Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal

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APUNTES MATEMÁTICAS II Grado en Administración y Dirección de Empresas Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes de Matemàtiques II (ADE, UB): optimización libre, multiplicadores de Lagrange, canonización y resolución gráfica en programación lineal.

APREN.AI Índice 1 Optimización sin restricciones y método directo con restricciones de igualdad Optimización libre de funciones multivariables Método directo de resolución con restricciones de igualdad 2 Optimización con restricciones de igualdad: método de los multiplicadores de Lagrange Fundamentos del método de los multiplicadores de Lagrange Procedimiento de cálculo 3 Optimización con restricciones de desigualdad y métodos gráficos en programación lineal y no lineal Formulación canónica con restricciones de desigualdad Conjunto factible y resolución gráfica en problemas no lineales Resolución en programación lineal 4 Formulario Optimización libre y método directo Método de multiplicadores de Lagrange Restricciones de desigualdad y programación lineal Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 1 1 Optimización sin restricciones y método directo con restricciones de igualdad AL ACABAR SABRÁS Calcular puntos críticos mediante la condición necesaria de primer orden. Clasificar extremos relativos usando la matriz hessiana. Resolver programas con restricciones de igualdad aplicando el método directo de sustitución. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Cómo se puede optimizar una función si una restricción fija una relación rígida entre sus variables?

Optimización libre de funciones multivariables Para localizar los extremos de una función libre sin ligaduras se siguen dos etapas fundamentales: la condición necesaria y la condición suficiente. La condición necesaria (C.N.) exige anular simultáneamente todas las derivadas parciales de primer orden. Los puntos que satisfacen este sistema algebraico reciben el nombre de puntos críticos.

La condición suficiente (C.S.) clasifica dichos puntos calculando la matriz hessiana del sistema, evaluada en cada punto crítico obtenido: Carácter de la matriz hessiana Clasificación del punto crítico Definida positiva o semidefinida positiva Mínimo local Definida negativa o semidefinida negativa Máximo local Indefinida Punto de silla o ensilladura (la pendiente vale 0) Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 2 EJEMPLO Sea la función . 1. C.N.: Derivadas parciales igualadas a cero: Puntos críticos: , , y . 2. C.S.: La matriz hessiana general es: En : es definida negativa Máximo. En : es indefinida Punto de silla. En : es indefinida Punto de silla.

En : es definida positiva Mínimo. COMPRUEBA 2 ¿Qué indica que la matriz hessiana evaluada en un punto crítico tenga determinante negativo en dimensión 2x2? Método directo de resolución con restricciones de igualdad El método directo transforma un problema restringido en uno libre mediante la reducción del número de variables.

z = f(x, y) = x + 3 y 3 x 2 y2 = x f 3x 2 2x = x(3x 2) = 0 x = 0, x = 3 2 = y f 3y 2 2y = y(3y 2) = 0 y = 0, y = 3 2 (0, 0) 0, ( 3 2 ) , 0 (3 2 ) , (3 2 3 2 ) Hf(x, y) = ( 6x 2 0 0 6y 2 ) (0, 0) Hf(0,0) = ( 2 0 0 2 ) 0, ( 3 2 ) Hf 0, = ( 3 2 ) ( 2 0 0 2 ) , 0 (3 2 ) Hf , 0 = (3 2 ) ( 2 0 0 2 ) , (3 2 3 2 ) Hf , = (3 2 3 2 ) ( 2 0 0 2 ) Despejar una variable a partir de la ecuación de restricción. 1 Sustituir dicha variable en la función objetivo para obtener una función auxiliar con menos incógnitas. 2 Aplicar la C.N. derivando e igualando a cero para encontrar los puntos críticos. 3 Aplicar la C.S. mediante la segunda derivada o la matriz hessiana auxiliar para confirmar el tipo de extremo.

4 Recuperar el valor de la variable despejada y calcular el valor óptimo del programa. 5 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 3 EJEMPLO Minimizar sujeto a : De la restricción se deduce . La función auxiliar es: Derivando respecto a : . Segunda derivada: ; evaluada en 16 resulta , lo que confirma un mínimo. Sustituyendo: . El mínimo del programa se sitúa en con valor óptimo . ERROR FRECUENTE Olvidar verificar la condición suficiente creyendo que el punto crítico hallado es automáticamente la solución deseada. Siempre se debe comprobar el signo de la segunda derivada o el carácter de la matriz hessiana.

