Ejercicio Opció 1 · Matemàtiques UB Examen de Matemàtiques per a la Biologia

Tema: Sistemes d'EDO i resolució numèrica amb R · Del examen Examen de Matemàtiques per a la Biologia

Enunciado

Opció 1 (2 punts). Dinàmica depredador-presa mitjançant Lotka-Volterra en R

En una illa aïllada coexisteixen dues espècies de manera que una és depredadora de l'altra, sent la presa l'única font alimentària del depredador. Si $D(t)$ representa el nombre de depredadors i $P(t)$ el nombre de preses a temps $t$ (en mesos), el model que en descriu l'evolució ve donat pel sistema:

$\frac{dP}{dt} = 2aP - 0{,}2cPD$

$\frac{dD}{dt} = -bD + 0{,}25dPD$

Amb les constants: $a = 0{,}4$ , $b = 0{,}3$ , $c = 0{,}3$ i $d = 0{,}06$ . Les condicions inicials són $P(0) = 3$ i $D(0) = 1$ (poblacions expressades en milers d'individus).

Calcular el valor del nombre de preses i depredadors a temps $t = 5$ , $t = 20$ i $t = 100$ mitjançant simulació numèrica en R (en milers d'individus):

Temps ( $t$ en mesos)

Preses $P(t)$ (milers)

Depredadors $D(t)$ (milers)

$t = 5$

$t = 20$

$t = 100$

Dibuixar de manera aproximada el diagrama de fases en dues dimensions de l'evolució del sistema i descriure detalladament les fases del cicle poblacional. Incloure el script en R utilitzat.

Enunciado: Ejercicio Opció 1 · Matemàtiques UB Examen de Matemàtiques per a la Biologia

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Nombre de preses a temps t = 5: P(5)

Solución: 124,1

a. Nombre de depredadors a temps t = 5: D(5)

Solución: 2,73

a. Nombre de preses a temps t = 20: P(20)

Solución: 1,11

a. Nombre de depredadors a temps t = 20: D(20)

Solución: 1,44

a. Nombre de preses a temps t = 100: P(100)

Solución: 0,04

a. Nombre de depredadors a temps t = 100: D(100)

Solución: 7,23

b. Descripció detallada de les fases del cicle poblacional

Solución: El diagrama de fases presa-depredador presenta una trajectòria tancada cíclica en la qual es distingeixen quatre fases clares: 1. Fase 1: Creixement inicial molt ràpid de les preses a causa de la baixa densitat de depredadors, acompanyat d'un creixement encara lent d'aquests últims. 2. Fase 2: Explosió demogràfica dels depredadors afavorida per l'abundància d'aliment; el fort consum fa que la població de preses comenci a declinar. 3. Fase 3: En un interval de temps curt, la població de preses segueix disminuint dràsticament fins a valors mínims, provocant posteriorment la caiguda brusca dels depredadors per inanició. 4. Fase 4: Amb una densitat reduïda de depredadors, les preses supervivents tornen a créixer, reiniciant-se novament el cicle oscil·latori.

b. Codi R utilitzat

Solución: ```r library(deSolve) # P: presa, D: depredador LVM <- function(t, y, parms) { P <- y[1] D <- y[2] dPdt <- 2*a*P - 0.2*c*P*D dDdt <- d*P*D/4 - b*D return(list(c(dPdt, dDdt))) } ## Paràmetres a <- 0.4; c <- 0.3; d <- 0.06; b <- 0.3 parms <- c(a=a, c=c, d=d, b=b) ## Condicions inicials yini <- c(P = 3, D = 1) times <- seq(0, 100, 1) ## Resolució numèrica LVM.out <- ode(yini, times, LVM, parms) ## Representació del diagrama de fases matplot(LVM.out[,2], LVM.out[,3], type="l", xlim=c(0,200), ylim=c(0,80), xlab="presa", ylab="depredador") legend("topright", legend=c("Tamano Poblacion"), col=c("black"), lty=1:2, cex=0.8, box.lty=0) ```

b. Dibuixar de manera aproximada el diagrama de fases en dues dimensions de l'evolució del sistema

Solución: Trajectòria cíclica en dues dimensions en el pla presa (eix d'abscisses, $0$ a $200$ ) vs. depredador (eix d'ordenades, $0$ a $80$ ). Mostra les oscil·lacions al voltant del punt d'equilibri formant corbes tancades.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.