Química i Física Aplicada (URV): apunts del 1r parcial

Magnituds, unitats i anàlisi dimensional

En les ciències aplicades a l'alimentació, la biologia i la física, la descripció rigorosa dels fenòmens naturals requereix quantificar propietats físiques mitjançant mesures objectives. Una magnitud física és qualsevol propietat d'un cos o sistema susceptible de ser mesurada mitjançant un valor numèric i una unitat de referència. Per garantir la coherència i la reproductibilitat científica universal, la comunitat internacional empra un conjunt normalitzat d'estàndards que constitueix la base de qualsevol càlcul quantitatiu.

1. El Sistema Internacional d'Unitats (SI) i la seva estructura

El Sistema Internacional d'Unitats (SI) estableix set magnituds fonamentals, definides de forma operacional i independent, a partir de les quals es deriven totes les altres variables físiques. En el camp de la nutrició i la tecnologia dels aliments, les magnituds fonamentals més rellevants són la massa (mesurada en quilograms, kg), la longitud (metres, m), el temps (segons, s), la temperatura termodinàmica (kelvin, K; vegeu «Termodinàmica i calor — Escales de temperatura, calorimetria i canvis d'estat») i la quantitat de substància (mol, mol).

Les magnituds derivades expressen conceptes complexos com la força, la pressió, el treball o la potència. Per exemple, la segona llei de Newton relaciona la força mecànica ($F$) amb el producte de la massa ($m$) per l'acceleració ($a$):

A partir del newton es defineixen magnituds energètiques i de pressió d'ús quotidià en laboratoris agroalimentaris:

2. Notació científica, prefixos del SI i xifres significatives

En els càlculs d'enginyeria i ciències aplicades, sovint es manipulen valors extremadament grans (com la velocitat de la llum en el buit, $c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$) o extremadament petits (com la càrrega elemental d'un electró, $e \approx 1{,}602 \cdot 10^{-19}\text{ C}$). La notació científica permet expressar qualsevol quantitat numèrica sota la forma estandarditzada $a \cdot 10^b$, on $1 \le |a| < 10$ i $b$ és un nombre enter.

Per operar amb potències de deu, es recorden les propietats algebraiques elementals: en multiplicar potències de la mateixa base se sumen els exponents ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) i en dividir es resten ($a^m / a^n = a^{m-n}$). Paral·lelament, el Sistema Internacional adopta una sèrie de prefixos oficials que s'anteposen al nom de la unitat per indicar múltiples i submúltiples decimals:

El criteri de xifres significatives estableix quants dígits d'una mesura experimental aporten informació fiable sobre la seva precisió. Els zeros a l'esquerra del primer dígit diferent de zero no són significatius, ja que només indiquen la posició de la coma decimal. En canvi, els zeros situats a la dreta d'un dígit decimal sí que ho són, perquè indiquen la resolució de l'instrument.

3. Anàlisi dimensional: homogeneïtat i deducció de constants

L'anàlisi dimensional és una eina matemàtica que estudia les dimensions de les magnituds físiques involucrades en un procés per comprovar la validesa d'una fórmula o deduir les unitats de noves constants. Tota magnitud física es pot expressar en funció de les dimensions fonamentals:

• Longitud: $[L]$
• Massa: $[M]$
• Temps: $[T]$
• Temperatura: $[\Theta]$

El principi d'homogeneïtat dimensional de Fourier postula que en qualsevol equació física vàlida, tots els termes sumats o igualats han de tenir exactament les mateixes dimensions. Per tant, és impossible sumar una magnitud d'energia amb una de força o una velocitat amb una acceleració.

1. Identificació: Escriure l'equació física i aïllar la variable o constant de la qual es vol determinar la dimensió.
2. Substitució dimensional: Substituir cadascuna de les variables conegudes per les seves dimensions base ($[M], [L], [T]$) o per les seves unitats del SI.
3. Simplificació algebraica: Agrupar els exponents utilitzant les regles de potències i simplificar termes idèntics al numerador i al denominador.
4. Assignació d'unitats: Traduir la dimensió resultant a les unitats oficials corresponents del SI.

4. Factors de conversió fonamentals en energia, nutrició i pressió

Encara que el joule és la unitat universal d'energia en física, determinades branques com la ciència dels aliments o la física quàntica mantenen unitats històriques o especialitzades per raons pràctiques de manipulació de dades.

A. La caloria i la kilocaloria en ciència dels aliments

La caloria (cal) es va definir originàriament com la quantitat de calor necessària per augmentar en 1 °C la temperatura d'un gram d'aigua destil·lada a pressió atmosfèrica constant. Experimentalment, James Prescott Joule va demostrar la conversió mecànica de calor, establint l'equivalència internacional precisa:

En nutrició, la quantitat d'energia aportada pels macronutrients s'expressa habitualment en quilocalories ($1\text{ kcal} = 1000\text{ cal} = 4184\text{ J} = 4{,}184\text{ kJ}$). A la literatura col·loquial s'anomena sovint «Caloria gran» (Cal amb majúscula), però en l'àmbit científic i tecnològic cal emprar estrictament el símbol kcal per evitar confusions greus.