COMPRUEBA 3 En el método directo con tres variables iniciales y una restricción, ¿de qué dimensión resulta la matriz hessiana de la función auxiliar? PROCESO Fases de optimización libre 1 Condición Necesaria Derivar e igualar a cero para hallar pun tos críticos 2 Matriz Hessiana Construir la matriz de derivadas segundas 3 Evaluación de Puntos Evaluar cada punto crítico en la hessiana 4 Clasifica ción Determinar si es má ximo, mínimo o punto de silla IDEAS CLAVE La condición necesaria iguala las derivadas parciales de primer orden a cero para encontrar puntos críticos. La condición suficiente analiza el signo y curvatura de la matriz hessiana para clasificar máximos, mínimos o puntos de silla.

El método directo reduce variables sustituyendo la ecuación de restricción directamente dentro de la función objetivo. z = 2x + 8y 4x y = 0,5 0,5 32 x y = 64 y = x 64 z(x) = 2x + 8 = ( x 64 ) 2x + x 512 x = dx dz 2 = x2 512 0 x = 2 256 x = 16 = dx2 d z 2 x3 1024 = 163 1024 0,25 > 0 y = = 16 64 4 (x, y) = (16, 4) z(16, 4) = 64 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 4 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿Cuándo se concluye que un punto crítico es un punto de ensilladura? 5. Si una función auxiliar de una sola variable presenta en el punto crítico, ¿qué tipo de extremo representa? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 6.

¿Qué condición determina la existencia de un punto crítico en optimización libre? 7. Una matriz hessiana definida negativa en un punto crítico garantiza: 8. ¿Cuál es el primer paso del método directo con restricciones de igualdad? 9. ¿Qué ocurre si la matriz hessiana evaluada en un punto crítico es indefinida? 2 Optimización con restricciones de igualdad: método de los multiplicadores de Lagrange AL ACABAR SABRÁS Plantear funciones de Lagrange para problemas con una o más restricciones de igualdad. Construir y resolver los sistemas de ecuaciones asociados a la condición necesaria. Identificar gráficamente la tangencia entre restricciones y curvas de nivel.

> dx2 d z 2 0 Gradiente con pendiente infinita a) Matriz hessiana definida positiva b) Derivadas de primer orden iguales a cero c) Segunda derivada estrictamente negativa d) Un mínimo local a) Un punto de silla b) Un máximo local c) Una asíntota vertical d) Despejar una variable de la restricción a) Dibujar las curvas de nivel b) Calcular la matriz hessiana orlada c) Construir la función lagrangiana d) Es un mínimo absoluto a) Se trata de un punto de silla b) El método no converge c) Es un máximo global d) Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 5 PIÉNSALO ANTES DE LEER 10 ¿Por qué no basta con optimizar la función objetivo directamente cuando existen ligaduras de igualdad?

Fundamentos del método de los multiplicadores de Lagrange Geométricamente, el punto óptimo bajo restricciones de igualdad se produce en el punto de tangencia entre la restricción y las curvas de nivel de la función objetivo. Para abordar analíticamente estos problemas cuando despejar resulta complejo o existen múltiples restricciones, se introduce la función de Lagrange.

DEFINICIÓN La función de Lagrange para optimizar una función sujeta a se construye restando a la función objetivo la restricción igualada a cero ponderada por un parámetro (multiplicador de Lagrange): PROCESO Resolución por multiplicadores de Lagrange 1 Formular lagrangiana Restar a la función objetivo cada restric ción multiplicada por su λ 2 Derivadas C.N. Igualar a cero las par ciales respecto a in cógnitas y multiplicadores 3 Resolver sistema Despejar coordena das de los puntos crí ticos y valores de λ 4 Comprobar C.S.

