogeneïtat interna del mostreig estratificat i per conglomerats. Determinar el mètode de mostreig adequat en funció de l'estructura poblacional i de la variable d'estudi. Descriure el mecanisme de selecció del mostreig sistemàtic i del mostreig múltiple. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 10 Per què enquestar únicament persones que s'ofereixen voluntàries pot portar a conclusions errònies sobre tota la població?

Classificació fonamental dels dissenys de mostreig Per obtenir informació empírica sobre una població estadística, cal escollir un procediment d'extracció d'elements (vegeu «Introducció a la Inferència i Fonaments del Mostreig»). Els mètodes de selecció es divideixen en dues grans categories: Mostreig probabilístic: procediment on cada element té una probabilitat coneguda de formar part de la mostra. Permet determinar formalment les unitats potencials i aplicar les lleis de la probabilitat. Mostreig no probabilístic: mètode on es desconeix la probabilitat que té cada individu de ser escollit. La tria depèn del criteri de la persona investigadora o de la participació voluntària.

En el mostreig no probabilístic destaquen les mostres de voluntariat i les mostres d'atzar o de conveniència. Atès que aquests dissenys es fonamenten en decisions humanes subjectives i no en l'atzar matemàtic, la teoria estadística no en pot descriure el comportament probabilístic.

Això genera Cada element té distinta probabilitat d'elecció a) Només s'aplica a mostres per conveniència b) Les variables són independents i idènticament distribuïdes c) Les observacions són dependents entre si d) L'element extret no pot tornar a aparèixer a) Se seleccionen només subjectes voluntaris b) S'elimina la població després de l'extracció c) L'element extret es retorna a la població d) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 6 nombroses fonts de biaix i invalida la inferència formal cap a la població objectiu. Per contra, la mostra aleatòria actua com a garantia essencial contra la influència dels prejudicis personals en la recollida de dades.

Dins dels mètodes probabilístics trobem el mostreig aleatori simple (MAS), l'estratificat, el mostreig per clústers o conglomerats, el sistemàtic i el múltiple. ESQUEMA Classificació dels mètodes de mostreig COMPROVA-HO 11 Per quina raó els mètodes no probabilístics impedeixen aplicar la teoria de la inferència estadística? Mostreig estratificat El mostreig estratificat consisteix a dividir la població en subgrups anomenats estrats i extreure una mostra aleatòria simple de cadascun. Aquest disseny té sentit quan la població es pot segmentar a partir d'un factor rellevant que influeix directament en la variable que es mesura.

El procediment operatiu segueix tres etapes: Mètodes probabilístics Probabilitat de selecció coneguda Aleatori simple (MAS) Mateixa probabilitat per a tothom Estratificat Estrats interns homogenis Per clústers Microcosmos interns heterogenis Sistemàtic Selecció regular cada k elements Múltiple Combinació en diferents etapes Mètodes no probabilístics Probabilitat desconeguda o biaix humà Voluntariat Participació espontània Conveniència Basat en el judici o facilitat Dividir la població total en grups o estrats segons la variable d'interès. 1 Obtenir una mostra aleatòria simple de manera independent dins de cada estrat.

2 Recopilar les observacions de totes les unitats mostrals seleccionades en cada fracció. 3 Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 7 Aquest mètode funciona de manera òptima quan una població heterogènia es descompon en grups interns molt homogenis però amb diferències marcades entre ells. Sota aquesta condició, el mostreig estratificat proporciona estimacions de paràmetres poblacionals amb una precisió superior a la que s'obtindria mitjançant un mostreig aleatori simple de la mateixa grandària.

Mostreig per clústers o conglomerats El mostreig per clústers consisteix a dividir la població en agrupacions naturals anomenades clústers o conglomerats per seleccionar després una mostra aleatòria d'aquests conjunts. Un cop determinats els clústers de la mostra, es recopilen dades sobre cadascuna de les unitats que els integren. A diferència de l'estratificació, els clústers no representen subseccions uniformes: cada conglomerat ha de ser un microcosmos heterogeni de tota la població. L'estructura interna de cada clúster ha de reflectir la variabilitat global. A més, l'anàlisi estadística associada al mostreig de conglomerats és més complexa que la del mostreig estratificat.

Criteri Mostreig estratificat Mostreig per clústers (conglomerats) Composició interna del grup Homogènia (elements semblants entre si) Heterogènia (microcosmos de la població) Diferències entre grups Heterogènia (diferències clares entre estrats) Homogènia (conglomerats semblants entre si) Selecció d'unitats S'extreuen elements de tots els estrats Es tria una mostra de conglomerats i s'avalua cada integrant Objectiu primordial Augmentar la precisió de les estimacions Reduir costos operatius i logístics ERROR FREQÜENT Confondre la condició d'homogeneïtat entre estrats i conglomerats.

En el mostreig estratificat, els grups són internament homogenis (variabilitat intra-grup reduïda) i diferents entre si. En el mostreig per clústers, els grups han de ser internament heterogenis (reproduint la diversitat poblacional) i homogenis entre ells. Intercanviar aquests principis invalida les propietats d'eficiència del disseny. COMPROVA-HO 12 En quin tipus de mostreig s'exigeix que cada grup funcioni com una petita rèplica fidel de la població sencera?