Per exemple, si un suplement nutricional aporta una petita quantitat d'energia tèrmica de 350 cal, la conversió a joules del SI es realitza aplicant directament el factor de proporcionalitat:

B. L'electró-volt (eV)

En l'estudi de l'estructura atòmica, els espectres d'emissió i els enllaços moleculars (vegeu «Física atòmica i matèria — Models atòmics i espectres de Bohr»), el joule resulta una unitat massa gran. S'utilitza l'electró-volt (eV), que és l'energia cinètica que adquireix un electró quan s'accelera a través d'una diferència de potencial electroestàtic d'un volt:

Si es disposa d'una radiació d'energia $E = 3{,}2 \cdot 10^6\text{ eV}$ (és a dir, 3,2 MeV), la seva equivalència en el SI és:

C. Unitats de pressió: pascal i atmosfera

En el processament tèrmic i d'envasament d'aliments sota atmosfera modificada o buit, la pressió és un paràmetre crític de control. La unitat del SI és el pascal ($1\text{ Pa} = 1\text{ N/m}^2$). La unitat clàssica de referència ambiental és l'atmosfera estàndard (atm), la conversió exacta de la qual és:

Així, en una autoclau de conserves que treballa a una pressió absoluta de 2 atm, aquesta pressió en pascals serà:

5. Exemple resolt: despesa energètica en nutrició i potència metabòlica

En fisiologia de l'exercici i dietètica aplicada, la despesa energètica es quantifica habitualment mitjançant taxes normalitzades en funció del pes de l'individu i el temps d'activitat. Convertir aquestes dades al Sistema Internacional permet calcular tant la calor alliberada com la potència mitjana desenvolupada pel metabolisme humà.

Idees clau

• El Sistema Internacional d'Unitats (SI) organitza les mesures físiques en set magnituds fonamentals independents i un repertori de magnituds derivades obtingudes per producte o quocient d'aquestes.
• L'anàlisi dimensional permet verificar la coherència algebraica de fórmules físiques mitjançant el principi d'homogeneïtat dimensional i deduir unitats de noves constants.
• La unitat d'energia al SI és el joule (J), mentre que la calorimetria nutricional empra la quilocaloria (1 kcal = 4184 J) i la física atòmica l'electró-volt (1 eV = 1,602 · 10⁻¹⁹ J).
• La potència mesura la rapidesa de transferència d'energia (1 W = 1 J/s), motiu pel qual el quilowatt-hora (kW·h) representa energia acumulada (3,6 MJ) i mai una taxa de potència.

Posa a prova el que has après

1. Quina de les següents magnituds físiques és una magnitud fonamental del Sistema Internacional? — Temperatura termodinàmica
2. A quants joules equival exactament una quantitat d'energia de 500 calories? — 2092 J
3. Quina dimensió física té la magnitud de la pressió en el sistema [M, L, T]? — [M] [L]⁻¹ [T]⁻²
4. Quina magnitud física mesura un aparell que registra una despesa en quilowatts-hora (kW·h)? — Energia

Física atòmica i matèria — Models atòmics i espectres de Bohr

L'estudi de la matèria a escala atòmica va revolucionar la física a principis del segle XX. Per comprendre l'organització dels electrons i la seva interacció amb la radiació, cal analitzar des dels primers models clàssics fins a la mecànica quàntica ondulatòria. El següent esquema resumeix l'estructura global del bloc dedicat a l'àtom i la radiació nuclear:

1. Antecedents clàssics: de Thomson a Rutherford

A finals del segle XIX, el descobriment de l'electró per part de J.J. Thomson va trencar el paradigma de l'àtom indivisible de Dalton. Thomson va plantejar el model del púding de panses, on l'àtom es concebia com una massa esfèrica uniforme de càrrega positiva en el si de la qual es trobaven incrustats els electrons puntuals de càrrega negativa, de manera que la càrrega elèctrica neta era neutra.

Aquest model va quedar refutat pel cèlebre experiment de dispersió de partícules alfa dut a terme per Ernest Rutherford. En bombardejar una fina làmina d'or amb nuclis d'heli, la gran majoria travessava la làmina sense desviar-se, però una petita fracció patia desviacions molt pronunciades i fins i tot rebotava en sentit contrari. Rutherford va concloure que la càrrega positiva i pràcticament tota la massa estaven concentrades en una regió central extremadament reduïda: el nucli atòmic.