Evaluar la matriz hes siana en los puntos calculados Procedimiento de cálculo f(x, y) g(x, y) = c λ L(x, y; λ) = f(x, y) λ(g(x, y) c) Planteamiento de la función lagrangiana: incorporar una variable por cada restricción de igualdad presente en el programa. 1 λ i Condición necesaria (C.N.): calcular las derivadas parciales de respecto a todas las variables originales y respecto a cada multiplicador , e igualarlas a 0. Despejar variables combinando las ecuaciones resultantes para hallar los puntos críticos junto con los valores de los multiplicadores. 2 L λ i Condición suficiente (C.S.): evaluar la matriz hessiana para determinar la naturaleza del punto crítico encontrado.

3 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 6 EJEMPLO Optimizar sujeto a . 1. Función lagrangiana: 2. Condición necesaria: Igualando las expresiones de : . Sustituyendo en la restricción: . Para : , obteniendo el punto crítico con . Para : , obteniendo el punto crítico con . EJEMPLO CON DOS RESTRICCIONES Maximizar sujeto a y . Lagrangiana: Derivadas parciales de la C.N.: Sumando las dos primeras ecuaciones: . Igualando ambas expresiones de : . Al resolver el sistema lineal formado por , y , se obtiene el punto crítico , con y . La matriz de derivadas segundas respecto a las variables es: Esta matriz resulta indefinida.

z = 2xy x + 2 y = 3 L(x, y; λ) = 2xy λ(x + 2 y 3) = 2y 2λx = 0 λ = x L x y = 2x λ = 0 λ = 2x y L = (x + y 3) = 0 x + y = 3 λ L 2 2 λ 2x = x y y = 2x2 x + 2 2x = 2 3 3x = 2 3 x = 2 1 x = ±1 x = 1 y = 2 (1, 2) λ = 2 x = 1 y = 2 ( 1, 2) λ = 2 u = xy + 2xz + yz x + y + z = 2 x y = 6 L(x, y, z; λ , λ ) = 1 2 xy + 2xz + yz λ (x + 1 y + z 2) λ (x 2 y 6) x L y L z L = y + 2z λ λ = 0 1 2 = x + z λ + λ = 0 1 2 = 2x + y λ = 0 λ = 2x + y 1 1 x + y + 3z 2λ = 1 0 λ = 1 2 x+y+3z λ 1 = 2 x+y+3z 2x + y 3x + y 3z = 0 3x + y 3z = 0 x + y + z = 2 x y = 6 (x, y, z) = (3, 3, 2) λ = 1 3 λ = 2 2 x, y, z HL (x, y, z; λ , λ ) = xyz 1 2 0 1 2 1 0 1 2 1 0 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 7 ERROR FRECUENTE Derivar incorrectamente respecto a olvidando el signo negativo exterior.

La derivada parcial de respecto a debe reproducir exactamente la ecuación de la restricción inicial. COMPRUEBA 11 ¿Cuántos multiplicadores de Lagrange se deben incorporar si un programa presenta tres restricciones de igualdad? IDEAS CLAVE El óptimo restringido representa geométricamente la tangencia entre una curva de nivel y la curva de restricción. Se formula un multiplicador de Lagrange por cada ecuación de igualdad ligada al programa. La derivada parcial de la función lagrangiana respecto a cada multiplicador recupera la propia restricción. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Qué representa geométricamente la condición de óptimo con restricciones? 13.

Al derivar la función lagrangiana respecto a e igualar a cero, ¿qué igualdad se recupera? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 14. ¿Qué condición geométrica caracteriza al óptimo condicionado por una igualdad? 15. En un problema con dos restricciones de igualdad, ¿cuántos multiplicadores se introducen? 16.

La derivada parcial de la función de Lagrange respecto al multiplicador λ equivale a: λ L λ L = f λ(g c) λ Intersección en el origen de coordenadas a) Máxima distancia entre curvas de nivel b) Tangencia entre restricción y curvas de nivel c) Corte ortogonal entre restricciones d) Uno solo para ambas a) Ninguno si es lineal b) Tantos como variables tenga la función c) Dos multiplicadores independientes d) La ecuación de restricción a) El gradiente de la función b) La propia función objetivo c) La traza de la hessiana d) Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 8 17.