Criteris d'elecció entre dissenys: casos pràctics La decisió d'emprar estratificació o conglomerats depèn de la naturalesa de la variable d'estudi i de l'estructura dels grups existents: Estudi territorial per zones horàries: si volem conèixer l'audiència televisiva d'un esdeveniment esportiu en directe a escala nacional, la zona horària condiciona fortament el resultat. Per tant, és Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 8 preferible estratificar per zones horàries per garantir representació a cadascuna. Si s'utilitzessin clústers, seleccionar a l'atzar 2 de les 4 zones horàries no aportaria avantatges respecte a un mostreig aleatori simple i deixaria fora territoris clau.

Enquesta a esportistes federats: davant la pregunta sobre si l'atenció del servei mèdic davant lesions és adequada, la resposta probablement és independent de l'equip al qual pertany l'atleta. En aquest escenari, seleccionar diversos equips complets mitjançant clústers resulta pràctic. Ara bé, si la pregunta avalua si el clima influeix en el rendiment físic, la resposta dependrà de si l'esport es practica a l'interior o a l'aire lliure; aquí cal aplicar un mostreig estratificat segons l'entorn de competició.

Avaluació d'estudiants en un districte escolar: si qualsevol alumne pot assistir a qualsevol escola i cada centre reflecteix fidelment la composició de tota la població infantil, el mostreig per conglomerats (triant unes quantes escoles i enquestant tots els seus membres) és adequat. Per contra, si les escoles estan ubicades en contextos molt dispars (per exemple, centres purament rurals versus urbans), cal recórrer a l'estratificació per assegurar la presència de cada realitat.

Altres mostrejos probabilístics: sistemàtic i múltiple A més del MAS i de les tècniques d'agrupació, s'utilitzen altres modalitats probabilístiques: En el mostreig sistemàtic, es tria a l'atzar un element entre els primers individus ordenats de la població i, a partir d'aquest punt inicial, se selecciona de manera seqüencial cada -èssim element restant. Aquest procediment simplifica la presa de mostres en llistes grans mantenint una base probabilística coneguda. D'altra banda, el mostreig múltiple consisteix a integrar i combinar diferents mètodes probabilístics (com ara clústers i estratificació) en etapes successives de mostreig.

Aquest enfocament s'utilitza en dissenys complexos del món real per equilibrar el cost operatiu i la precisió respecte a l'estàndard del mostreig aleatori simple. COMPROVA-HO 13 Quina regla defineix la selecció d'elements en un mostreig sistemàtic? k k Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 9 IDEES CLAU Els mètodes probabilístics assignen una probabilitat coneguda de selecció a les unitats i permeten la inferència formal. Els mostrejos de conveniència i voluntariat depenen de decisions humanes i introdueixen biaixos incontrolables. El mostreig estratificat divideix la població en estrats homogenis i selecciona individus de tots ells per millorar la precisió.

El mostreig per clústers selecciona grups sencers que han d'actuar com a microcosmos heterogenis de la població. El mostreig sistemàtic selecciona un element aleatori entre els primers i després cada -èssim registre consecutiu. El mostreig múltiple combina diferents mètodes probabilístics al llarg de fases o etapes consecutives. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 14. Per què no és aconsellable utilitzar una mostra de voluntaris per estimar la mitjana d'una població? 15. En quina situació pràctica és preferible emprar un mostreig estratificat en lloc d'un mostreig per clústers? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 16.

Quina condició defineix formalment el mostreig probabilístic? 17. Quina característica interna han de tenir els estrats en el mostreig estratificat? 18. Com ha de ser un clúster per oferir una bona representació poblacional?

k k L'investigador tria segons el seu judici a) No es produeix cap variabilitat mostral b) La probabilitat de selecció és coneguda c) Tots els subjectes participen voluntàriament d) Han de ser internament heterogenis a) Han de tenir exactament dues unitats b) Han de cobrir només zones urbanes c) Han de ser internament homogenis d) Un grup amb subjectes voluntaris a) Un microcosmos heterogeni de la població b) Un conjunt d'elements completament idèntics c) Un grup format per un únic individu d) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 10 19. En què consisteix el mostreig sistemàtic?

3 Distribució Mostral de la Mitjana EN ACABAR SABRÀS Deduir el valor esperat i la variància de la mitjana mostral com a variable aleatòria. Distingir entre la dispersió poblacional i l'error estàndard de la mitjana mostral. Determinar la distribució de la mitjana mostral segons la naturalesa de la població i la mida mostral mitjançant el TCL. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 20 Si calculem la mitjana de 100 mesures en comptes d'una sola, com canvia la seva precisió?

Fonaments de la distribució mostral Quan s'extreuen mostres aleatòries d'una població, el valor numèric obtingut per a un determinat estadístic canvia d'una mostra a una altra (vegeu «Introducció a la Inferència i Fonaments del Mostreig»). Com que aquest resultat varia segons els elements seleccionats, l'estadístic es comporta formalment com una veritable variable aleatòria. DEFINICIÓ La distribució mostral d'un estadístic és la funció de distribució de probabilitat que recull tots els valors possibles que pot prendre aquest estadístic en extreure totes les mostres concebibles de mida d'una mateixa població.

La forma i la dispersió de qualsevol distribució mostral depenen directament de tres elements essencials: la mida de la mostra , la distribució de probabilitat subjacent en la població origen i les operacions algebraiques requerides per calcular l'estadístic. COMPROVA-HO 21 Per quina raó un estadístic calculat a partir d'una mostra es considera una variable aleatòria?

Escollir aleatòriament els subjectes sense ordre a) Seleccionar exclusivament els voluntaris d'una llista b) Triar a l'atzar un dels primers k i després cada k-èssim c) Dividir la mostra en estrats iguals sense atzar d) n n Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 11 La mitjana mostral com a variable aleatòria Considerem una mostra aleatòria simple de grandària formada per les variables (vegeu «Introducció a la Inferència i Fonaments del Mostreig»). Cadascuna d'aquestes observacions prové d'una població caracteritzada per una mitjana poblacional i una variància poblacional .

La mitjana mostral, denotada com , es defineix matemàticament mitjançant l'expressió següent: Com que és una combinació lineal de variables aleatòries, constitueix ella mateixa una variable aleatòria dotada d'una mitjana pròpia i d'una variabilitat específica. Esperança matemàtica de la mitjana mostral El valor esperat de la mitjana mostral s'obté aplicant les propietats lineals de l'operador esperança: Aquesta igualtat demostra que el valor esperat de la mitjana mostral coincideix amb la mitjana de la població, fet que converteix en un estimador centrat del paràmetre .

Variància i dispersió de la mitjana mostral Atès que les variables aleatòries que conformen la mostra aleatòria simple són independents, la variància d'una suma coincideix amb la suma de les variàncies individuals: La variància de la mitjana mostral resulta inversament proporcional a la grandària de la mostra. En conseqüència, com més gran és la mostra observada, menor és la dispersió dels valors mostrals al voltant de la mitjana poblacional. La desviació típica d'aquesta distribució s'anomena formalment error estàndard de la mitjana: ERROR FREQÜENT Confondre la desviació típica poblacional amb la desviació típica de la mitjana mostral .

L'error estàndard mesura la dispersió de les mitjanes obtingudes entre múltiples mostres, no pas la dispersió dels individus aïllats dins la població. COMPROVA-HO 22 Què passa amb la dispersió de la mitjana mostral si quadrupliquem la grandària de la mostra? n X , X , …

, X 1 2 n E(X) = μ V (X) = σ2 X ˉ = X ˉ X = n 1 i=1 n i n X + X + + X 1 2 n X ˉ E( ) = X ˉ E = ( n X + + X 1 n ) [E(X ) + n 1 1 + E(X )] = n [nμ] = n 1 μ X ˉ μ V ( ) = X ˉ V = ( n X + + X 1 n ) [V (X ) + n2 1 1 + V (X )] = n [nσ ] = n2 1 2 n σ2 σ = X ˉ n σ σ n σ Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 12 Distribució exacta sota normalitat i el Teorema Central del Límit La forma precisa que adopta la distribució de depèn de la naturalesa de la distribució poblacional d'origen i de la mida mostral emprada.

Condició poblacional Grandària mostral Distribució de la mitjana mostral Fonament teòric Població normal Qualsevol valor de Estabilitat de la suma de variables normals independents Població no normal qualsevol Grandària prou gran Teorema Central del Límit (aproximació asimptòtica) ESQUEMA Distribució de la mitjana mostral Quan la variable original és normal, qualsevol combinació lineal manté exactament la llei normal sense importar el nombre d'observacions. En canvi, si la variable prové d'una distribució no normal qualsevol (com ara Poisson, uniforme o exponencial), intervé el Teorema Central del Límit (TCL).

Aquest teorema estableix que la suma i la mitjana de variables aleatòries independents convergeixen asimptòticament cap a una distribució normal quan la grandària mostral és prou gran, amb paràmetres i , sense importar el model probabilístic de la població original. COMPROVA-HO 23 Si una població segueix una distribució exponencial, per què podem utilitzar la distribució normal per estudiar la seva mitjana mostral?

X ˉ N(μ, σ) n X ˉ N μ, ( n σ ) n X ˉ N μ, ( n σ ) Població normal Distribució X ~ N(μ, σ) Normal exacta Vàlida per a qualsevol grandària n Població no normal Qualsevol model probabilístic Aproximació pel TCL Requereix una mida n gran E(X) n DS(X) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 13 IDEES CLAU La distribució mostral descriu la variabilitat probabilística d'un estadístic calculat sobre totes les mostres possibles de grandària . L'esperança matemàtica de la mitjana mostral és sempre exactament igual a la mitjana poblacional: . La variància de la mitjana mostral disminueix en augmentar la mostra segons l'expressió .

Si la població mare és normal, la mitjana mostral segueix una distribució normal exacta per a qualsevol valor de . El Teorema Central del Límit garanteix que per a mostres grans, la mitjana mostral s'aproxima a una normal independentment de la distribució poblacional original. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 24. Com es dedueix formalment que l'esperança matemàtica de la mitjana mostral és el paràmetre poblacional? 25. En quina situació la distribució de la mitjana mostral és exactament normal fins i tot amb mostres petites? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 26. Quin és el valor de l'esperança matemàtica de la mitjana mostral X̄? 27.

Com varia la desviació típica de la mitjana mostral en créixer la mida de la mostra? 28. Si una població no és normal, quan s'aproxima la mitjana mostral a una distribució normal? n E( ) = X ˉ μ V ( ) = X ˉ n σ2 n μ a) μ / n b) μ / n c) n · μ d) Disminueix dividida directament entre n a) Creix de manera proporcional a n b) Es manté constant igual a σ c) Disminueix dividida per l'arrel de n d) Mai, ha de ser normal a l'origen a) Només si la variància és zero b) Únicament si és una distribució uniforme c) Quan la grandària n és gran d) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 14 29. Quina és la variància de la mitjana mostral X̄ d'una mostra aleatòria simple?

4 Distribució Mostral de la Variància EN ACABAR SABRÀS Definir la quasivariància mostral i justificar matemàticament la utilització del divisor n - 1. Calcular l'esperança i la variància de la quasivariància mostral en condicions de normalitat. Identificar la distribució de probabilitat khi-quadrat associada a la variància mostral. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 30 Per què es divideix per n - 1 i no per n en calcular la variància d'una mostra?

Definició i propietats fonamentals de la quasivariància mostral En el procés d'inferència estadística, a més d'estudiar la posició central mitjançant la mitjana mostral (vegeu «Distribució Mostral de la Mitjana»), resulta imprescindible quantificar la dispersió de les dades. Quan disposem d'una mostra aleatòria simple d'una població amb esperança i variància , la variància mostral corregida o quasivariància mostral constitueix l'estadístic fonamental per estimar la variabilitat poblacional desconeguda.

DEFINICIÓ La quasivariància mostral, denotada comunament per , es defineix mitjançant la suma de les desviacions al quadrat respecte a la mitjana mostral dividida per : Aquest estadístic presenta diverses característiques teòriques clau: És una variable aleatòria: com que es calcula a partir de variables aleatòries i de la mitjana mostral , el seu valor canvia en cada extracció mostral. No negativitat: atès que està formada per una suma de termes elevats al quadrat dividida per una quantitat positiva, per a qualsevol realització mostral. Insesgadesa: el seu valor esperat coincideix de manera exacta amb la variància de la població d'origen, és a dir, .

n · σ² a) σ² / n b) σ² c) σ² / n d) (X , X , … , X ) 1 2 n E(X) = μ V (X) = σ2 S 2 n 1 S = 2 (X n 1 1 i=1 n i ) X ˉ 2 X i X ˉ S 2 0 E(S ) = 2 σ2 Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 15 COMPROVA-HO 31 Per quina raó la quasivariància mostral es classifica com una variable aleatòria i no pas com una constant? Demostració de la insesgadesa de la quasivariància mostral Per justificar la presència del denominador en comptes de , cal comprovar analíticament que el valor esperat de l'estadístic coincideix amb la variància poblacional .

El desenvolupament algebraic es basa a afegir i restar la mitjana poblacional desconeguda a l'interior de la desviació: En elevar el binomi al quadrat i desenvolupar el sumatori sobre els elements de la mostra, el terme creuat s'anul·la a causa de la definició de mitjana mostral, quedant l'expressió simplificada en dos blocs: Prenent valors esperats terme a terme mitjançant la propietat de linealitat de l'esperança: La divisió per compensa exactament la variabilitat que es perd en utilitzar l'estimador en lloc de la vertadera mitjana poblacional . ERROR FREQÜENT Confondre el càlcul dividint la suma de quadrats entre en lloc de .

Si es divideix entre la mida mostral completa , l'estimador resultant presenta un biaix negatiu, ja que la seva esperança matemàtica és i subestima la vertadera dispersió poblacional. Distribució mostral sota el supòsit de normalitat Quan la variable poblacional d'origen segueix una distribució normal , és possible establir tant la variància teòrica de l'estadístic com la seva distribució de probabilitat exacta.

Sota aquesta premissa de normalitat, la dispersió pròpia de la quasivariància com a variable aleatòria ve donada per: n 1 n σ2 μ E(S ) = 2 E = ( n 1 (X ) i=1 n i X ˉ 2 ) E ((X μ) ( μ)) n 1 1 ( i=1 n i X ˉ 2 ) n (X i=1 n i ) = X ˉ 2 (X i=1 n i μ) 2 n( X ˉ μ)2 S'aplica l'esperança matemàtica als sumands individuals: . 1 E (X μ) = [ i=1 n i 2] E(X i=1 n i μ) = 2 nσ2 S'aplica l'esperança a la dispersió de la mitjana mostral: . Recordant que la variància de la mitjana mostral és (vegeu «Distribució Mostral de la Mitjana»), aquest terme esdevé .

2 E[n( X ˉ μ) ] = 2 nE( X ˉ μ) = 2 nV ( ) X ˉ V ( ) = X ˉ n σ2 n = ( n σ2 ) σ2 Es combinen ambdós resultats en l'esperança global: 3 E(S ) = 2 nσ σ = n 1 1 [ 2 2 ] [(n n 1 1 1)σ ] = 2 σ2 n 1 X ˉ μ n n 1 n σ n n 1 2 X N(μ, σ) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 16 Aquesta fórmula demostra que com més gran és la mida de la mostra , menor és la variància de l'estadístic, fet que indica una precisió creixent en l'estimació de .

Així mateix, a partir de la relació de descomposició de sumes de quadrats presentada anteriorment: Si dividim tota la identitat per la variància poblacional : Substituint la relació en el numerador intermedi: Com que cada de manera independent, la suma de l'esquerra correspon a una distribució khi-quadrat amb graus de llibertat, . Alhora, l'estandardització de la mitjana mostral elevada al quadrat segueix una distribució khi-quadrat amb 1 grau de llibertat, . Per tant: Aquesta relació amb la distribució khi-quadrat constitueix el pilar fonamental per a la inferència sobre variàncies.

PROCÉS Deducció de la distribució khi-quadrat de la variància mostral 1 Supòsit de normalitat Les variables Xi provenen d'una distribució normal N(μ, σ) 2 Descomposició de quadrats Es divideix la variació total respecte a μ en dos components 3 Identificació de khi-quadrats La suma total segueix χ²(n) i la mitjana segueix χ²(1) 4 Diferència de graus Per sostracció s'obté la llei χ² amb n - 1 graus de llibertat Estadístic o Paràmetre Expressió / Distribució Condició requerida Quasivariància mostral ( ) Mostra aleatòria simple Esperança matemàtica Qualsevol població amb variància finita Variància de l'estadístic Població normal Estadístic transformat Població normal V (S ) = 2 n 1 2σ4 n σ2 (X i=1 n i μ) = 2 (X i=1 n i ) + X ˉ 2 n( X ˉ μ)2 σ2 = σ2 (X μ) i=1 n i 2 + σ2 (X ) i=1 n i X ˉ 2 σ2 n( μ) X ˉ 2 (X i=1 n i ) = X ˉ 2 (n 1)S 2 = i=1 n ( σ X μ i ) 2 + σ2 (n 1)S 2 ( σ/ n μ X ˉ ) 2 σ X μ i N(0, 1) n χ (n) 2 χ (1) 2 χ (n) = 2 + σ2 (n 1)S 2 χ (1) 2 σ2 (n 1)S 2 χ (n 2 1) S 2 (X n 1 1 i ) X ˉ 2 E(S ) 2 σ2 V (S ) 2 n 1 2σ4 N(μ, σ) σ2 (n 1)S 2 χ (n 2 1) N(μ, σ) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 17 COMPROVA-HO 32 Què succeeix amb la variància de l'estimador V(S_*^2) quan la mida de la mostra n augmenta indefinidament?

IDEES CLAU La quasivariància mostral es defineix dividint la suma de quadrats de les desviacions entre . L'estimador és insesgat perquè la seva esperança matemàtica coincideix amb la variància poblacional: . Sota normalitat poblacional, la variància de la quasivariància és . La transformació segueix una distribució khi-quadrat amb graus de llibertat només si la població original és normal. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 33. Per què s'utilitza el divisor n - 1 en comptes de n per a la variància mostral? 34. Quina distribució segueix la quantitat ((n - 1)S_*²)/σ² i quina condició és indispensable perquè es compleixi? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 35.

Quin és el valor esperat de la quasivariància mostral S*²? 36. Quina expressió defineix la variància de S*² sota normalitat poblacional? 37. Quants graus de llibertat té l'estadístic ((n-1)S*²)/σ² si la mostra té mida n? 38. Quin requisit cal complir perquè ((n-1)S*²)/σ² segueixi una khi-quadrat?

n 1 E(S ) = 2 σ2 V (S ) = 2 n 1 2σ4 σ2 (n 1)S 2 n 1 El producte (n-1)σ² a) La desviació estàndard σ b) La quantitat σ²/n c) La variància poblacional σ² d) 2σ / (n - 1) a) σ / (n - 1) b) 2σ² / (n - 1) c) σ² / n d) 1 grau de llibertat a) n - 1 graus de llibertat b) n graus de llibertat c) n + 1 graus de llibertat d) Mida mostral superior a 30 a) Desviació estàndard poblacional igual a 1 b) Normalitat a la població d'origen c) Mitjana poblacional exactament nul·la d) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 18 5 Distribució Mostral de la Proporció EN ACABAR SABRÀS Definir la proporció mostral p a partir d'un model binomial Calcular l'esperança matemàtica i la variància de la proporció mostral Avaluar el criteri nπ(1 - π) > 5 per a l'aproximació normal de p PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 39 Si llances una moneda 100 vegades, com varia la proporció de cares respecte a fer només 10 llançaments?

Quan s'estudien caràcters qualitatius en una població, l'interès recau sovint en la presència o absència d'un determinat atribut. En aquest context, les observacions es classifiquen en dues categories excloents, fet que condueix a l'estudi de la proporció com a estadístic fonamental. Poblacions dicotòmiques i definició de la proporció mostral Una variable és dicotòmica quan només admet dos resultats possibles, habitualment anomenats «èxit» i «fracàs». La probabilitat teòrica d'obtenir un èxit en la població es representa mitjançant el paràmetre poblacional (vegeu «Introducció a la Inferència i Fonaments del Mostreig»).

Si s'extreu una mostra aleatòria simple de grandària formada per observacions independents , el recompte total d'èxits obtinguts, denotat per , segueix una distribució binomial: A partir d'aquest recompte, la proporció mostral es defineix com la raó entre el nombre d'èxits observats i el nombre total d'observacions de la mostra: Atès que és una variable aleatòria que varia d'una mostra a una altra, és també una variable aleatòria i té la seva pròpia distribució mostral. COMPROVA-HO 40 Quina relació matemàtica directa existeix entre la variable de recompte binomial X i la proporció mostral p?

Propietats de la proporció mostral: esperança i variància Com que s'obté a partir d'una transformació lineal de la variable binomial , les seves propietats s'obtenen aplicant directament l'àlgebra de l'esperança i de la variància. Per a la variable binomial , sabem que el seu valor esperat és i la seva variància és . Aplicant aquests resultats a la proporció mostral : π n (X , X , … , X ) 1 2 n X X B(n, π) p p = n X X p p X X E(X) = nπ V (X) = nπ(1 π) p = n X Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 19 Esperança matemàtica: La constant surt directament fora de l'operador esperança: El valor esperat de la proporció mostral coincideix exactament amb la proporció poblacional .

Variància de la proporció: En elevar la constant al quadrat en aplicar la variància, obtenim: La variància disminueix a mesura que augmenta la grandària de la mostra , la qual cosa redueix la dispersió de l'estimador al voltant de . ERROR FREQÜENT No oblideu elevar al quadrat la mida mostral en el denominador en calcular la variància. Un error habitual és escriure , la qual cosa portaria erròniament a una variància de sense dividir per . Aproximació a la distribució normal Quan la mida mostral és suficientment gran, la distribució de la proporció mostral es pot aproximar per una distribució normal gràcies al Teorema Central del Límit (vegeu «Distribució Mostral de la Mitjana»).

Aquesta convergència requereix satisfer la condició d'aplicabilitat: Si es compleix aquesta condició, la proporció mostral es distribueix asimptòticament com: on la desviació típica de la proporció mostral, o error estàndard, ve donada per . n 1 E(p) = E = ( n X ) E(X) = n 1 (nπ) = n 1 π π V (p) = V = ( n X ) V (X) = n2 1 [nπ(1 n2 1 π)] = n π(1 π) n π n V = ( n X ) V (X) n 1 π(1 π) n nπ(1 π) > 5 p N π, ( n π(1 π) ) σ = p n π(1 π) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 20 PROCÉS Aproximació normal de la proporció mostral COMPROVA-HO 41 Quina condició ha de complir una mostra per poder aproximar la distribució de la proporció mostral mitjançant una normal?

Resum comparatiu de les distribucions mostrals bàsiques La taula següent sintetitza els tres estadístics fonamentals tractats al llarg de la inferència bàsica, recollint els seus paràmetres i la distribució que segueixen: Estadístic Fórmula de càlcul Esperança Variància Distribució de probabilitat Mitjana mostral ( ) Normal si la població és normal o per TCL si la mostra és prou gran (vegeu «Distribució Mostral de la Mitjana») Variància mostral ( ) Funció de i Distribució relacionada amb amb graus de llibertat (vegeu «Distribució Mostral de la Variància») Proporció mostral ( ) Normal si Mostra dicotòmica Extracció de n observacions independents amb probabilitat π 1 Recompte d'èxits Variable binomial X amb esperança nπ i variància nπ(1-π) 2 Càlcul de la proporció Definició de l'estadístic p = X/n 3 Comprovació condició Verificació de la condició nπ(1-π) > 5 4 Distribució normal Aproximació asimptòtica N(π, [π(1-π)]/n) 5 X ˉ n X i μ n σ2 S 2 n 1 (X ) i X ˉ 2 σ2 σ4 n χ2 n 1 p n X π n π(1 π) N π, ( n π(1 π) ) nπ(1 π) > 5 Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 21 IDEES CLAU La proporció mostral es defineix com a partir d'un recompte binomial .

L'esperança matemàtica de la proporció mostral coincideix amb la proporció poblacional: . La variància de la proporció mostral disminueix en augmentar la mostra: . L'aproximació normal és aplicable quan es compleix el criteri . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 42. Com es dedueix la variància de la proporció mostral a partir de la variància del recompte binomial? 43. Per què es diu que la proporció mostral és un estimador centrat de la proporció poblacional? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 44. Com es defineix la proporció mostral p per a n observacions? 45. Quin és el valor esperat de la proporció mostral E(p)? 46.

Quina expressió correspon a la variància de la proporció mostral V(p)? 47. Sota quina condició s'aproxima la proporció mostral a una normal? 6 Formulari Mostra Aleatòria Simple (MAS) Una mostra aleatòria simple està formada per variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes (IID).

p = X/n X B(n, π) E(p) = π V (p) = n π(1 π) p N π, ( n π(1 π) ) nπ(1 π) > 5 p = X · π a) p = X / n b) p = n · X c) p = n / X d) π a) nπ b) π / n c) π(1 - π) d) nπ(1 - π) a) [π(1 - π)] / n b) π / n c) [π(1 - π)] / n² d) nπ(1 - π) > 5 a) nπ > 10 b) n > 30 c) π = 0,5 d) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 22 Condició matemàtica Significat dels símbols Quan s'aplica : funció de distribució de cada observació mostral Garanteix que totes les unitats provenen de la mateixa població (idènticament distribuïdes). : funció de distribució conjunta Garanteix la independència mútua entre les extraccions mostrals.

Distribució Mostral de la Mitjana La mitjana mostral mesura el centre de les observacions i és un estimador centrat de la mitjana poblacional. Fórmula o Distribució Significat dels símbols Quan s'aplica : mitjana mostral; : mida mostral; : valors observats Càlcul bàsic de la mitjana d'una mostra. : mitjana o esperança poblacional Sempre (estimador centrat de la posició central poblacional). : variància poblacional; : mida mostral Sempre per a mostres aleatòries d'observacions independents. : error estàndard de la mitjana Càlcul de la dispersió de la mitjana mostral entre diferents mostres. : distribució normal Distribució exacta si la població d'origen és normal, per a qualsevol valor de .

: desviació estàndard poblacional Aproximació pel Teorema Central del Límit si la població no és normal i la mostra és prou gran. Distribució Mostral de la Variància La quasivariància mostral mesura la dispersió de les observacions respecte a la mitjana mostral. Fórmula o Distribució Significat dels símbols Quan s'aplica : quasivariància mostral; : graus de llibertat Càlcul de la variància mostral corregida insesgada. : variància poblacional Sempre (demostra la insesgadesa de l'estimador amb divisor ). F (X ) = 1 F (X ) = 2 = F (X ) n F (X ) i F (X , X , … , X ) = 1 2 n F (X ) i=1 n i F (X , …

, X ) 1 n = X ˉ X n 1 i=1 n i X ˉ n X i E( ) = X ˉ μ μ V ( ) = X ˉ n σ2 σ2 n σ = X ˉ n σ σ X ˉ X ˉ N μ, ( n σ ) N( ) n X ˉ N E(X), ( n DS(X) ) DS(X) S = 2 (X n 1 1 i=1 n i ) X ˉ 2 S 2 n 1 E(S ) = 2 σ2 σ2 n 1 Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 23 Fórmula o Distribució Significat dels símbols Quan s'aplica : variància poblacional al quadrat Càlcul de la variància de l'estadístic quan la població original és normal. : llei khi-quadrat amb graus de llibertat Inferència sobre la variància sota el supòsit estricte de normalitat poblacional.

Distribució Mostral de la Proporció La proporció mostral avalua la fracció d'èxits obtinguts en una mostra extreta d'una població dicotòmica. Fórmula o Distribució Significat dels símbols Quan s'aplica : proporció mostral; : nombre d'èxits ( ) Càlcul de la proporció d'èxits en una mostra de grandària . : proporció poblacional d'èxit Sempre (estimador centrat de la proporció). : proporció de fracàs en la població Càlcul de la variància de la proporció mostral. : error estàndard de la proporció Aproximació a la distribució normal quan es compleix la condició . Errors típics Desviació poblacional vs. error estàndard: confondre amb .

L'error estàndard mesura la dispersió de la mitjana de múltiples mostres, no dels individus aïllats. Divisor de la variància mostral: utilitzar el divisor en lloc de genera un estimador esglaonat esbiaixat negativament ( ). Requisit de normalitat per a la khi-quadrat: aplicar la distribució a sense que les observacions provinguin d'una població estrictament normal. Condició d'aproximació normal de la proporció: oblidar verificar el requisit abans d'utilitzar la llei normal sobre . Estrats vs. clústers: recordar que els estrats han de ser internament homogenis i diferents entre ells, mentre que els clústers han de ser microcosmos internament heterogenis.

V (S ) = 2 n 1 2σ4 σ = 4 (σ ) 2 2 σ2 (n 1)S 2 χ (n 2 1) χ (n 2 1) n 1 p = n X p X X B(n, π) n E(p) = π π V (p) = n π(1 π) 1 π p N π, ( n π(1 π) ) σ = p n π(1 π) nπ(1 π) > 5 σ σ/ n n n 1 E(S ) = 2 σ n n 1 2 χ2 σ2 (n 1)S 2 nπ(1 π) > 5 p Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 24 Solucions de les preguntes de repàs 1. Mesurar tota la població sol ser massa car, lent o impossible si és infinita o dinàmica; per això s'analitza una mostra representativa per estimar el valor desconegut. 2. El paràmetre resumeix la població sencera, que té un valor únic i constant en un moment determinat. L'estadístic canvia de valor segons quins elements concrets s'hagin extret a la mostra. 3.

Que la funció de distribució conjunta sigui igual al producte de les seves distribucions marginals: . 4. El paràmetre caracteritza la població i té un valor fix però desconegut ( , ). L'estadístic es calcula a partir de les dades d'una mostra, és conegut i canvia de valor segons la mostra ( ). 5. Han de ser idènticament distribuïdes, , i independents, . 6. b) Una característica d'una mostra observada. Un estadístic és qualsevol quantitat numèrica calculada a partir de les observacions d'una mostra. 7. b) Per motius de cost, temps o mida. Mesurar tota la població pot resultar inviable pel cost, el temps o per tractar-se de poblacions infinites o canviants. 8.

c) Les variables són independents i idènticament distribuïdes. Les variables que formen una MAS són IID: comparteixen la mateixa distribució i són independents. 9. d) L'element extret es retorna a la població. Amb reemplaçament, cada element seleccionat es retorna a la població abans de l'extracció següent. 10. Perquè les persones voluntàries solen tenir opinions o perfils particulars que no reflecteixen fidelment la diversitat de la població, i la manca d'atzar matemàtic impedeix mesurar o corregir aquest biaix. 11. Perquè no es coneix la probabilitat de selecció de les unitats mostrals.

En dependre del judici humà o del voluntariat, és impossible calcular la distribució dels estadístics i es produeixen biaixos no quantificables. 12. En el mostreig per clústers o conglomerats. Cada clúster ha de ser internament heterogeni per actuar com un microcosmos que reflecteixi la variabilitat global de la població. 13. Es tria aleatòriament un punt d'inici dins dels primers k elements d'una llista i, posteriorment, s'incorpora a la mostra cada k-èssim individu que el segueix en la seqüència. 14.

Perquè les persones que participen voluntàriament no tenen una probabilitat de selecció coneguda ni controlada, fet que introdueix biaixos i impedeix aplicar la teoria estadística per fer inferències vàlides. 15. Quan la població conté subgrups que difereixen significativament respecte a la variable estudiada (com ara escoles rurals i urbanes en rendiment acadèmic), de manera que cal garantir la representació de cadascun. 16. c) La probabilitat de selecció és coneguda. El mostreig és probabilístic exclusivament si cada unitat té una probabilitat coneguda de ser incorporada a la mostra. 17. d) Han de ser internament homogenis.

L'estratificació busca que els individus dins de cada estrat siguin el màxim d'homogenis per reduir la variància de l'estimació. 18. b) Un microcosmos heterogeni de la població. Els conglomerats han de funcionar com a reproduccions a petita escala de tota la variabilitat poblacional. F (X , … , X ) = 1 n F (X ) F (X ) 1 n μ σ X ˉ F (X ) = 1 = F (X ) n F (X , … , X ) = 1 n F (X ) F (X ) 1 n Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 25 19. c) Triar a l'atzar un dels primers k i després cada k-èssim. S'inicia amb una elecció a l'atzar dins dels k primers elements i després es pren de forma regular cada k-èssim individu. 20.

La mitjana de 100 dades té deu vegades menys dispersió que una observació individual, ja que el seu error es divideix per l'arrel quadrada de la mida de la mostra. 21. Perquè el seu valor canvia en cada extracció mostral, depenent dels elements concrets seleccionats a l'atzar de la població. 22. La variància queda dividida per 4, mentre que la desviació típica (l'error estàndard) es redueix exactament a la meitat en dividir per l'arrel de 4. 23. Gràcies al Teorema Central del Límit, que assegura que la distribució de la mitjana mostral s'aproxima a la normal si la mida mostral n és suficientment gran. 24. S'aplica la linealitat de l'esperança a la suma de les variables aleatòries, obtenint .

25. Únicament quan les variables aleatòries de la població origen segueixen prèviament una distribució normal. 26. a) μ. L'esperança de la mitjana mostral sempre equival exactament a la mitjana poblacional μ. 27. d) Disminueix dividida per l'arrel de n. L'error estàndard de la mitjana mostral és σ/ n, per la qual cosa decreix amb l'arrel de n. 28. d) Quan la grandària n és gran. El Teorema Central del Límit assegura la convergència a la normal quan la grandària mostral és suficientment gran. 29. d) σ² / n. La variància de la suma de n variables independents dividida per n² resulta en σ²/n. 30.

Perquè en mesurar les desviacions respecte a la mitjana mostral en lloc de la mitjana poblacional real es perd un grau de llibertat, i dividir per n - 1 corregeix el biaix resultant. 31. Perquè depèn directament dels valors concrets dels elements de la mostra, els quals varien d'una extracció mostral a una altra segons la seva distribució de probabilitat. 32. Tendeix a zero, ja que el terme n - 1 figura en el denominador de 2σ /(n-1), cosa que reflecteix una dispersió mostral cada vegada menor al voltant del paràmetre real. 33.

Perquè en substituir la mitjana poblacional desconeguda per la mitjana mostral es perd un grau de llibertat, i dividir entre garanteix que l'esperança matemàtica sigui exactament . 34. Segueix una distribució khi-quadrat amb graus de llibertat, , sota la condició indispensable que la població d'origen segueixi una distribució normal. 35. d) La variància poblacional σ². La quasivariància mostral és un estimador insesgat, de manera que la seva esperança coincideix exactament amb σ². 36. a) 2σ / (n - 1). Quan la població mare és normal, la variància de la quasivariància és igual a 2σ /(n - 1). 37. b) n - 1 graus de llibertat.

La descomposició resta el grau de llibertat de la mitjana mostral a la suma total de quadrats, deixant n - 1 graus. 38. c) Normalitat a la població d'origen. La relació exacta amb la llei khi-quadrat requereix estrictament que les variables originals provinguin d'una distribució normal. 39. La proporció esperada continuarà sent del 50 %, però la variabilitat al voltant d'aquest valor serà molt menor en augmentar la mida de la mostra. 40. La proporció mostral p s'obté dividint la variable binomial X entre la mida mostral n (p = X / n), actuant com un canvi d'escala lineal. 41.

Cal verificar que el producte nπ(1 - π) sigui estrictament superior a 5, garantint que la grandària mostral és prou gran i la proporció no és massa extrema. n [nμ] = n 1 μ μ X ˉ n 1 σ2 n 1 χ (n 2 1) Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 26 42. Com que , la propietat de la variància extreu la constant al quadrat: . 43. Perquè la seva esperança matemàtica coincideix exactament amb el valor del paràmetre poblacional que vol estimar: . 44. b) p = X / n. La proporció mostral és el quocient entre els èxits X observats i el total n. 45. a) π. L'esperança de p és igual al paràmetre poblacional π. 46. b) [π(1 - π)] / n. En dividir la variància binomial per n², resulta [π(1 - π)] / n.

47. a) nπ(1 - π) > 5. L'aproximació normal requereix complir la condició nπ(1 - π) > 5. p = n X V (p) = V (X) = n2 1 [nπ(1 n2 1 π)] = n π(1 π) E(p) = π Mostreig i Distribucions Mostrals " Estadística EEiE II 27