En el model planetari de Rutherford, els electrons orbiten al voltant del nucli compensant l'atracció electroestàtica de Coulomb mitjançant l'acceleració centrípeta:

2. Naturalesa de la radiació electromagnètica

Per superar la crisi del model clàssic, cal entendre les propietats de la llum. Una ona electromagnètica consisteix en l'oscil·lació periòdica i acoblada d'un camp elèctric $\vec{E}$ i un camp magnètic $\vec{B}$ que es propaguen en el buit a la velocitat de la llum $c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$. Tots dos camps oscil·len de forma sinusoïdal, en fase i en direccions mútuament perpendiculars, així com perpendiculars a la direcció de propagació $x$:

On $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ és el nombre d'ona, $\omega = 2\pi f$ és la pulsació o freqüència angular, i les amplituds dels camps mantenen una proporció fixa governada per la velocitat de propagació:

L'energia transportada per unitat de temps i d'àrea transversal es mesura mitjançant la intensitat del feix $I$, expressada en $\text{W/m}^2$:

On $P$ és la potència incident i $S$ la superfície de secció normal al feix.

L'espectre electromagnètic s'organitza en funció de la freqüència $f$ (o de la longitud d'ona $\lambda$), relacionades directament per l'expressió $c = \lambda \cdot f$. Segons la hipòtesi quàntica de Max Planck, la radiació intercanvia energia amb la matèria mitjançant paquets discrets anomenats fotons, l'energia dels quals depèn exclusivament de la freqüència:

On $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$ és la constant de Planck. Com més alta és la freqüència (i més curta la longitud d'ona), més energètic és el fotó. Per aquest motiu, la radiació ultraviolada té molta més energia que la radiació infraroja o les microones.

3. El model atòmic de Bohr i la quantització energètica

L'any 1913, Niels Bohr va formular un model per a sistemes hidrogenoides (un sol electró girant al voltant d'un nucli amb càrrega $+Ze$) incorporant la quantització de Planck. Els tres postulats principals de Bohr són:

1. Òrbites estacionàries: L'electró es mou en determinades òrbites circulars estables sense emetre cap tipus de radiació electromagnètica, desafiant el postulat electrodinàmic clàssic.
2. Quantització del moment angular: Només són permeses aquelles òrbites en què el moment angular orbital $L$ de l'electró és un múltiple enter de la constant reduïda de Planck:
   $$L = m_e v r = n \frac{h}{2\pi} = n \hbar \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$
3. Condició de freqüència d'emissió o absorció: Quan l'electró passa d'un estat energètic inicial $E_i$ a un estat final $E_f$, l'àtom absorbeix o emet un únic fotó d'energia equivalent a la diferència entre ambdós nivells:
   $$\Delta E = |E_f - E_i| = h f = h \frac{c}{\lambda}$$

A partir d'aquests postulats es dedueix el radi de les òrbites permeses:

On $a_0 \approx 0{,}529\text{ Å} = 5{,}29 \cdot 10^{-11}\text{ m}$ és el radi de Bohr per a l'hidrogen ($Z = 1, n = 1$).

L'energia de cada nivell quàntic per a un àtom hidrogenoide ve donada per la relació:

Per a l'àtom d'hidrogen neutre ($Z = 1$), els primers nivells tenen les energies següents:

• Nivell $n = 1$: $E_1 = -13{,}6\text{ eV}$ (estat fonamental, de màxima estabilitat).
• Nivell $n = 2$: $E_2 = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}40\text{ eV}$ (primer estat excitat).
• Nivell $n = 3$: $E_3 = -\frac{13{,}6}{9} = -1{,}51\text{ eV}$ (segon estat excitat).
• Nivell $n = 4$: $E_4 = -\frac{13{,}6}{16} = -0{,}85\text{ eV}$.
• Nivell $n \to \infty$: $E_\infty = 0\text{ eV}$ (l'electró està lliure del camp d'atracció nuclear).

Les transicions electròniques expliquen les sèries espectrals de l'hidrogen:

• Sèrie de Lyman: salts cap a $n = 1$ des de $n \ge 2$ (regió de l'ultraviolat).
• Sèrie de Balmer: salts cap a $n = 2$ des de $n \ge 3$ (regió de l'espectre visible).
• Sèrie de Paschen: salts cap a $n = 3$ des de $n \ge 4$ (regió infraroja).

4. Resolució pas a pas de transicions i conversió d'unitats

En els exàmens de física atòmica, el factor determinant per evitar pèrdues de puntuació és la conversió rigorosa entre electró-volts (eV) i joules (J) (vegeu «Magnituds, unitats i anàlisi dimensional»). Recordeu que $1\text{ eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\text{ J}$.