Si la matriz hessiana de las variables en la lagrangiana tiene ceros en la diagonal y elementos no nulos fuera: 3 Optimización con restricciones de desigualdad y métodos gráficos en programación lineal y no lineal AL ACABAR SABRÁS Transformar programas de optimización a su forma canónica. Representar gráficamente conjuntos factibles delimitados por restricciones lineales. Calcular y evaluar vértices para determinar máximos, mínimos o segmentos óptimos alternativos. PIÉNSALO ANTES DE LEER 18 ¿Por qué en un problema lineal no es necesario buscar el óptimo en los puntos interiores de la región factible?

Formulación canónica con restricciones de desigualdad Un programa matemático se encuentra en forma canónica cuando todas sus desigualdades presentan el mismo sentido según el tipo de optimización perseguido: Programa de maximización: todas las restricciones de desigualdad deben ser de menor o igual ( ). Programa de minimización: todas las restricciones de desigualdad deben ser de mayor o igual ( ). PARA RECORDARLO Para canonizar un programa: Multiplicar una función objetivo por -1 invierte el sentido: . Multiplicar una desigualdad por -1 invierte el sentido de la desigualdad: .

Conjunto factible y resolución gráfica en problemas no lineales El conjunto factible (denotado habitualmente por ) es la región geométrica del plano delimitada por la intersección de todas las restricciones del problema, incluidas las de no negatividad ( ). Siempre es semidefinida positiva a) Resulta indefinida b) Es necesariamente definida negativa c) Determina un óptimo global d) max u min( u) x y + z 0 x + y z 0 B x, y 0 Dibujar en el plano cartesiano la región o conjunto factible. 1 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 9 Gráfica del conjunto factible y vértice óptimo en un programa lineal.

En programas como sujeto a , y , las rectas asociadas cortan a los ejes en los puntos , y , . La intersección de ambas fronteras determina el vértice . Al evaluar la función objetivo en los vértices del conjunto factible: Punto óptimo máximo. COMPRUEBA 19 ¿Cómo se transforma la desigualdad en una restricción válida para un programa canónico de mínimo? Resolución en programación lineal En programación lineal la función objetivo y las restricciones son funciones lineales de primer grado. La región factible es un polígono convexo. Trazar las curvas de nivel a partir de la función objetivo fijada a una constante ( ) e identificar el sentido de crecimiento o maximización.

2 f(x, y) = K Localizar el punto de contacto extremo o de corte entre la curva de nivel más alta (o más baja) y el conjunto factible, apoyándose en el método de multiplicadores de Lagrange si existe curvatura. 3 max z = 25x + 30y 6x + 10y 600 9x + 3y 720 x, y 0 (100, 0) (0, 60) (80, 0) (0, 240) (75, 15) z(0, 0) = 0 z(0, 60) = 1800 z(80, 0) = 2000 z(75, 15) = 2325 x y + z 0 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 10 EJEMPLO DE MAXIMIZACIÓN CON VÉRTICE ÚNICO Gráfica de la región factible con evaluación de vértices para maximización. Maximizar sujeto a: Vértices delimitados y evaluación de la función objetivo: Máximo del programa en .

Graficar las rectas de restricción y delimitar el área común donde se satisfacen simultáneamente todas las desigualdades. 1 Calcular las coordenadas exactas de todos los vértices del recinto factible. 2 Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices: el mayor valor corresponde al máximo y el menor al mínimo. 3 z z = 24x 3y x + 5y 15, 3x + y 19, x 5y 1, x, y 0 z(0, 0) = 0 z(0, 3) = 9 z(5, 4) = 108 z(6, 1) = 141 (6, 1) z(1, 0) = 24 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 11 EJEMPLO CON SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES (SEGMENTO DE MÍNIMO) Gráfica de minimización lineal con soluciones óptimas múltiples sobre un segmento.

Minimizar sujeto a: Evaluación de los vértices frontera: Tanto en como en la función alcanza el mismo valor mínimo (2,5). Todo el segmento de extremos (1, 1) y (3, 0,5) representa infinitas soluciones óptimas mínimas del programa. ERROR FRECUENTE Evaluar solo algunos vértices y asumir apresuradamente que uno de ellos es la solución óptima. Cuando dos vértices contiguos comparten el valor óptimo, todos los puntos del segmento que los une son también soluciones óptimas.

z = 0,5x + 2y 4x + y 5, x + 4y 5, x + 6y 6, x, y 0 z(0, 5) = 10 z(1, 1) = 2,5 z(3, 0,5) = 2,5 z(6, 0) = 3 (1, 1) (3, 0,5) Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 12 COMPRUEBA 20 Si dos vértices contiguos de una región factible lineal arrojan el mismo valor óptimo mínimo de , ¿cuál es la solución final?

PROCESO Resolución gráfica en programación lineal 1 Trazar res tricciones Dibujar las rectas de frontera en el plano cartesiano 2 Definir conjunto factible Identificar la región común que cumple todas las desigualdades 3 Hallar vér tices Calcular los puntos de intersección de las rectas frontera 4 Evaluar la función objetivo Sustituir cada vértice en z para elegir el óptimo IDEAS CLAVE Un programa canónico unifica el sentido de las desigualdades: para maximizar y para minimizar. El conjunto factible es la región poligonal o convexa donde se verifican simultáneamente todas las restricciones. En programación lineal el óptimo siempre se encuentra en al menos un vértice del polígono factible.

Si dos vértices contiguos comparten el valor óptimo extremo, todo el segmento entre ellos contiene soluciones óptimas. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 21. ¿Qué signo deben tener las restricciones de desigualdad en un programa canónico de maximización? 22. ¿Cómo se determina el punto óptimo analizando los vértices de una región factible acotada? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 23. En un problema de maximización canónico, ¿cómo deben ser las desigualdades? z = 2,5 Todas de mayor o igual a) Todas de menor o igual b) Estrictamente igualdades c) Alternadas en signo d) Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 13 24.

¿Dónde se localiza siempre la solución óptima en programación lineal acotada? 25. Si dos vértices contiguos producen el mismo valor óptimo objetivo, la solución es: 26. ¿Cómo se invierte el sentido de la desigualdad en una restricción? 4 Formulario Optimización libre y método directo Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : derivada parcial primera respecto a la variable Condición necesaria (C.N.) para encontrar puntos críticos en funciones libres. en el punto crítico : matriz hessiana. Definida positiva mínimo; definida negativa máximo; indefinida punto de silla Condición suficiente (C.S.) para clasificar los puntos críticos hallados.

Despejar variable de restricción Sustituir en C.N. ( ) C.S. ( o hessiana) Recuperar variable despejada : función objetivo; , : derivadas de la función auxiliar reducida Método directo para optimizar con restricciones de igualdad reduciendo variables.

En el exterior del recinto a) En el centro de gravedad b) En al menos un vértice del área factible c) Siempre en el origen (0,0) d) Cualquier punto del plano a) Incompatible sin solución b) El segmento completo entre ambos vértices c) Únicamente el punto medio d) Calculando su matriz hessiana a) Multiplicando toda la inecuación por -1 b) Sumando una constante positiva c) Cambiando las variables por ceros d) = x i f 0 x i f x i Hf(x ) Hf f f = 0 f f f f Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 14 Método de multiplicadores de Lagrange Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : función lagrangiana; : función objetivo; : restricciones de igualdad; : multiplicadores de Lagrange Planteamiento analítico con una o más restricciones de igualdad.

Plantear lagrangiana y Resolver sistema Evaluar : reproduce la restricción; : hessiana de derivadas segundas respecto a las incógnitas originales Cálculo y clasificación de extremos condicionados por igualdades. Restricciones de desigualdad y programación lineal Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Canonización: ; (multiplicar por -1 invierte desigualdad y sentido de optimización) ; Estandarización de programas con desigualdades a su forma canónica.

Trazar rectas frontera Delimitar conjunto factible Calcular vértices Evaluar en cada vértice Seleccionar óptimo : recinto factible cerrado o convexo; : función objetivo lineal Resolución gráfica de problemas de programación lineal en el plano. Segmento de óptimos: si alcanzan el valor extremo : vértices contiguos con idéntico valor óptimo de Identificación de infinitas soluciones óptimas contiguas en programación lineal. Errores típicos Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Omitir la C.S.

tras calcular puntos críticos El punto crítico solo garantiza pendiente nula, no el tipo de extremo Optimización libre o condicionada: se debe clasificar siempre con la matriz hessiana. Error de signo al derivar respecto a Multiplicadores de Lagrange: asegurar que reproduzca fielmente la ecuación de restricción. Asumir un único punto cuando dos vértices adyacentes empatan El óptimo no es un vértice aislado, sino todo el segmento cerrado que los une Programación lineal con óptimos alternativos.

L(x; λ) = f(x) λ (g (x) i i c ) i L f g (x) = i c i λ i = x i L 0 = λ i L 0 HL x = λ i L (g i c ) = i 0 HL x max min maxu min( u) g(x) 0 g(x) 0 B z B z z(V ) = 1 z(V ) 2 V , V 1 2 z λ = λ L (g(x) c) = 0 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 15 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Despejando una variable en función de las demás dentro de la restricción y sustituyéndola en la función objetivo para eliminar grados de libertad. 2. Indica que posee autovalores de signos opuestos, por lo que la matriz es indefinida y el punto corresponde a un punto de silla o ensilladura. 3.

Resulta de dimensión 2x2, ya que al despejar una variable la función objetivo pasa a depender únicamente de dos variables independientes. 4. Cuando la matriz hessiana evaluada en dicho punto crítico es indefinida, teniendo la función pendiente nula en ese punto. 5. Representa un mínimo local. 6. c) Derivadas de primer orden iguales a cero. La condición necesaria exige anular todas las derivadas parciales primeras. 7. c) Un máximo local. La curvatura negativa en todas las direcciones define un máximo local. 8. a) Despejar una variable de la restricción. El método directo consiste en despejar una variable de la restricción para insertarla en la función objetivo. 9.

b) Se trata de un punto de silla. Al ser indefinida no es ni máximo ni mínimo, sino un punto de ensilladura o silla. 10. Porque las soluciones libres suelen violar las restricciones; el óptimo debe pertenecer obligatoriamente al conjunto que cumple dichas ecuaciones. 11. Se deben incorporar exactamente tres multiplicadores ( ), uno por cada ecuación de restricción. 12. Representa el punto de tangencia entre la curva de restricción y una curva de nivel de la función objetivo. 13. Se recupera la restricción original del programa: . 14. c) Tangencia entre restricción y curvas de nivel. El punto óptimo ocurre donde la curva de nivel es tangente a la curva que delimita la restricción. 15.

d) Dos multiplicadores independientes. Cada restricción de igualdad requiere la asignación de su propio multiplicador de Lagrange. 16. a) La ecuación de restricción. Al derivar respecto a λ e igualar a cero se recupera la satisfacción de la restricción del problema. 17. b) Resulta indefinida. Una traza nula con elementos cruzados genera autovalores positivos y negativos, siendo indefinida. 18. Porque las funciones lineales no poseen curvatura interna; crecen o decrecen de forma continua hacia los bordes, alcanzando siempre sus valores extremos en los vértices del recinto. 19. Multiplicando toda la inecuación por -1, lo que invierte el signo y resulta en . 20.

La solución no son únicamente esos dos puntos aislados, sino todo el segmento de recta cerrado que los une. 21. Deben tener todas la forma de menor o igual ( ). 22. Se evalúa la función objetivo en cada vértice; el valor más alto señala el máximo y el más bajo el mínimo. λ , λ , λ 1 2 3 g(x, y) = c x + y z 0 Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 16 23. b) Todas de menor o igual. La forma canónica de un problema de maximización exige que todas las restricciones sean de menor o igual. 24. c) En al menos un vértice del área factible. Por linealidad, los valores extremos de la función objetivo siempre se alcanzan en los vértices de la región factible. 25.

c) El segmento completo entre ambos vértices. Cuando dos vértices adyacentes empatan en el valor óptimo, todo el segmento que los une es solución óptima. 26. b) Multiplicando toda la inecuación por -1. Multiplicar ambos lados de una desigualdad por -1 invierte el sentido de la relación de orden. Matemàtiques II: Optimización y Programación Lineal 17