5. El model mecanoquàntic i els nombres quàntics

El model de Bohr presentava limitacions insalvables: només explicava àtoms hidrogenoides (amb un sol electró), no podia justificar l'estructura fina de les línies espectrals ni donava compte de l'efecte de camps magnètics externs (efecte Zeeman). A mitjans dels anys vint, la formulació de la dualitat ona-corpuscle de Louis de Broglie i el principi d'incertesa de Heisenberg van establir que els electrons no descriuen trajectòries determinades ni òrbites clàssiques.

En el model quàntic modern, la funció d'ona $\psi$ obtinguda mitjançant l'equació de Schrödinger defineix un orbital atòmic: una regió de l'espai al voltant del nucli on la densitat de probabilitat de trobar l'electró ($|\psi|^2$) és màxima (típicament superior al 90 o 95 %).

L'estat quàntic de qualsevol electró a l'àtom queda definit per una combinació de quatre nombres quàntics:

• Nombre quàntic principal ($n$): Determina el nivell energètic principal i la mida de l'orbital. Pren valors enters positius: $n = 1, 2, 3, 4, \dots$
• Nombre quàntic secundari o azimutal ($l$): Determina la forma geomètrica de l'orbital i el mòdul del moment angular. Els seus valors permesos depenen de $n$:
  $$l = 0, 1, 2, \dots, (n - 1)$$
  A cada valor de $l$ li correspon una notació espectroscòpica:
  • $l = 0$: orbital s (simetria esfèrica).
  • $l = 1$: orbital p (forma lobular bilobada al llarg dels eixos $x, y, z$).
  • $l = 2$: orbital d (forma tetralobular o lobular amb anell).
  • $l = 3$: orbital f (geometria complexa multilobular).
• Nombre quàntic magnètic ($m_l$): Determina l'orientació espacial de l'orbital en presència d'un camp magnètic exterior. Els seus valors permesos van de $-l$ a $+l$ passant pel zero:
  $$m_l = -l, -l+1, \dots, 0, \dots, l-1, l \quad (2l + 1\text{ valors possibles})$$
• Nombre quàntic d'spin ($m_s$): Descriu el moment angular intrínsec de l'electró (orientació del seu spin). Només pot prendre dos valors:
  $$m_s = +\frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{2}$$

Per a un nivell determinat $n$, el nombre total d'orbitals disponibles és igual a $\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = n^2$. Com que pel principi d'exclusió de Pauli cada orbital pot allotjar un màxim de dos electrons amb spins oposats ($m_s = \pm 1/2$), la capacitat electrònica màxima d'un nivell ve donada per la relació:

Idees clau

• Els models de Thomson i Rutherford van ser claus, però Rutherford no podia justificar l'estabilitat de l'electró accelerat ni els espectres discontinus segons la física clàssica.
• Bohr va introduir la quantització del moment angular electrònic ($L = n \hbar$), establint que els àtoms només emeten o absorbeixen fotons en transicions entre nivells energètics discrets ($\Delta E = h f$).
• L'energia dels nivells d'hidrogen és estrictament negativa ($E_n = -13{,}6/n^2\text{ eV}$); l'estat fonamental té $E_1 = -13{,}6\text{ eV}$ i la seva energia d'ionització és de $+13{,}6\text{ eV}$.
• La radiació electromagnètica compleix $c = \lambda f$ i transporta energia quantitzada en fotons segons l'equació de Planck ($E = h f$), amb camps elèctrics i magnètics acoblats que verifiquen $E_0 = c B_0$.
• El model mecanoquàntic substitueix les òrbites deterministes per orbitals de probabilitat determinats pels nombres quàntics ($n, l, m_l, m_s$), amb un màxim de $2n^2$ electrons per capa.

Posa a prova el que has après

1. Per què la física clàssica prediu el col·lapse de l'àtom de Rutherford? — Els electrons en moviment accelerat radien energia contínuament
2. Quina relació hi ha entre l'amplitud dels camps d'una ona electromagnètica? — E₀ = c · B₀
3. Quina energia té el fotó emès quan l'electró d'hidrogen salta de n = 3 a n = 1? — 12,09 eV
4. Quants orbitals diferents existeixen en el nivell n = 4? — 16

Física atòmica i matèria — Estructura nuclear i energia interna dels gasos ideals

La matèria que ens envolta presenta una organització jeràrquica que va des de l'escala subatòmica fins a les propietats macroscòpiques dels cossos. En aquesta secció abordarem dos pilars fonamentals de la física de la matèria: d'una banda, la constitució del nucli atòmic, les seves dimensions, la seva estabilitat radioactiva i la relació fonamental entre massa i energia; d'altra banda, la interpretació microscòpica de l'energia interna dels gasos ideals a través dels graus de llibertat moleculars.

Secció completa amb Premium

Idees clau

• na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor si
• s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed
• s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et
• quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam qui
• ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitati
• tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit